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関数の不連続点

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関数の不連続点

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義域上の点\(a\in X\)の周辺において定義されている場合、\(f\)が\(a\)において連続であることとは以下の2つの条件\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \lim\limits_{x\rightarrow a}f(x)\in
\mathbb{R} \\
&&\left( b\right) \ \lim\limits_{x\rightarrow a}f(x)=f(a)
\end{eqnarray*}がともに成り立つことを意味します。逆に、定義域上の点\(a\)において上の2つの条件のうちの少なくとも一方が成り立たない場合、\(a\)を不連続点(discontinuous point)と呼びます。

片側連続性と連続性の関係を踏まえると、関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義域上の点\(a\in X\)において連続であることは以下の3つの条件\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \lim\limits_{x\rightarrow a+}f(x)\in
\mathbb{R} \\
&&\left( b\right) \ \lim\limits_{x\rightarrow a-}f(x)\in
\mathbb{R} \\
&&\left( c\right) \ \lim\limits_{x\rightarrow
a+}f(x)=\lim\limits_{x\rightarrow a-}f(x)=f\left( \alpha \right)
\end{eqnarray*}がすべて成り立つこととして表現できます。したがって、定義域上の点\(a\)が不連続点であることとは上の3つの条件の中の少なくとも1つが成り立たないことを意味します。以降では、これら3つの条件の中のどれが成り立たないかによって不連続点を分類します。

 

第1種の不連続点

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義域上の点\(a\in X\)において有限な右側極限\(\lim\limits_{x\rightarrow a+}f(x)\)と左側極限\(\lim\limits_{x\rightarrow a-}f(x)\)をともに持つ一方でそれらが一致しない場合、このような不連続点\(a\)を第1種の不連続点(discontinuous point of the first kind)と呼びます。

例(第1種の不連続点)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}
f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
x+1 & \left( if\ x<2\right) \\
4 & \left( if\ x=2\right) \\
x+3 & \left( if\ x>2\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。定義域上の点\(2\in \mathbb{R} \)における左右の片側極限は、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow 2+}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow 2+}\left(
x+3\right) =5 \\
\lim_{x\rightarrow 2-}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow 2-}\left(
x+1\right) =3
\end{eqnarray*}であるためこれらはともに有限ですが、これらは一致しないため、点\(2\)は第1種の不連続点です。

 

第2種の不連続点

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義域上の点\(a\in X\)において有限な右側極限\(\lim\limits_{x\rightarrow a+}f(x)\)と左側極限\(\lim\limits_{x\rightarrow a-}f(x)\)の少なくとも一方を持たない場合、このような不連続点\(a\)を第2種の不連続点(discontinuous point of the second kind)と呼びます。

例(第2種の不連続点)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}
f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
0 & \left( if\ x\in \mathbb{Q}\right) \\
1 & \left( if\ x\not\in \mathbb{Q}\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。つまり、\(x\in \mathbb{R} \)が有理数の場合には\(f\left( x\right) =0\)であり、\(x\)が無理数の場合には\(f\left( x\right) =1\)です。点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選びます。まずは\(a\in \mathbb{Q}\)の場合について考えます。\(f\)が\(a\)において右側連続であるためには、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in I:\left( 0\leq
x-a<\delta \Rightarrow \left\vert f\left( x\right) -f\left( a\right)
\right\vert <\varepsilon \right)
\end{equation*}が成り立つ必要がありますが、これは成り立ちません。実際、\(\varepsilon =\frac{1}{2}\)としたとき、任意の\(\delta >0\)に対して、無理数の稠密性より、\(0\leq x-a<\delta \)を満たす無理数\(x\)が必ず存在します。すると\(f\)の定義より、\begin{equation*}
\left\vert f\left( x\right) -f\left( a\right) \right\vert =\left\vert
1-0\right\vert =1\geq \frac{1}{2}=\varepsilon
\end{equation*}となるため、\(f\)は\(a\)において右側連続ではありません。\(\alpha \not\in \mathbb{Q}\)の場合には、有理数の稠密性を用いることにより、上と同様の議論により\(f\)が\(a\)において右側連続ではないことが示されます。また、同様の議論において\(f\)は\(a\)において左側連続でもありません。したがって、\(\mathbb{R} \)上の任意の点は第2種の不連続点です。

 

連続点でも不連続点でもない点

関数が点において連続もしくは不連続であるためには、関数がその点において定義されている必要があります。言い換えると、関数の定義域に含まれない点はいずれも、その関数の連続点と不連続点のどちらでもないということです。

例(連続点でも不連続点でもない点)
関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{equation*}
f\left( x\right) =\frac{1}{x}
\end{equation*}を定めるものとします。この関数\(f\)は点\(0\)において定義されていないため、\(f\)は点\(0\)において連続と不連続のどちらでもありません。したがって、\(a\)は不連続点でもありません。

次回から連続関数の性質について学びます。

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