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関数の連続点と不連続点

目次

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関数の連続点

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義域上の点\(a\in X\)において連続であるか検討するためには、そもそも\(f\)は点\(a\)の周辺の任意の点において定義されている必要があります。また、\(f\)が点\(a\)の周辺においては定義されていない場合でも、点\(a\)以上の周辺の任意の点において定義されていれば、\(f\)が点\(a\)において右側連続であるか検討できます。同様に、\(f\)が点\(a\)以下の周辺の任意の点において定義されていれば、\(f\)が点\(a\)において左側連続であるか検討できます。以上を踏まえた上で、関数の連続性を以下のように定義します。

  1. 関数\(f\)が定義域上の点\(a\)の周辺の任意の点において定義されている場合、\(f\)が点\(a\)において連続であることの意味を、\(f\)が点\(a\)において通常の意味において連続であることとして定義する。つまり、この場合、\(x\rightarrow a\)のときに\(f\)が有限な実数へ収束するとともに、そこでの極限が、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =f\left( a\right) \end{equation*}を満たす場合、\(f\)は点\(a\)において連続であると言う。点\(a\)が\(f\)の定義域の内点である場合などがこのケースに相当する。
  2. 関数\(f\)が定義域上の点\(a\)以上の周辺の任意の点において定義されている一方で点\(a\)より小さい周辺の任意の点においては定義されていない場合、\(f\)が点\(a\)において連続であることの意味を、\(f\)が点\(a\)において右側連続であることとして定義する。つまり、この場合、\(x\rightarrow a+\)のときに\(f\)が有限な実数へ右側収束するとともに、そこでの右側極限が、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a+}f\left( x\right) =f\left( a\right) \end{equation*}を満たす場合、\(f\)は点\(a\)において連続であると言う。\(f\)の定義域が閉区間であり、点\(a\)が左側の端点である場合などがこのケースに相当する。
  3. 関数\(f\)が定義域上の点\(a\)以下の周辺の任意の点において定義されている一方で点\(a\)より大きい周辺の任意の点においては定義されていない場合、\(f\)が点\(a\)において連続であることの意味を、\(f\)が点\(a\)において左側連続であることとして定義する。つまり、この場合、\(x\rightarrow a-\)のときに\(f\)が有限な実数へ左側収束するとともに、そこでの左側極限が、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a-}f\left( x\right) =f\left( a\right) \end{equation*}を満たす場合、\(f\)は点\(a\)において連続であると言う。\(f\)の定義域が閉区間であり、点\(a\)が右側の端点である場合などがこのケースに相当する。
  4. 関数\(f\)が定義域上の点\(a\)の周辺の任意の点において定義されていない場合、すなわち点\(a\)が関数\(f\)の定義域の孤立点である場合、\(f\)は点\(a\)において連続であるものとみなす。これはイプシロン・デルタ論法にもとづく関数の連続性が根拠になっている。

関数\(f\)が定義域上の点\(a\)において連続である場合、すなわち以上の4つのケースのいずれかに該当する場合、点\(a\)を関数\(f\)の連続点(continuous point)と呼びます。

例(開集合上に定義された関数の連続性)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)の定義域\(X\)が\(\mathbb{R} \)上の開集合である場合、定義域の点\(a\in X\)を任意に選ぶと、開集合の定義より\(a\)は\(X\)の内点であるため、\(f\)は点\(a\)の周辺の任意の点において定義されていることが保証されます。したがってこの場合、関数\(f\)が定義域\(X\)上で連続であることとは、\(f\)が\(X\)上の任意の点において通常の意味において連続であることを意味します。
例(有界な開区間上に定義された関数の連続性)
有界な開区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \supset \left( s,t\right) \rightarrow \mathbb{R} \)について考えます。有界な開区間\(\left( s,t\right) \)は\(\mathbb{R} \)上の開集合であるため、\(f\)が定義域\(\left( s,t\right) \)上で連続であることとは、\(f\)が\(\left( s,t\right) \)上の任意の点において通常の意味において連続であることを意味します。
例(無限開区間上に定義された関数の連続性)
無限開区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \supset (s,+\infty )\rightarrow \mathbb{R} \)について考えます。無限開区間\((s,+\infty )\)は\(\mathbb{R} \)上の開集合であるため、\(f\)が定義域\((s,+\infty )\)上で連続であることとは、\(f\)が\((s,+\infty )\)上の任意の点において通常の意味において連続であることを意味します。
例(全区間上に定義された関数の連続性)
全区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)について考えます。全区間\(\mathbb{R} \)は\(\mathbb{R} \)上の開集合であるため、\(f\)が定義域\(\mathbb{R} \)上で微分可能であることとは、\(f\)が\(\mathbb{R} \)上の任意の点において通常の意味において連続であることを意味します。
例(有界な閉区間上に定義された関数の連続性)
有界な開区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ s,t\right] \rightarrow \mathbb{R} \)について考えます。定義域\(\left[ s,t\right] \)の部分集合である有界な開区間\(\left( s,t\right) \)の任意の点は\(\left[ s,t\right] \)の内点であるため、\(\left( s,t\right) \)の点\(a\)を任意に選んだとき、\(f\)が\(a\)において通常の意味において連続であるか検討できます。一方、定義域\(\left[ s,t\right] \)の左側の端点\(s\)については、\(f\)が\(s\)において右側連続であるかの検討だけが可能であり、定義域\(\left[ s,t\right] \)の右側の端点\(t\)については、\(f\)が\(t\)において左側連続であるかの検討だけが可能です。以上を踏まえると、有界な閉区間\(\left[ s,t\right] \)上に定義された関数\(f\)が定義域\(\left[ s,t\right] \)上で微分可能であることとは、\(\left( s,t\right) \)上の任意の点において通常の意味において連続であるとともに、点\(s\)において右側連続であり、なおかつ点\(t\)において左側連続であることを意味します。
例(有界な半開区間上に定義された関数の連続性)
有界な半開区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \supset (s,t]\rightarrow \mathbb{R} \)について考えます。定義域\((s,t]\)の部分集合である有界な開区間\(\left( s,t\right) \)の任意の点は\((s,t]\)の内点であるため、\(\left( s,t\right) \)の点\(a\)を任意に選んだとき、\(f\)が\(a\)において通常の意味において連続であるか検討できます。一方、定義域\((s,t]\)の右側の端点\(t\)については、\(f\)が\(t\)において左側連続であるかの検討だけが可能です。以上を踏まえると、有界な半開区間\((s,t]\)上に定義された関数\(f\)が定義域\((s,t]\)上で連続であることとは、\(\left( s,t\right) \)上の任意の点において通常の意味において連続であるとともに、点\(t\)における左側連続であることを意味します。
例(無限閉区間上に定義された関数の連続性)
無限閉区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \supset \lbrack s,+\infty )\rightarrow \mathbb{R} \)について考えます。定義域\([s,+\infty )\)の部分集合である無限開区間\((s,+\infty )\)の任意の点は\([s,+\infty )\)の内点であるため、\((s,+\infty )\)の点\(a\)を任意に選んだとき、\(f\)が\(a\)において通常の意味において連続であるか検討できます。一方、定義域\([s,+\infty )\)の左側の端点\(s\)については、\(f\)が\(s\)において右側連続であるかの検討だけが可能です。以上を踏まえると、無限閉区間\([s,+\infty )\)上に定義された関数\(f\)が定義域\([s,+\infty )\)上で連続であることとは、\((s,+\infty )\)上の任意の点において通常の意味において連続であるとともに、点\(s\)において右側連続であることを意味します。

 

関数の第1種の不連続点

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義域上の点\(a\in X\)において連続ではない場合、点\(a\)を関数\(f\)の不連続点(discontinuous point)と呼びます。関数\(f\)が定義域上の点\(a\)の周辺の任意の点において定義されている場合、片側連続性と連続性の関係を踏まえると、\(f\)が点\(a\)において連続であることは以下の3つの条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \lim\limits_{x\rightarrow a+}f(x)\in \mathbb{R} \\
&&\left( b\right) \ \lim\limits_{x\rightarrow a-}f(x)\in \mathbb{R} \\
&&\left( c\right) \ \lim\limits_{x\rightarrow
a+}f(x)=\lim\limits_{x\rightarrow a-}f(x)=f\left( \alpha \right)
\end{eqnarray*}がすべて成り立つこととして表現できます。したがって、\(f\)が定義域上の点\(a\)の周辺の任意の点において定義されている場合、点\(a\)が不連続点であることとは以上の3つの条件の中の少なくとも1つが成り立たないことを意味します。特に、\(\left( a\right) \)と\(\left( b\right) \)が成り立つ一方で\(\left(c\right) \)が成り立たない場合、このような不連続点\(a\)を第1種の不連続点(discontinuous point of the first kind)と呼びます。第1種の不連続点はさらに以下の2種類に分類可能です。

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)の定義域上の点\(a\in X\)が第1種の不連続点であるとともに、右側極限\(\lim\limits_{x\rightarrow a+}f(x)\)と左側極限\(\lim\limits_{x\rightarrow a-}f(x)\)が一致する場合、すなわち、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \lim\limits_{x\rightarrow a+}f(x)\in \mathbb{R} \\
&&\left( b\right) \ \lim\limits_{x\rightarrow a-}f(x)\in \mathbb{R} \\
&&\left( c\right) \ \lim\limits_{x\rightarrow
a+}f(x)=\lim\limits_{x\rightarrow a-}f(x)\not=f\left( \alpha \right)
\end{eqnarray*}が成り立つ場合、このような点\(a\)を除去可能な不連続点(removablediscontinuous point)と呼びます。

例(除去可能な不連続点)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
x+1 & \left( if\ x\not=2\right) \\
4 & \left( if\ x=2\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は定義域上の点\(2\)の周辺の任意の点において定義されているとともに、そこでの左右の片側極限は、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow 2+}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow 2+}\left(
x+1\right) =3 \\
\lim_{x\rightarrow 2-}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow 2-}\left(
x+1\right) =3
\end{eqnarray*}となり両者は一致する一方で、これらは\(f\left( 2\right) =4\)とは一致しないため、点\(2\)は除去可能な不連続点であるような第1種の不連続点です。

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)の定義域上の点\(a\in X\)が第1種の不連続点であるとともに、右側極限\(\lim\limits_{x\rightarrow a+}f(x)\)と左側極限\(\lim\limits_{x\rightarrow a-}f(x)\)が一致しない場合、すなわち、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \lim\limits_{x\rightarrow a+}f(x)\in \mathbb{R} \\
&&\left( b\right) \ \lim\limits_{x\rightarrow a-}f(x)\in \mathbb{R} \\
&&\left( c\right) \ \lim\limits_{x\rightarrow
a+}f(x)\not=\lim\limits_{x\rightarrow a-}f(x)
\end{eqnarray*}が成り立つ場合、このような点\(a\)を跳躍不連続点(jump discontinuous point)と呼びます。

例(跳躍不連続点)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
x+1 & \left( if\ x<2\right) \\
4 & \left( if\ x=2\right) \\
x+3 & \left( if\ x>2\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は定義域上の点\(2\)の周辺の任意の点において定義されているとともに、そこでの左右の片側極限は、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow 2+}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow 2+}\left(
x+3\right) =5 \\
\lim_{x\rightarrow 2-}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow 2-}\left(
x+1\right) =3
\end{eqnarray*}となり両者は一致しないため、点\(2\)は跳躍不連続点であるような第1種の不連続点です。

 

関数の第2種の不連続点

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義域上の点\(a\in X\)の周辺の任意の点において定義されている一方で、右側極限\(\lim\limits_{x\rightarrow a+}f(x)\)と左側極限\(\lim\limits_{x\rightarrow a-}f(x)\)の少なくとも一方が有限な実数として定まらない場合、このような不連続点\(a\)を第2種の不連続点(discontinuous point of the second kind)と呼びます。

例(第2種の不連続点)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
0 & \left( if\ x\in \mathbb{Q} \right) \\
1 & \left( if\ x\in \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q} \right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選びます。まずは\(a\in \mathbb{Q} \)の場合について考えます。\(f\)が\(a\)において右側連続であるためには、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in I:\left( 0\leq
x-a<\delta \Rightarrow \left\vert f\left( x\right) -f\left( a\right)
\right\vert <\varepsilon \right)
\end{equation*}が成り立つ必要がありますが、これは成り立ちません。実際、\(\varepsilon =\frac{1}{2}\)としたとき、任意の\(\delta >0\)に対して、無理数の稠密性より、\(0\leq x-a<\delta \)を満たす無理数\(x\)が必ず存在します。すると\(f\)の定義より、\begin{equation*}\left\vert f\left( x\right) -f\left( a\right) \right\vert =\left\vert
1-0\right\vert =1\geq \frac{1}{2}=\varepsilon
\end{equation*}となるため、\(f\)は\(a\)において右側連続ではありません。\(\alpha \not\in \mathbb{Q} \)の場合には、有理数の稠密性を用いることにより、上と同様の議論により\(f\)が\(a\)において右側連続ではないことが示されます。また、同様の議論において\(f\)は\(a\)において左側連続でもありません。したがって、\(\mathbb{R} \)上の任意の点は第2種の不連続点です。

 

連続点でも不連続点でもない点

関数が点において連続もしくは不連続であるためには、関数がその点において定義されている必要があります。言い換えると、関数の定義域に含まれない点はいずれも、その関数の連続点と不連続点のどちらでもないということです。

例(連続点でも不連続点でもない点)
関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{1}{x}
\end{equation*}を定めるものとします。この関数\(f\)は点\(0\)において定義されていないため、\(f\)は点\(0\)において連続と不連続のどちらでもありません。したがって、\(a\)は不連続点でもありません。

 

演習問題

問題(関数の連続点・不連続点)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\vert x\right\vert
\end{equation*}を定めるものとします。\(\mathbb{R} \)上の点を\(f\)の連続性の観点から分類してください。
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問題(関数の連続点・不連続点)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
1-x^{2} & \left( if\ x<0\right) \\
x+2 & \left( if\ x\geq 0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。\(\mathbb{R} \)上の点を\(f\)の連続性の観点から分類してください。
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問題(関数の連続点・不連続点)
関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ -\frac{5}{2}\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{\left\vert 2x+5\right\vert }{2x+5}
\end{equation*}を定めるものとします。\(\mathbb{R} \)上の点を\(f\)の連続性の観点から分類してください。
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問題(関数の連続性)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義域上の点\(a\in X\)において連続であることをイプシロン・デルタ論法を用いて定義すると、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left(
|x-a|<\delta \Rightarrow \left\vert f\left( x\right) -f\left( a\right)
\right\vert <\varepsilon \right)
\end{equation*}となります。点\(a\in X\)が\(X\)の孤立点である場合、上の定義のもとでは、\(f\)は\(a\)において連続であることを証明してください。
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