関数の不連続点

関数が点において連続ではないとき、その点を不連続点と呼びます。不連続点には第1種の不連続点と第2種の不連続点の2種類があります。また、関数が点において定義されていないとき、その点は連続点と不連続点のどちらでもありません。
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不連続点

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R}\)が定義域上の点\(\alpha \in X\)において連続であることとは、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \lim\limits_{x\rightarrow \alpha }f(x)\in \mathbb{R} \\
&&\left( b\right) \ \lim\limits_{x\rightarrow \alpha }f(x)=f(\alpha )
\end{eqnarray*}がともに成り立つことを意味します。逆に、上の 2 つの条件のうちの少なくとも一方が成り立たない場合には、点\(\alpha \)を不連続点(discontinuous point)と呼びます。

片側連続性と連続性の関係を踏まえると、関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R}\)が点\(\alpha \in X\)において連続であることは、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \lim\limits_{x\rightarrow \alpha +}f(x)\in \mathbb{R} \\
&&\left( b\right) \ \lim\limits_{x\rightarrow \alpha -}f(x)\in \mathbb{R} \\
&&\left( c\right) \ \lim\limits_{x\rightarrow \alpha +}f(x)=\lim\limits_{x\rightarrow \alpha -}f(x)=f\left( \alpha \right)
\end{eqnarray*}がすべて成り立つこととしても表現可能です。逆に点\(\alpha \)が不連続点であることは、上の3 つの条件のうちの少なくとも 1 つが成り立たないこととして表現可能です。以降では、これら 3 つの条件のうちのどれが成り立たないかによって不連続点を分類します。

 

第1種の不連続点

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R}\)が点\(\alpha \in X\)において右側極限\(\lim\limits_{x\rightarrow \alpha +}f(x)\in \mathbb{R}\)と左側極限\(\lim\limits_{x\rightarrow \alpha -}f(x)\in \mathbb{R}\)をともに持つが、それらが一致しない場合には\(\alpha \)は不連続点です。このような不連続点を第1種の不連続点(discontinuous point of the first kind)と呼びます。

例(第1種の不連続点)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\)が、\begin{equation*}
f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
x+1 & \left( if\ x<2\right) \\
4 & \left( if\ x=2\right) \\
x+3 & \left( if\ x>2\right)\end{array}\right.
\end{equation*}と定義されるものとします。点\(2\in \mathbb{R}\)における左右の片側極限は、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow 2+}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow 2+}\left( x+3\right) =5 \\
\lim_{x\rightarrow 2-}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow 2-}\left( x+1\right) =3
\end{eqnarray*}となりますが、これらは一致しないため、点\(2\)は第1種の不連続点です。

 

第2種の不連続点

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R}\)が点\(\alpha \in X\)において右側極限\(\lim\limits_{x\rightarrow \alpha +}f(x)\in \mathbb{R}\)と左側極限\(\lim\limits_{x\rightarrow \alpha -}f(x)\in \mathbb{R}\)の少なくとも一方を持たない場合には、\(\alpha \)は不連続点です。このような不連続点を第2種の不連続点(discontinuous point of the second kind)と呼びます。

例(第2種の不連続点)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\)が、\begin{equation*}
f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
0 & \left( if\ x\in \mathbb{Q} \right) \\
1 & \left( if\ x\not\in \mathbb{Q} \right)\end{array}\right.
\end{equation*}と定義されるものとします。つまり、実数\(x\in \mathbb{R}\)が有理数の場合には\(f\left( x\right) =0\)であり、実数\(x\)が無理数の場合には\(f\left( x\right) =1\)となる関数です。点\(\alpha \in \mathbb{R}\)を任意に選びます。まずは\(\alpha \in \mathbb{Q}\)の場合について考えます。\(f\)が\(\alpha \)において右側連続であるためには、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in I:\left( 0\leq x-\alpha <\delta \ \Rightarrow \ \left\vert f\left( x\right) -f\left( \alpha \right) \right\vert <\varepsilon \right)
\end{equation*}が成り立つ必要がありますが、以降ではこれが成り立たないことを示します。具体的には\(\varepsilon =\frac{1}{2}\)としたとき、任意の\(\delta >0\)に対して、無理数の稠密性より、\(0\leq x-\alpha <\delta \)を満たす無理数\(x\)が必ず存在します。すると\(f\)の定義より、\begin{equation*}
\left\vert f\left( x\right) -f\left( \alpha \right) \right\vert =\left\vert 1-0\right\vert =1\geq \frac{1}{2}=\varepsilon
\end{equation*}となるため、\(f\)は\(\alpha \)において右側連続ではありません。\(\alpha \not\in \mathbb{Q}\)の場合には、有理数の稠密性を用いることにより、上と同様の議論により\(f\)が\(\alpha \)において右側連続ではないことが示されます。また、同様の議論において\(f\)は\(\alpha \)において左側連続でもありません。したがって、任意の点\(\alpha \)は第2種の不連続点です。

 

連続点でも不連続点でもない点

関数が点において連続もしくは不連続であるためには、その点が関数の定義域に含まれている必要があります。言い換えると、関数の定義域に含まれない点はいずれも、その関数の連続点と不連続点のどちらでもないということです。

例(連続点でも不連続点でもない点)
\(x\)を実数とするとき、\begin{equation*}
f\left( x\right) =\frac{1}{x}
\end{equation*}と定義される関数の定義域は点\(0\)を含みません。したがって、この関数\(f:\mathbb{R} \backslash \{0\}\rightarrow \mathbb{R}\)は点\(0\)において連続でも不連続でもありません。

次回から連続関数の性質について学びます。
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