関数の右側上極限
実数空間\(\mathbb{R} \)もしくはその部分集合\(X\)を定義域とし、実数値をとる1変数関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が与えられているものとします。点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選びます。\(f\)は点\(a\)において定義されている必要はありませんが、点\(a\)より大きい周辺の任意の点において定義されているものとします。加えて、\(f\)は点\(a\)以上の周辺において局所有界であるものとします。つまり、以下の集合\begin{eqnarray*}f\left( \left[ a,a+\varepsilon \right) \cap X\right) &=&\left\{ f\left(
x\right) \in X\ |\ x\in \left[ a,a+\varepsilon \right) \right\} \\
&=&\left\{ f\left( x\right) \in X\ |\ 0\leq x-a<\varepsilon \right\}
\end{eqnarray*}が有界になるような正の実数\(\varepsilon >0\)が存在するということです。
関数\(f\)は点\(a\)より大きい周辺の任意の点において定義されているため、\(0<\delta <\varepsilon \)を満たす\(\delta >0\)を任意に選べば、\(f\)が集合\(\left( a,a+\delta \right) \cap X\)上の点に対して定める値からなる集合\begin{eqnarray*}f\left( \left( a,a+\delta \right) \cap X\right) &=&\left\{ f\left( x\right)
\in X\ |\ x\in \left( a,a+\delta \right) \right\} \\
&=&\left\{ f\left( x\right) \in X\ |\ 0<x-a<\delta \right\}
\end{eqnarray*}が得られます。この集合は点\(a\)以上の周辺において局所有界であるため、その上限\begin{equation*}S\left( \delta \right) =\sup f\left( \left( a,a+\delta \right) \cap X\right)
\end{equation*}が1つの実数として定まることが保証されます。
\(0<\delta <\varepsilon \)を満たすそれぞれの\(\delta \)に対して先の上限\(S\left( \delta \right) \)を特定することにより、それぞれの\(\delta \in \left( 0,\varepsilon \right) \)に対して、\begin{equation*}S\left( \delta \right) =\sup f\left( \left( a,a+\delta \right) \cap X\right)
\end{equation*}を値として定める関数\begin{equation*}
S:\mathbb{R} \supset \left( 0,\varepsilon \right) \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が得られます。\(\delta \)を\(0\)へ近づけるほど集合\(\left( a,a+\delta \right) \cap X\)は小さくなるため集合\(f\left( \left( a,a+\delta \right)\cap X\right) \)も小さくなっていき、それに応じて\(\sup f\left( \left( a,a+\delta \right) \cap X\right) \)すなわち\(S\left( \delta \right) \)の値もまた小さくなっていきます。そこで、この関数\(S\)の\(\delta \rightarrow 0+\)の場合の右側極限\begin{equation*}\lim_{\delta \rightarrow 0+}S\left( \delta \right) =\lim_{\delta \rightarrow
0+}\sup f\left( \left( a,a+\delta \right) \cap X\right)
\end{equation*}をとり、これをもとの関数\(f\)の\(x\rightarrow a+\)の場合の右側上極限（right-hand limit superior）と呼び、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow a+}\sup f\left( x\right) &=&\lim_{\delta \rightarrow
0+}S\left( \delta \right) \\
&=&\lim_{\delta \rightarrow 0+}\sup f\left( \left( a,a+\delta \right) \cap
X\right)
\end{eqnarray*}で表記します。
\end{equation*}が1つの実数として定まる。
\end{equation*}を定めるものとします。点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選びます。\(f\)は点\(a\)以上の周辺で局所有界です。十分小さい\(\delta >0\)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}S\left( \delta \right) &=&\sup f\left( \left( a,a+\delta \right) \right) \\
&=&\sup \left\{ f\left( x\right) \in \mathbb{R} \ |\ x\in \left( a,a+\delta \right) \right\} \\
&=&\sup \left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ x\in \left( a,a+\delta \right) \right\} \\
&=&\sup \left( a,a+\delta \right) \\
&=&a+\delta
\end{eqnarray*}となるため、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow a+}\sup f\left( x\right) &=&\lim_{\delta \rightarrow
0+}S\left( \delta \right) \\
&=&\lim_{\delta \rightarrow 0+}\left( a+\delta \right) \\
&=&a
\end{eqnarray*}となります。
\end{equation*}を定めるものとします。点\(0\)に注目します。\(f\)は点\(0\)以上の周辺で局所有界です。十分小さい\(\delta >0\)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}S\left( \delta \right) &=&\sup f\left( \left( 0,\delta \right) \right) \\
&=&\sup \left\{ f\left( x\right) \in \mathbb{R} \ |\ x\in \left( 0,\delta \right) \right\} \\
&=&\sup \left\{ \sqrt{x}\in \mathbb{R} \ |\ x\in \left( 0,\delta \right) \right\} \\
&=&\sup \left( 0,\sqrt{\delta }\right) \\
&=&\sqrt{\delta }
\end{eqnarray*}となるため、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow a+}\sup f\left( x\right) &=&\lim_{\delta \rightarrow
0+}S\left( \delta \right) \\
&=&\lim_{\delta \rightarrow 0+}\sqrt{\delta } \\
&=&\sqrt{0} \\
&=&0
\end{eqnarray*}となります。
\begin{array}{cc}
0 & \left( if\ x\leq 0\right) \\
1 & \left( if\ x>0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。点\(0\)に注目します。\(f\)は点\(0\)以上の周辺で局所有界です。十分小さい\(\delta >0\)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}S\left( \delta \right) &=&\sup f\left( \left( 0,\delta \right) \right) \\
&=&\sup \left\{ f\left( x\right) \in \mathbb{R} \ |\ x\in \left( 0,\delta \right) \right\} \\
&=&\sup \left\{ 1\right\} \\
&=&1
\end{eqnarray*}となるため、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow 0+}\sup f\left( x\right) &=&\lim_{\delta \rightarrow
0+}S\left( \delta \right) \\
&=&\lim_{\delta \rightarrow 0+}1 \\
&=&1
\end{eqnarray*}となります。
関数の左側上極限
実数空間\(\mathbb{R} \)もしくはその部分集合\(X\)を定義域とし、実数値をとる1変数関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が与えられているものとします。点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選びます。\(f\)は点\(a\)において定義されている必要はありませんが、点\(a\)より小さい周辺の任意の点において定義されているものとします。加えて、\(f\)は点\(a\)以下の周辺において局所有界であるものとします。つまり、以下の集合\begin{eqnarray*}f\left( \left( a-\varepsilon ,a\right] \cap X\right) &=&\left\{ f\left(
x\right) \in X\ |\ x\in \left( a-\varepsilon ,a\right] \right\} \\
&=&\left\{ f\left( x\right) \in X\ |\ -\varepsilon <x-a\leq 0\right\}
\end{eqnarray*}が有界になるような正の実数\(\varepsilon >0\)が存在するということです。
関数\(f\)は点\(a\)より小さい周辺の任意の点において定義されているため、\(0<\delta <\varepsilon \)を満たす\(\delta >0\)を任意に選べば、\(f\)が集合\(\left( a-\delta ,a\right) \cap X\)上の点に対して定める値からなる集合\begin{eqnarray*}f\left( \left( a-\delta ,a\right) \cap X\right) &=&\left\{ f\left( x\right)
\in X\ |\ x\in \left( a-\delta ,a\right) \right\} \\
&=&\left\{ f\left( x\right) \in X\ |\ -\varepsilon <x-a<0\right\}
\end{eqnarray*}が得られます。この集合は点\(a\)以下の周辺において局所有界であるため、その上限\begin{equation*}S\left( \delta \right) =\sup f\left( \left( a-\delta ,a\right) \cap X\right)
\end{equation*}が1つの実数として定まることが保証されます。
\(0<\delta <\varepsilon \)を満たすそれぞれの\(\delta \)に対して先の上限\(S\left( \delta \right) \)を特定することにより、それぞれの\(\delta \in \left( 0,\varepsilon \right) \)に対して、\begin{equation*}S\left( \delta \right) =\sup f\left( \left( a-\delta ,a\right) \cap X\right)
\end{equation*}を値として定める関数\begin{equation*}
S:\mathbb{R} \supset \left( 0,\varepsilon \right) \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が得られます。\(\delta \)を\(0\)へ近づけるほど集合\(\left( a,a+\delta \right) \cap X\)は小さくなるため集合\(f\left( \left( a-\delta ,a\right)\cap X\right) \)も小さくなっていき、それに応じて\(\sup f\left( \left( a-\delta ,a\right) \cap X\right) \)すなわち\(S\left( \delta \right) \)の値もまた小さくなっていきます。そこで、この関数\(S\)の\(\delta \rightarrow 0+\)の場合の右側極限\begin{equation*}\lim_{\delta \rightarrow 0+}S\left( \delta \right) =\lim_{\delta \rightarrow
0+}\sup f\left( \left( a-\delta ,a\right) \cap X\right)
\end{equation*}をとり、これをもとの関数\(f\)の\(x\rightarrow a-\)の場合の左側上極限（left-hand limit superior）と呼び、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow a-}\sup f\left( x\right) &=&\lim_{\delta \rightarrow
0+}S\left( \delta \right) \\
&=&\lim_{\delta \rightarrow 0+}\sup f\left( \left( a-\delta ,a\right) \cap
X\right)
\end{eqnarray*}で表記します。
\end{equation*}が1つの実数として定まる。
\end{equation*}を定めるものとします。点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選びます。\(f\)は点\(a\)以下の周辺で局所有界です。十分小さい\(\delta >0\)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}S\left( \delta \right) &=&\sup f\left( \left( a-\delta ,a\right) \right) \\
&=&\sup \left\{ f\left( x\right) \in \mathbb{R} \ |\ x\in \left( a-\delta ,a\right) \right\} \\
&=&\sup \left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ x\in \left( a-\delta ,a\right) \right\} \\
&=&\sup \left( a-\delta ,a\right) \\
&=&a
\end{eqnarray*}となるため、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow a-}\sup f\left( x\right) &=&\lim_{\delta \rightarrow
0+}S\left( \delta \right) \\
&=&\lim_{\delta \rightarrow 0+}a \\
&=&a
\end{eqnarray*}となります。
\end{equation*}を定めるものとします。点\(0\)に注目します。\(f\)は点\(0\)以下の周辺で局所有界です。十分小さい\(\delta >0\)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}S\left( \delta \right) &=&\sup f\left( \left( -\delta ,0\right) \right) \\
&=&\sup \left\{ f\left( x\right) \in \mathbb{R} \ |\ x\in \left( -\delta ,0\right) \right\} \\
&=&\sup \left\{ \sqrt{-x}\in \mathbb{R} \ |\ x\in \left( -\delta ,0\right) \right\} \\
&=&\sup \left( 0,\sqrt{\delta }\right) \\
&=&\sqrt{\delta }
\end{eqnarray*}となるため、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow a-}\sup f\left( x\right) &=&\lim_{\delta \rightarrow
0+}S\left( \delta \right) \\
&=&\lim_{\delta \rightarrow 0+}\sqrt{\delta } \\
&=&\sqrt{0} \\
&=&0
\end{eqnarray*}となります。
\begin{array}{cc}
0 & \left( if\ x\leq 0\right) \\
1 & \left( if\ x>0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。点\(0\)に注目します。\(f\)は点\(0\)以下の周辺で局所有界です。十分小さい\(\delta >0\)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}S\left( \delta \right) &=&\sup f\left( \left( -\delta ,0\right) \right) \\
&=&\sup \left\{ f\left( x\right) \in \mathbb{R} \ |\ x\in \left( -\delta ,0\right) \right\} \\
&=&\sup \left\{ 0\right\} \\
&=&0
\end{eqnarray*}となるため、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow 0-}\sup f\left( x\right) &=&\lim_{\delta \rightarrow
0+}S\left( \delta \right) \\
&=&\lim_{\delta \rightarrow 0+}0 \\
&=&0
\end{eqnarray*}となります。
関数の右側下極限
実数空間\(\mathbb{R} \)もしくはその部分集合\(X\)を定義域とし、実数値をとる1変数関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が与えられているものとします。点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選びます。\(f\)は点\(a\)において定義されている必要はありませんが、点\(a\)より大きい周辺の任意の点において定義されているものとします。加えて、\(f\)は点\(a\)以上の周辺において局所有界であるものとします。つまり、以下の集合\begin{eqnarray*}f\left( \left[ a,a+\varepsilon \right) \cap X\right) &=&\left\{ f\left(
x\right) \in X\ |\ x\in \left[ a,a+\varepsilon \right) \right\} \\
&=&\left\{ f\left( x\right) \in X\ |\ 0\leq x-a<\varepsilon \right\}
\end{eqnarray*}が有界になるような正の実数\(\varepsilon >0\)が存在するということです。
関数\(f\)は点\(a\)より大きい周辺の任意の点において定義されているため、\(0<\delta <\varepsilon \)を満たす\(\delta >0\)を任意に選べば、\(f\)が集合\(\left( a,a+\delta \right) \cap X\)上の点に対して定める値からなる集合\begin{eqnarray*}f\left( \left( a,a+\delta \right) \cap X\right) &=&\left\{ f\left( x\right)
\in X\ |\ x\in \left( a,a+\delta \right) \right\} \\
&=&\left\{ f\left( x\right) \in X\ |\ 0<x-a<\delta \right\}
\end{eqnarray*}が得られます。この集合は点\(a\)以上の周辺において局所有界であるため、その下限\begin{equation*}s\left( \delta \right) =\inf f\left( \left( a,a+\delta \right) \cap X\right)
\end{equation*}が1つの実数として定まることが保証されます。
\(0<\delta <\varepsilon \)を満たすそれぞれの\(\delta \)に対して先の上限\(S\left( \delta \right) \)を特定することにより、それぞれの\(\delta \in \left( 0,\varepsilon \right) \)に対して、\begin{equation*}s\left( \delta \right) =\inf f\left( \left( a,a+\delta \right) \cap X\right)
\end{equation*}を値として定める関数\begin{equation*}
s:\mathbb{R} \supset \left( 0,\varepsilon \right) \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が得られます。\(\delta \)を\(0\)へ近づけるほど集合\(\left( a,a+\delta \right) \cap X\)は小さくなるため集合\(f\left( \left( a,a+\delta \right)\cap X\right) \)も小さくなっていき、それに応じて\(\inf f\left( \left( a,a+\delta \right) \cap X\right) \)すなわち\(s\left( \delta \right) \)の値は大きくなっていきます。そこで、この関数\(s\)の\(\delta \rightarrow 0+\)の場合の右側極限\begin{equation*}\lim_{\delta \rightarrow 0+}s\left( \delta \right) =\lim_{\delta \rightarrow
0+}\inf f\left( \left( a,a+\delta \right) \cap X\right)
\end{equation*}をとり、これをもとの関数\(f\)の\(x\rightarrow a+\)の場合の右側下極限（right-hand limit inferior）と呼び、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow a+}\inf f\left( x\right) &=&\lim_{\delta \rightarrow
0+}s\left( \delta \right) \\
&=&\lim_{\delta \rightarrow 0+}\inf f\left( \left( a,a+\delta \right) \cap
X\right)
\end{eqnarray*}で表記します。
\end{equation*}が1つの実数として定まる。
\end{equation*}を定めるものとします。点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選びます。\(f\)は点\(a\)以上の周辺で局所有界です。十分小さい\(\delta >0\)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}s\left( \delta \right) &=&\inf f\left( \left( a,a+\delta \right) \right) \\
&=&\inf \left\{ f\left( x\right) \in \mathbb{R} \ |\ x\in \left( a,a+\delta \right) \right\} \\
&=&\inf \left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ x\in \left( a,a+\delta \right) \right\} \\
&=&\inf \left( a,a+\delta \right) \\
&=&a
\end{eqnarray*}となるため、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow a+}\inf f\left( x\right) &=&\lim_{\delta \rightarrow
0+}s\left( \delta \right) \\
&=&\lim_{\delta \rightarrow 0+}a \\
&=&a
\end{eqnarray*}となります。
\end{equation*}を定めるものとします。点\(0\)に注目します。\(f\)は点\(0\)以上の周辺で局所有界です。十分小さい\(\delta >0\)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}S\left( \delta \right) &=&\inf f\left( \left( 0,\delta \right) \right) \\
&=&\inf \left\{ f\left( x\right) \in \mathbb{R} \ |\ x\in \left( 0,\delta \right) \right\} \\
&=&\inf \left\{ \sqrt{x}\in \mathbb{R} \ |\ x\in \left( 0,\delta \right) \right\} \\
&=&\inf \left( 0,\sqrt{\delta }\right) \\
&=&0
\end{eqnarray*}となるため、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow a+}\inf f\left( x\right) &=&\lim_{\delta \rightarrow
0+}s\left( \delta \right) \\
&=&\lim_{\delta \rightarrow 0+}0 \\
&=&0
\end{eqnarray*}となります。
\begin{array}{cc}
0 & \left( if\ x\leq 0\right) \\
1 & \left( if\ x>0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。点\(0\)に注目します。\(f\)は点\(0\)以上の周辺で局所有界です。十分小さい\(\delta >0\)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}s\left( \delta \right) &=&\inf f\left( \left( 0,\delta \right) \right) \\
&=&\inf \left\{ f\left( x\right) \in \mathbb{R} \ |\ x\in \left( 0,\delta \right) \right\} \\
&=&\inf \left\{ 1\right\} \\
&=&1
\end{eqnarray*}となるため、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow 0+}\inf f\left( x\right) &=&\lim_{\delta \rightarrow
0+}s\left( \delta \right) \\
&=&\lim_{\delta \rightarrow 0+}1 \\
&=&1
\end{eqnarray*}となります。
関数の左側下極限
実数空間\(\mathbb{R} \)もしくはその部分集合\(X\)を定義域とし、実数値をとる1変数関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が与えられているものとします。点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選びます。\(f\)は点\(a\)において定義されている必要はありませんが、点\(a\)より小さい周辺の任意の点において定義されているものとします。加えて、\(f\)は点\(a\)以下の周辺において局所有界であるものとします。つまり、以下の集合\begin{eqnarray*}f\left( \left( a-\varepsilon ,a\right] \cap X\right) &=&\left\{ f\left(
x\right) \in X\ |\ x\in \left( a-\varepsilon ,a\right] \right\} \\
&=&\left\{ f\left( x\right) \in X\ |\ -\varepsilon <x-a\leq 0\right\}
\end{eqnarray*}が有界になるような正の実数\(\varepsilon >0\)が存在するということです。
関数\(f\)は点\(a\)より小さい周辺の任意の点において定義されているため、\(0<\delta <\varepsilon \)を満たす\(\delta >0\)を任意に選べば、\(f\)が集合\(\left( a-\delta ,a\right) \cap X\)上の点に対して定める値からなる集合\begin{eqnarray*}f\left( \left( a-\delta ,a\right) \cap X\right) &=&\left\{ f\left( x\right)
\in X\ |\ x\in \left( a-\delta ,a\right) \right\} \\
&=&\left\{ f\left( x\right) \in X\ |\ -\varepsilon <x-a<0\right\}
\end{eqnarray*}が得られます。この集合は点\(a\)以下の周辺において局所有界であるため、その下限\begin{equation*}s\left( \delta \right) =\inf f\left( \left( a-\delta ,a\right) \cap X\right)
\end{equation*}が1つの実数として定まることが保証されます。
\(0<\delta <\varepsilon \)を満たすそれぞれの\(\delta \)に対して先の下限\(s\left( \delta \right) \)を特定することにより、それぞれの\(\delta \in \left( 0,\varepsilon \right) \)に対して、\begin{equation*}s\left( \delta \right) =\inf f\left( \left( a-\delta ,a\right) \cap X\right)
\end{equation*}を値として定める関数\begin{equation*}
S:\mathbb{R} \supset \left( 0,\varepsilon \right) \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が得られます。\(\delta \)を\(0\)へ近づけるほど集合\(\left( a,a+\delta \right) \cap X\)は小さくなるため集合\(f\left( \left( a-\delta ,a\right)\cap X\right) \)も小さくなっていき、それに応じて\(\inf f\left( \left( a-\delta ,a\right) \cap X\right) \)すなわち\(s\left( \delta \right) \)の値は大きくなっていきます。そこで、この関数\(s\)の\(\delta \rightarrow 0-\)の場合の左側極限\begin{equation*}\lim_{\delta \rightarrow 0+}s\left( \delta \right) =\lim_{\delta \rightarrow
0+}\inf f\left( \left( a-\delta ,a\right) \cap X\right)
\end{equation*}をとり、これをもとの関数\(f\)の\(x\rightarrow a-\)の場合の左側下極限（left-hand limit inferior）と呼び、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow a-}\inf f\left( x\right) &=&\lim_{\delta \rightarrow
0+}s\left( \delta \right) \\
&=&\lim_{\delta \rightarrow 0+}\inf f\left( \left( a-\delta ,a\right) \cap
X\right)
\end{eqnarray*}で表記します。
\end{equation*}が1つの実数として定まる。
\end{equation*}を定めるものとします。点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選びます。\(f\)は点\(a\)以下の周辺で局所有界です。十分小さい\(\delta >0\)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}s\left( \delta \right) &=&\inf f\left( \left( a-\delta ,a\right) \right) \\
&=&\inf \left\{ f\left( x\right) \in \mathbb{R} \ |\ x\in \left( a-\delta ,a\right) \right\} \\
&=&\inf \left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ x\in \left( a-\delta ,a\right) \right\} \\
&=&\inf \left( a-\delta ,a\right) \\
&=&a-\delta
\end{eqnarray*}となるため、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow a-}\inf f\left( x\right) &=&\lim_{\delta \rightarrow
0+}s\left( \delta \right) \\
&=&\lim_{\delta \rightarrow 0+}\left( a-\delta \right) \\
&=&a
\end{eqnarray*}となります。
\end{equation*}を定めるものとします。点\(0\)に注目します。\(f\)は点\(0\)以下の周辺で局所有界です。十分小さい\(\delta >0\)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}s\left( \delta \right) &=&\inf f\left( \left( -\delta ,0\right) \right) \\
&=&\inf \left\{ f\left( x\right) \in \mathbb{R} \ |\ x\in \left( -\delta ,0\right) \right\} \\
&=&\inf \left\{ \sqrt{-x}\in \mathbb{R} \ |\ x\in \left( -\delta ,0\right) \right\} \\
&=&\inf \left( 0,\sqrt{\delta }\right) \\
&=&0
\end{eqnarray*}となるため、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow a-}\inf f\left( x\right) &=&\lim_{\delta \rightarrow
0+}s\left( \delta \right) \\
&=&\lim_{\delta \rightarrow 0+}0 \\
&=&0
\end{eqnarray*}となります。
\begin{array}{cc}
0 & \left( if\ x\leq 0\right) \\
1 & \left( if\ x>0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。点\(0\)に注目します。\(f\)は点\(0\)以下の周辺で局所有界です。十分小さい\(\delta >0\)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}s\left( \delta \right) &=&\inf f\left( \left( -\delta ,0\right) \right) \\
&=&\inf \left\{ f\left( x\right) \in \mathbb{R} \ |\ x\in \left( -\delta ,0\right) \right\} \\
&=&\inf \left\{ 0\right\} \\
&=&0
\end{eqnarray*}となるため、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow 0-}\inf f\left( x\right) &=&\lim_{\delta \rightarrow
0+}s\left( \delta \right) \\
&=&\lim_{\delta \rightarrow 0+}0 \\
&=&0
\end{eqnarray*}となります。
関数の片側上極限や片側下極限は有限な実数として定まるとは限らない
関数の片側上極限や片側下極限は有限な実数として定まるとは限りません。以下の例より明らかです。
\end{equation*}を定めるものとします。点\(0\)に注目します。\(0\)は\(\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)の集積点ですが、この関数\(f\)は点\(0\)の周辺において局所有界ではありません。このとき、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow 0+}\sup f\left( x\right) &=&\lim_{\delta \rightarrow
0+}S\left( \delta \right) \\
&=&\lim_{\delta \rightarrow 0+}\sup f\left( \left( 0,\delta \right) \cap \mathbb{R} \right) \\
&=&\lim_{\delta \rightarrow 0+}\sup \left\{ \frac{1}{x}\in \mathbb{R} \ |\ x\in \left( 0,\delta \right) \right\} \\
&=&\lim_{\delta \rightarrow 0+}\sup \left( \frac{1}{\delta },+\infty \right)
\\
&=&\lim_{\delta \rightarrow 0+}\left( +\infty \right) \quad \because \left(
\frac{1}{\delta },+\infty \right) \text{は上に有界ではない} \\
&=&+\infty
\end{eqnarray*}となるため、\(x\rightarrow 0+\)の場合の\(f\)の右側上極限は有限な実数として定まりません。また、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow 0-}\sup f\left( x\right) &=&\lim_{\delta \rightarrow
0+}S\left( \delta \right) \\
&=&\lim_{\delta \rightarrow 0+}\sup f\left( \left( -\delta ,0\right) \cap \mathbb{R} \right) \\
&=&\lim_{\delta \rightarrow 0+}\sup \left\{ \frac{1}{x}\in \mathbb{R} \ |\ x\in \left( -\delta ,0\right) \right\} \\
&=&\lim_{\delta \rightarrow 0+}\sup \left( -\infty ,\frac{1}{-\delta }\right) \\
&=&\lim_{\delta \rightarrow 0+}\frac{1}{-\delta } \\
&=&-\infty
\end{eqnarray*}となるため、\(x\rightarrow 0-\)の場合の\(f\)の左側上極限は有限な実数として定まりません。また、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow 0+}\inf f\left( x\right) &=&\lim_{\delta \rightarrow
0+}s\left( \delta \right) \\
&=&\lim_{\delta \rightarrow 0+}\inf f\left( \left( 0,\delta \right) \cap \mathbb{R} \right) \\
&=&\lim_{\delta \rightarrow 0+}\inf \left\{ \frac{1}{x}\in \mathbb{R} \ |\ x\in \left( 0,\delta \right) \right\} \\
&=&\lim_{\delta \rightarrow 0+}\inf \left( \frac{1}{\delta },+\infty \right)
\\
&=&\lim_{\delta \rightarrow 0+}\frac{1}{\delta } \\
&=&+\infty
\end{eqnarray*}となるため、\(x\rightarrow 0+\)の場合の\(f\)の右側下極限は有限な実数として定まりません。また、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow 0-}\inf f\left( x\right) &=&\lim_{\delta \rightarrow
0+}s\left( \delta \right) \\
&=&\lim_{\delta \rightarrow 0+}\inf f\left( \left( -\delta ,0\right) \cap \mathbb{R} \right) \\
&=&\lim_{\delta \rightarrow 0+}\inf \left\{ \frac{1}{x}\in \mathbb{R} \ |\ x\in \left( -\delta ,0\right) \right\} \\
&=&\lim_{\delta \rightarrow 0+}\inf \left( -\infty ,\frac{1}{-\delta }\right) \quad \because \left( -\infty ,\frac{1}{-\delta }\right) \text{は下に有界ではない} \\
&=&\lim_{\delta \rightarrow 0+}\left( -\infty \right) \\
&=&\left( -\infty \right)
\end{eqnarray*}となるため、\(x\rightarrow 0-\)の場合の\(f\)の左側下極限は有限な実数として定まりません。
片側上極限や片側下極限が有限であるための必要十分条件
関数の右側上極限が有限な実数として定まるための必要十分条件は以下の通りです。
&&\left( b\right) \ \lim_{x\rightarrow a+}f\left( x\right) \not=-\infty
\end{eqnarray*}がともに成り立つことと、右側上極限\(\lim\limits_{x\rightarrow a}\sup f\left( x\right) \)が有限な実数として定まることは必要十分である。
関数の左側上極限が有限な実数として定まるための必要十分条件は以下の通りです。証明は先の命題と同様です。
&&\left( b\right) \ \lim_{x\rightarrow a-}f\left( x\right) \not=-\infty
\end{eqnarray*}がともに成り立つことと、左側上極限\(\lim\limits_{x\rightarrow a-}\sup f\left( x\right) \)が有限な実数として定まることは必要十分である。
関数の右側下極限が有限な実数として定まるための必要十分条件は以下の通りです。
&&\left( b\right) \ \lim_{x\rightarrow a+}f\left( x\right) \not=+\infty
\end{eqnarray*}がともに成り立つことと、右側下極限\(\lim\limits_{x\rightarrow a}\inf f\left( x\right) \)が有限な実数として定まることは必要十分である。
関数の左側下極限が有限な実数として定まるための必要十分条件は以下の通りです。証明は先の命題と同様です。
&&\left( b\right) \ \lim_{x\rightarrow a-}f\left( x\right) \not=+\infty
\end{eqnarray*}がともに成り立つことと、左側下極限\(\lim\limits_{x\rightarrow a-}\inf f\left( x\right) \)が有限な実数として定まることは必要十分である。
局所有界関数の特徴づけ
これまで示した命題を踏まえると以下を得ます。
- 右側上極限\(\lim\limits_{x\rightarrow a+}\sup f\left( x\right) \)と右側下極限\(\lim\limits_{x\rightarrow a+}\lim f\left( x\right) \)がともに有限な実数であることと、この関数\(f\)が点\(a\)以上の周辺において局所有界であることは必要十分である。
- 左側上極限\(\lim\limits_{x\rightarrow a-}\sup f\left( x\right) \)と左側下極限\(\lim\limits_{x\rightarrow a-}\lim f\left( x\right) \)がともに有限な実数であることと、この関数\(f\)が点\(a\)以下の周辺において局所有界であることは必要十分である。
- 右側上極限\(\lim\limits_{x\rightarrow a+}\sup f\left( x\right) \)と左側上極限\(\lim\limits_{x\rightarrow a-}\sup f\left( x\right) \)と右側下極限\(\lim\limits_{x\rightarrow a+}\inf f\left( x\right) \)と左側下極限\(\lim\limits_{x\rightarrow a-}\inf f\left( x\right) \)がいずれも有限な実数であることと、この関数\(f\)が点\(a\)の周辺において局所有界であることは必要十分である。
片側上極限と片側下極限の特徴づけ
関数の右側上極限を以下のように表現できます。
\end{equation*}が成り立つことと、以下の2つの条件\begin{eqnarray*}
&&\left( b\right) \ \forall \lambda >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in \mathbb{R} :\left[ x\in \left( a,a+\delta \right) \cap X\Rightarrow f\left( x\right)
<L+\lambda \right] \\
&&\left( c\right) \ \forall \lambda >0,\ \forall \delta >0,\ \exists x\in \mathbb{R} :\left[ x\in \left( a,a+\delta \right) \cap X\wedge L-\lambda <f\left(
x\right) \right] \end{eqnarray*}が成り立つことは必要十分である。
関数の左側上極限を以下のように表現できます。証明は先の命題と同様です。
\end{equation*}が成り立つことと、以下の2つの条件\begin{eqnarray*}
&&\left( b\right) \ \forall \lambda >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in \mathbb{R} :\left[ x\in \left( a-\delta ,a\right) \cap X\Rightarrow f\left( x\right)
<L+\lambda \right] \\
&&\left( c\right) \ \forall \lambda >0,\ \forall \delta >0,\ \exists x\in \mathbb{R} :\left[ x\in \left( a-\delta ,a\right) \cap X\wedge L-\lambda <f\left(
x\right) \right] \end{eqnarray*}が成り立つことは必要十分である。
関数の右側下極限を以下のように表現できます。証明は先の命題と同様です。
\end{equation*}が成り立つことと、以下の2つの条件\begin{eqnarray*}
&&\left( b\right) \ \forall \lambda >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in \mathbb{R} :\left[ x\in \left( a,a+\delta \right) \cap X\Rightarrow L-\lambda <f\left(
x\right) \right] \\
&&\left( c\right) \ \forall \lambda >0,\ \forall \delta >0,\ \exists x\in \mathbb{R} :\left[ x\in \left( a,a+\delta \right) \cap X\wedge f\left( x\right)
<L+\lambda \right] \end{eqnarray*}が成り立つことは必要十分である。
関数の左側下極限を以下のように表現できます。証明は先の命題と同様です。
\end{equation*}が成り立つことと、以下の2つの条件\begin{eqnarray*}
&&\left( b\right) \ \forall \lambda >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in \mathbb{R} :\left[ x\in \left( a-\delta ,a\right) \cap X\Rightarrow L-\lambda <f\left(
x\right) \right] \\
&&\left( c\right) \ \forall \lambda >0,\ \forall \delta >0,\ \exists x\in \mathbb{R} :\left[ x\in \left( a-\delta ,a\right) \cap X\wedge f\left( x\right)
<L+\lambda \right] \end{eqnarray*}が成り立つことは必要十分である。
関数の片側上極限と片側下極限は一致するとは限らない
関数の右側上極限と左側上極限、右側下極限、左側下極限がいずれも有限な実数として定まる場合、これらが一致するケースと異なるケースの両方が起こり得ます。
まずは、これらがすべて一致する関数の例を挙げます。
\end{equation*}を定めるものとします。点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選びます。先に示したように、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow a+}\sup f\left( x\right) &=&a \\
\lim_{x\rightarrow a-}\sup f\left( x\right) &=&a \\
\lim_{x\rightarrow a+}\inf f\left( x\right) &=&a \\
\lim_{x\rightarrow a-}\inf f\left( x\right) &=&a
\end{eqnarray*}であるため、これらはすべて一致します。
続いて、右側極限と左側極限が異なる関数の例を挙げます。
\begin{array}{cc}
0 & \left( if\ x\leq 0\right) \\
1 & \left( if\ x>0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。点\(0\)に注目します。先に示したように、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow 0+}\sup f\left( x\right) &=&1 \\
\lim_{x\rightarrow 0+}\inf f\left( x\right) &=&1 \\
\lim_{x\rightarrow 0-}\sup f\left( x\right) &=&0 \\
\lim_{x\rightarrow 0-}\inf f\left( x\right) &=&0
\end{eqnarray*}が成り立ちます。したがって、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow 0+}\sup f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow 0+}\inf
f\left( x\right) \\
\lim_{x\rightarrow 0-}\sup f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow 0-}\inf
f\left( x\right)
\end{eqnarray*}である一方で、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow 0+}\sup f\left( x\right) &\not=&\lim_{x\rightarrow
0-}\sup f\left( x\right) \\
\lim_{x\rightarrow 0+}\inf f\left( x\right) &\not=&\lim_{x\rightarrow
0-}\inf f\left( x\right)
\end{eqnarray*}が成り立ちます。
最後に、片側上極限と片側下極限が異なる関数の例を挙げます。
\end{equation*}を定めるものとします。点\(0\)において、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow 0+}\sup f\left( x\right) &=&1 \\
\lim_{x\rightarrow 0+}\inf f\left( x\right) &=&-1 \\
\lim_{x\rightarrow 0-}\sup f\left( x\right) &=&1 \\
\lim_{x\rightarrow 0-}\inf f\left( x\right) &=&-1
\end{eqnarray*}が成り立ちます。したがって、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow 0+}\sup f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow 0-}\sup
f\left( x\right) \\
\lim_{x\rightarrow 0+}\inf f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow 0-}\inf
f\left( x\right)
\end{eqnarray*}である一方で、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow 0+}\sup f\left( x\right) &\not=&\lim_{x\rightarrow
0+}\inf f\left( x\right) \\
\lim_{x\rightarrow 0-}\sup f\left( x\right) &\not=&\lim_{x\rightarrow
0-}\inf f\left( x\right)
\end{eqnarray*}が成り立ちます（演習問題）。
関数の片側上極限は片側下極限以上
関数の右側上極限は必ず右側下極限以上になります。また、左側上極限は必ず左側下極限以上になります。
f\left( x\right)
\end{equation*}が成り立つ。また、\(x\rightarrow a-\)の場合の左側上極限と左側下極限がともに有限な実数として定まる場合、以下の関係\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a-}\inf f\left( x\right) \leq \lim_{x\rightarrow a-}\sup
f\left( x\right)
\end{equation*}が成り立つ。
演習問題
\end{equation*}を定めるものとします。\(x\rightarrow 0+\)の場合の\(f\)の右側上極限と右側下極限、\(x\rightarrow 0-\)の場合の\(f\)の左側上極限と左側下極限をそれぞれ求めてください。
\end{equation*}を定めるものとします。\(x\rightarrow 0+\)の場合の\(f\)の右側上極限と右側下極限、\(x\rightarrow 0-\)の場合の\(f\)の左側上極限と左側下極限をそれぞれ求めてください。
\end{equation*}を定めるものとします。\(x\rightarrow 0+\)の場合の\(f\)の右側上極限と右側下極限、\(x\rightarrow 0-\)の場合の\(f\)の左側上極限と左側下極限をそれぞれ求めてください。
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