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DEFINITION OF REAL NUMBER

実数集合の上限・下限

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上限・下限

実数体\(\mathbb{R} \)上に定義された大小関係\(\leq \)は全順序としての公理を満たすものとします。\(\mathbb{R} \)の空でない部分集合\(A\)が上に有界である場合には\(A\)の上界からなる集合\(U\left( A\right) \)は空でない\(\mathbb{R} \)の部分集合であるため、その最小値\(\min U\left(A\right) \)が存在するかどうかを検討できます。この最小値\(\min U\left( A\right) \)が存在する場合、これを\(A\)の上限(supremum)や最小上界(least upper bound)などと呼び\(\sup A\)で表記します。つまり、\begin{equation*}\sup A=\min U\left( A\right)
\end{equation*}として上限\(\sup A\)は定義されます。具体的には、\(\sup A\)は以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \sup A\in U\left( A\right) \\
&&\left( b\right) \ \forall y\in U\left( A\right) :\sup A\leq y
\end{eqnarray*}をともに満たす実数として定義されます。これらの条件をより具体的に表現すると、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \forall x\in A:x\leq \sup A \\
&&\left( b\right) \ \forall x\in A,\ \forall y\in \mathbb{R} :\left( x\leq y\Rightarrow \sup A\leq y\right)
\end{eqnarray*}となります。\(\left( a\right) \)は\(\sup A\)が\(A\)の上界であること、\(\left( b\right) \)は\(\sup A\)が\(A\)の任意の上界以下の実数であることをそれぞれ表しています。\(\sup A\)は\(A\)の上界の1つであるため、これは\(A\)の要素であるとは限りません。同時に\(\sup A\)は\(A\)の上界集合\(U\left( A\right) \)の最小値であるため、これは必ず\(U\left( A\right) \)の要素です。

例(上限)
\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、\begin{equation*}A=\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a\leq x\leq b\right\}
\end{equation*}という\(\mathbb{R} \)の部分集合を定義します。\(a,b\)は\(A\)の要素であるため、\(A\)は非空です。このとき、\begin{equation*}U\left( A\right) =\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ b\leq x\right\}
\end{equation*}であるため、\begin{equation*}
\sup A=\min U\left( A\right) =b
\end{equation*}となります。これは\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)の上限が\(A\)の要素になっている例です。
例(上限)
\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、\begin{equation*}A=\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a<x<b\right\}
\end{equation*}という\(\mathbb{R} \)の部分集合を定義します。\(a\)と\(b\)はともに\(A\)の要素ではありませんが、有理数の稠密性より、\(a<x<b\)を満たす有理数\(x\)が存在します。有理数は実数であるため、\(A\)は非空です。このとき、\begin{equation*}U\left( A\right) =\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ b\leq x\right\}
\end{equation*}であるため、\begin{equation*}
\sup A=\min U\left( A\right) =b
\end{equation*}となります。これは\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)の上限が\(A\)の要素ではない例です。

\(\mathbb{R} \)の空でない部分集合\(A\)が下に有界であるとき、\(A\)の下界からなる集合\(L\left( A\right) \)もまた空でない\(\mathbb{R} \)の部分集合であるため、その最大値\(\max L\left(A\right) \)が存在するかどうかを検討できます。この最大値\(\max L\left( A\right) \)が存在する場合、これを\(A\)の下限(infimum)や最大下界(greatest lower bound)などと呼び\(\inf A\)で表記します。つまり、\begin{equation*}\inf A=\max L\left( A\right)
\end{equation*}として下限\(\inf A\)は定義されます。具体的には、\(\inf A\)は以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \inf A\in L\left( A\right) \\
&&\left( b\right) \ \forall y\in U\left( A\right) :y\leq \inf A
\end{eqnarray*}をともに満たす実数として定義されます。これらの条件をより具体的に表現すると、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \forall x\in A:\inf A\leq x \\
&&\left( b\right) \ \forall x\in A,\ \forall y\in \mathbb{R} :\left( y\leq x\Rightarrow y\leq \inf A\right)
\end{eqnarray*}となります。\(\left( a\right) \)は\(\inf A\)が\(A\)の下界であること、\(\left( b\right) \)は\(\inf A\)が\(A\)の任意の下界以上の実数であることをそれぞれ表しています。\(\inf A\)は\(A\)の下界の1つであるため、これは\(A\)の要素であるとは限りません。同時に、\(\inf A\)は\(A\)の下界集合\(L\left( A\right) \)の最大値であるため、これは必ず\(L\left( A\right) \)の要素です。

例(下限)
\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、\begin{equation*}A=\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a\leq x\leq b\right\}
\end{equation*}という\(\mathbb{R} \)の部分集合を定義します。\(a,b\)は\(A\)の要素であるため、\(A\)は非空です。このとき、\begin{equation*}L\left( A\right) =\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ x\leq a\right\}
\end{equation*}であるため、\begin{equation*}
\inf A=\max L\left( A\right) =a
\end{equation*}となります。これは\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)の下限が\(A\)の要素になっている例です。
例(下限)
\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、\begin{equation*}A=\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a<x<b\right\}
\end{equation*}という\(\mathbb{R} \)の部分集合を定義します。\(a\)と\(b\)はともに\(A\)の要素ではありませんが、有理数の稠密性より、\(a<x<b\)を満たす有理数\(x\)が存在します。有理数は実数であるため、\(A\)は非空です。このとき、\begin{equation*}L\left( A\right) =\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ x\leq a\right\}
\end{equation*}であるため、\begin{equation*}
\inf A=\max L\left( A\right) =a
\end{equation*}となります。これは\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)の下限が\(A\)の要素ではない例です。

以下は上限と下限が一致する\(\mathbb{R} \)の部分集合の例です。

例(上限・下限)
実数\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、\begin{equation*}A=\left\{ a\right\}
\end{equation*}という\(\mathbb{R} \)の部分集合を定義します。\(a\in A\)であるため、\(A\)は非空です。このとき、\begin{eqnarray*}U\left( A\right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a\leq x\right\} \\
L\left( A\right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ x\leq a\right\}
\end{eqnarray*}であるため、\begin{eqnarray*}
\sup A &=&\min U\left( A\right) =a \\
\inf A &=&\max L\left( A\right) =a
\end{eqnarray*}となります。これは\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)の上限や下限が\(A\)の要素になっている例です。しかも両者は一致します。

 

上限・下限であることの証明

\(\mathbb{R} \)の非空な部分集合\(A\)が与えられたとき、ある実数\(a\in \mathbb{R} \)が\(A\)の上限であることが直感的には自明であるものの、それを厳密に証明しなければならないような状況を想定します。\(a\)が\(A\)の上限であることは、\(a\)が\(A\)の上界であるとともに、\(a\)が\(A\)の任意の上界以下であることを意味します。\(a\)が\(A\)の上界であることは、\begin{equation*}\forall x\in A:x\leq a
\end{equation*}が成り立つことを意味しますが、これを示すのは容易です。つまり、\(A\)の要素\(x\)を任意に選んだ上で、これと上限の候補\(a\)の間に\(x\leq a\)が成り立つことを示すだけです。では、\(a\)が\(A\)の任意の上界以下であることを示すためにはどうすればよいでしょうか。\(a\)が\(A\)の上界であるならば、\(a\)より大きな実数が\(A\)の上限になることはありません。したがって、\(a\)より小さな実数が\(A\)の上限であるものと仮定して矛盾を導けば、それは\(a\)が\(A\)の上限であることを示したことになります。具体的には、実際の\(A\)の上限が\(a\)よりも小さいことを仮定して、すなわち、\begin{equation*}\sup A<a
\end{equation*}を仮定して矛盾を導くことになります。この場合、有理数の稠密性より、\begin{equation*}
\sup A<r<a
\end{equation*}を満たす有理数すなわち実数\(r\in \mathbb{R} \)が存在しますが、さらに\(r\in A\)であることを言えれば\(A\)の上限である\(\sup A\)よりも大きな\(A\)の要素が存在することになり、これは\(\sup A\)が\(A\)の上界であることと矛盾します。

例(上限であることの証明)
以下のような\(\mathbb{R} \)の部分集合\begin{equation*}A=\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ 1<x<2\right\}
\end{equation*}に注目します。\(A\)の上限は\(2\)であることが自明ですが、これを厳密に証明しましょう。\(A\)の定義より、\begin{equation*}\forall x\in A:x\leq 2
\end{equation*}が成り立つため\(2\)は\(A\)の上界です。上限の定義より、\(2\)より大きい実数が\(A\)の上限になることはありません。そこで、\(2\)より小さい実数が\(A\)の上限であるものと仮定します。つまり\(\sup A<2\)を仮定するということです。上限の定義より\(1<\sup A\)も明らかに成り立つため\(1<\sup A<2\)です。すると、有理数の稠密性より、\begin{equation*}1<\sup A<r<2
\end{equation*}を満たす実数\(r\in \mathbb{R} \)が存在しますが、\(A\)の定義より、これは\(r\in A\)であることを意味します。つまり、\(A\)の上界である\(\sup A\)よりも大きな\(A\)の要素\(r\)が存在することになり、これは矛盾です。したがって\(\sup A=2\)であることが示されました。

下限の証明についても同様に考えます。これ以外にも、数列を用いる方法など様々な手法が存在しますが、それらについては必要な道具が揃った時点において改めて解説します。

 

上限や下限は存在するとは限らない

一般に、\(\mathbb{R} \)の非空な部分集合\(A\)は上界や下界を持つとは限りません。まず、\(A\)が上に有界でないとき、すなわち\(U\left( A\right)=\phi \)である場合には、\(U\left( A\right) \)の最小値に相当する\(\sup A\)は存在しようがありません。また、\(A\)が下に有界でないとき、すなわち\(L\left( A\right)=\phi \)である場合には、\(L\left( A\right) \)の最大値に相当する\(\inf A\)は存在しようがありません。

例(上限や下限は存在するとは限らない)
実数\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、\begin{equation*}A=\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a\leq x\right\}
\end{equation*}という\(\mathbb{R} \)の部分集合を定義します。\(a\)は\(A\)の要素であるため\(A\)は非空です。このとき、\begin{equation*}U\left( A\right) =\phi
\end{equation*}であるため\(\min U\left( A\right) \)すなわち\(\sup A\)は存在しません。また、実数\(b\)を任意に選んだ上で、\begin{equation*}B=\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ x\leq b\right\}
\end{equation*}という\(\mathbb{R} \)の部分集合を定義します。\(b\)は\(A\)の要素であるため\(A\)は非空です。このとき、\begin{equation*}L\left( B\right) =\phi
\end{equation*}であるため\(\max L\left( B\right) \)すなわち\(\inf B\)は存在しません。

 

上限や下限の一意性

\(\mathbb{R} \)の非空な部分集合\(A\)について、その上限\(\sup A\)は\(A\)の上界からなる集合\(U\left( A\right) \)の最小値です。一般に、\(\mathbb{R} \)の非空な部分集合の最小値が存在する場合、それは一意的です。したがって、\(\sup A\)が存在する場合には一意的です。同様に、\(\inf A\)が存在する場合には一意的です。

命題(上限や下限の一意性)
\(\mathbb{R} \)の非空な部分集合\(A\)を任意に選んだとき、以下が成り立つ。\begin{eqnarray*}&&(a)\ \sup A\text{が存在するならば、それは一意的である} \\
&&\left( b\right) \ \inf A\text{が存在するならば、それは一意的である}
\end{eqnarray*}

 

上限と最大値/下限と最小値の関係

\(\mathbb{R} \)の空でない部分集合\(A\)について、その最大値\(\max A\)が存在するものとします。最大値の定義より、\begin{equation}\forall x\in A:x\leq \max A \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立つため、\(\max A\)は\(A\)の上界です。また、\(\max A\in A\)であるため、\(A\)の任意の上界は\(\max A\)以上です。すなわち、\begin{equation}\forall y\in U\left( A\right) :\max A\leq y \quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立ちます。\(\left(1\right) \)と\(\left( 2\right) \)がともに成り立つことは、\(\max A\)が\(A\)の上限であることを意味します。つまり、\(A\)の最大値が存在するとき、それは\(A\)の上限でもあります。

同様に考えると、\(\mathbb{R} \)の空でない部分集合\(A\)について、その最小値が存在するとき、それは\(A\)の下限でもあることが示されます。

命題(上限と最大値/下限と最小値の関係)
\(\mathbb{R} \)の非空な部分集合\(A\)を任意に選んだとき、以下が成り立つ。\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \max A\text{が存在するならば、}\max A=\sup A\text{が成り立つ} \\
&&\left( b\right) \ \min A\text{が存在するならば、}\min A=\inf A\text{が成り立つ}
\end{eqnarray*}
証明

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では、\(\mathbb{R} \)の空でない部分集合\(A\)の最大値や最小値が存在しない場合、\(A\)の上限や下限もまた存在しないと言えるのでしょうか。答えはノーです。以下の例が示唆するように、\(A\)の最大値が存在しない場合に\(A\)の上限が存在する状況や、\(A\)の最小値が存在しない場合に\(A\)の下限が存在する状況は起こり得ます。

例(上限と最大値/下限と最小値の関係)
\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、\begin{equation*}A=\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a<x<b\right\}
\end{equation*}という\(\mathbb{R} \)の部分集合を定義します。\(a\)と\(b\)はともに\(A\)の要素ではありませんが、有理数の稠密性より、\(a<x<b\)を満たす有理数\(x\)が存在します。有理数は実数であるため、\(A\)は非空です。このとき、\begin{eqnarray*}U\left( A\right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ b\leq x\right\} \\
L\left( A\right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ x\leq a\right\}
\end{eqnarray*}であるため、\begin{eqnarray*}
\sup A &=&\min U\left( A\right) =b \\
\inf A &=&\max L\left( A\right) =a
\end{eqnarray*}である一方で、\(\max A\)や\(\min A\)は存在しません。

上の例が示唆するように、\(\mathbb{R} \)の空でない部分集合\(A\)の上限が存在する場合、\(A\)の最大値は存在するとは限りません。しかし、\(A\)の上限が存在するとともに、それが\(A\)の要素である場合には、それは\(A\)の最大値であることが保証されます。同様に、\(A\)の下限が存在するとともに、それが\(A\)の要素である場合、それは\(A\)の最小値であることが保証されます。

命題(上限と最大値/下限と最小値の関係)
\(\mathbb{R} \)の非空な部分集合\(A\)を任意に選んだとき、以下が成り立つ。\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \sup A\text{が存在するとともに}\sup A\in A\text{ならば、}\sup A=\max A\text{が成り立つ} \\
&&\left( b\right) \ \inf A\text{が存在するとともに}\inf A\in A\text{ならば、}\inf A=\min A\text{が成り立つ}
\end{eqnarray*}
証明

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演習問題

問題(上限・下限)
以下のような\(\mathbb{R} \)の部分集合\begin{equation*}A=\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ 1<x<2\right\}
\end{equation*}について、\begin{equation*}
\inf A=1
\end{equation*}が成り立つことを証明してください。

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問題(有限集合の上限と下限)
\(\mathbb{R} \)の非空な部分集合\(A\)が有限集合である場合には、その上限\(\sup A\)と下限\(\inf A\)が必ず存在することを証明してください。
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問題(包含関係と上限・下限)
\(\mathbb{R} \)の非空な部分集合\(A,B\)について、それらの上限である\(\sup A\)と\(\sup B\)がそれぞれ存在する場合、\begin{equation*}A\subset B\Rightarrow \sup A\leq \sup B
\end{equation*}という関係が成り立つことを示してください。また、それらの下限である\(\inf A\)と\(\inf B\)がそれぞれ存在する場合、\begin{equation*}A\subset B\Rightarrow \inf B\leq \inf A
\end{equation*}という関係が成り立つことを示してください。

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問題(上限と下限の関係)
\(\mathbb{R} \)の空でない部分集合\(A\)について、\begin{equation*}-A=\left\{ -a\in \mathbb{R} \ |\ a\in A\right\}
\end{equation*}という\(\mathbb{R} \)の部分集合を定義します。このとき、\(A\)が上に有界であることと\(-A\)が下に有界であることは必要十分であり、なおかつ、\begin{equation*}\inf \left( -A\right) =-\sup A
\end{equation*}という関係が成り立つことを証明してください。また、\(A\)が下に有界であることと\(-A\)が上に有界であることは必要十分であり、なおかつ、\begin{equation*}\sup \left( -A\right) =-\inf A
\end{equation*}という関係が成り立つことを証明してください。

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次回は演算(加法と乗法)と順序(大小関係)の間に成立する関係について解説します。

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