実数空間 R の空でない部分集合 A が上に有界であるとともに、A の上界からなる集合 U(A) の最小値が存在するならば、それを A の上限と呼びます。また、A が下に有界であるとともに、A の下界からなる集合 L(A) の最大値が存在するならば、それを A の下限と呼びます。
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上限・下限

実数体\(\mathbb{R}\)上に定義された大小関係\(\leq \)は全順序としての公理を満たすものとします。\(\mathbb{R}\)の空でない部分集合\(A\)が上に有界であるとき、\(A\)の上界からなる集合\(U\left( A\right) \)もまた空でない\(\mathbb{R}\)の部分集合であるため、その最小値\(\min U\left( A\right) \)について考えることができます。この\(\min U\left( A\right) \)を\(A\)の上限(supremum)や最小上界(least upper bound)などと呼び、\(\sup A\)で表します。つまり、\begin{equation*}
\sup A=\min U\left( A\right)
\end{equation*}です。具体的には、\(\sup A\)は以下の条件\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \sup A\in U\left( A\right) \\
&&\left( b\right) \ \forall y\in U\left( A\right) :\sup A\leq y
\end{eqnarray*}をともに満たす実数として定義されます。これらの条件をより具体的に表現すると、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \forall x\in A:x\leq \sup A \\
&&\left( b\right) \ \forall x\in A,\ \forall y\in
\mathbb{R}:\left( x\leq y\Rightarrow \sup A\leq y\right)
\end{eqnarray*}となります。\(\left( a\right) \)は\(\sup A\)が\(A\)の上界であること、\(\left( b\right) \)は\(\sup A\)が\(A\)の任意の上界以下の実数であることをそれぞれ表しています。\(\sup A\)は\(A\)の上界の1つであるため、これは\(A\)の要素であるとは限りません。同時に、\(\sup A\)は\(A\)の上界集合\(U\left( x\right) \)の最小値であるため、これは必ず\(U\left( x\right) \)の要素です。

\(\mathbb{R}\)の空でない部分集合\(A\)が下に有界であるとき、\(A\)の下界からなる集合\(L\left( A\right) \)もまた空でない\(\mathbb{R}\)の部分集合であるため、その最大値\(\max L\left( A\right) \)について考えることができます。この\(\max L\left( A\right) \)を\(A\)の下限(infimum)や最大下界(greatest lower bound)などと呼び、\(\inf A\)で表します。つまり、\begin{equation*}
\inf A=\max L\left( A\right)
\end{equation*}です。具体的には、\(\inf A\)は以下の条件\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \inf A\in L\left( A\right) \\
&&\left( b\right) \ \forall y\in U\left( A\right) :y\leq \inf A
\end{eqnarray*}をともに満たす実数として定義されます。これらの条件をより具体的に表現すると、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \forall x\in A:\inf A\leq x \\
&&\left( b\right) \ \forall x\in A,\ \forall y\in
\mathbb{R}:\left( y\leq x\Rightarrow y\leq \inf A\right)
\end{eqnarray*}となります。\(\left( a\right) \)は\(\inf A\)が\(A\)の下界であること、\(\left( b\right) \)は\(\inf A\)が\(A\)の任意の下界以上の実数であることをそれぞれ表しています。\(\inf A\)は\(A\)の下界の1つであるため、これは\(A\)の要素であるとは限りません。同時に、\(\inf A\)は\(A\)の下界集合\(L\left( x\right) \)の最大値であるため、これは必ず\(L\left( x\right) \)の要素です。

例(上限・下限)
\(a<b\)を満たす実数\(a,b\)を任意に選んだ上で、\begin{equation*}
A=\left\{ x\in
\mathbb{R}\ |\ a\leq x\leq b\right\}
\end{equation*}という\(\mathbb{R}\)の部分集合を定義します。\(a,b\)は\(A\)の要素であるため、\(A\)は非空です。このとき、\begin{eqnarray*}
U\left( A\right) &=&\left\{ x\in
\mathbb{R}\ |\ b\leq x\right\} \\
L\left( A\right) &=&\left\{ x\in
\mathbb{R}\ |\ x\leq a\right\}
\end{eqnarray*}であるため、\begin{eqnarray*}
\sup A &=&\min U\left( a\right) =b \\
\inf A &=&\max L\left( A\right) =a
\end{eqnarray*}となります。これは\(\mathbb{R}\)の部分集合\(A\)の上限や下限が\(A\)の要素になっている例です。
例(上限・下限)
\(a<b\)を満たす実数\(a,b\)を任意に選んだ上で、\begin{equation*}
A=\left\{ x\in
\mathbb{R}\ |\ a<x<b\right\}
\end{equation*}という\(\mathbb{R}\)の部分集合を定義します。\(a\)と\(b\)はともに\(A\)の要素ではありませんが、有理数の稠密性より、\(a<x<b\)を満たす有理数\(x\)が存在します。有理数は実数であるため、\(A\)は非空です。このとき、\begin{eqnarray*}
U\left( A\right) &=&\left\{ x\in
\mathbb{R}\ |\ b\leq x\right\} \\
L\left( A\right) &=&\left\{ x\in
\mathbb{R}\ |\ x\leq a\right\}
\end{eqnarray*}であるため、\begin{eqnarray*}
\sup A &=&\min U\left( a\right) =b \\
\inf A &=&\max L\left( A\right) =a
\end{eqnarray*}となります。これは\(\mathbb{R}\)の部分集合\(A\)の上限や下限が\(A\)の要素ではない例です。
例(上限・下限)
実数\(a\)を任意に選んだ上で、\begin{equation*}
A=\left\{ a\right\}
\end{equation*}という\(\mathbb{R}\)の部分集合を定義します。\(a\in A\)であるため、\(A\)は非空です。このとき、\begin{eqnarray*}
U\left( A\right) &=&\left\{ x\in
\mathbb{R}\ |\ a\leq x\right\} \\
L\left( A\right) &=&\left\{ x\in
\mathbb{R}\ |\ x\leq a\right\}
\end{eqnarray*}であるため、\begin{eqnarray*}
\sup A &=&\min U\left( a\right) =a \\
\inf A &=&\max L\left( A\right) =a
\end{eqnarray*}となります。これは\(\mathbb{R}\)の部分集合\(A\)の上限や下限が\(A\)の要素になっている例です。しかも両者は一致します。

 

上限や下限は存在するとは限らない

一般に、\(\mathbb{R}\)の非空な部分集合\(A\)は上界や下界を持つとは限りません。\(A\)が上界を持たないとき、すなわち\(U\left( A\right) =\phi \)が成り立つとき、\(U\left( A\right) \)の最小値に相当する\(\sup A\)は存在しません。また、\(A\)が下界を持たないとき、すなわち\(L\left( A\right) =\phi \)が成り立つとき、\(L\left( A\right) \)の最大値に相当する\(\inf A\)は存在しません。

例(上限や下限は存在するとは限らない)
実数\(a\)を任意に選んだ上で、\begin{equation*}
A=\left\{ x\in
\mathbb{R}\ |\ a\leq x\right\}
\end{equation*}という\(\mathbb{R}\)の部分集合を定義します。\(a\)は\(A\)の要素であるため、\(A\)は非空です。このとき、\begin{equation*}
U\left( A\right) =\phi
\end{equation*}であるため、\(\min U\left( A\right) \)すなわち\(\sup A\)は存在しません。また、実数\(b\)を任意に選んだ上で、\begin{equation*}
B=\left\{ x\in
\mathbb{R}\ |\ x\leq b\right\}
\end{equation*}という\(\mathbb{R}\)の部分集合を定義します。\(b\)は\(A\)の要素であるため、\(A\)は非空です。このとき、\begin{equation*}
L\left( B\right) =\phi
\end{equation*}であるため、\(\max L\left( B\right) \)すなわち\(\inf B\)は存在しません。

 

上限や下限の一意性

\(\mathbb{R}\)の非空な部分集合\(A\)について、その上限\(\sup A\)は\(A\)の上界からなる集合\(U\left( A\right) \)の最小値です。一般に、\(\mathbb{R}\)の非空な部分集合の最小値が存在する場合、それは一意的です。したがって、\(\sup A\)が存在する場合、それは一意的です。同様に、\(\inf A\)が存在する場合、それは一意的です。

命題(上限や下限の一意性)
\(\mathbb{R}\)の非空な部分集合\(A\)を任意に選んだとき、以下が成り立つ。\begin{eqnarray*}
&&(a)\ \sup A\text{が存在するならば、それは一意的である} \\
&&\left( b\right) \ \inf A\text{が存在するならば、それは一意的である}
\end{eqnarray*}
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上限と最大値/下限と最小値の関係

\(\mathbb{R}\)の空でない部分集合\(A\)について、その最大値\(\max A\)が存在するものとします。最大値の定義より、\begin{equation}
\forall x\in A:x\leq \max A \tag{1}
\end{equation}が成り立つため、\(\max A\)は\(A\)の上界です。また、\(\max A\in A\)であるため、\(A\)の任意の上界は\(\max A\)以上です。すなわち、\begin{equation}
\forall y\in U\left( A\right) :\max A\leq y \tag{2}
\end{equation}が成り立ちます。\(\left( 1\right) \)と\(\left( 2\right) \)がともに成り立つことは、\(\max A\)が\(A\)の上限であることを意味します。つまり、\(A\)の最大値が存在するとき、それは\(A\)の上限でもあります。

同様に考えると、\(\mathbb{R}\)の空でない部分集合\(A\)について、その最小値が存在するとき、それは\(A\)の下限でもあることが示されます。

命題(上限と最大値/下限と最小値の関係)
\(\mathbb{R}\)の非空な部分集合\(A\)を任意に選んだとき、以下が成り立つ。\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \max A\text{が存在するならば、}\max A=\sup A\text{が成り立つ} \\
&&\left( b\right) \ \min A\text{が存在するならば、}\min A=\inf A\text{が成り立つ}
\end{eqnarray*}
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では、\(\mathbb{R}\)の空でない部分集合\(A\)の最大値や最小値が存在しない場合、\(A\)の上限や下限もまた存在しないと言えるのでしょうか。答えはノーです。以下の例が示唆するように、\(A\)の最大値が存在しない場合に\(A\)の上限が存在する状況や、\(A\)の最小値が存在しない場合に\(A\)の下限が存在する状況は起こり得ます。

例(上限と最大値/下限と最小値の関係)
\(a<b\)を満たす実数\(a,b\)を任意に選んだ上で、\begin{equation*}
A=\left\{ x\in
\mathbb{R}\ |\ a<x<b\right\}
\end{equation*}という\(\mathbb{R}\)の部分集合を定義します。\(a\)と\(b\)はともに\(A\)の要素ではありませんが、有理数の稠密性より、\(a<x<b\)を満たす有理数\(x\)が存在します。有理数は実数であるため、\(A\)は非空です。このとき、\begin{eqnarray*}
U\left( A\right) &=&\left\{ x\in
\mathbb{R}\ |\ b\leq x\right\} \\
L\left( A\right) &=&\left\{ x\in
\mathbb{R}\ |\ x\leq a\right\}
\end{eqnarray*}であるため、\begin{eqnarray*}
\sup A &=&\min U\left( A\right) =b \\
\inf A &=&\max L\left( A\right) =a
\end{eqnarray*}である一方で、\(\max A\)や\(\min A\)は存在しません。

上の例が示唆するように、\(\mathbb{R}\)の空でない部分集合\(A\)の上限が存在する場合、\(A\)の最大値は存在するとは限りません。しかし、\(A\)の上限が存在するとともに、それが\(A\)の要素である場合には、それは\(A\)の最大値であることが保証されます(演習問題とします)。同様に、\(A\)の下限が存在するとともに、それが\(A\)の要素である場合、それは\(A\)の最小値であることが保証されます。

命題(上限と最大値/下限と最小値の関係)
\(\mathbb{R}\)の非空な部分集合\(A\)を任意に選んだとき、以下が成り立つ。\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \sup A\text{が存在するとともに}\sup A\in A\text{ならば、}\sup A=\max A\text{が成り立つ} \\
&&\left( b\right) \ \inf A\text{が存在するとともに}\inf A\in A\text{ならば、}\inf A=\min A\text{が成り立つ}
\end{eqnarray*}
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次回は演算(加法と乗法)と順序(大小関係)の間に成立する関係について解説します。

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