実数集合の上限・下限

実数集合の上限

実数空間\(\mathbb{R} \)上には大小関係\(\leq \)と呼ばれる二項関係が定義されており、これは全順序としての性質\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall x\in \mathbb{R} :x\leq x \\
&&\left( b\right) \ \forall x,y\in \mathbb{R} :[(x\leq y\wedge y\leq x)\Rightarrow x=y] \\
&&\left( c\right) \ \forall x,y,z\in \mathbb{R} :\left[ \left( x\leq y\wedge y\leq z\right) \Rightarrow x\leq z\right] \\
&&\left( d\right) \ \forall x,y\in \mathbb{R} :\left( x\leq y\vee y\leq x\right)
\end{eqnarray*}を満たすことを公理として定めます。狭義大小関係\(\leq \)は、任意の実数\(x,y\in \mathbb{R} \)に対して以下の条件\begin{equation*}x<y\Leftrightarrow \left( x\leq y\wedge x\not=y\right)
\end{equation*}を満たすものとして定義される\(\mathbb{R} \)上の二項関係です。

実数集合\(\mathbb{R} \)の空ではない部分集合\(A\)が与えられたとき、ある実数\(a\)がこの集合\(A\)に属する任意の実数以上である場合には、つまり、\begin{equation*}\exists a\in \mathbb{R} ,\ \forall x\in A:x\leq a
\end{equation*}が成り立つならば、この実数\(a\)を集合\(A\)の上界と呼びます。集合\(A\)の上界は存在するとは限りませんし、存在する場合にも一意的に定まるとは限りません。そこで、集合\(A\)の上界をすべて集めることにより得られる集合を、\begin{equation*}U\left( A\right) =\{a\in \mathbb{R} \ |\ \forall x\in A:x\leq a\}
\end{equation*}で表記します。\(A\)が上界を持つ場合には、すなわち、\begin{equation*}U\left( A\right) \not=\phi
\end{equation*}である場合には、\(A\)は上に有界であると言います。

実数集合\(\mathbb{R} \)の空ではない部分集合\(A\)が上に有界である場合、その上界からなる集合\(U\left( A\right) \)は空ではない\(\mathbb{R} \)の部分集合であるため、その最小値\begin{equation*}\min U\left( A\right)
\end{equation*}が存在するか検討できます。この最小値が存在する場合、それを\(A\)の上限（supremum）や最小上界（least upper bound）などと呼び、\begin{equation*}\sup A=\min U\left( A\right)
\end{equation*}で表記します。

上限\(\sup A\)は集合\(U\left( A\right) \)の最小値であるため、最小値の定義より、\(\sup A\)は以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \sup A\in U\left( A\right) \\
&&\left( b\right) \ \forall y\in U\left( A\right) :\sup A\leq y
\end{eqnarray*}をともに満たす実数として定義されます。これらの条件をより具体的に表現すると、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \forall x\in A:x\leq \sup A \\
&&\left( b\right) \ \forall y\in \mathbb{R} :\left[ \left( \forall x\in A:x\leq y\right) \Rightarrow \sup A\leq y\right] \end{eqnarray*}となります。\(\left( a\right) \)は\(\sup A\)が\(A\)の上界であることを意味し、\(\left( b\right) \)は\(\sup A\)が\(A\)の任意の上界以下の実数であることを意味します。

上限\(\sup A\)は集合\(A\)の上界の1つであるため、これは\(A\)の要素であるとは限りません。その一方で、上限\(\sup A\)は集合\(A\)の上界からなる集合\(U\left( A\right) \)の最小値であるため、これは必ず\(U\left( A\right) \)の要素です。

実数集合の下限

実数集合\(\mathbb{R} \)の空ではない部分集合\(A\)が与えられたとき、ある実数\(a\)がこの集合\(A\)に属する任意の実数以下である場合には、つまり、\begin{equation*}\exists a\in \mathbb{R} ,\ \forall x\in A:a\leq x
\end{equation*}が成り立つならば、この実数\(a\)を集合\(A\)の下界と呼びます。集合\(A\)の下界は存在するとは限りませんし、存在する場合にも一意的に定まるとは限りません。そこで、集合\(A\)の下界をすべて集めることにより得られる集合を、\begin{equation*}L\left( A\right) =\{a\in \mathbb{R} \ |\ \forall x\in A:a\leq x\}
\end{equation*}で表記します。\(A\)が下界を持つ場合には、すなわち、\begin{equation*}L\left( A\right) \not=\phi
\end{equation*}である場合には、\(A\)は下に有界であると言います。

実数集合\(\mathbb{R} \)の空ではない部分集合\(A\)が下に有界である場合、その下界からなる集合\(L\left( A\right) \)は空ではない\(\mathbb{R} \)の部分集合であるため、その最大値\begin{equation*}\max L\left( A\right)
\end{equation*}が存在するか検討できます。この最大値が存在する場合、それを\(A\)の下限（infimum）や最大下界（greatest lower bound）などと呼び、\begin{equation*}\inf A=\max L\left( A\right)
\end{equation*}で表記します。

下限\(\inf A\)は集合\(L\left( A\right) \)の最大値であるため、最大値の定義より、\(\inf A\)は以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \inf A\in L\left( A\right) \\
&&\left( b\right) \ \forall y\in U\left( A\right) :y\leq \inf A
\end{eqnarray*}をともに満たす実数として定義されます。これらの条件をより具体的に表現すると、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \forall x\in A:\inf A\leq x \\
&&\left( b\right) \ \forall y\in \mathbb{R} :\left[ \left( \forall x\in A:y\leq x\right) \Rightarrow y\leq \inf A\right] \end{eqnarray*}となります。\(\left( a\right) \)は\(\inf A\)が\(A\)の下界であることを意味し、\(\left( b\right) \)は\(\inf A\)が\(A\)の任意の下界以上の実数であることを意味します。

下限\(\inf A\)は集合\(A\)の下界の1つであるため、これは\(A\)の要素であるとは限りません。その一方で、下限\(\inf A\)は集合\(A\)の下界からなる集合\(L\left( A\right) \)の最大値であるため、これは必ず\(L\left( A\right) \)の要素です。

上限と下限は異なるとは限らない

以下は上限と下限が異なる\(\mathbb{R} \)の部分集合の例です。

以下は上限と下限が一致する\(\mathbb{R} \)の部分集合の例です。

上限・下限であることの証明

\(\mathbb{R} \)の非空な部分集合\(A\)が与えられたとき、ある実数\(a\in \mathbb{R} \)が\(A\)の上限であることが直感的には自明であるものの、それを厳密に証明しなければならない状況を想定します。\(a\)が\(A\)の上限であることは、\(a\)が\(A\)の上界であるとともに、\(a\)が\(A\)の任意の上界以下であることを意味します。

実数\(a\)が集合\(A\)の上界であることは、\begin{equation*}\forall x\in A:x\leq a
\end{equation*}が成り立つことを意味しますが、これを示すのは容易です。つまり、\(A\)の要素\(x\)を任意に選んだ上で、これと上限の候補\(a\)の間に\(x\leq a\)が成り立つことを示すだけです。

では、上界\(a\)が\(A\)の任意の上界以下であることを示すためにはどうすればよいでしょうか。上界\(a\)が\(A\)の上限であるならば、\(a\)より小さい実数は\(A\)の上界になり得ません。したがって、\(a\)より小さい実数が\(A\)の上界になり得るものと仮定して矛盾を導けば、背理法より、\(a\)が上限であることを示したことになります。

具体的には、上限の候補\(a\)より小さい実数\(b\)が集合\(A\)の上界であるものと仮定する場合、\begin{equation*}\forall x\in A:x\leq b<a
\end{equation*}が成り立つことになりますが、\(b<a\)であるため、有理数の稠密性より、\begin{equation*}\exists r\in \mathbb{Q} :b<r<a
\end{equation*}を得ます。有理数は実数であるため、このとき、\begin{equation*}
\exists r\in \mathbb{R} ,\ \forall x\in A:x\leq b<r<a
\end{equation*}となります。したがって、\begin{equation*}
r\in A
\end{equation*}であることを言えれば、\(b\)より大きい\(A\)の要素である\(r\)が存在することとなり、これは\(b\)が\(A\)の上界であることと矛盾します。以上が論証の流れです。

下限の証明についても同様に考えます。これ以外にも、数列を用いる方法など様々な手法が存在しますが、それらについては必要な道具が揃った時点において改めて解説します。

上限や下限は存在するとは限らない

\(\mathbb{R} \)の非空な部分集合\(A\)は上限や下限を持つとは限りません。

集合\(A\)が上に有界ではない場合には\(U\left( A\right) =\phi \)となりますが、空集合の最小値は存在しないため、この場合、\(U\left( A\right) \)の最小値に相当する\(\sup A\)は存在しません。

集合\(A\)が下に有界ではない場合には\(L\left( A\right) =\phi \)となりますが、空集合の最大値は存在しないため、この場合、\(L\left( A\right) \)の最大値に相当する\(\inf A\)は存在しません。

\(\mathbb{R} \)の非空な部分集合\(A\)が上に有界ではない場合には上限を持たず、\(A\)が下に有界ではない場合には下限を持たないことが明らかになりました。では、\(\mathbb{R} \)の非空な部分集合\(A\)が上に有界であるにも関わらず上限を持たない事態や、\(A\)が下に有界であるにもかかわらず下限を持たない事態は起こり得るのでしょうか。これは実数の連続性と呼ばれる公理と深い関係があります。詳細は後述します。

上限や下限の一意性

\(\mathbb{R} \)の非空な部分集合\(A\)の上限や下限は存在するとは限らないことが明らかになりました。ただ、上限や下限が存在する場合、それらはそれぞれ1つの実数として定まることが保証されます。

上限と最大値・下限と最小値の関係

\(\mathbb{R} \)の非空な部分集合\(A\)の最大値は存在するとは限りませんが、\(A\)の最大値が存在する場合、それは\(A\)の上限でもあります。また、\(A\)の最小値が存在する場合、それは\(A\)の下限でもあります。

\(\mathbb{R} \)の非空な部分集合\(A\)の最大値が存在する場合には、それは\(A\)の上限と一致することが明らかになりました。また、\(A\)の最小値が存在する場合、それは\(A\)の下限と一致することが明らかになりました。では、\(A\)の最大値が存在しない場合、\(A\)の上限もまた存在しないとまで言えるのでしょうか。また、\(A\)の最小値が存在しない場合、\(A\)の下限もまた存在しないとまで言えるのでしょうか。これらの主張は成り立ちません。つまり、\(A\)の最大値が存在しない一方で\(A\)の上限が存在する状況や、\(A\)の最小値が存在しない一方で\(A\)の下限が存在する状況は起こり得ます。以下の例より明らかです。

\(\mathbb{R} \)の非空な部分集合\(A\)の上限が存在する場合、\(A\)の最大値は存在するとは限らないことが明らかになりました。しかし、\(A\)の上限が存在するとともに、それが\(A\)の要素である場合には、それは\(A\)の最大値であることが保証されます。同様に、\(A\)の下限が存在するとともに、それが\(A\)の要素である場合、それは\(A\)の最小値であることが保証されます。

有限集合の上限と下限

\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)が有限集合である場合、すなわち、\(A\)に属する要素の個数が有限である場合、\(A\)の上限と下限はともに存在することが保証されます。

空集合の上限と下限

これまでは\(\mathbb{R} \)の非空な部分集合\(A\)を対象に、その上限や下限を考えてきました。空集合は任意の集合の部分集合であるため\(\phi \subset \mathbb{R} \)です。では、空集合の上限や下限は存在するのでしょうか。空集合の上限と下限は存在しません。

上限や下限に関する近似性質

上限や下限に関する以下の性質は有用です。これを上限や下限に関する近似性質（approximation property for suprema and infimum）と呼びます。

演習問題