\(\mathbb{R}\)の空でない部分集合\(A\)が上に有界であるとき、\(A\)の上界からなる集合\(U\left( A\right) \)の最小値が存在するならば、それを\(A\)の上限と呼びます。また、\(A\)が下に有界であるとき、\(A\)の下界からなる集合\(L\left( A\right)\)の最大値が存在するならば、それを\(A\)の下限と呼びます。

上限

\(\mathbb{R}\)の空でない部分集合\(A\)が上に有界であるとき、\(A\)の上界からなる集合\(U\left( A\right) \)に最小値が存在するならば、それを\(A\)の上限(supremum)や最小上界(least upper bound)などと呼び、\begin{equation*}
\sup A=\min U\left( A\right)
\end{equation*}で表します。

定義より、\(\sup A\)は必ずしも\(A\)の要素である必要はない一方で、\(U\left( A\right) \)の要素でなければなりません。

定義より、\(\mathbb{R}\)の非空な部分集合\(A\)に対してその上限\(\sup A\)が存在する場合には、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \forall x\in A:x\leq \sup A \\
&&\left( b\right) \ \forall x\in A,\ \forall y\in \mathbb{R}:[x\leq y\ \Rightarrow \ \sup A\leq y] \end{eqnarray*}がともに成り立ちます。つまり、\(\left( a\right) \ \sup A\)は\(A\)に属する任意の要素以上である(\(A\)の上界である)と同時に、\(\left( b\right) \ \sup A\)は\(A\)に属する任意の要素以上であるような任意の実数以下(\(A\)の任意の上界以下)です。

上限を以下のように表現することもできます。つまり、\(\left( a\right) \ A\)に属する任意の要素以上(\(A\)の上界である)であると同時に、\(\left( b\right) \ \)それよりも小さい任意の実数は\(A\)の上界ではない、という 2 つの条件によって上限を特徴づけることができます。

命題(上限の特徴づけ)
\(\mathbb{R}\)の空でない部分集合\(A\)とある実数\(a\in \mathbb{R}\)について、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \forall x\in A:x\leq a \\
&&\left( b\right) \ \forall \varepsilon >0,\ \exists x\in A:a-\varepsilon <x
\end{eqnarray*}がともに成り立つことは、\(\sup A=a\)であるための必要十分条件である。
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例(上限)
\(\mathbb{R}\)の部分集合\(A=\left( 0,1\right) \)において\(\sup A=1\)であることを示します。まず、任意の\(x\in A\)に対して\(x\leq 1\)であるため\(1\)は\(A\)の上界です。一方、\(1\)より小さい任意の実数は\(A\)の上界ではありません。なぜなら、\(1\)より小さいそれぞれの実数を\(\varepsilon >0\)を用いて\(1-\varepsilon \)で表すとき、それに対して、\begin{equation*}
1-\varepsilon <1-\frac{\varepsilon }{2}<1
\end{equation*}を満たす実数\(1-\frac{\varepsilon }{2}\varepsilon \)が\(A\)の中に存在するからです。ゆえに\(\sup A=1\)であることが示されました。

 

下限

\(\mathbb{R}\)の空でない部分集合\(A\)が下に有界であるとき、\(A\)の下界からなる集合\(L\left( A\right) \)に最大値が存在するならば、それを\(A\)の下限(infimum)や最大下界(greatest lower bound)などと呼び、\begin{equation*}
\inf A=\max L\left( A\right)
\end{equation*}で表します。定義より、\(\inf A\)は必ずしも\(A\)の要素である必要はない一方で、\(L\left( A\right) \)の要素でなければなりません。

定義より、\(\mathbb{R}\)の非空な部分集合\(A\)に対してその下限\(\inf A\)が存在する場合には、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \forall x\in A:\inf A\leq x \\
&&\left( b\right) \ \forall x\in A,\ \forall y\in \mathbb{R}:[y\leq x\ \Rightarrow \ y\leq \inf A] \end{eqnarray*}がともに成り立ちます。つまり、\(\left( a\right) \ \inf A\)は\(A\)に属する任意の要素以下である(\(A\)の下界である)と同時に、\(\left( b\right) \ \inf A\)は\(A\)に属する任意の要素以下であるような任意の実数以上(\(A\)の任意の下界以上)です。

下限を以下のように表現することもできます。つまり、\(\left( a\right) \ A\)に属する任意の要素以下(\(A\)の下界である)であると同時に、\(\left( b\right) \ \)それよりも大きい任意の実数は\(A\)の下界ではない、という 2 つの条件によって下限を特徴づけることができます。

命題(下限の特徴づけ)
\(\mathbb{R}\)の空でない部分集合\(A\)とある実数\(a\in \mathbb{R}\)について、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \forall x\in A:a\leq x \\
&&\left( b\right) \ \forall \varepsilon >0,\ \exists x\in A:x<a+\varepsilon \end{eqnarray*}がともに成り立つことは、\(\inf A=a\)であるための必要十分条件である。
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例(下限)
\(\mathbb{R}\)の部分集合\(A=\left( 0,1\right) \)において\(\inf A=0\)であることを示します。まず、任意の\(x\in A\)に対して\(0\leq x\)であるため\(0\)は\(A\)の下界です。一方、\(0\)より大きい任意の実数は\(A\)の下界ではありません。なぜなら、\(0\)より大きいそれぞれの実数を\(\varepsilon >0\)を用いて\(\varepsilon\)で表すとき、それに対して、\begin{equation*}
0<\frac{\varepsilon }{2}<\varepsilon
\end{equation*}を満たす実数\(\frac{\varepsilon }{2}\)が\(A\)の中に存在するからです。ゆえに\(\inf A=0\)であることが示されました。

 

上限・下限の一意性

\(\mathbb{R}\)の部分集合には上限や下限は存在するとは限りませんが、存在する場合にはそれぞれ一意的に定まります。

命題(上限・下限の一意性)
\(\mathbb{R}\)の任意の部分集合\(A\)について以下が成り立つ。\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \sup A\text{が存在するならば、それは一意的である。} \\
&&\left( b\right) \ \inf A\text{が存在するならば、それは一意的である。}
\end{eqnarray*}
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最大値・最小値との関係

\(\mathbb{R}\)の部分集合に最大値が存在する場合には、それは同時に上限でもあります。また、最小値は下限です。

命題(最大値・最小値との関係)
\(\mathbb{R}\)の任意の部分集合\(A\)について以下が成り立つ。\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \max A\text{が存在するならば、}\max A=\sup A\text{が成り立つ。} \\
&&\left( b\right) \ \min A\text{が存在するならば、}\min A=\inf A\text{が成り立つ。}
\end{eqnarray*}
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\(\mathbb{R}\)の部分集合について、最大値が存在する場合にはそれは上限でもあり、最小値が存在する場合にはそれは下限でもあることが示されました。しかし、以下で例示するように、最大値が存在しない場合に上限が存在する状況や、最小値が存在しない場合に下限が存在する状況は起こり得ます。したがって、上限や下限は最大値や最小値よりも広い概念です。

例(上限)
\(\mathbb{R}\)の部分集合\(A=\left( 0,1\right) \)の上限が\(\sup A=1\)であることは先ほど示した通りです。一方、\(\max A\)は存在しません。なぜなら、仮に\(\max A\)が存在するとき、最大値の定義より\(0<\max A<1\)が成り立つため、限りなく小さい\(\varepsilon >0\)をとれば\(\max A+\varepsilon \in A\)かつ\(\max A<\max A+\varepsilon \)が成り立ちますが、これは\(\max A\)が\(A\)の最大値であることと矛盾するからです。

上の例で示したように、\(\mathbb{R}\)の部分集合に上限が存在する場合でも最大値は存在するとは限りません。しかし、上限がその部分集合の要素である場合には、それは同時に最大値です。下限と最小値の間にも同様の関係が成立します。

命題(最大値・最小値との関係)
\(\mathbb{R}\)の任意の部分集合\(A\)について以下が成り立つ。\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \sup A\text{が存在すると同時に}\sup A\in A\text{ならば、}\sup A=\max A\text{が成り立つ。}
\\
&&\left( b\right) \ \inf A\text{が存在すると同時に}\inf A\in A\text{ならば、}\inf A=\min A\text{が成り立つ。}
\end{eqnarray*}
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上限と下限の関係

\(\mathbb{R}\)の部分集合\(A\)に対して、\begin{equation*}
-A=\left\{ -a\in \mathbb{R}\ |\ a\in A\right\}
\end{equation*}という\(\mathbb{R}\)の部分集合を定義します。以上を踏まえた上で、上限と下限の間に成立する以下の命題を証明します。

命題(上限と下限の関係)
\(\mathbb{R}\)の部分集合\(A\)について以下が成り立つ。\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ A\text{が上に有界ならば}-A\text{は下に有界であり、}\inf \left( -A\right) =-\sup \left( A\right) \text{が成り立つ。} \\
&&\left( b\right) \ A\text{が下に有界ならば}-A\text{は上に有界であり、}\sup \left( -A\right) =-\inf \left( A\right) \text{が成り立つ。}
\end{eqnarray*}
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次回は区間について解説します。
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