実数の連続性より、すべての自然数からなる集合\(\mathbb{N}\)は上に有界ではないことが示されます。これをアルキメデスの原理と呼びます。

アルキメデスの原理

実数の連続性から導かれる以下の命題をアルキメデスの原理(Archimedean Property)と呼びます。

命題(アルキメデスの原理)
すべての自然数からなる集合\(\mathbb{N}\)は上に有界ではない。
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アルキメデスの原理の言い換え

アルキメデスの原理を以下のように表現することもできます。つまり、正の実数\(x,y\)について\(y\)が\(x\)より大きくても、\(x\)を繰り返し加えていけばいつかは\(y\)を超えられるという事実によってアルキメデスの原理を表現できます。

命題(アルキメデスの原理)
任意の実数\(x,y\in \mathbb{R}\)に対して,\begin{equation*}
0<x<y\ \Rightarrow \ \exists n\in \mathbb{N}:y<nx
\end{equation*}が成り立つことは、すべての自然数からなる集合\(\mathbb{N}\)が上に有界でないための必要十分条件である。
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次回はこれまで学んだ実数の公理について総括します。
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