整数の定義

整数の定義

公理主義的実数論の立場のもと、実数空間\(\mathbb{R} \)上に加法\(+\)および乗法\(\cdot \)と呼ばれる二項演算と、大小関係\(\leq \)と呼ばれる二項関係を定義した上で、これらが完備な全順序体としての性質\begin{eqnarray*}&&\left( R_{1}\right) \ \forall x,y,z\in \mathbb{R} :\left( x+y\right) +z=x+\left( y+z\right) \\
&&\left( R_{2}\right) \ \exists 0\in \mathbb{R} ,\ \forall x\in \mathbb{R} :x+0=x \\
&&\left( R_{3}\right) \ \forall x\in \mathbb{R} ,\ \exists -x\in \mathbb{R} :x+\left( -x\right) =0 \\
&&\left( R_{4}\right) \ \forall x,y\in \mathbb{R} :x+y=y+x \\
&&\left( R_{5}\right) \ \forall x,y,z\in \mathbb{R} :\left( x\cdot y\right) \cdot z=x\cdot \left( y\cdot z\right) \\
&&\left( R_{6}\right) \ \exists 1\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} ,\ \forall x\in \mathbb{R} :x\cdot 1=x \\
&&\left( R_{7}\right) \ \forall x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} ,\ \exists x^{-1}\in \mathbb{R} :x\cdot x^{-1}=1 \\
&&\left( R_{8}\right) \ \forall x,y\in \mathbb{R} :x\cdot y=y\cdot x \\
&&\left( R_{9}\right) \ \forall x,y,z\in \mathbb{R} :\left( x+y\right) \cdot z=x\cdot z+y\cdot z \\
&&\left( R_{10}\right) \ \forall x\in \mathbb{R} :x\leq x \\
&&\left( R_{11}\right) \ \forall x,y\in \mathbb{R} :[(x\leq y\wedge y\leq x)\Rightarrow x=y] \\
&&\left( R_{12}\right) \ \forall x,y,z\in \mathbb{R} :\left[ \left( x\leq y\wedge y\leq z\right) \Rightarrow x\leq z\right] \\
&&\left( R_{13}\right) \ \forall x,y\in \mathbb{R} :\left( x\leq y\vee y\leq x\right) \\
&&\left( R_{14}\right) \ \forall x,y,z\in \mathbb{R} :\left( x\leq y\Rightarrow x+z\leq y+z\right) \\
&&\left( R_{15}\right) \ \forall x,y\in \mathbb{R} :\left[ \left( 0\leq x\wedge 0\leq y\right) \Rightarrow 0\leq x\cdot y\right] \\
&&\left( R_{16}\right) \ \text{連続性}
\end{eqnarray*}を満たすことを公理として定めました。ただし、連続性とは、\(\mathbb{R} \)の切断\(\left\langle A,B\right\rangle \)を任意に選んだとき、以下の2つの条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \max A\text{は存在するが}\min B\text{は存在しない} \\
&&\left( b\right) \ \max A\text{は存在しないが}\min B\text{は存在する}
\end{eqnarray*}のどちらか一方が必ず成り立つことを意味します。公理主義的実数論のもとでは、実数に関する主張はいずれも以上の公理から導く必要があります。

自然数の定義を簡単に復習します。実数空間\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)が帰納的集合であることとは、以下の2つの性質\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ 1\in A \\
&&\left( b\right) \ \forall x\in \mathbb{R} :\left( x\in A\Rightarrow x+1\in A\right)
\end{eqnarray*}を満たすこととして定義されます。\(\mathbb{R} \)におけるすべての帰納的集合からなる集合族を、\begin{equation*}\left\{ A_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }
\end{equation*}で表記するとき、すべての自然数からなる集合\(\mathbb{N} \)は、この集合族の共通部分\begin{equation*}\mathbb{N} =\bigcap\limits_{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda }\end{equation*}として定義されます。したがって、実数\(x\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、以下の関係\begin{equation*}x\in \mathbb{N} \Leftrightarrow \forall \lambda \in \Lambda :x\in A_{\lambda }
\end{equation*}が成り立ちます。実数\(x\)が自然数であることと、その\(x\)がすべての帰納的集合の要素であることは必要十分であるということです。自然数集合\(\mathbb{N} \)もまた\(\mathbb{R} \)における帰納的集合であるため、\(1\in \mathbb{N} \)を出発点として個々の自然数を以下の形\begin{eqnarray*}2 &=&1+1 \\
3 &=&2+1 \\
&&\vdots
\end{eqnarray*}で再帰的に定義します。したがって、\begin{equation*}\mathbb{N} =\left\{ 1,2,3,\cdots \right\}
\end{equation*}を得ます。自然数の間には、\begin{equation*}
1<2<3<\cdots
\end{equation*}という大小関係が成立します。

以上の要領で自然数集合\(\mathbb{N} \)が定義されている状況を想定します。その上で、実数\(x\in \mathbb{R} \)が以下の条件\begin{equation*}x\in \mathbb{N} \vee x=0\vee -x\in \mathbb{N} \end{equation*}を満たす場合、\(x\)を整数（integer）と呼びます。つまり、自然数、ゼロ、自然数の加法逆元の中の少なくとも1つであるような実数を整数と呼ぶということです。

すべての整数からなる集合を、\begin{equation*}\mathbb{Z} =\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ x\in \mathbb{N} \vee x=0\vee -x\in \mathbb{N} \right\}
\end{equation*}で表記します。自然数の加法逆元からなる集合を、\begin{equation*}
-\mathbb{N} =\left\{ -x\in \mathbb{R} \ |\ x\in \mathbb{N} \right\}
\end{equation*}と表記するのであれば、整数集合を、\begin{equation*}\mathbb{Z} =\mathbb{N} \cup \left\{ 0\right\} \cup -\mathbb{N} \end{equation*}すなわち、\begin{eqnarray*}\mathbb{Z} &=&\left\{ 1,2,3,\cdots \right\} \cup \left\{ 0\right\} \cup \left\{
-1,-2,-3,\cdots \right\} \\
&=&\left\{ \cdots ,-3,-2,-1,0,1,2,3,\cdots \right\}
\end{eqnarray*}と表現することもできます。

整数と自然数の関係

自然数、ゼロ、自然数の加法逆元の中の少なくとも1つであるような実数を整数と定義しましたが、それぞれの整数は自然数、ゼロ、自然数の加法逆元の中のどれか1つであることが保証されます。

実数が正の整数であること、その実数が自然数であることは必要十分です。つまり、正の整数からなる集合を、\begin{equation*}\mathbb{Z} _{++}=\left\{ x\in \mathbb{Z} \ |\ x>0\right\}
\end{equation*}で表記する場合、以下の関係\begin{equation*}\mathbb{Z} _{++}=\mathbb{N} \end{equation*}が成り立つということです。

実数が負の整数であることと、その実数の加法逆元が自然数であることは必要十分です。つまり、負の整数からなる集合を、\begin{equation*}\mathbb{Z} _{− −}=\left\{ x\in \mathbb{Z} \ |\ x<0\right\}
\end{equation*}で表記する場合、以下の関係\begin{equation*}\mathbb{Z} _{− −}=-\mathbb{N} \end{equation*}が成り立つということです。

整数集合は加法について閉じている

整数どうしの和は整数になることが保証されます。つまり、整数集合\(\mathbb{Z} \)は加法について閉じているということです。

整数集合は減法について閉じている

整数どうしの差は整数になることが保証されます。つまり、整数集合\(\mathbb{Z} \)は減法について閉じているということです。

整数集合は乗法について閉じている

整数どうしの積は整数になることが保証されます。つまり、整数集合\(\mathbb{Z} \)は乗法について閉じているということです。

整数集合は除法について閉じていない

整数どうしの商は自然数になるとは限りません。つまり、整数集合\(\mathbb{Z} \)は除法について閉じていないということです。以下の例より明らかです。

演習問題