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DEFINITION OF REAL NUMBER

除法

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除法

実数\(x\in \mathbb{R}\)と\(y\in \mathbb{R}\backslash \left\{ 0\right\} \)をそれぞれ任意に選んだ上で、実数を値として取る変数\(z\in \mathbb{R}\)に関する方程式\begin{equation}
y\cdot z=x \quad \cdots (1)
\end{equation}を考えます。\(y\)は\(0\)ではない実数であるため、その乗法逆元\(y^{-1}\)に相当する実数が存在します。また、\(\mathbb{R}\)は乗法について閉じているため\(x\cdot y^{-1}\)もまた実数です。そこで、方程式\(\left( 1\right) \)の解の候補として実数\(z=x\cdot y^{-1}\)を考えると、\begin{align*}
y\cdot z& =y\cdot \left( x\cdot y^{-1}\right) \quad \because z=x\cdot y^{-1}
\\
& =y\cdot \left( y^{-1}\cdot x\right) \quad \because \ \text{乗法の交換律} \\
& =\left( y\cdot y^{-1}\right) \cdot x\quad \because \ \text{乗法の結合律} \\
& =1\cdot x\quad \because \ \text{乗法逆元の定義} \\
& =x\quad \because \ \text{乗法単位元の定義}
\end{align*}となるため、\(x\cdot y^{-1}\)が方程式\(\left( 1\right) \)の解であることが示されました。

さらに、方程式\(\left( 1\right) \)の解が一意的であることを示すために、これが異なる2つの解\(z,z^{\prime }\)を持つものと仮定します。このとき\(y\cdot z=x\)と\(y\cdot z^{\prime }=x\)が成り立ちます。すると\(y\cdot z=y\cdot z^{\prime }\)が成り立ちますが、乗法に関する簡約法則より\(z=z^{\prime }\)となります。これは\(z\)と\(z^{\prime }\)が異なるという事実と矛盾するため、方程式\(\left( 1\right) \)の解は一意的です。

命題(除法の根拠)
実数\(x\in \mathbb{R}\)と\(y\in \mathbb{R}\backslash \left\{ 0\right\} \)をそれぞれ任意に選んだとき、方程式\(y\cdot z=x\)は一意的な解\(z=x\cdot y^{-1}\in \mathbb{R}\)を持つ。

上の命題より、乗法\(\cdot \)が与えられたとき、実数\(x\)と\(0\)ではない実数\(y\)からなるそれぞれの順序対\(\left( x,y\right) \)に対して、方程式\(y\cdot z=x\)の一意的な解に相当する実数\(x\cdot y^{-1}\)を定める\(\mathbb{R}\)上の二項演算が定義可能です。これを除法(division)と呼び、その演算子を\(/\)で表します。さらに、除法\(/\)が実数の順序対\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R}\times \mathbb{R}\backslash \left\{ 0\right\} \)に対して定める実数\(x\cdot y^{-1}\)を、\begin{equation*}
x/y,\quad \frac{x}{y},\quad x\div y
\end{equation*}などで表記し、これを\(x\)と\(y\)の(quotient)と呼びます。また、\(\left( x,y\right) \)に対して\(/\)を適用することを、\(x\)を\(y\)で割る(devide)と呼びます。

 

乗法単位元との除法

乗法単位元\(1\)は\(0\)とは異なる実数であるため、任意の実数\(x\)を\(1\)で割ることができますが、それについては、\begin{equation*}
\frac{x}{1}=x
\end{equation*}が成り立ちます(演習問題にします)。つまり、任意の実数を\(1\)で割っても変化は起こりません。また、\(1\)は実数であるためこれを\(0\)とは異なる任意の実数\(x\)で割ることができますが、それについては、\begin{equation*}
\frac{1}{x}=x^{-1}
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、\(1\)を\(0\)とは異なる実数で割るとその実数の乗法逆元が得られます(演習問題にします)。

命題(乗法単位元との除法)
実数\(x\in \mathbb{R}\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}
\frac{x}{1}=x
\end{equation*}が成り立ち、実数\(x\in \mathbb{R}\backslash \left\{ 0\right\} \)を任意に選んだとき、\begin{equation*}
\frac{1}{x}=x^{-1}
\end{equation*}が成り立つ。
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積や商の乗法逆元

\(\mathbb{R}\)は乗法について閉じているため、\(0\)とは異なる実数\(x,y\)を任意に選んだとき、それらの積\(x\cdot y\)もまた実数です。しかも、詳細は場を改めて解説しますが、後ほど導入する分配律と呼ばれる公理を利用すると\(x\cdot y\)が\(0\)とは異なる実数になることが保証されるため、乗法逆元の定義より\(\left( x\cdot y\right) ^{-1}\)が存在します。しかも、これについては、\begin{equation*}
\left( x\cdot y\right) ^{-1}=x^{-1}\cdot y^{-1}
\end{equation*}が成り立ちます(演習問題にします)。つまり、積の乗法逆元は乗法逆元の積と一致します。

\(\mathbb{R}\backslash \left\{ 0\right\} \)は除法について閉じているため、\(0\)とは異なる実数\(x,y\)を任意に選んだとき、それらの商\(\frac{x}{y}\)もまた実数です。しかも、詳細は場を改めて解説しますが、後ほど導入する分配律と呼ばれる公理を利用すると\(\frac{x}{y}\)が\(0\)とは異なる実数になることが保証されるため、乗法逆元の定義より\(\left( \frac{x}{y}\right) ^{-1}\)が存在します。しかも、これについては、\begin{equation*}
\left( \frac{x}{y}\right) ^{-1}=\frac{y}{x}
\end{equation*}が成り立ちます(演習問題にします)。つまり、商の乗法逆元はもとの商の逆数と一致します。

命題(積や商の乗法逆元)
実数\(x,y\in \mathbb{R}\backslash \left\{ 0\right\} \)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \left( x\cdot y\right) ^{-1}=x^{-1}\cdot y^{-1} \\
&&\left( b\right) \ \left( \frac{x}{y}\right) ^{-1}=\frac{y}{x}
\end{eqnarray*}がともに成り立つ。
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演習問題

問題(商の乗法逆元)
実数\(x,y\in \mathbb{R}\backslash \left\{ 0\right\} \)を任意に選んだとき、\begin{equation*}
\left( \frac{x^{-1}}{y^{-1}}\right) ^{-1}=\frac{x}{y}
\end{equation*}が成り立つことを証明してください。
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問題(積の乗法逆元)
実数\(x,y,z\in \mathbb{R}\backslash \left\{ 0\right\} \)を任意に選んだとき、\begin{equation*}
\left( x\cdot y\cdot z\right) ^{-1}=x^{-1}\cdot y^{-1}\cdot z^{-1}
\end{equation*}が成り立つことを証明してください。
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問題(商)
\(x\in \mathbb{R}\)と\(y,z\in \mathbb{R}\backslash \left\{ 0\right\} \)をそれぞれ任意に選んだとき、\begin{equation*}
\frac{x}{y}=\frac{x\cdot z}{y\cdot z}
\end{equation*}が成り立つことを証明してください。
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問題(商)
\(a,c\in \mathbb{R}\)と\(b,d\in \mathbb{R}\backslash \left\{ 0\right\} \)をそれぞれ任意に選んだとき、\begin{equation*}
\frac{a}{b}\cdot \frac{c}{d}=\frac{a\cdot c}{b\cdot d}
\end{equation*}が成り立つことを証明してください。
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問題(商)
\(a\in \mathbb{R}\)と\(b,c,d\in \mathbb{R}\backslash \left\{ 0\right\} \)をそれぞれ任意に選んだとき、\begin{equation*}
\left. \frac{a}{b}\right/ \frac{c}{d}=\frac{a\cdot d}{b\cdot c}
\end{equation*}が成り立つことを証明してください。
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問題(分配律)
本文中で指摘したように、これまで登場した公理に加えて分配律(distributive law)と呼ばれる公理を導入すると、\(0\)とは異なる実数どうしの積や商が\(0\)ではないことが示されます。分配律について少し先取りしておきましょう。分配律とは加法と乗法の関係を規定する公理であり、具体的には、\begin{equation*}
\forall x,y,z\in \mathbb{R}:\left( x+y\right) \cdot z=x\cdot z+y\cdot z
\end{equation*}と定義されます。これまで登場した公理に加えて分配律もまた公理として認めるとき、以下が成り立つことをそれぞれ証明してください。
  1. 任意の実数と\(0\)の積は\(0\)になる。すなわち、\begin{equation*}
    \forall x\in \mathbb{R}:x\cdot 0=x
    \end{equation*}が成り立つ。
  2. \(0\)とは異なる実数どうしの積は\(0\)ではない。すなわち、\begin{equation*}
    \forall x,y\in \mathbb{R}\backslash \left\{ 0\right\} :x\cdot y\not=0
    \end{equation*}
  3. \(0\)とは異なる実数どうしの商は\(0\)ではない。すなわち、\begin{equation*}
    \forall x,y\in \mathbb{R}\backslash \left\{ 0\right\} :\frac{x}{y}\not=0
    \end{equation*}
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次回は加法と除法の関係を規定する公理について解説します。

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