実数の除法

除法の定義

公理主義的実数論の立場のもとで、すべての実数からなる集合\(\mathbb{R} \)上に乗法\(\cdot :\mathbb{R} \times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)と呼ばれる二項演算を定義した上で、これは以下の性質\begin{eqnarray*}&&\left( R_{5}\right) \ \forall x,y,z\in \mathbb{R} :\left( x\cdot y\right) \cdot z=x\cdot \left( y\cdot z\right) \\
&&\left( R_{6}\right) \ \exists 1\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} ,\ \forall x\in \mathbb{R} :x\cdot 1=x \\
&&\left( R_{7}\right) \ \forall x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} ,\ \exists x^{-1}\in \mathbb{R} :x\cdot x^{-1}=1 \\
&&\left( R_{8}\right) \ \forall x,y\in \mathbb{R} :x\cdot y=y\cdot x
\end{eqnarray*}を満たすことを公理として定めました。以上の公理を利用して、除法と呼ばれる新たな二項演算を定義します。具体的には以下の通りです。

実数\(x\in \mathbb{R} \)および非ゼロの実数\(y\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)をそれぞれ任意に選んだ上で、実数を値として取る変数\(z\in \mathbb{R} \)に関する方程式\begin{equation}y\cdot z=x \quad \cdots (1)
\end{equation}を定義します。\(y\)は非ゼロの実数であるため、公理\(\left( R_{7}\right) \)より、その乗法逆元\(y^{-1}\)に相当する実数が存在します。また、\(\mathbb{R} \)は乗法について閉じているため\(x\cdot y^{-1}\)もまた実数です。そこで、方程式\(\left( 1\right) \)の解の候補として実数\begin{equation}z=x\cdot y^{-1} \quad \cdots (2)
\end{equation}に注目すると、\begin{align*}
y\cdot z& =y\cdot \left( x\cdot y^{-1}\right) \quad \because \left( 2\right)
\\
& =y\cdot \left( y^{-1}\cdot x\right) \quad \because \ \text{乗法の交換律}\left( R_{8}\right) \\
& =\left( y\cdot y^{-1}\right) \cdot x\quad \because \ \text{乗法の結合律}\left( R_{5}\right) \\
& =1\cdot x\quad \because \ \text{乗法逆元の定義}\left( R_{7}\right) \\
& =x\quad \because \ \text{乗法単位元の定義}\left( R_{6}\right)
\end{align*}となるため、\(\left( 2\right) \)が方程式\(\left( 1\right) \)の解であることが明らかになりました。

さらに、方程式\(\left( 1\right) \)の解が一意的であることを示すために、\(\left( 1\right) \)が異なる2つの解\(z,z^{\prime }\)を持つものと仮定します。すると、\begin{eqnarray*}y\cdot z &=&x \\
y\cdot z^{\prime } &=&x
\end{eqnarray*}がともに成り立つため、\begin{equation*}
y\cdot z=y\cdot z^{\prime }
\end{equation*}を得ますが、これと乗法に関する簡約法則より、\begin{equation*}
z=z^{\prime }
\end{equation*}を得ます。これは\(z\)と\(z^{\prime }\)が異なるという事実と矛盾するため、背理法より方程式\(\left(1\right) \)の解は一意的であることが明らかになりました。

上の命題より、乗法\(\cdot \)が与えられたとき、実数\(x\)と非ゼロの実数\(y\)を成分とするそれぞれの順序対\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、方程式\(y\cdot z=x\)の一意的な解に相当する実数\(x\cdot y^{-1}\)が1つの実数として定まることが明らかになりました。つまり、\begin{equation*}\forall \left( x,y\right) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} :x\cdot y^{-1}\in \mathbb{R} \end{equation*}が成り立つということです。このような事情を踏まえると、順序対\(\left( x,y\right) \)に対して実数\(x\cdot y^{-1}\)を定める二項演算が定義可能です。これを除法（division）と呼び、\begin{equation*}/:\mathbb{R} \times \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}で表記します。その上で、除法\(/\)が順序対\(\left( x,y\right) \)に対して定める実数\(x\cdot y^{-1}\)を、\begin{equation*}x/y,\quad \frac{x}{y},\quad x\div y
\end{equation*}などで表記し、これを\(x\)と\(y\)の商（quotient）と呼びます。順序対\(\left( x,y\right) \)に除法\(/\)を作用させることを\(x\)を\(y\)で割る（devide）と呼びます。

乗法単位元との除法

乗法単位元\(1\)は\(0\)とは異なる実数であるため、任意の実数\(x\)を\(1\)で割ることができますが、それについては、\begin{equation*}\frac{x}{1}=x
\end{equation*}が成り立ちます（演習問題）。つまり、任意の実数を\(1\)で割っても変化は起こりません。また、\(1\)は実数であるためこれを\(0\)とは異なる任意の実数\(x\)で割ることができますが、それについては、\begin{equation*}\frac{1}{x}=x^{-1}
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、\(1\)を\(0\)とは異なる実数で割るとその実数の乗法逆元が得られます（演習問題）。

積や商の乗法逆元

\(\mathbb{R} \)は乗法について閉じているため、\(0\)とは異なる実数\(x,y\)を任意に選んだとき、それらの積\(x\cdot y\)もまた実数です。しかも、詳細は場を改めて解説しますが、後ほど導入する分配律と呼ばれる公理を利用すると\(x\cdot y\)が\(0\)とは異なる実数になることが保証されるため、乗法逆元の定義より\(\left( x\cdot y\right) ^{-1}\)が存在します。しかも、これについては、\begin{equation*}\left( x\cdot y\right) ^{-1}=x^{-1}\cdot y^{-1}
\end{equation*}が成り立ちます（演習問題）。つまり、積の乗法逆元は乗法逆元の積と一致します。

\(\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)は除法について閉じているため、\(0\)とは異なる実数\(x,y\)を任意に選んだとき、それらの商\(\frac{x}{y}\)もまた実数です。しかも、詳細は場を改めて解説しますが、後ほど導入する分配律と呼ばれる公理を利用すると\(\frac{x}{y}\)が\(0\)とは異なる実数になることが保証されるため、乗法逆元の定義より\(\left( \frac{x}{y}\right) ^{-1}\)が存在します。しかも、これについては、\begin{equation*}\left( \frac{x}{y}\right) ^{-1}=\frac{y}{x}
\end{equation*}が成り立ちます（演習問題）。つまり、商の乗法逆元はもとの商の逆数と一致します。

演習問題