指数が実数である場合の累乗

実数指数の累乗

実数\(a\in \mathbb{R} \)と自然数\(n\in \mathbb{N} \)が与えられたとき、底が\(a\)で指数が\(n\)であるような累乗を、\begin{equation*}a^{n}=\overset{n\text{個}}{\overbrace{a\times \cdots \times a}}
\end{equation*}と定義した上で、これが指数法則などの性質を満たすことを示しました。

以上を踏まえた上で、非ゼロの実数\(a\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)と整数\(z\in \mathbb{Z} \)が与えられたとき、底が\(a\)であり指数が\(z\)であるような累乗を、\begin{equation*}a^{z}=\left\{
\begin{array}{cc}
a^{z} & \left( if\ z>0\right) \\
1 & \left( if\ z=0\right) \\
\dfrac{1}{a^{-z}} & \left( if\ n<0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}と定義した上で、これもまた指数法則を満たすことを示しました。

以上を踏まえた上で、正の実数\(a\in \mathbb{R} _{++}\)と有理数\(\frac{z}{n}\ \left( z\in \mathbb{Z} ,n\in \mathbb{N} \right) \)が与えられたとき、底が\(a\)であり指数が\(\frac{z}{n}\)であるような累乗を、以下の条件\begin{equation*}\left( a^{\frac{z}{n}}\right) ^{n}=a^{z}\wedge a^{\frac{z}{n}}>0
\end{equation*}を満たす実数として定義した上で、これが1つの実数として定まるとともに、これもまた指数法則を満たすことを示しました。では、指数を有理数から一般の実数へ拡張した場合の累乗をどのように定義すればよいでしょうか。つまり、正の実数\(a>0\)と実数\(x\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、\begin{equation*}a^{x}
\end{equation*}をどのように定義すればよいでしょうか。これまで導入した概念を動員しながら順番に考えます。

正の実数\(a>0\)と実数\(x\in \mathbb{R} \)をそれぞれ任意に選びます。指数が有理数であるような累乗は1つの実数として定まるため、任意の有理数\(r\in \mathbb{Q} \)に対して、\begin{equation*}a^{r}
\end{equation*}が1つの実数として定まることが保証されます。そこで、\(x\)より小さいそれぞれの有理数\(r\)について\(a^{r}\)をとった上で、それらの集合を、\begin{equation*}S\left( a,x\right) =\left\{ a^{r}\in \mathbb{R} \ |\ r<x\wedge r\in \mathbb{Q} \right\}
\end{equation*}と表記します。

以上を踏まえた上で、底が\(a>1\)を満たす場合には、任意の指数\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation}a^{x}=\sup S\left( a,x\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}と定義します。また、底が\(a=1\)である場合には、任意の指数\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}1^{x}=1
\end{equation*}と定義します。また、底が\(1>a>0\)を満たす場合には\(\frac{1}{a}>1\)となるため、任意の指数\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}a^{x}=\left( \frac{1}{a}\right) ^{-x}
\end{equation*}と定義します。\(\left( 1\right) \)よりこれは、\begin{equation*}a^{x}=\sup \left( \frac{1}{a},-x\right)
\end{equation*}と言い換え可能です。

改めて整理すると、正の実数\(a>0\)と実数\(x\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、\(a\)の\(x\)乗を、\begin{equation*}a^{x}=\left\{
\begin{array}{cl}
\sup S\left( a,x\right) & \left( if\ a>1\right) \\
1 & \left( if\ a=1\right) \\
\left( \frac{1}{a}\right) ^{-x} & \left( if\ 0<a<1\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}と定義します。ただし、\begin{equation*}
S\left( a,x\right) =\left\{ a^{r}\in \mathbb{R} \ |\ r<x\wedge r\in \mathbb{Q} \right\}
\end{equation*}です。ただし、以上のように定義された\(a^{x}\)が常に1つの実数として定まることは明らかではありません。後ほど\(a^{x}\)が1つの実数として定まることを証明します。

実数乗の存在証明

正の実数\(a>0\)と実数\(x\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、底が\(a\)で指数が\(x\)であるような累乗\(a^{x}\)は、\begin{equation*}a^{x}=\left\{
\begin{array}{cc}
\sup S\left( a,x\right) & \left( if\ a>1\right) \\
1 & \left( if\ a=1\right) \\
\left( \frac{1}{a}\right) ^{-x} & \left( if\ a<1\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}と定義されます。ただし、\begin{equation*}
S\left( a,x\right) =\left\{ a^{r}\in \mathbb{R} \ |\ r<x\wedge r\in \mathbb{Q} \right\}
\end{equation*}です。したがって、\(a^{x}\)が常に1つの実数として定まるためには、\(a\)や\(x\)に関わらず\(S\left(a,x\right) \)が上限を持つことを保証する必要があります。

実数乗の一般性

指数が実数であるような累乗を定義しましたが、これは指数が有理数であるような累乗の一般化になっています。

実数乗の符号

正の実数\(a\)と実数\(x\)が与えられたとき、\begin{equation*}a^{x}>0
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、実数指数の累乗は正の実数です。

底を共有する累乗の積

正の実数\(a>0\)と実数\(x,y\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、\begin{equation*}a^{x}\cdot a^{y}=a^{x+y}
\end{equation*}という関係が成り立ちます。つまり、底\(a\)を共有する\(a^{x}\)と\(a^{y}\)が与えられたとき、それらの積\(a^{x}\cdot a^{y}\)を求めるためには指数どうしの和\(x+y\)をとり、それを指数とする累乗\(a^{x+y}\)をとればよいということです。「累乗の積」に関する問題は「指数の和」に関する問題へと帰着させられます。

底を共有する累乗の商

正の実数\(a>0\)と実数\(x,y\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、\begin{equation*}\frac{a^{x}}{a^{y}}=a^{x-y}
\end{equation*}という関係が成り立ちます。つまり、底\(a\)を共有する\(a^{x}\)と\(a^{y}\)が与えられたとき、それらの商\(\frac{a^{x}}{a^{y}}\)を求めるためには指数どうしの差\(x-y\)をとり、それを指数とする累乗\(a^{x-y}\)をとればよいということです。「累乗の商」に関する問題は「指数の差」に関する問題へと帰着させられます。

累乗の累乗

正の実数\(a>0\)と実数\(x,y\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、\begin{equation*}\left( a^{x}\right) ^{y}=a^{xy}
\end{equation*}という関係が成り立ちます。つまり、累乗\(a^{x}\)が与えられたとき、さらにその累乗\(\left( a^{x}\right) ^{y}\)を求めるためには指数どうしの積\(xy\)をとり、それを指数とする累乗\(a^{xy}\)をとればよいということです。「累乗の累乗」に関する問題は「累乗の積」に関する問題へと帰着させられます。

積の累乗

正の実数\(a,b>0\)と実数\(x\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、\begin{equation*}\left( ab\right) ^{x}=a^{x}b^{x}
\end{equation*}という関係が成り立ちます。つまり、正の実数\(a,b\)が与えられたとき、それらの積の累乗\(\left( ab\right) ^{x}\)を求めるためには、\(a\)の累乗\(a^{x}\)と\(b\)の累乗\(b^{x}\)をそれぞれとり、それらの積をとればよいということです。「積の累乗」に関する問題は「累乗の積」に関する問題へと帰着させられます。

商の累乗

正の実数\(a,b>0\)と実数\(x\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、\begin{equation*}\left( \frac{a}{b}\right) ^{x}=\frac{a^{x}}{b^{x}}
\end{equation*}という関係が成り立ちます。つまり、正の実数\(a,b\)が与えられたとき、それらの商の累乗\(\left( \frac{a}{b}\right) ^{x}\)を求めるためには、\(a\)の累乗\(a^{x}\)と\(b\)の累乗\(b^{x}\)をそれぞれとり、それらの商をとればよいということです。「商の累乗」に関する問題は「累乗の商」に関する問題へと帰着させられます。

指数法則

得られた結果をまとめておきましょう。指数が実数であるような累乗を計算する際には以下の関係式を利用できます。これらを総称して指数法則（laws of exponents）と呼びます。

演習問題