実数集合の上界
実数空間\(\mathbb{R} \)上には大小関係\(\leq \)と呼ばれる二項関係が定義されており、これは全順序としての性質\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall x\in \mathbb{R} :x\leq x \\
&&\left( b\right) \ \forall x,y\in \mathbb{R} :[(x\leq y\wedge y\leq x)\Rightarrow x=y] \\
&&\left( c\right) \ \forall x,y,z\in \mathbb{R} :\left[ \left( x\leq y\wedge y\leq z\right) \Rightarrow x\leq z\right] \\
&&\left( d\right) \ \forall x,y\in \mathbb{R} :\left( x\leq y\vee y\leq x\right)
\end{eqnarray*}を満たすことを公理として定めます。狭義大小関係\(< \)は、任意の実数\(x,y\in \mathbb{R} \)に対して以下の条件\begin{equation*}x<y\Leftrightarrow \left( x\leq y\wedge x\not=y\right)
\end{equation*}を満たすものとして定義される\(\mathbb{R} \)上の二項関係です。
実数集合\(\mathbb{R} \)の空ではない部分集合\(A\)が与えられたとき、ある実数\(a\)が、この集合に属する任意の実数以上である場合には、つまり、\begin{equation*}\exists a\in \mathbb{R} ,\ \forall x\in A:x\leq a
\end{equation*}が成り立つならば、この実数\(a\)を集合\(A\)の上界（upper bound）と呼びます。定義より、\(A\)の上界は\(A\)の要素である必要はありません。この点において上界は最大値と異なります。
逆に、実数\(a\)が集合\(A\)の上界でないことは、\begin{equation*}\exists x\in A:\lnot \left( x\leq a\right)
\end{equation*}が成り立つことを意味します。ただし、大小関係\(\leq \)は全順序であることから以下の関係\begin{equation*}\lnot \left( x\leq a\right) \Leftrightarrow a<x
\end{equation*}が成り立つため、\(a\)が\(A\)の上界でないことは、\begin{equation*}\exists x\in A:a<x
\end{equation*}と必要十分です。つまり、実数\(a\)に対して、それよりも大きな\(A\)の要素が存在する場合、\(a\)は\(A\)の上界ではありません。
\end{equation*}を定義します。\(A\)は非空な\(\mathbb{R} \)の部分集合です。さらに、\begin{equation*}\forall x\in A:x\leq b
\end{equation*}が成り立つため\(b\)は\(A\)の上界です。これは\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)の上界が\(A\)の要素になっている例です。ちなみに、\(b\)より大きい任意の実数もまた\(A\)の上界です。
\end{equation*}を定義します。\(A\)は非空な\(\mathbb{R} \)の部分集合です。さらに、\begin{equation*}\forall x\in A:x\leq b
\end{equation*}が成り立つため\(b\)は\(A\)の上界です。これは\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)の上界が\(A\)の要素ではない例です。ちなみに、\(b\)より大きい任意の実数もまた\(A\)の上界です。
実数集合の下界
実数集合\(\mathbb{R} \)の空ではない部分集合\(A\)が与えられたとき、ある実数\(a\)が、この集合に属する任意の実数以下である場合には、つまり、\begin{equation*}\exists a\in \mathbb{R} ,\ \forall x\in A:a\leq x
\end{equation*}が成り立つならば、この実数\(a\)を集合\(A\)の下界（lower bound）と呼びます。定義より、\(A\)の下界は\(A\)の要素である必要はありません。この点において下界は最小値と異なります。
逆に、実数\(a\)が集合\(A\)の下界でないことは、\begin{equation*}\exists x\in A:\lnot \left( a\leq x\right)
\end{equation*}が成り立つことを意味します。ただし、大小関係\(\leq \)は全順序であることから以下の関係\begin{equation*}\lnot \left( a\leq x\right) \Leftrightarrow x<a
\end{equation*}が成り立つため、\(a\)が\(A\)の下界でないことは、\begin{equation*}\exists x\in A:x<a
\end{equation*}と必要十分です。つまり、実数\(a\)に対して、それよりも小さな\(A\)の要素が存在する場合、\(a\)は\(A\)の下界ではありません。
\end{equation*}を定義します。\(A\)は非空な\(\mathbb{R} \)の部分集合です。さらに、\begin{equation*}\forall x\in A:a\leq x
\end{equation*}が成り立つため\(a\)は\(A\)の下界です。これは\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)の下界が\(A\)の要素になっている例です。ちなみに、\(a\)より小さい任意の実数もまた\(A\)の下界です。
\end{equation*}を定義します。\(A\)は非空な\(\mathbb{R} \)の部分集合です。さらに、\begin{equation*}\forall x\in A:a\leq x
\end{equation*}が成り立つため\(a\)は\(A\)の上界です。これは\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)の下界が\(A\)の要素ではない例です。ちなみに、\(a\)より小さい任意の実数もまた\(A\)の下界です。
上界と下界は異なるとは限らない
以下は上界と下界が異なる\(\mathbb{R} \)の部分集合の例です。
\end{equation*}を定義します。先に示したように、\(b\)以上の任意の実数は\(A\)の上界であり、\(a\)以下の任意の実数は\(A\)の下界です。\(a<b\)であるため、\(A\)の上界かつ下界であるような実数は存在しません。
以下は上界かつ下界であるような実数を持つ\(\mathbb{R} \)の部分集合の例です。
\end{equation*}を定義します。\(A\)は非空な\(\mathbb{R} \)の部分集合です。さらに、大小関係\(\leq \)の反射律より、\begin{equation*}a\leq a\leq a
\end{equation*}が成り立つため、\(a\)は\(A\)の上界であるとともに下界でもあります。
上界や下界は存在するとは限らない
\(\mathbb{R} \)の部分集合は上界や下界を持つとは限りません。以下の例より明らかです。
\end{equation*}を定義します。\(A\)は非空な\(\mathbb{R} \)の部分集合です。\(A\)の上界が存在しないことを示すために、\(A\)の上界が存在するものと仮定して矛盾を導きます。\(A\)の上界を\(b\in \mathbb{R} \)で表記すると、上界の定義より、\begin{equation}\forall x\in A:x\leq b \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立ちます。この実数\(b\)に対して、アルキメデスの性質より、\begin{equation}\exists c\in \mathbb{N} :b<c \quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立ちます。自然数は実数であるため\(c\)は実数です。\(\left( 1\right),\left( 2\right) \)より、\begin{equation}\forall x\in A,\ \exists c\in \mathbb{R} :x\leq b<c \quad \cdots (3)
\end{equation}が成り立ちます。その一方で、\(A\)の定義より、\begin{equation}\forall x\in A:a\leq x \quad \cdots (4)
\end{equation}が成り立ちます。\(\left(3\right) ,\left( 4\right) \)より、\begin{equation*}\forall x\in A,\ \exists c\in \mathbb{R} :a\leq x\leq b<c
\end{equation*}を得ます。つまり\(a\leq c\)であるため、\(A\)の定義より、\begin{equation*}c\in A
\end{equation*}を得ます。つまり、\(b\)は\(A\)の上界であるにも関わらず、\(b\)より大きい\(A\)の要素である\(c\)が存在しますが、これは\(b\)が\(A\)の上界であることと矛盾です。したがって背理法より、\(A\)は上界を持たないことが明らかになりました。同様にして、以下の集合\begin{equation*}A=\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ x\leq a\right\}
\end{equation*}が下界を持たないことを示すことができます（演習問題）。
上界や下界は一意的ではない
\(\mathbb{R} \)の非空な部分集合の上界や下界は一意的に定まるとは限りません。以下の例より明らかです。
\end{equation*}を定義します。先に示したように、\(b\)は\(A\)の上界です。また、\(b<c\)を満たす実数\(c\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\forall x\in A:x\leq b<c
\end{equation*}が成り立つため、\(c\)もまた\(A\)の上界です。実際、\(b\)以上の任意の実数は\(A\)の上界であるため、\(A\)の上界は無数に存在します。\(a\)以下の任意の実数が\(A\)の下界であることも同様にして示されるため、\(A\)の下界は無数に存在します。
上に有界・下に有界・有界
\(\mathbb{R} \)の非空な部分集合\(A\)の上界や下界は存在するとは限らず、また、存在する場合も一意的ではないことが明らかになりました。そこで、\(A\)のすべての上界からなる集合を、\begin{equation*}U\left( A\right) =\{a\in \mathbb{R} \ |\ \forall x\in A:x\leq a\}
\end{equation*}で表記し、\(A\)のすべての下界からなる集合を、\begin{equation*}L\left( A\right) =\{a\in \mathbb{R} \ |\ \forall x\in A:a\leq x\}
\end{equation*}で表記します。\(U\left( A\right)\not=\phi \)が成り立つとき、つまり\(A\)の上界が存在する場合には、\(A\)は上に有界（bounded from above）であると言います。また、\(L\left( A\right) \not=\phi \)が成り立つとき、つまり\(A\)の下界が存在する場合には、\(A\)は下に有界（bounded from below）であると言います。さらに、\(A\)が上に有界かつ下に有界であるとき、つまり\(U\left( A\right) \not=\phi \)と\(L\left( A\right) \not=\phi \)がともに成り立つ場合には、\(A\)は有界（bounded）であると言います。
\end{equation*}を定義します。先に示したように、\(b\)以上の任意の実数は\(A\)の上界であるため、\begin{equation*}U\left( A\right) =\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ b\leq x\right\}
\end{equation*}です。また、\(a\)以下の任意の実数は\(A\)の下界であるため、\begin{equation*}L\left( A\right) =\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ x\leq a\right\}
\end{equation*}です。\(U\left( A\right) \)と\(L\left( A\right) \)はともに非空であるため、\(A\)は上に有界かつ下に有界であり、したがって\(A\)は有界です。
\end{equation*}という\(\mathbb{R} \)の部分集合を定義します。このとき、\begin{eqnarray*}U\left( A\right) &=&\phi \\
L\left( A\right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ x\leq a\right\}
\end{eqnarray*}であるため（演習問題）、\(A\)は上に有界ではない一方で下に有界です。
\end{equation*}という\(\mathbb{R} \)の部分集合を定義します。このとき、\begin{eqnarray*}U\left( B\right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ b\leq x\right\} \\
L\left( B\right) &=&\phi
\end{eqnarray*}であるため（演習問題）、\(B\)は上に有界である一方で下に有界ではありません。
有限集合は有界
\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)が有限集合である場合、すなわち、\(A\)に属する要素の個数が有限である場合、\(A\)が上界かつ下界であること、すなわち有界であることが保証されます。
集合\(A\subset \mathbb{R} \)が非空の有限集合である場合、\(A\)は有界である。
上界と最大値・下界と最小値の関係
\(\mathbb{R} \)の非空な部分集合\(A\)が最大値を持つ場合、それは\(A\)の上界でもあります。また、\(A\)が最小値を持つ場合、それは\(A\)の下界でもあります。
&&\left( b\right) \ \min A\text{が存在するならば、それは}A\text{の下界でもある}
\end{eqnarray*}が成り立つ。
\end{equation*}を定義します。\(a\)は\(A\)の最小値であるとともに下界でもあります。また、\(b\)は\(A\)の最大値であるとともに上界でもあります。
\end{equation*}を定義します。\(a\)は\(A\)の最小値であるとともに下界でもあります。同時に、\(a\)は\(A\)の最大値であるとともに上界でもあります。
上の命題の逆は成り立つとは限りません。つまり、\(A\)の上界は\(A\)の最大値であるとは限りません。また、\(A\)の下界は\(A\)の最小値であるとは限りません。以下の例より明らかです。
\end{equation*}を定義します。\(a\)は\(A\)の下界である一方で、\(A\)は最小値を持たないため\(a\)は\(A\)の最小値ではありません。また、\(b\)は\(A\)の上界である一方で、\(A\)は最大値を持たないため\(b\)は\(A\)の最大値ではありません。
\end{equation*}を定義します。\(a\)は\(A\)の下界であるとともに最小値でもあります。その一方で、\(a\)より小さい任意の実数は\(A\)の下界である一方で最小値ではありません。なぜなら、\(a\)より小さい実数は\(A\)の要素ではなく、したがって\(A\)の最小値になり得ないからです。また、\(b\)は\(A\)の上界であるとともに最大値でもあります。その一方で、\(b\)より大きい任意の実数は\(A\)の上界である一方で最大値ではありません。なぜなら、\(b\)より大きい実数は\(A\)の要素ではなく、したがって\(A\)の最大値になり得ないからです。
空集合の上界と下界
これまでは\(\mathbb{R} \)の非空な部分集合\(A\)を対象に、その上界や下界を考えてきました。空集合は任意の集合の部分集合であるため\(\phi \subset \mathbb{R} \)です。では、空集合の上界や下界は存在するのでしょうか。
実数\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、この実数\(a\)が空集合\(\phi \)の上界であることは、\begin{equation*}\forall x\in \phi :x\leq a
\end{equation*}が成り立つことを意味します。逆に、\(a\)が\(\phi \)の上界ではないものと仮定すると、上の命題の否定に相当する以下の命題\begin{equation*}\exists x\in \phi :\lnot \left( x\leq a\right)
\end{equation*}が成り立ちますが、空集合は要素を持たないため、これは偽です。したがって背理法より、\(a\)が\(\phi \)の上界であることが明らかになりました。任意の実数\(a\)について同様の議論が成立するため、任意の実数が空集合の上界であることが明らかになりました。つまり、\begin{equation*}U\left( \phi \right) =\mathbb{R} \end{equation*}が成り立つということです。
同様の議論により、\begin{equation*}
L\left( \phi \right) =\mathbb{R} \end{equation*}であることが示されます。
演習問題
\end{equation*}を定義します。この集合の下界は存在しないことを証明してください。
\end{equation*}を定義します。このとき、\begin{eqnarray*}
U\left( A\right) &=&\phi \\
L\left( A\right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ x\leq a\right\}
\end{eqnarray*}であることを証明してください。
\end{equation*}は\(\mathbb{R} \)の空ではない部分集合であるため、この集合が有界であるか検討できます。この集合が有界である場合、もとの数列\(\left\{x_{n}\right\} _{n\in \mathbb{N} }\)は有界であると言います。数列が有界であることの意味を定式化してください。
\left\{ f\left( x\right) \in \mathbb{R} \ |\ x\in X\right\}
\end{equation*}ですが、これは\(\mathbb{R} \)の空ではない部分集合であるため、この集合が有界であるか検討できます。この集合が有界である場合、もとの関数\(f\)は有界であると言います。関数が有界であることの意味を定式化してください。
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