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DEFINITION OF REAL NUMBER

実数集合の上界・下界

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上界・下界

実数体\(\mathbb{R} \)上に定義された大小関係\(\leq \)は全順序としての公理を満たすものとします。\(\mathbb{R} \)の空でない部分集合\(A\)について、ある実数\(a\)が\(A\)の任意の要素以上である場合には、つまり、\begin{equation*}\exists a\in \mathbb{R} ,\ \forall x\in A:x\leq a
\end{equation*}が成り立つならば、\(a\)を\(A\)の上界(upper bound)と呼びます。定義より、\(A\)の上界は\(A\)の要素である必要はありません。この点において上界は最大値と異なります。実数\(a\)が\(A\)の上界でないことは、\begin{equation*}\exists x\in A:\lnot \left( x\leq a\right)
\end{equation*}が成り立つことを意味しますが、\(\leq \)が全順序であることから、これは、\begin{equation*}\exists x\in A:a<x
\end{equation*}と言い換え可能です。つまり、実数\(a\)に対して、それよりも大きな\(A\)の要素が存在する場合、\(a\)は\(A\)の上界ではありません。

\(\mathbb{R} \)の空でない部分集合\(A\)について、ある実数\(a\)が\(A\)の任意の要素以下である場合には、つまり、\begin{equation*}\exists a\in \mathbb{R} ,\ \forall x\in A:a\leq x
\end{equation*}が成り立つならば、\(a\)を\(A\)の下界(lower bound)と呼びます。定義より、\(A\)の下界は\(A\)の要素である必要はありません。この点において、下界は最小値と異なります。実数\(a\)が\(A\)の下界でないことは、\begin{equation*}\exists x\in A:\lnot \left( a\leq x\right)
\end{equation*}が成り立つことを意味しますが、\(\leq \)が全順序であることから、これは、\begin{equation*}\exists x\in A:x<a
\end{equation*}と言い換え可能です。つまり、実数\(a\)に対して、それよりも小さな\(A\)の要素が存在する場合、\(a\)は\(A\)の下界ではありません。

例(上界・下界)
\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、\begin{equation*}A=\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a\leq x\leq b\right\}
\end{equation*}という\(\mathbb{R} \)の部分集合を定義します。\(a\)と\(b\)はいずれも\(A\)の要素であるため\(A\)は空集合ではありません。\(A\)の任意の要素\(x\)に対して\(x\leq b\)が成り立つため、\(b\)は\(A\)の上界です。同様に考えると、\(a\)は\(A\)の下界です。これは\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)の上界や下界が\(A\)の要素になっている例です。
例(上界・下界)
\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、\begin{equation*}A=\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a<x<b\right\}
\end{equation*}という\(\mathbb{R} \)の部分集合を定義します。\(a\)と\(b\)はいずれも\(A\)の要素ではありませんが、有理数の稠密性より、\(a<x<b\)を満たす有理数\(x\)が存在します。有理数は実数であるため\(A\)は空集合ではありません。\(A\)の任意の要素\(x\)に対して\(x\leq b\)が成り立つため、\(b\)は\(A\)の上界です。同様に考えると、\(a\)は\(A\)の下界です。これは\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)の上界や下界が\(A\)の要素ではない例です。
例(上界・下界)
実数\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、\begin{equation*}A=\left\{ a\right\}
\end{equation*}という\(\mathbb{R} \)の部分集合を定義します。\(a\in A\)であるため\(A\)は空集合ではありません。大小関係\(\leq \)の反射律より、\begin{equation*}a\leq a\leq a
\end{equation*}が成り立つため、\(a\)は\(A\)の上界かつ下界です。

 

上界と最大値・下界と最小値の関係

\(\mathbb{R} \)の空でない部分集合\(A\)について、その最大値\(\max A\)が存在するものとします。最大値の定義より任意の\(x\in A\)について\(x\leq \max A\)が成り立つため、\(\max A\)は\(A\)の上界でもあります。\(A\)の最小値と下界の間にも同様の関係が成り立ちます。つまり、\(A\)の最小値は\(A\)の下界です。

命題(上界と最大値・下界と最小値の関係)
\(\mathbb{R} \)の非空な部分集合\(A\)を任意に選んだとき、以下が成り立つ。\begin{eqnarray*}&&(a)\ \max A\text{が存在するならば、それは}A\text{の上界である。} \\
&&\left( b\right) \ \min A\text{が存在するならば、それは}A\text{の下界である。}
\end{eqnarray*}
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例(上界・下界)
\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、\begin{equation*}A=\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a\leq x\leq b\right\}
\end{equation*}という\(\mathbb{R} \)の部分集合を定義します。\(a\)は\(A\)の最小値であるとともに下界でもあります。また、\(b\)は\(A\)の最大値であるとともに上界でもあります。
例(上界・下界)
実数\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、\begin{equation*}A=\left\{ a\right\}
\end{equation*}という\(\mathbb{R} \)の部分集合を定義します。\(a\)は\(A\)の最小値であるとともに下界でもあります。同時に、\(a\)は\(A\)の最大値であるとともに上界でもあります。

上の命題の逆は成り立つとは限りません。つまり、\(A\)の上界は\(A\)の最大値であるとは限りません。実際、\(A\)の上界は\(A\)の要素であるとは限らない一方で、\(A\)の最大値は\(A\)の要素でなければならないからです。\(A\)の最小値と下界の間にも同様の関係が成り立ちます。つまり、\(A\)の下界は\(A\)の最小値であるとは限りません。

例(上界と最大値・下界と最小値の関係)
\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、\begin{equation*}A=\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a<x<b\right\}
\end{equation*}という\(\mathbb{R} \)の部分集合を定義します。先に示したようにこれは空集合ではありません。先に示したように\(a\)は\(A\)の下界ですが\(A\)の最小値ではありません。なぜなら\(a\)は\(A\)の要素ではないからです。また、\(b\)は\(A\)の上界ですが\(A\)の最大値ではありません。なぜなら\(b\)は\(A\)の要素ではないからです。

 

上界や下界は存在するとは限らない

以下の例が示唆するように、\(\mathbb{R} \)の非空な部分集合に対して、その上界や下界は存在するとは限りません。

例(上界や下界は存在するとは限らない)
後ほど詳しく解説しますが、実数を任意に選んだとき、それよりも大きい自然数が必ず存在することが示されます。これをアルキメデスの性質(Archimedean Property)と呼びます。自然数は実数であるため、アルキメデスの性質より、実数を任意に選んだとき、それよりも大きい実数が必ず存在することになります。以上を踏まえた上で、実数\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選び、そこから、\begin{equation*}A=\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a\leq x\right\}
\end{equation*}という\(\mathbb{R} \)の部分集合を定義します。\(a\in A\)であるため\(A\)は空集合ではありません。\(A\)の上界は存在しません。実際、\(A\)の上界が存在するものと仮定し、それを\(b\in \mathbb{R} \)で表記すると、上界の定義より任意の\(x\in A\)に対して\(x\leq b\)が成り立ちますが、アルキメデスの性質より、\(b<c\)を満たす実数\(c\in \mathbb{R} \)が必ず存在します。これと\(x\leq b\)より\(x\leq c\)を得ます。他方で、\(x\in A\)と\(A\)の定義より\(a\leq x\)が成り立ちますが、これと\(x\leq c\)より\(a\leq c\)を得ます。\(A\)の定義より、これは\(c\in A\)であることを意味します。つまり、\(c\)は\(A\)の上界である\(b\)よりも大きい\(A\)の要素であることが導かれましたが、これは\(b\)が\(A\)の上界であることと矛盾です。したがって背理法より\(A\)は上界を持たないことが示されました。同様にして、実数\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、そこから、\begin{equation*}A=\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ x\leq a\right\}
\end{equation*}と定義される\(\mathbb{R} \)の部分集合には下界が存在しないことが示されます(演習問題にします)。

 

上界や下界は一意的ではない

以下の例が示唆するように、\(\mathbb{R} \)の非空な部分集合に対して、その上界や下界は一意的に定まりません。

例(上界や下界は一意的ではない)
\(\mathbb{R} \)の非空な部分集合\(A\)が上界を持つものとします。つまり、\begin{equation}\exists a\in \mathbb{R} ,\ \forall x\in A:x\leq a \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立つということです。アルキメデスの原理より\(a<b\)を満たす実数\(b\in \mathbb{R} \)が存在しますが、\(a<b\)は\(a\leq b\)かつ\(a\not=b\)であることを意味します。\(a\not=b\)より\(b\)は\(a\)とは異なる実数です。さらに\(a\leq b\)と\(\left( 1\right) \)より、\begin{equation*}\forall x\in A:x\leq b
\end{equation*}が成り立ちますが、これは\(b\)が\(A\)の上界であることを意味します。したがって\(A\)は\(a\)とは異なる上界\(b\)を持つことが明らかになりました。下界が一意的に定まらないことも同様にして示すことができます(演習問題にします)。

 

上に有界・下に有界・有界

\(\mathbb{R} \)の非空な部分集合\(A\)の上界は存在するとは限らず、また、存在する場合も一意的ではないことが明らかになりました。そこで、\(A\)のすべての上界からなる集合を\(U\left( A\right) \)で表します。つまり、\begin{equation*}U\left( A\right) =\{a\in \mathbb{R} \ |\ \forall x\in A:x\leq a\}
\end{equation*}です。\(U\left( A\right) \not=\phi \)が成り立つとき、つまり\(A\)の上界が存在するとき、\(A\)は上に有界(boundedfrom above)であると言います。

一方、\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)のすべての下界からなる集合を\(L\left( A\right) \)で表します。つまり、\begin{equation*}L\left( A\right) =\{a\in \mathbb{R} \ |\ \forall x\in A:a\leq x\}
\end{equation*}です。\(L\left( A\right) \not=\phi \)が成り立つとき、つまり\(A\)の下界が存在するとき、\(A\)は下に有界(boundedfrom below)であると言います。

\(\mathbb{R} \)の非空な部分集合\(A\)が上に有界かつ下に有界であるとき、つまり\(U\left( A\right) \not=\phi \)と\(L\left( A\right) \not=\phi \)がともに成り立つ場合、\(A\)は有界(bounded)であると言います。

例(有界)
\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、\begin{equation*}A=\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a\leq x\leq b\right\}
\end{equation*}という\(\mathbb{R} \)の部分集合を定義します。このとき、\begin{eqnarray*}U\left( A\right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ b\leq x\right\} \\
L\left( A\right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ x\leq a\right\}
\end{eqnarray*}となります(演習問題にします)。\(b\in U\left(A\right) \)かつ\(a\in L\left( A\right) \)であるため、\(A\)は有界です。
例(有界)
実数\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、\begin{equation*}A=\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a\leq x\right\}
\end{equation*}という\(\mathbb{R} \)の部分集合を定義します。\(a\)は\(A\)の要素であるため\(A\)は空集合ではありません。このとき、\begin{eqnarray*}U\left( A\right) &=&\phi \\
L\left( A\right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ x\leq a\right\}
\end{eqnarray*}であるため(演習問題にします)、\(A\)は上に有界ではない一方で下に有界です。
例(有界)
実数\(b\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、\begin{equation*}B=\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ x\leq b\right\}
\end{equation*}という\(\mathbb{R} \)の部分集合を定義します。\(b\)は\(A\)の要素であるため\(A\)は空集合ではありません。このとき、\begin{eqnarray*}U\left( B\right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ b\leq x\right\} \\
L\left( B\right) &=&\phi
\end{eqnarray*}であるため(演習問題にします)、\(B\)は上に有界である一方で下に有界ではありません。
例(有界)
\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)が有限集合である場合、\(A\)が有界であることが保証されます(演習問題)。

 

演習問題

問題(下界を持たない集合)
実数\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、そこから、\begin{equation*}A=\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ x\leq a\right\}
\end{equation*}と定義される\(\mathbb{R} \)の部分集合には下界が存在しないことを証明してください。
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問題(下界は一意的ではない)
\(\mathbb{R} \)の非空な部分集合\(A\)が下界を持つとき、それは一意的ではないことを証明してください。
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問題(上界・下界の集合)
\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、\begin{equation*}A=\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a\leq x\leq b\right\}
\end{equation*}という\(\mathbb{R} \)の部分集合を定義します。このとき、\begin{eqnarray*}U\left( A\right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ b\leq x\right\} \\
L\left( A\right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ x\leq a\right\}
\end{eqnarray*}であることを証明してください。

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問題(上界・下界の集合)
実数\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、\begin{equation*}A=\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a\leq x\right\}
\end{equation*}という\(\mathbb{R} \)の部分集合を定義します。このとき、\begin{eqnarray*}U\left( A\right) &=&\phi \\
L\left( A\right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ x\leq a\right\}
\end{eqnarray*}であることを証明してください。

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問題(有限集合は有界)
\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)が有限集合である場合、\(A\)が有界であることを示してください。
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次回は実数空間の部分集合の上限や下限などについて解説します。

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