実数集合 R の空でない部分集合 A について、ある実数 a が A の任意の要素以上ならば、a を A の上界と呼びます。また、a が A の任意の要素以下ならば、a をAの 下界 と呼びます。
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上界・下界

実数体\(\mathbb{R}\)上に定義された大小関係\(\leq \)は全順序としての公理を満たすものとします。\(\mathbb{R}\)の空でない部分集合\(A\)について、ある実数\(a\)が\(A\)の任意の要素以上である場合には、つまり、\begin{equation*}
\exists a\in \mathbb{R} ,\ \forall x\in A:x\leq a
\end{equation*}が成り立つならば、\(a\)を\(A\)の上界(upper bound)と呼びます。定義より、\(A\)の上界は\(A\)の要素である必要はありません。この点において、上界は最大値と異なります。実数\(a\)が\(A\)の上界でないことは、\begin{equation*}
\exists x\in A:\lnot \left( x\leq a\right)
\end{equation*}が成り立つことを意味しますが、\(\leq \)が全順序であることから、これは、\begin{equation*}
\exists x\in A:a<x
\end{equation*}と言い換え可能です。つまり、実数\(a\)に対して、それよりも大きな\(A\)の要素が存在する場合、\(a\)は\(A\)の上界ではありません。

\(\mathbb{R}\)の空でない部分集合\(A\)について、ある実数\(a\)が\(A\)の任意の要素以下である場合には、つまり、\begin{equation*}
\exists a\in \mathbb{R} ,\ \forall x\in A:a\leq x
\end{equation*}が成り立つならば、\(a\)を\(A\)の下界(lower bound)と呼びます。定義より、\(A\)の下界は\(A\)の要素である必要はありません。この点において、下界は最小値と異なります。実数\(a\)が\(A\)の下界でないことは、\begin{equation*}
\exists x\in A:\lnot \left( a\leq x\right)
\end{equation*}が成り立つことを意味しますが、\(\leq \)が全順序であることから、これは、\begin{equation*}
\exists x\in A:x<a
\end{equation*}と言い換え可能です。つまり、実数\(a\)に対して、それよりも小さな\(A\)の要素が存在する場合、\(a\)は\(A\)の下界ではありません。

例(上界・下界)
\(a<b\)を満たす実数\(a,b\)を任意に選んだ上で、\begin{equation*}
A=\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a\leq x\leq b\right\}
\end{equation*}という\(\mathbb{R}\)の部分集合を定義します。\(a,b\)は\(A\)の要素であるため、\(A\)は非空です。\(A\)の任意の要素\(x\)に対して\(x\leq b\)が成り立つため、\(b\)は\(A\)の上界です。同様に考えると、\(a\)は\(A\)の下界です。これは\(\mathbb{R}\)の部分集合\(A\)の上界や下界が\(A\)の要素になっている例です。
例(上界・下界)
\(a<b\)を満たす実数\(a,b\)を任意に選んだ上で、\begin{equation*}
A=\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a<x<b\right\}
\end{equation*}という\(\mathbb{R}\)の部分集合を定義します。\(a\)と\(b\)はともに\(A\)の要素ではありませんが、有理数の稠密性より、\(a<x<b\)を満たす有理数\(x\)が存在します。有理数は実数であるため、\(A\)は非空です。\(A\)の任意の要素\(x\)に対して\(x\leq b\)が成り立つため、\(b\)は\(A\)の上界です。同様に考えると、\(a\)は\(A\)の下界です。これは\(\mathbb{R}\)の部分集合\(A\)の上界や下界が\(A\)の要素ではない例です。
例(上界・下界)
実数\(a\)を任意に選んだ上で、\begin{equation*}
A=\left\{ a\right\}
\end{equation*}という\(\mathbb{R}\)の部分集合を定義します。\(a\in A\)であるため、\(A\)は非空です。大小関係\(\leq \)の反射律より\(a\leq a\leq a\)が成り立つため、\(a\)は\(A\)の上界かつ下界です。

 

上界と最大値・下界と最小値の関係

\(\mathbb{R}\)の空でない部分集合\(A\)について、その最大値\(\max A\)が存在するものとします。最大値の定義より任意の\(x\in A\)について\(x\leq \max A\)が成り立つため、\(\max A\)は\(A\)の上界でもあります。\(A\)の最小値と下界の間にも同様の関係が成り立ちます。つまり、\(A\)の最小値は\(A\)の下界です。

命題(上界と最大値・下界と最小値の関係)
\(\mathbb{R}\)の非空な部分集合\(A\)を任意に選んだとき、以下が成り立つ。\begin{eqnarray*}
&&(a)\ \max A\text{が存在するならば、それは}A\text{の上界である。} \\
&&\left( b\right) \ \min A\text{が存在するならば、それは}A\text{の下界である。}
\end{eqnarray*}

上の命題の逆は成り立つとは限りません。つまり、\(A\)の上界は\(A\)の最大値であるとは限りません。なぜなら、\(A\)の上界は\(A\)の要素であるとは限らない一方で、\(A\)の最大値は\(A\)の要素でなければならないからです。\(A\)の最小値と下界の間にも同様の関係が成り立ちます。つまり、\(A\)の下界は\(A\)の最小値であるとは限りません。

例(上界と最大値・下界と最小値の関係)
\(a<b\)を満たす実数\(a,b\)を任意に選んだ上で、\begin{equation*}
A=\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a<x<b\right\}
\end{equation*}という\(\mathbb{R}\)の部分集合を定義します。\(a\)と\(b\)はともに\(A\)の要素ではありませんが、有理数の稠密性より、\(a<x<b\)を満たす有理数\(x\)が存在します。有理数は実数であるため、\(A\)は非空です。\(a\)は\(A\)の下界ですが\(A\)の最小値ではありません。また、\(b\)は\(A\)の上界ですが\(A\)の最大値ではありません。

 

上界や下界は存在するとは限らない

以下の例が示唆するように、\(\mathbb{R}\)の非空な部分集合に対して、その上界や下界は存在するとは限りません。

例(上界や下界は存在するとは限らない)
後ほど詳しく解説しますが、実数\(a\)を任意に選んだとき、それに対して\(a<b\)を満たす実数\(b\)が必ず存在します。この性質をアルキメデスの原理(Archimedean Property)と呼びます。さて、実数\(a\)を任意に選んだ上で、\begin{equation*}
A=\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a\leq x\right\}
\end{equation*}という\(\mathbb{R}\)の部分集合を定義します。\(a\in A\)であるため\(A\)は非空です。\(A\)の上界が存在するものとし、それを\(b\in \mathbb{R} \)で表します。上界の定義より、任意の\(x\in A\)に対して\(x\leq b\)が成り立ちますが、アルキメデスの原理より、\(b<c\)を満たす実数\(c\)が存在します。これと\(x\leq b\)に対して\(\leq \)の推移律を適用することにより\(x\leq c\)を得ます。\(x\in A\)より\(a\leq x\)であるため、これと\(x\leq c\)に対して\(\leq \)の推移律を適用することにより\(a\leq c\)すなわち\(c\in A\)を得ます。つまり、\(b\)より大きい\(A\)の要素である\(c\)が存在しますが、これは\(b\)が\(A\)の上界であることと矛盾します。したがって、\(A\)には上界が存在しません。同様にして、任意の実数\(a\)に対して、\begin{equation*}
A=\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ x\leq a\right\}
\end{equation*}と定義される\(\mathbb{R}\)の部分集合には下界が存在しないことが示されます(演習問題にします)。

 

上界や下界は一意的ではない

以下の例が示唆するように、\(\mathbb{R}\)の非空な部分集合に対して、その上界や下界は一意的に定まりません。

例(上界や下界は一意的ではない)
\(\mathbb{R}\)の非空な部分集合\(A\)が上界を持つものとします。つまり、\begin{equation*}
\exists a\in \mathbb{R} ,\ \forall x\in A:x\leq a
\end{equation*}が成り立つということです。アルキメデスの原理より\(a<b\)を満たす実数\(b\)が存在しますが、\(a<b\)は\(a\leq b\)かつ\(a\not=b\)であることを意味します。\(a\leq b\)と\(x\leq a\)に大小関係\(\leq \)の推移律を適用することにより、\begin{equation*}
\forall x\in A:x\leq b
\end{equation*}を得ます。つまり、\(a\)とは異なる\(b\)もまた\(A\)の上界です。\(A\)が下界を持つ場合、それが一意的でないことも同様にして示すことができます。

 

上に有界・下に有界・有界

\(\mathbb{R}\)の非空な部分集合\(A\)の上界は存在するとは限らず、また、存在する場合も一意的ではないことが明らかになりました。そこで、\(A\)のすべての上界からなる集合を\(U\left( A\right) \)で表します。つまり、\begin{equation*}
U\left( A\right) =\{a\in \mathbb{R} \ |\ \forall x\in A:x\leq a\}
\end{equation*}です。\(U\left( A\right) \not=\phi \)が成り立つとき、つまり\(A\)の上界が存在するとき、\(A\)は上に有界(bounded from above)であると言います。

一方、\(\mathbb{R}\)の部分集合\(A\)のすべての下界からなる集合を\(L\left( A\right) \)で表します。つまり、\begin{equation*}
L\left( A\right) =\{a\in \mathbb{R} \ |\ \forall x\in A:a\leq x\}
\end{equation*}です。\(L\left( A\right) \not=\phi \)が成り立つとき、つまり\(A\)の下界が存在するとき、\(A\)は下に有界(bounded from below)であると言います。

\(\mathbb{R}\)の非空な部分集合\(A\)が上に有界かつ下に有界であるとき、つまり\(U\left( A\right) \not=\phi \)と\(L\left( A\right) \not=\phi \)がともに成り立つ場合、\(A\)は有界(bounded)であると言います。

例(有界)
\(a<b\)を満たす実数\(a,b\)を任意に選んだ上で、\begin{equation*}
A=\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a\leq x\leq b\right\}
\end{equation*}という\(\mathbb{R}\)の部分集合を定義します。\(a,b\)は\(A\)の要素であるため、\(A\)は非空です。このとき、\begin{eqnarray*}
U\left( A\right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ b\leq x\right\} \\
L\left( A\right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ x\leq a\right\}
\end{eqnarray*}となります(演習問題にします)。\(b\in U\left( A\right) \)かつ\(a\in L\left( A\right) \)であるため、\(A\)は有界です。
例(有界)
実数\(a\)を任意に選んだ上で、\begin{equation*}
A=\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a\leq x\right\}
\end{equation*}という\(\mathbb{R}\)の部分集合を定義します。\(a\)は\(A\)の要素であるため、\(A\)は非空です。このとき、\begin{eqnarray*}
U\left( A\right) &=&\phi \\
L\left( A\right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ x\leq a\right\}
\end{eqnarray*}であるため(演習問題にします)、\(A\)は上に有界ではありませんが下に有界です。また、実数\(b\)を任意に選んだ上で、\begin{equation*}
B=\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ x\leq b\right\}
\end{equation*}という\(\mathbb{R}\)の部分集合を定義します。\(b\)は\(A\)の要素であるため、\(A\)は非空です。このとき、\begin{eqnarray*}
U\left( B\right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ b\leq x\right\} \\
L\left( B\right) &=&\phi
\end{eqnarray*}であるため(演習問題にします)、\(B\)は上に有界ですが下に有界ではありません。

次回は実数の部分集合の上限や下限などについて解説します。

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