無理数の稠密性

無理数の稠密性

公理主義的実数論の立場のもと、実数空間\(\mathbb{R} \)上に加法\(+\)および乗法\(\cdot \)と呼ばれる二項演算と、大小関係\(\leq \)と呼ばれる二項関係を定義した上で、これらが完備な全順序体としての性質\begin{eqnarray*}&&\left( R_{1}\right) \ \forall x,y,z\in \mathbb{R} :\left( x+y\right) +z=x+\left( y+z\right) \\
&&\left( R_{2}\right) \ \exists 0\in \mathbb{R} ,\ \forall x\in \mathbb{R} :x+0=x \\
&&\left( R_{3}\right) \ \forall x\in \mathbb{R} ,\ \exists -x\in \mathbb{R} :x+\left( -x\right) =0 \\
&&\left( R_{4}\right) \ \forall x,y\in \mathbb{R} :x+y=y+x \\
&&\left( R_{5}\right) \ \forall x,y,z\in \mathbb{R} :\left( x\cdot y\right) \cdot z=x\cdot \left( y\cdot z\right) \\
&&\left( R_{6}\right) \ \exists 1\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} ,\ \forall x\in \mathbb{R} :x\cdot 1=x \\
&&\left( R_{7}\right) \ \forall x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} ,\ \exists x^{-1}\in \mathbb{R} :x\cdot x^{-1}=1 \\
&&\left( R_{8}\right) \ \forall x,y\in \mathbb{R} :x\cdot y=y\cdot x \\
&&\left( R_{9}\right) \ \forall x,y,z\in \mathbb{R} :\left( x+y\right) \cdot z=x\cdot z+y\cdot z \\
&&\left( R_{10}\right) \ \forall x\in \mathbb{R} :x\leq x \\
&&\left( R_{11}\right) \ \forall x,y\in \mathbb{R} :[(x\leq y\wedge y\leq x)\Rightarrow x=y] \\
&&\left( R_{12}\right) \ \forall x,y,z\in \mathbb{R} :\left[ \left( x\leq y\wedge y\leq z\right) \Rightarrow x\leq z\right] \\
&&\left( R_{13}\right) \ \forall x,y\in \mathbb{R} :\left( x\leq y\vee y\leq x\right) \\
&&\left( R_{14}\right) \ \forall x,y,z\in \mathbb{R} :\left( x\leq y\Rightarrow x+z\leq y+z\right) \\
&&\left( R_{15}\right) \ \forall x,y\in \mathbb{R} :\left[ \left( 0\leq x\wedge 0\leq y\right) \Rightarrow 0\leq x\cdot y\right] \\
&&\left( R_{16}\right) \ \text{連続性}
\end{eqnarray*}を満たすことを公理として定めました。ただし、連続性とは、\(\mathbb{R} \)の切断\(\left\langle A,B\right\rangle \)を任意に選んだとき、以下の2つの条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \max A\text{は存在するが}\min B\text{は存在しない} \\
&&\left( b\right) \ \max A\text{は存在しないが}\min B\text{は存在する}
\end{eqnarray*}のどちらか一方が必ず成り立つことを意味します。公理主義的実数論のもとでは、実数に関する主張はいずれも以上の公理から導く必要があります。

自然数と整数および有理数の定義を簡単に復習します。実数空間\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)が帰納的集合であることとは、以下の2つの性質\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ 1\in A \\
&&\left( b\right) \ \forall x\in \mathbb{R} :\left( x\in A\Rightarrow x+1\in A\right)
\end{eqnarray*}を満たすこととして定義されます。\(\mathbb{R} \)におけるすべての帰納的集合からなる集合族を、\begin{equation*}\left\{ A_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }
\end{equation*}で表記するとき、すべての自然数からなる集合\(\mathbb{N} \)は、この集合族の共通部分\begin{equation*}\mathbb{N} =\bigcap\limits_{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda }\end{equation*}として定義されます。したがって、実数\(x\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、以下の関係\begin{equation*}x\in \mathbb{N} \Leftrightarrow \forall \lambda \in \Lambda :x\in A_{\lambda }
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、実数\(x\)が自然数であることと、その\(x\)がすべての帰納的集合の要素であることは必要十分であるということです。自然数集合\(\mathbb{N} \)もまた\(\mathbb{R} \)における帰納的集合であるため、\(1\in \mathbb{N} \)を出発点として個々の自然数を以下の形\begin{eqnarray*}2 &=&1+1 \\
3 &=&2+1 \\
&&\vdots
\end{eqnarray*}で再帰的に定義します。したがって、\begin{equation*}\mathbb{N} =\left\{ 1,2,3,\cdots \right\}
\end{equation*}を得ます。自然数の間には、\begin{equation*}
1<2<3<\cdots
\end{equation*}という大小関係が成立します。

自然数集合\(\mathbb{N} \)が与えられたとき、実数\(x\in \mathbb{R} \)が以下の条件\begin{equation*}x\in \mathbb{N} \vee x=0\vee -x\in \mathbb{N} \end{equation*}を満たす場合には、\(x\)を整数と呼びます。つまり、自然数、ゼロ、自然数の加法逆元の中の少なくとも1つであるような実数を整数と呼ぶということです。すべての整数からなる集合を、\begin{eqnarray*}\mathbb{Z} &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ x\in \mathbb{N} \vee x=0\vee -x\in \mathbb{N} \right\} \\&=&\mathbb{N} \cup \left\{ 0\right\} \cup -\mathbb{N} \\
&=&\left\{ 1,2,3,\cdots \right\} \cup \left\{ 0\right\} \cup \left\{
-1,-2,-3,\cdots \right\} \\
&=&\left\{ \cdots ,-3,-2,-1,0,1,2,3,\cdots \right\}
\end{eqnarray*}で表記します。ただし、\begin{equation*}
-\mathbb{N} =\left\{ -x\in \mathbb{R} \ |\ x\in \mathbb{N} \right\}
\end{equation*}です。

整数集合\(\mathbb{Z} \)が与えられたとき、実数\(x\in \mathbb{R} \)が以下の条件\begin{equation*}\exists m\in \mathbb{Z} ,\ \exists n\in \mathbb{Z} \backslash \left\{ 0\right\} :x=\frac{m}{n}
\end{equation*}を満たす場合には、\(x\)を有理数と呼びます。つまり、2つの整数の商の形で表される実数を有理数と呼ぶということです。また、実数\(x\in \mathbb{R} \)に対して、以下の条件\begin{equation*}\exists z\in \mathbb{Z} ,\ \exists n\in \mathbb{N} :x=\frac{z}{n}
\end{equation*}が成り立つことは、\(x\)が有理数であるための必要十分条件です。つまり、実数が有理数であることと、その実数が整数と自然数の商の形で表されることは必要十分です。すべての有理数からなる集合を、\begin{eqnarray*}\mathbb{Q} &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ \exists m\in \mathbb{Z} ,\ \exists n\in \mathbb{Z} \backslash \left\{ 0\right\} :x=\frac{m}{n}\right\} \\&=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ \exists z\in \mathbb{Z} ,\ \exists n\in \mathbb{N} :x=\frac{z}{n}\right\}
\end{eqnarray*}で表記します。

有理数集合\(\mathbb{Q} \)が与えられたとき、実数\(x\in \mathbb{R} \)が以下の条件\begin{equation*}x\not\in \mathbb{Q} \end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall z\in \mathbb{Z} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :x\not=\frac{z}{n}
\end{equation*}を満たす場合には、\(x\)を無理数と呼びます。つまり、有理数ではない実数を無理数と呼ぶということです。すべての無理数からなる集合は、\begin{equation*}\mathbb{R} \backslash \mathbb{Q} =\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ \forall z\in \mathbb{Z} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :x\not=\frac{z}{n}\right\} \end{equation*}となります。この集合は非空です。

以上の要領で無理数集合\(\mathbb{R} \backslash \mathbb{Q} \)が定義されている状況を想定します。\(x<y\)を満たす実数\(x,y\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、それに対して、\begin{equation*}x<z<y
\end{equation*}を満たす無理数\(z\in \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q} \)が存在することが保証されます。つまり、2つの異なる実数の間には、それらとは異なる無理数が必ず存在します。このことを指して、\(\mathbb{R} \backslash \mathbb{Q} \)は\(\mathbb{R} \)上で稠密である（\(\mathbb{R} \backslash \mathbb{Q} \) is dense in \(\mathbb{R} \)）と言います。証明では有理数集合\(\mathbb{Q} \)が\(\mathbb{R} \)上で稠密であるという事実を利用します。

実数の間には無数の無理数が存在する

2つの異なる実数\(x,y\)を任意に選んだとき、無理数の稠密性より、\(x\)と\(y\)の間には無理数が必ず存在します。しかも、そのような無理数は無数に存在します。

無理数集合の上限と下限

実数\(x\)を任意に選んだ上で、\(x\)より小さいすべての無理数からなる集合\begin{equation*}\left\{ z\in \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q} \ |\ z<x\right\}
\end{equation*}をとると、この集合の上限は\(x\)と一致します。また、\(x\)より大きいすべての無理数からなる集合\begin{equation*}\left\{ z\in \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q} \ |\ x<z\right\}
\end{equation*}をとると、この集合の下限も\(x\)と一致します。