自然数の定義

帰納的集合

公理主義的実数論の立場のもと、実数空間\(\mathbb{R} \)上に加法\(+\)および乗法\(\cdot \)と呼ばれる二項演算と、大小関係\(\leq \)と呼ばれる二項関係を定義した上で、これらが完備な全順序体としての性質\begin{eqnarray*}&&\left( R_{1}\right) \ \forall x,y,z\in \mathbb{R} :\left( x+y\right) +z=x+\left( y+z\right) \\
&&\left( R_{2}\right) \ \exists 0\in \mathbb{R} ,\ \forall x\in \mathbb{R} :x+0=x \\
&&\left( R_{3}\right) \ \forall x\in \mathbb{R} ,\ \exists -x\in \mathbb{R} :x+\left( -x\right) =0 \\
&&\left( R_{4}\right) \ \forall x,y\in \mathbb{R} :x+y=y+x \\
&&\left( R_{5}\right) \ \forall x,y,z\in \mathbb{R} :\left( x\cdot y\right) \cdot z=x\cdot \left( y\cdot z\right) \\
&&\left( R_{6}\right) \ \exists 1\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} ,\ \forall x\in \mathbb{R} :x\cdot 1=x \\
&&\left( R_{7}\right) \ \forall x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} ,\ \exists x^{-1}\in \mathbb{R} :x\cdot x^{-1}=1 \\
&&\left( R_{8}\right) \ \forall x,y\in \mathbb{R} :x\cdot y=y\cdot x \\
&&\left( R_{9}\right) \ \forall x,y,z\in \mathbb{R} :\left( x+y\right) \cdot z=x\cdot z+y\cdot z \\
&&\left( R_{10}\right) \ \forall x\in \mathbb{R} :x\leq x \\
&&\left( R_{11}\right) \ \forall x,y\in \mathbb{R} :[(x\leq y\wedge y\leq x)\Rightarrow x=y] \\
&&\left( R_{12}\right) \ \forall x,y,z\in \mathbb{R} :\left[ \left( x\leq y\wedge y\leq z\right) \Rightarrow x\leq z\right] \\
&&\left( R_{13}\right) \ \forall x,y\in \mathbb{R} :\left( x\leq y\vee y\leq x\right) \\
&&\left( R_{14}\right) \ \forall x,y,z\in \mathbb{R} :\left( x\leq y\Rightarrow x+z\leq y+z\right) \\
&&\left( R_{15}\right) \ \forall x,y\in \mathbb{R} :\left[ \left( 0\leq x\wedge 0\leq y\right) \Rightarrow 0\leq x\cdot y\right] \\
&&\left( R_{16}\right) \ \text{連続性}
\end{eqnarray*}を満たすことを公理として定めました。ただし、連続性とは、\(\mathbb{R} \)の切断\(\left\langle A,B\right\rangle \)を任意に選んだとき、以下の2つの条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \max A\text{は存在するが}\min B\text{は存在しない} \\
&&\left( b\right) \ \max A\text{は存在しないが}\min B\text{は存在する}
\end{eqnarray*}のどちらか一方が必ず成り立つことを意味します。

\(\mathbb{R} \)に対して\(\left( R_{1}\right) \)から\(\left( R_{15}\right) \)までの公理を要求することは、\(\mathbb{R} \)が加法と乗法と大小関係に関して全順序体であることを意味します。ただ、これらの性質は有理数集合\(\mathbb{Q} \)上に定義された加法と乗法と大小関係に関しても成立するため、\(\mathbb{Q} \)もまた全順序体です。他方で、連続性の公理\(\left( R_{16}\right) \)は実数集合\(\mathbb{R} \)に固有の性質であるため、これを加えることにより実数の公理が完成します。

以上を踏まえた上で、実数空間\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)が以下の2つの性質\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ 1\in A \\
&&\left( b\right) \ \forall x\in \mathbb{R} :\left( x\in A\Rightarrow x+1\in A\right)
\end{eqnarray*}を満たす場合には、\(A\)を帰納的集合（inductive set）と呼びます。つまり、\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)が帰納的集合であることとは、\(1\)を要素として含むとともに、\(A\)の要素である実数を任意に選んだとき、その実数と\(1\)の和もまた\(A\)の要素になることが保証されることを意味します。

自然数の定義

上の例が示唆するように、\(\mathbb{R} \)の部分集合の中には帰納的集合であるものが存在します。そこで、\(\mathbb{R} \)におけるすべての帰納的集合からなる集合族を、\begin{equation*}\left\{ A_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }
\end{equation*}で表記します。つまり、\(\lambda \in \Lambda \)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ 1\in A_{\lambda } \\
&&\left( b\right) \ \forall x\in \mathbb{R} :\left( x\in A_{\lambda }\Rightarrow x+1\in A_{\lambda }\right)
\end{eqnarray*}が成り立つということです。その上で、この集合族の共通部分を、\begin{equation*}\mathbb{N} =\bigcap\limits_{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda }
\end{equation*}で表記し、この集合\(\mathbb{N} \)の要素を自然数（natural number）と呼びます。定義より、実数\(x\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}x\in \mathbb{N} &\Leftrightarrow &x\in \bigcap\limits_{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda
}\quad \because \mathbb{N} \text{の定義} \\
&\Leftrightarrow &\forall \lambda \in \Lambda :x\in A_{\lambda }\quad
\because \text{共通部分の定義}
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
x\in \mathbb{N} \Leftrightarrow \forall \lambda \in \Lambda :x\in A_{\lambda }
\end{equation*}という関係が成り立ちます。つまり、実数\(x\)が自然数であることと、その\(x\)がすべての帰納的集合の要素であることは必要十分です。

すべての自然数からなる集合\(\mathbb{N} \)もまた帰納的集合です。

自然数どうしの順序

先の命題より自然数集合\(\mathbb{N} \)は帰納的集合であるため、帰納的集合の定義より、\begin{equation*}1\in \mathbb{N} \end{equation*}が成り立ちます。すると、やはり\(\mathbb{N} \)が帰納的集合であることから、やはり帰納的集合の定義より、\begin{equation*}1+1\in \mathbb{N} \end{equation*}を得ます。そこで、この自然数\(1+1\)を\(2\)で表記します。つまり、\begin{equation*}2=1+1
\end{equation*}を満たすものとして\(2\)という自然数を定義するということです。加法単位元\(0\)と乗法単位元\(1\)の間には、\begin{equation*}0<1
\end{equation*}が成り立つため、これに狭義大小関係\(<\)に関する加法律を適用すると、\begin{equation*}0+1<1+1
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
1<2
\end{equation*}を得ます。以上より、\(2\)は\(1\)よりも大きい自然数であることが示されました。

同様の議論を繰り返すことができます。具体的には、先に示したように、\begin{equation*}
2\in \mathbb{N} \end{equation*}であるため、\(\mathbb{N} \)が帰納的集合であることから、\begin{equation*}2+1\in \mathbb{N} \end{equation*}を得ます。そこで、この自然数\(2+1\)を\(3\)と表記します。つまり、\begin{equation*}3=2+1
\end{equation*}を満たすものとして\(3\)という自然数を定義するということです。\(0\)と\(1\)の間には、\begin{equation*}0<1
\end{equation*}が成り立つため、これに\(<\)に関する加法律を適用すると、\begin{equation*}0+2<1+2
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
2<3
\end{equation*}を得ます。以上より、\(3\)は\(2\)よりも大きい自然数であることが示されました。

同様のプロセスを繰り返す形で後に続く自然数\begin{equation*}
4,5,6,\cdots
\end{equation*}も定義します。以上を踏まえた上で、自然数集合の要素を、\begin{equation*}\mathbb{N} =\left\{ 1,2,3,4,5,6,\cdots \right\}
\end{equation*}などと表記します。先と同様の議論により、これらの要素の間には、\begin{equation*}
1<2<3<4<5<6<\cdots
\end{equation*}という関係が成立します。

自然数は正の実数

実数\(x\in \mathbb{R} \)が加法単位元\(0\)よりも大きい場合には、すなわち、\begin{equation*}x>0
\end{equation*}が成り立つ場合、\(x\)は正（positive）であると言います。

すべての自然数は正の実数です。

最小の自然数は1

自然数集合\(\mathbb{N} \)は最小値を持つとともに、それは\(1\)です。

自然数集合は加法について閉じている

自然数どうしの和は自然数になることが保証されます。つまり、自然数集合\(\mathbb{N} \)は加法について閉じているということです。

自然数集合は乗法について閉じている

自然数どうしの積は自然数になることが保証されます。つまり、自然数集合\(\mathbb{N} \)は乗法について閉じているということです。

自然数集合は減法について閉じていない

自然数どうしの差は自然数になるとは限りません。つまり、自然数集合\(\mathbb{N} \)は減法について閉じていないということです。以下の例より明らかです。

一定の条件のもとでは自然数どうしの差は自然数になることが保証されます。

自然数集合は除法について閉じていない

自然数どうしの商は自然数になるとは限りません。つまり、自然数集合\(\mathbb{N} \)は除法について閉じていないということです。以下の例より明らかです。

演習問題