実数の集合\(\mathbb{R}\)上に大小関係\(\leq \)から狭義大小関係\(<\)を間接的に定義したとき、\(\mathbb{R}\)は狭義全順序集合になります。

狭義大小関係

\(\mathbb{R}\)上の大小関係\(\leq \)が与えられたとき、任意の順序対\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R}^{2}\)に対して、\begin{equation*}
x<y\ \overset{def}{\Leftrightarrow }\ (x\leq y\ \wedge \ x\not=y)
\end{equation*}を満たすものとして\(\mathbb{R}\)上の新たな二項関係\(<\)を定義し、これを狭義大小関係(strict magnitude relation)と呼びます。また、\(\left( x,y\right) \)に対して\(x<y\)が成り立つ場合には、\(x\)は\(y\)より小さい(less)とか、\(y\)は\(x\)より大きい(greater)などと表現します。

定義より、\(x<y\)が成り立つことは\(x\leq y\)かつ\(x\not=y\)であることを意味しますが、逆に、\(x\leq y\)が成り立つことを\(<\)を用いて以下のように表現できます。つまり、\(x\leq y\)が成り立つことは\(x<y\)または\(x=y\)であることを意味します。

命題(大小関係と狭義大小関係の関係)
\(\mathbb{R}\)上の大小関係\(\leq \)から狭義大小関係\(<\)を定義したとき、任意の順序対\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}
x\leq y\ \Leftrightarrow \ (x<y\ \vee \ x=y)
\end{equation*}が成り立つ。
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実数の集合は大小関係に関する狭義全順序集合

狭義大小関係\(<\)を大小関係\(\leq \)から上のように定義したとき、これは以下の性質を満たすことを公理から示すことができます。

命題(狭義大小関係は狭義全順序)
\(\mathbb{R}\)上の狭義大小関係\(<\)は以下の性質を満たす。\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \forall x,y\in \mathbb{R}:[x<y\ \Rightarrow \lnot (y<x)] \\
&&\left( b\right) \ \forall x,y,z\in \mathbb{R}:[(x<y\ \wedge \ y<z)\ \Rightarrow \ x<z] \\
&&\left( c\right) \ \forall x,y\in \mathbb{R}:(x<y\ \vee \ y<x\ \vee \ x=y)
\end{eqnarray*}
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上の命題中の性質のうち、\begin{equation*}
\left( a\right) \ \forall x,y\in \mathbb{R}:[x<y\ \Rightarrow \lnot (y<x)] \end{equation*}を非対称律(asymmetric law)と呼びます。これは、任意の実数\(x,y\)について、\(x\)が\(y\)より小さい場合には\(y\)は\(x\)よりも小さくないことを保証します。非対称律より、任意の実数\(x\)に対して、\begin{align*}
\left[ x<x\Rightarrow \lnot (x<x)\right] & \Leftrightarrow \ \left[ \lnot \left( x<x\right) \ \vee \ \lnot (x<x)\right] \\
& \Leftrightarrow \ \lnot \left( x<x\right)
\end{align*}が成り立ちます。つまり、狭義大小関係\(<\)は、\begin{equation*}
\forall x\in \mathbb{R}:\lnot \left( x<x\right)
\end{equation*}を満たしますが、これを非反射律(antireflexive law)と呼びます。

上の命題中の性質のうち、\begin{equation*}
\left( b\right) \ \forall x,y,z\in \mathbb{R}:[(x<y\ \wedge \ y<z)\ \Rightarrow \ x<z] \end{equation*}を推移律(transitive law)と呼びます。これは、任意の実数\(x,y,z\)について、\(x\)が\(y\)より小さく\(y\)が\(z\)より小さい場合には\(x\)は\(z\)より小さいことを保証します。

狭義大小関係\(<\)は\(\mathbb{R}\)上の二項関係ですから、任意の実数\(x,y\)に対して、\(x<y,\ y<x,\ x=y\)などの命題はそれぞれ真か偽のどちらか一方です。したがって、以下の命題\begin{equation*}
\lnot \left( x<y\right) \ \wedge \ \lnot \left( y<x\right) \ \wedge \ \left( x\not=y\right)
\end{equation*}が真になる場合が起こり得ます。この場合には、\(x\)と\(y\)の大小を\(<\)を用いて判定することはできません。一方、上の命題の否定に相当する以下の命題\begin{equation*}
x<y\ \vee \ y<x\ \vee \ x=y
\end{equation*}が真の場合には、\(x\)と\(y\)の大小を\(<\)を用いて判定できます。したがって、上の命題中の性質のうち、\begin{equation*}
\left( c\right) \ \forall x,y\in \mathbb{R}:(x<y\ \vee \ y<x\ \vee \ x=y)
\end{equation*}は\(<\)のもとでは任意の 2 つの実数が比較可能であることを保証します。これを三分律(trichotomy law)と呼びます。

\(\mathbb{R}\)上の狭義大小関係\(<\)が\(\left( a\right) ,\left( b\right) \)を満たすことは、\(<\)が\(\mathbb{R}\)上の狭義順序(strict ordering)であり、\(\mathbb{R}\)は\(<\)に関する狭義順序集合(strict ordering set)であることを意味します。さらに、\(<\)が\(\left( a\right) ,\left( b\right) \)に加えて\(\left( c\right) \)を満たすことは、\(<\)が\(\mathbb{R}\)上の狭義全順序(strict total ordering)であり、\(\mathbb{R}\)は\(<\)に関する狭義全順序集合(strict total ordering set)であることを意味します。

 

実数の比較

狭義大小関係\(<\)は三分律を満たすため、任意の実数\(x,y\in \mathbb{R}\)について、\begin{equation*}
x<y\ \vee \ y<x\ \vee \ x=y
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、\(x<y,\ y<x,\ x=y\)の中の少なくとも 1 つが成り立ちます。さらに、後ほど示すように、任意の実数\(x,y\)に対して\(x<y,\ y<x,\ x=y\)の中のいずれか 1 つ、そして 1 つだけが成り立ちます。したがって、\(\mathbb{R}\)上の大小関係\(\leq \)が与えられていれば、すべての実数を最小のものから最大のものへと一列に並べることができます。

命題(実数の比較)
それぞれの実数\(x,y\in \mathbb{R}\)について、\(x<y,\ y<x,\ x=y\)の中のいずれか 1 つ、そして 1 つだけが成り立つ。
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実数の符号

実数\(x\in \mathbb{R}\)が\(0<x\)を満たす場合、\(x\)は(positive)であると言います。その上で、すべての正の実数からなる集合を\(\mathbb{R}_{++}=\left\{ x\in \mathbb{R}|x>0\right\} \)で表します。

実数\(x\in \mathbb{R}\)が\(0>x\)を満たす場合、\(x\)は(negative)であると言います。その上で、すべての負の実数からなる集合を\(\mathbb{R}_{–}=\left\{ x\in \mathbb{R}|x<0\right\} \)で表します。

非反射律より\(0>0\)は偽ですから、\(0\)は正でも負でもありません。つまり、\(0\not\in \mathbb{R}_{++}\)かつ\(0\not\in \mathbb{R}_{–}\)です。

次回は実数の部分集合の最大値や最小値について解説します。
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