実数の集合 R 上に定義された大小関係を用いて、狭義大小関係と呼ばれる新たな順序を間接的に定義します。
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狭義大小関係

実数体\(\mathbb{R} \)上には大小関係\(\leq \)が定義されており、全順序としての公理を満たすものとします。このとき、実数からなる任意の順序対\(\left( x,y\right) \)に対して、\begin{equation*}
x<y\ \Leftrightarrow \ \left( x\leq y\wedge x\not=y\right)
\end{equation*}を満たすものとして\(\mathbb{R} \)上の新たな二項関係\(<\)を定義します。これを狭義大小関係(strict magnitude relation)と呼びます。\(\left( x,y\right) \)に対して\(x<y\)が成り立つ場合、\(x\)は\(y\)より小さい(less)とか、\(y\)は\(x\)より大きい(greater)などと表現します。

狭義大小関係\(<\)の逆関係を\(>\)と表記します。つまり、実数の順序対\(\left( x,y\right) \)を任意に選んだとき、\begin{equation*}
x>y\Leftrightarrow y<x
\end{equation*}を満たすものとして\(>\)を定義するということです。つまり、\(x\)が\(y \)より大きいことを\(x>y\)と表記することもできるということです。

狭義大小関係\(<\)は大小関係\(\leq \)から間接的に定義されており、\(<\)に関する性質は\(\leq \)に関する公理から導かれてはじめて正しいものとして認められます。以降では、\(<\)に関する基本的な公理から導きます。

実数\(x,y\)を任意に選びます。\(x<y\)が成り立つ場合、逆に\(y<x\)は成り立たないことを示します。具体的には、\(x<y\)と\(y<x\)がともに成り立つものと仮定すると、\begin{eqnarray*}
\left( x<y\wedge y<x\right) &\Leftrightarrow &\left( x\leq y\wedge
x\not=y\right) \wedge \left( y\leq x\wedge y\not=x\right) \quad \because <\text{の定義} \\
&\Leftrightarrow &\left( x\leq y\wedge y\leq x\right) \wedge \left(
x\not=y\wedge y\not=x\right) \quad \because \wedge \text{の交換律} \\
&\Leftrightarrow &\left( x\leq y\wedge y\leq x\right) \wedge x\not=y\quad
\because \wedge \text{のベキ等律} \\
&\Rightarrow &x=y\wedge x\not=y\quad \because \leq \text{の反対称律} \\
&\Leftrightarrow &\bot \quad \because \bot \text{は恒偽式}
\end{eqnarray*}となります。したがって、\(x<y\)が成り立つ場合には\(y<x\)は成り立ちません。得られた結果を定式化すると、\begin{equation*}
\forall x,y\in \mathbb{R} :\left[ x<y\Rightarrow \lnot \left( y<x\right) \right] \end{equation*}となりますが、これを\(<\)に関する非対称律(asymmetric law)と呼びます。つまり、実数\(x,y\)について、\(x\)が\(y\)より小さい場合、\(y\)は\(x\)よりも小さくないことが保証されます。

命題(狭義大小関係の非対称律)
\(\mathbb{R} \)上の狭義大小関係\(<\)は、\begin{equation*}
\forall x,y\in \mathbb{R} :\left[ x<y\Rightarrow \lnot \left( y<x\right) \right] \end{equation*}を満たす。
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非対称律において\(y=x\)とおくと以下の命題\begin{equation*}
\forall x\in \mathbb{R} :\lnot \left( x<x\right)
\end{equation*}が導かれます。(演習問題にします)。これを\(<\)に関する非反射律(antireflexive law)と呼びます。つまり、実数\(x\)を任意に選んだとき、それは\(x\)自身より小さくはなく、\(x\)自身より大きくもありません。

命題(狭義大小関係の非反射律)
\(\mathbb{R} \)上の狭義大小関係\(<\)は、\begin{equation*}
\forall x\in \mathbb{R} :\lnot \left( x<x\right)
\end{equation*}を満たす。
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実数\(x,y,z\)を任意に選びます。\(x<y\)と\(y<z\)がともに成り立つ場合、\(x<z\)が成り立つことを示します。具体的には、\(x<y\)と\(y<z\)がともに成り立つ場合、\begin{eqnarray*}
\left( x<y\wedge y<z\right) &\Leftrightarrow &\left( x\leq y\wedge
x\not=y\right) \wedge \left( y\leq z\wedge y\not=z\right) \quad \because <\text{の定義} \\
&\Leftrightarrow &\left( x\leq y\wedge y\leq z\right) \wedge \left(
x\not=y\wedge y\not=z\right) \quad \because \wedge \text{の交換律} \\
&\Rightarrow &x\leq z\wedge \left( x\not=y\wedge y\not=z\right) \quad
\because \leq \text{の推移律} \\
&\Rightarrow &x\leq z
\end{eqnarray*}すなわち\(x\leq z\)が成り立ちます。また、\(x<y\)と\(y<z\)から\(x\not=z\)を示すこともできます(演習問題にします)。\(x\leq z\)かつ\(x\not=z\)であるとき、\(<\)の定義より、\(x<z\)が成り立ちます。得られた結果を定式化すると、\begin{equation*}
\forall x,y,z\in \mathbb{R} :\left[ \left( x<y\wedge y<z\right) \Rightarrow x<z\right] \end{equation*}となりますが、これを\(<\)に関する推移律(transitive law)と呼びます。つまり、実数\(x,y,z\)について、\(x\)よりも\(y\)の方が大きく、さらに\(z\)が\(y\)よりも大きい場合には、\(z\)が\(x\)よりも大きいことが保証されます。

命題(狭義大小関係の推移律)
\(\mathbb{R} \)上の狭義大小関係\(<\)は、\begin{equation*}
\forall x,y,z\in \mathbb{R} :\left[ \left( x<y\wedge y<z\right) \Rightarrow x<z\right] \end{equation*}を満たす。
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狭義大小関係\(<\)は\(\mathbb{R} \)上の二項関係であるため、実数\(x,y\)をそれぞれ任意に選んだとき、\(x<y,\ y<x,\ x=y\)などの命題はそれぞれ真か偽のどちらか一方です。したがって、論理的には、以下の命題\begin{equation*}
\lnot \left( x<y\right) \wedge \lnot \left( y<x\right) \wedge \left(
x\not=y\right)
\end{equation*}が真になるケースが考えられます。この場合、\(<\)を用いて\(x\)と\(y\)の大小を判定することはできません。一方、上の命題の否定に相当する、\begin{equation*}
x<y\vee y<x\vee x=y
\end{equation*}が真である場合には、\(<\)を用いて\(x\)と\(y\)の大小を判定できます。実は、\(<\)の定義と\(\leq \)を規定する公理より、以下の命題\begin{equation*}
\forall x,y\in \mathbb{R} :\left( x<y\vee y<x\vee x=y\right)
\end{equation*}が成り立つことが示されます(演習問題にします)。これを\(<\)に関する三分律(trichotomy law)と呼びます。

命題(狭義大小関係の三分律)
\(\mathbb{R} \)上の狭義大小関係\(<\)は、\begin{equation*}
\forall x,y\in \mathbb{R} :\left( x<y\vee y<x\vee x=y\right)
\end{equation*}を満たす。
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以上の結果をまとめておきましょう。ただし、非反射律は非対称律から導かれるため、以下では省略しています。

命題(狭義大小関係の性質)
\(\mathbb{R} \)上の狭義大小関係\(<\)は以下の性質を満たす。\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \forall x,y\in \mathbb{R} :\left[ x<y\Rightarrow \lnot \left( y<x\right) \right] \\
&&\left( b\right) \ \forall x,y,z\in \mathbb{R} :\left[ \left( x<y\wedge y<z\right) \Rightarrow x<z\right] \\
&&\left( c\right) \ \forall x,y\in \mathbb{R} :\left( x<y\vee y<x\vee x=y\right)
\end{eqnarray*}
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狭義大小関係\(<\)が\(\left( a\right) ,\left( b\right) \)を満たすことは、\(<\)が\(\mathbb{R} \)上の狭義順序(strict ordering)であり、\(\mathbb{R} \)が\(<\)に関する狭義順序集合(strict ordering set)であることを意味します。また、\(\left( a\right) ,\left( b\right) \)に加えて\(\left( c\right) \)を満たすことは、\(<\)が\(\mathbb{R} \)上の狭義全順序(strict total ordering)であり、\(\mathbb{R} \)は\(<\)に関する狭義全順序集合(strict total ordering set)であることを意味します。

 

大小関係と狭義大小関係の関係

実数\(x,y\)を任意に選びます。大小関係\(\leq \)の完備律より\(x\leq y\)と\(y\leq x\)の少なくとも一方が成り立つため、\(x\leq y\)と\(y\leq x\)の真理値の組み合わせとしては3通りが存在しますが、それぞれの場合における\(x<y\)と\(x=y\)の値は以下の真理値のようになります(演習問題にします)。

$$\begin{array}{cccc}
\hline
x\leq y & y\leq x & x<y & x=y \\ \hline
1 & 1 & 0 & 1 \\ \hline
1 & 0 & 1 & 0 \\ \hline
0 & 1 & 0 & 0 \\ \hline
\end{array}$$

表:実数の比較

まず注目すべきことは、いずれの場合においても\(y\leq x\)と\(x<y\)の真理値表が逆転しているという事実です。したがって以下の命題が得られます。

命題(大小関係と狭義大小関係の関係)
実数\(x,y\in \mathbb{R} \)をそれぞれ任意に選ぶと、\begin{eqnarray*}
\left( a\right) \ x &<&y\Leftrightarrow \lnot \left( y\leq x\right) \\
\left( b\right) \ x &\leq &y\Leftrightarrow \lnot \left( y<x\right)
\end{eqnarray*}が成り立つ。
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次に注目すべきは、\(x\leq y\)が真であることと、\(x<y\)と\(x=y\)の少なくとも一方が真であることは必要十分であるという事実です。したがって以下の命題が得られます。

命題(大小関係と狭義大小関係の関係)
実数\(x,y\in \mathbb{R} \)をそれぞれ任意に選ぶと、\begin{equation*}
x\leq y\ \Leftrightarrow \ (x<y\vee x=y)
\end{equation*}が成り立つ。
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狭義大小関係\(<\)の定義より、\(x<y\)が成り立つことは\(x\leq y\)と\(x\not=y\)がともに成り立つことを意味します。上の命題より、逆に、\(x\leq y\)が成り立つことは\(x<y\)と\(x=y\)の少なくとも一方が成り立つことを意味します。

\(x<y\)かつ\(y\leq z\)を満たす実数\(x,y,z\)を任意に選びます。\(x<y\)は\(x\leq y\)を含意するため、これと\(y\leq z\)に対して\(\leq \)の推移律を適用することにより\(x\leq z\)を得ます。加えて、\(x\not=z\)であることも示されるため(演習問題にします)、\(<\)の定義より\(x<z\)が成り立ちます。\(x\leq y\)かつ\(y<z\)を満たす実数\(x,y,z\)に対して\(x<z\)が成り立つことも示されます。これは\(\leq \)と\(<\)の双方が関係する推移律です。

命題(大小関係と狭義大小関係の関係)
実数\(x,y,z\in \mathbb{R} \)をそれぞれ任意に選ぶと、\begin{eqnarray*}
\left( b\right) \ \left( x<y\wedge y\leq z\right) &\Rightarrow &x<z \\
\left( b\right) \ \left( x\leq y\wedge y<z\right) &\Rightarrow &x<z
\end{eqnarray*}が成り立つ。
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実数の比較

狭義大小関係\(<\)は三分律を満たすため、実数\(x,y\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}
x<y\vee y<x\vee x=y
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、\(x<y\)と\(y<x\)と\(x=y\)の中の少なくとも1つが成り立つということです。少なくとも1つが成り立つという表現は、その中の複数が同時に成り立つ可能性を排除していません。しかし、実際には、\(x<y\)と\(y<x\)と\(x=y\)の中の2つ以上が同時に起こらないことを以下の真理値表から確認します。

$$\begin{array}{ccc}
\hline
& x\leq y & y\leq x \\ \hline
\left( a\right) & 1 & 1 \\ \hline
\left( b\right) & 1 & 0 \\ \hline
\left( c\right) & 0 & 1 \\ \hline
\left( d\right) & 0 & 0 \\ \hline
\end{array}$$

表:実数の比較

大小関係\(\leq \)の完備律より\(x\leq y\)と\(y\leq x\)の少なくとも一方が成り立つため、真理値表中の\(\left( d\right) \)のケースは起こり得ません。したがって、起こり得るのは\(\left( a\right) ,\left( b\right) ,\left( c\right) \)の中のどれか1つです。\(\left( a\right) \)の場合、\(\leq \)の反対称律より\(x=y\)となります。\(x=y\)が真であるとき、\(<\)の定義より\(x<y\)と\(y<x\)はともに偽です。したがって、\(\left( a\right) \)の場合には\(x=y\)だけが成り立ちます。\(\left( b\right) \)の場合、\(y\leq x\)は偽です。\(y\leq x\)が成り立つことは\(y<x\)と\(y=x\)の少なくとも一方が成り立つことを意味するため、\(y\leq x\)が偽であることは\(y<x\)と\(y=x\)がともに偽であること、すなわち\(x\leq y\)と\(y\not=x\)がともに真であることを意味しますが、\(<\)の定義より、これは\(x<y\)であることを意味します。\(\left( c\right) \)の場合には、同様に考えることにより、\(y<x\)となります。

命題(実数の比較)
実数\(x,y\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\begin{equation*}
x<y,\quad y<x,\quad x=y
\end{equation*}の中のいずれか1つ、そして1つだけが成り立つ。
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\(\mathbb{R} \)上の大小関係\(\leq \)が与えられたとき、上の命題より、すべての実数を大きい順に一列に並べることができます。

 

実数の符号

実数\(x\)を任意に選んだとき、それが\(0<x\)を満たす場合、この実数\(x\)は(positive)であると言います。逆に、\(x<0\)を満たす場合、実数\(x\)は(negative)であると言います。すべての正の実数からなる集合、すべての負の実数からなる集合をそれぞれ、\begin{eqnarray*}\mathbb{R} _{++} &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ 0<x\right\} \\\mathbb{R} _{−−} &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ x<0\right\}
\end{eqnarray*}と表記します。

狭義大小関係\(<\)の非反射律より\(\lnot \left( 0<0\right) \)が成り立つため、\(\mathbb{R} _{++}\)と\(\mathbb{R} _{−−}\)の定義より\(0\not\in \mathbb{R} _{++}\)かつ\(0\not\in \mathbb{R} _{−−}\)がともに成り立ちます。つまり、\(0\)は正や負ではありません。

加法単位元\(0\)とは異なる実数\(x\)を任意に選ぶと、先の命題より\(x<0\)と\(0<x\)のどちらか一方が成り立ちます。したがって、\(0\)とは異なるそれぞれの実数は\(\mathbb{R} _{++}\)と\(\mathbb{R} _{−−}\)のどちらか一方の要素です。

命題(実数の符号)
以下が成り立つ。\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ 0\not\in \mathbb{R} _{++}\cup \mathbb{R} _{−−} \\
&&\left( b\right) \ \forall x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} :x\in \mathbb{R} _{++}\veebar x\in \mathbb{R} _{−−}
\end{eqnarray*}ただし、\(\cup \)は和集合、\(\backslash \)は差集合、\(\veebar \)は排他的論理和を表す記号である。
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次回は実数の部分集合の最大値や最小値について解説します。

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