指数が有理数である場合の累乗

有理数指数の累乗

実数\(a\in \mathbb{R} \)と自然数\(n\in \mathbb{N} \)が与えられたとき、底が\(a\)で指数が\(n\)であるような累乗を、\begin{equation*}a^{n}=\overset{n\text{個}}{\overbrace{a\times \cdots \times a}}
\end{equation*}と定義した上で、これが指数法則などの性質を満たすことを示しました。

以上を踏まえた上で、非ゼロの実数\(a\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)と整数\(z\in \mathbb{Z} \)が与えられたとき、底が\(a\)であり指数が\(z\)であるような累乗を、\begin{equation*}a^{z}=\left\{
\begin{array}{cc}
a^{z} & \left( if\ z>0\right) \\
1 & \left( if\ z=0\right) \\
\dfrac{1}{a^{-z}} & \left( if\ n<0\right)\end{array}\right.
\end{equation*}と定義した上で、これもまた指数法則を満たすことを示しました。では、指数を整数から有理数へ拡張した場合の累乗をどのように定義すればよいでしょうか。有理数は整数\(z\)と整数\(n \)を用いて\(\frac{z}{n}\)という形で表される実数であるため、実数\(a\)の有理数乗は、\begin{equation*}a^{\frac{z}{n}}
\end{equation*}と表現されますが、これをどのように定義すればよいでしょうか。順番に考えます。

以降では、底\(a\)は正の実数であるものとします。整数\(z\in \mathbb{Z} \)と自然数\(n\in \mathbb{N} \)をそれぞれ任意に選ぶと、指数が整数である場合の累乗に関する指数法則より、\begin{equation}\left( a^{z}\right) ^{n}=a^{zn} \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立ちますが、\(z\)が有理数である場合にも\(\left( 1\right) \)が成り立つものと指数法則を拡張するのであれば、\begin{equation*}z=\frac{1}{n}
\end{equation*}とおくことにより、\begin{eqnarray*}
\left( a^{\frac{1}{n}}\right) ^{n} &=&a^{\frac{1}{n}n}\quad \because z=\frac{1}{n}\text{および}\left( 1\right) \\
&=&a^{1} \\
&=&a
\end{eqnarray*}を得ます。

以上を踏まえた上で、正の実数\(a\in \mathbb{R} _{++}\)と自然数\(n\in \mathbb{N} \)が与えられたとき、底が\(a\)であり指数が\(\frac{1}{n}\)であるような累乗\(a^{\frac{1}{n}}\)を、以下の条件\begin{equation*}\left( a^{\frac{1}{n}}\right) ^{n}=a
\end{equation*}を満たす正の実数として定義します。定義より、実数\(x\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、以下の関係\begin{equation*}x=a^{\frac{1}{n}}\Leftrightarrow x^{n}=a\wedge x>0
\end{equation*}が成り立ちます。累乗\(a^{\frac{1}{n}}\)を、\begin{equation*}\sqrt[n]{a}
\end{equation*}と表記することもできます。

ただし、正の実数\(a\)と自然数\(n\)が与えられたとき、それに対して\(a^{\frac{1}{n}}\)が存在すること、すなわち\(x^{n}=a\)かつ\(x>0\)を満たす実数\(x\)が存在することは必ずしも自明ではありません。\(a^{\frac{1}{n}}\)が存在することの証明は後ほど行うこととして、とりあえず、\(a^{\frac{1}{n}}\)が1つの実数として定まるものと仮定して話を進めます。

有理数\(\frac{1}{n}\)を指数として持つ累乗\(a^{\frac{1}{n}}\)を定義しましたが、一般の有理数\(\frac{z}{n}\)を指数として持つ累乗\(a^{\frac{z}{n}}\)をどのように定義すればよいでしょうか。仮に、\begin{equation*}a^{\frac{z}{n}}=\left( a^{z}\right) ^{\frac{1}{n}}
\end{equation*}とみなすのであれば、これは指数が有理数\(\frac{1}{n}\)であるような累乗と解釈できます。つまり、指数が有理数\(\frac{z}{n}\)であるような累乗\(a^{\frac{z}{n}}\)とは、それを\(n\)乗すると\(a^{z}\)になるような正の実数であるということです。

以上を踏まえた上で、正の実数\(a\in \mathbb{R} _{++}\)と整数\(z\in \mathbb{Z} \)および自然数\(n\in \mathbb{N} \)が与えられたとき、底が\(a\)であり指数が\(\frac{z}{n}\)であるような累乗\(a^{\frac{z}{n}}\)を、以下の条件\begin{equation*}\left( a^{\frac{z}{n}}\right) ^{n}=a^{z}
\end{equation*}を満たす正の実数として定義します。定義より、実数\(x\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、以下の関係\begin{equation*}x=a^{\frac{z}{n}}\Leftrightarrow x^{n}=a^{z}\wedge x>0
\end{equation*}が成り立ちます。

以下の関係\begin{equation}
a^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a} \quad \cdots (1)
\end{equation}を踏まえると、\begin{eqnarray*}
a^{\frac{z}{n}} &=&\left( a^{z}\right) ^{\frac{1}{n}} \\
&=&\sqrt[n]{a^{z}}\quad \because \left( 1\right)
\end{eqnarray*}となります。つまり、累乗\(a^{\frac{z}{n}}\)を、\begin{equation*}\sqrt[n]{a^{z}}
\end{equation*}と表記できるということです。

有理数乗の存在証明

正の実数\(a\in \mathbb{R} _{++}\)と自然数\(n\in \mathbb{N} \)が与えられたとき、底が\(a\)であり指数が\(\frac{1}{n}\)であるような累乗\(a^{\frac{1}{n}}\)は、以下の条件\begin{equation*}\left( a^{\frac{1}{n}}\right) ^{n}=a
\end{equation*}を満たす正の実数として定義されます。定義より、実数\(x\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、以下の関係\begin{equation*}x=a^{\frac{1}{n}}\Leftrightarrow x^{n}=a\wedge x>0
\end{equation*}が成り立ちます。では、\(x^{n}=a\)かつ\(x>0\)を満たす実数\(x\)は必ず存在するのでしょうか。証明には実数の連続性や関数の極限および連続性に関する知識が必要であるため、それらについて学んでから読み返してください。

正の実数\(a\in \mathbb{R} _{++}\)と整数\(z\in \mathbb{Z} \)および自然数\(n\in \mathbb{N} \)が与えられたとき、底が\(a\)であり指数が\(\frac{z}{n}\)であるような累乗\(a^{\frac{z}{n}}\)は、以下の条件\begin{equation*}\left( a^{\frac{z}{n}}\right) ^{n}=a^{z}
\end{equation*}を満たす正の実数として定義されます。定義より、実数\(x\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、以下の関係\begin{equation*}x=a^{\frac{z}{n}}\Leftrightarrow x^{n}=a^{z}\wedge x>0
\end{equation*}が成り立ちます。では、\(x^{n}=a^{z}\)かつ\(x>0\)を満たす実数\(x\)は必ず存在するのでしょうか。\(a^{z}\)は整数乗であるため1つの実数として定まります。したがって先の命題より、上の関係を満たす実数\(x\)が1つだけ存在することが示されました。

有理数乗の解釈

正の実数\(a\in \mathbb{R} _{++}\)と有理数\(r\in \mathbb{Q} \)が与えられたとき、\begin{equation*}a^{-r}=\left( \frac{1}{a}\right) ^{r}=\left( a^{r}\right) ^{-1}
\end{equation*}という関係が成り立ちます。つまり、\(a\)の\(-r\)乗は\(a\)の逆数の\(r\)乗や、\(a\)の\(r\)乗の\(-1\)乗と一致します。

底を共有する累乗の積

正の実数\(a\in \mathbb{R} _{++}\)と有理数\(r_{1},r_{2}\in \mathbb{Q} \)が与えられたとき、\begin{equation*}a^{r_{1}}\cdot a^{r_{2}}=a^{r_{1}+r_{2}}
\end{equation*}という関係が成り立ちます。つまり、底\(a\)を共有する\(a^{r_{1}}\)と\(a^{r_{2}}\)が与えられたとき、それらの積\(a^{r_{1}}\cdot a^{r_{2}}\)を求めるためには指数どうしの和\(r_{1}+r_{2}\)をとり、それを指数とする累乗\(a^{r_{1}+r_{2}}\)をとればよいということです。「累乗の積」に関する問題は「指数の和」に関する問題へと帰着させられます。

底を共有する累乗の商

正の実数\(a\in \mathbb{R} _{++}\)と有理数\(r_{1},r_{2}\in \mathbb{Q} \)が与えられたとき、\begin{equation*}\frac{a^{r_{1}}}{a^{r_{2}}}=a^{r_{1}-r_{2}}
\end{equation*}という関係が成り立ちます。つまり、底\(a\)を共有する\(a^{r_{1}}\)と\(a^{r_{2}}\)が与えられたとき、それらの商\(\frac{a^{r_{1}}}{a^{r_{2}}}\)を求めるためには指数どうしの差\(r_{1}-r_{2}\)をとり、それを指数とする累乗\(a^{r_{1}-r_{2}}\)をとればよいということです。「累乗の商」に関する問題は「指数の差」に関する問題へと帰着させられます。

累乗の累乗

正の実数\(a\in \mathbb{R} _{++}\)と有理数\(r_{1},r_{2}\in \mathbb{Q} \)が与えられたとき、\begin{equation*}\left( a^{r_{1}}\right) ^{r_{2}}=a^{r_{1}r_{2}}
\end{equation*}という関係が成り立ちます。つまり、累乗\(a^{r_{1}}\)が与えられたとき、さらにその累乗\(\left( a^{r_{1}}\right) ^{r_{2}}\)を求めるためには指数どうしの積\(r_{1}r_{2}\)をとり、それを指数とする累乗\(a^{r_{1}r_{2}}\)をとればよいということです。「累乗の累乗」に関する問題は「累乗の積」に関する問題へと帰着させられます。

積の累乗

正の実数\(a,b\in \mathbb{R} _{++}\)と有理数\(r\in \mathbb{Q} \)が与えられたとき、\begin{equation*}\left( ab\right) ^{r}=a^{r}b^{r}
\end{equation*}という関係が成り立ちます。つまり、正の実数\(a,b\)が与えられたとき、それらの積の累乗\(\left( ab\right) ^{r}\)を求めるためには、\(a\)の累乗\(a^{r}\)と\(b\)の累乗\(b^{r}\)をそれぞれとり、それらの積をとればよいということです。「積の累乗」に関する問題は「累乗の積」に関する問題へと帰着させられます。

商の累乗

正の実数\(a,b\in \mathbb{R} _{++}\)と有理数\(r\in \mathbb{Q} \)が与えられたとき、\begin{equation*}\left( \frac{a}{b}\right) ^{r}=\frac{a^{r}}{b^{r}}
\end{equation*}という関係が成り立ちます。つまり、正の実数\(a,b\)が与えられたとき、それらの商の累乗\(\left( \frac{a}{b}\right) ^{r}\)を求めるためには、\(a\)の累乗\(a^{r}\)と\(b\)の累乗\(b^{r}\)をそれぞれとり、それらの商をとればよいということです。「商の累乗」に関する問題は「累乗の商」に関する問題へと帰着させられます。

累乗の比較

まずは以下の補題を示します。

以上の補題を踏まえると、底を共有する累乗の大小関係に関する以下の命題が導かれます。

累乗と底の関係

累乗の比較に関する先の命題を用いることにより以下が導かれます。

演習問題