公理主義的実数論では実数空間上に乗法と呼ばれる二項演算を定義した上で、それが可換群(アーベル群)としての性質を満たすことを公理として定めます。乗法に関する性質はいずれもそれらの公理から導かれて初めて正しいものとして認められます。
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乗法

すべての実数からなる集合\(\mathbb{R}\)の上には乗法(multiplication)と呼ばれる二項演算が定義されているものとし、これを\(\cdot :\mathbb{R}\times \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\)と表記します。また、乗法\(\cdot \)が実数の順序対\(\left( x,y\right) \)に対して定める実数を\(x\)と\(y\)の(product)と呼び、これを\(x\cdot y\)もしくは\(xy\)と表記します。また、\(\left( x,y\right) \)に\(\cdot \)を作用させることを、\(x\)と\(y\)を掛ける(multiply)と言います。\(\mathbb{R}\)上に\(\cdot \)が定義されているとき、\(\mathbb{R}\)は\(\cdot \)について閉じている(closed)と言います。

公理主義的実数論においては、乗法\(\cdot \)が満たすべき性質を公理として定めます。1つ目の公理は、\begin{equation*}
\left( R_{5}\right) \ \forall x,y,z\in
\mathbb{R}:\left( x\cdot y\right) \cdot z=x\cdot \left( y\cdot z\right)
\end{equation*}というものであり、これを乗法に関する結合律(associative law)と呼びます。括弧\(\left( \ \right) \)は乗法を適用する順番を表しています。つまり、左辺\(\left( x\cdot y\right) \cdot z\)は、はじめに\(x\)と\(y\)を掛けた上で、得られた結果\(x\cdot y\)と\(z\)をさらに掛けて得られる結果です。右辺の\(x\cdot \left( y\cdot z\right) \)は、はじめに\(y\)と\(z\)を掛けた上で、\(x\)と先の結果を掛けて得られる結果です。結合律はこれらの結果が等しいことを保証します。つまり、3 つの実数\(x,y,z\)に対して乗法を適用する際には、隣り合うどの 2 つを先に掛けても得られる結果は変わらないということです。

乗法\(\cdot \)が満たすべき2つ目の公理は、\begin{equation*}
\left( R_{6}\right) \ \exists 1\in
\mathbb{R}\backslash \left\{ 0\right\} ,\ \forall x\in
\mathbb{R}:x\cdot 1=x
\end{equation*}というものです。これは、任意の実数\(x\)に掛けてもその結果が\(x\)のままであるような\(0\)とは異なる実数\(1\)の存在を保証しています。この実数\(1\)を乗法単位元(multiple identity element)やイチ(one)などと呼びます。

乗法\(\cdot \)が満たすべき3つ目の公理は、\begin{equation*}
\left( R_{7}\right) \ \forall x\in
\mathbb{R}\backslash \left\{ 0\right\} ,\ \exists x^{-1}\in
\mathbb{R}:x\cdot x^{-1}=1
\end{equation*}というものです。これは、加法単位元\(0\)とは異なるそれぞれの実数\(x\)に対して、それに掛けると結果が乗法単位元\(1\)になるような実数\(x^{-1}\)の存在を保証しています。このような実数\(x^{-1}\)を\(x\)の乗法逆元(multiple inverse element)や逆数(inverse number)などと呼びます。\(x\)の乗法逆元を\(1/x\)や\(\frac{1}{x}\)で表記することもあります。

上の公理\(\left( G\right) \)では、加法単位元\(0\)とは異なる実数\(x\)に対してのみ、その乗法単位元\(x^{-1}\)の存在を保証しています。では、\(0\)の乗法逆元\(0^{-1}\)は存在するのでしょうか。つまり、\(0\cdot 0^{-1}=1\)を満たす実数\(0^{-1}\)は存在するのでしょうか。\(0^{-1}\)が存在するものと仮定しましょう。後ほど示すように、任意の実数と\(0\)の積は\(0\)であるため、\(0^{-1}\)が存在する場合には\(0\cdot 0^{-1}=0\)となるため、\(0=1\)が得られます。一方、公理\(\left( F\right) \)において\(1\)は\(0\)とは異なる実数と定義しているため、これは矛盾です。したがって、\(0^{-1}\)は存在することを公理として認めると、公理系が矛盾したものになってしまいます。このような事情もあり、公理\(\left( G\right) \)では\(0\)とは異なる実数に対してのみ、その乗法逆元が存在するものと定めています。

乗法\(\cdot \)が満たすべき4つ目の公理は、\begin{equation*}
\left( R_{8}\right) \ \forall x,y\in
\mathbb{R}:x\cdot y=y\cdot x
\end{equation*}というものであり、これを乗法に関する交換律(commutative law)と呼びます。一般に、2つの実数\(x,y\)に関する順序対\(\left( x,y\right) ,\left( y,x\right) \)は異なるものとして区別されるため、\(\left( x,y\right) \)に\(\cdot \)を適用して得られる\(x\cdot y\)と\(\left( y,x\right) \)に\(\cdot \)を適用して得られる\(y\cdot x\)もまた区別されるべきですが、公理\(\left( H\right) \)はこれらが常に等しいことを保証します。

乗法\(\cdot \)が結合律\(\left( E\right) \)を満たすことは、\(\mathbb{R}\)が乗法\(\cdot \)に関して半群(semigroup)であることを意味します。また、\(\left( E\right) \)に加えて乗法単位元の存在を保証\(\left( F\right) \)することは、\(\mathbb{R}\)が乗法\(\cdot \)に関してモノイド(monoid)であることを意味します。また、\(\left( E\right) \)と\(\left( F\right) \)に加えて乗法逆元の存在を保証\(\left( G\right) \)することは、\(\mathbb{R}\)から\(0\)を除いた集合\(\mathbb{R}\backslash \left\{ 0\right\} \)が乗法\(\cdot \)に関して(group)であることを意味します。最後に、\(\left( E\right) ,\left( F\right) ,\left( G\right) \)に加えて交換律\(\left( H\right) \)を満たすことは、\(\mathbb{R}\backslash \left\{ 0\right\} \)が乗法\(\cdot \)に関して可換群(commutative group)またはアーベル群(abelian group)であることを意味します。

公理(乗法に関する公理)
\(\mathbb{R}\backslash \{0\}\)は乗法\(\cdot \)に関する可換群である。すなわち、\begin{eqnarray*}
&&\left( R_{5}\right) \ \forall x,y,z\in
\mathbb{R}:\left( x\cdot y\right) \cdot z=x\cdot \left( y\cdot z\right) \\
&&\left( R_{6}\right) \ \exists 1\in
\mathbb{R}\backslash \left\{ 0\right\} ,\ \forall x\in
\mathbb{R}:x\cdot 1=x \\
&&\left( R_{7}\right) \ \forall x\in
\mathbb{R}\backslash \left\{ 0\right\} ,\ \exists x^{-1}\in
\mathbb{R}:x\cdot x^{-1}=1 \\
&&\left( R_{8}\right) \ \forall x,y\in
\mathbb{R}:x\cdot y=y\cdot x
\end{eqnarray*}を公理として定める。

 

乗法逆元の乗法逆元

公理主義のもとで実数について考えるということは、実数の公理だけを議論の前提として認めることを意味します。つまり、実数の集合上に定義された乗法に関する命題はいずれも先の公理から導かれてはじめて正しいものとして認められます。そこで、先の公理から導かれる乗法に関する基本的な命題をいくつか紹介します。

\(0\)ではない実数\(x\)を任意に選んだとき、その乗法逆元\(x^{-1}\)に相当する実数が存在します。しかも、\(x^{-1}\)は\(0\)とは異なる実数です。実際、乗法逆元の定義より\(x\cdot x^{-1}=1\)が成り立ちますが、\(x^{-1}=0\)の場合には\(x\cdot 0=1\)すなわち\(0=1\)となり、これは\(1\)が\(0\)とは異なることと矛盾するからです。\(x^{-1}\)が\(0\)ではない実数であるならば、さらにその乗法逆元\(\left( x^{-1}\right) ^{-1}\)に相当する実数が存在します。乗法逆元の定義より\(x\cdot x^{-1}=1\)という関係が成り立ちますが、乗法の交換律より\(x^{-1}\cdot x=1\)を得ます。つまり、\(x^{-1}\)に\(x\)を掛けると\(1\)になりますが、これは、\(x^{-1}\)の乗法逆元\(\left( x^{-1}\right) ^{-1}\)が\(x\)であることを意味します。

命題(乗法逆元の乗法逆元)
実数\(x\in \mathbb{R}\backslash \left\{ 0\right\} \)を任意に選んだとき、\begin{equation*}
\left( x^{-1}\right) ^{-1}=x
\end{equation*}が成り立つ。
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乗法に関する簡約法則

\(\mathbb{R}\)は乗法\(\cdot \)について閉じているため、\(0\)ではない実数\(x\)に対して実数\(y,z\)をそれぞれ掛けて得られる\(x\cdot y\)と\(x\cdot z\)はともに実数です。仮にこの2つの積が等しければ、\(x\)にそれぞれ掛けた\(y\)と\(z\)が等しくなります。これを乗法に関する簡約法則(cancellation law)と呼びます。これは直感的には自明な主張ですが、公理主義的実数論のもとでは、これもまた乗法に関する公理から証明する必要があります。

具体的には、\(x\cdot y=x\cdot z\)を満たす\(x\in \mathbb{R}\backslash \{0\}\)と\(y,z\in \mathbb{R}\)をそれぞれ任意に選んだとき、\begin{align*}
y& =y\cdot 1\quad \because \ \text{乗法単位元の定義} \\
& =y\cdot \left( x\cdot x^{-1}\right) \quad \because x\not=0\text{と乗法逆元の定義} \\
& =\left( y\cdot x\right) \cdot x^{-1}\quad \because \ \text{乗法の結合律} \\
& =\left( x\cdot y\right) \cdot x^{-1}\quad \because \ \text{乗法の交換律} \\
& =\left( x\cdot z\right) \cdot x^{-1}\quad \because x\cdot y=x\cdot z \\
& =\left( z\cdot x\right) \cdot x^{-1}\quad \because \ \text{乗法の交換律} \\
& =z\cdot \left( x\cdot x^{-1}\right) \quad \because \ \text{乗法の結合律} \\
& =z\cdot 1\quad \because x\not=0\text{と乗法逆元の定義} \\
& =z\quad \because \ \text{乗法単位元の定義}
\end{align*}すなわち\(y=z\)が成り立ちます。

命題(乗法の簡約法則)
\(x\in \mathbb{R}\backslash \{0\}\)と\(y,z\in \mathbb{R}\)をそれぞれ任意に選んだとき、\begin{equation*}
x\cdot y=x\cdot z\ \Rightarrow \ y=z
\end{equation*}が成り立つ。
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上の命題において\(x\)は\(0\)とは異なる実数と定められていますが、\(x=0\)の場合、上の恒真式は成立しません。後ほど示すように、任意の実数と\(0\)の積は\(0\)であるため、\(x=0\)の場合、\(y\not=z\)を満たす実数\(y,z\)についても\(x\cdot y=x\cdot z=0\)が成り立ちます。しかし\(y\not=z\)であるため、この場合には上の恒真式は成り立ちません。

 

乗法単位元の乗法逆元

乗法に関する簡約法則より、\(x\in \mathbb{R}\backslash \left\{ 0\right\} \)と\(y,z\in \mathbb{R}\)をそれぞれ任意に選んだとき、\begin{equation*}
x\cdot y=x\cdot z\ \Rightarrow \ y=z
\end{equation*}が成り立ちます。乗法単位元\(1\)は\(0\)とは異なる実数であるため、上の命題において\(x=z=1\)とすると、\begin{equation*}
1\cdot y=1\cdot 1\ \Rightarrow \ y=1
\end{equation*}を得ます。乗法単位元の定義より\(1\cdot 1=1\)が成り立つため、\begin{equation*}
1\cdot y=1\ \Rightarrow \ y=1
\end{equation*}を得ます。つまり、\(y\)が\(1\)の乗法逆元であるならば、\(y\)は\(1\)でなければなりません。

命題(乗法単位元の乗法逆元)
\(\mathbb{R}\)における乗法単位元\(1\)について、\begin{equation*}
1^{-1}=1
\end{equation*}が成り立つ。
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乗法単位元の一意性

乗法に関する簡約法則より、\(x\in \mathbb{R}\backslash \{0\}\)と\(y,z\in \mathbb{R}\)をそれぞれ任意に選んだとき、\begin{equation*}
x\cdot y=x\cdot z\ \Rightarrow \ y=z
\end{equation*}が成り立ちます。乗法単位元\(1\)は実数であるため、上の命題において\(z=1\)とした、\begin{equation*}
x\cdot y=x\cdot 1\ \Rightarrow \ y=1
\end{equation*}もまた成り立ちます。乗法単位元の定義より\(x\cdot 1=x\)であるため、これは、\begin{equation*}
x\cdot y=x\ \Rightarrow \ y=1
\end{equation*}と言い換え可能です。つまり、\(y\)が乗法単位元であるとき、これは\(1\)でなければなりません。

命題(乗法単位元の一意性)
\(\mathbb{R}\)における乗法単位元\(1\)は一意的である。
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乗法逆元の一意性

上の命題と同様に、加法の簡約法則より、\(0\)とは異なるそれぞれの実数\(x\)に対して、その乗法逆元\(x^{-1}\)が一意的であることを示すことができます。

命題(乗法逆元の一意性)
実数\(x\in \mathbb{R}\backslash \left\{ 0\right\} \)を任意に選んだとき、その乗法逆元\(x^{-1}\)は一意的である。
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上の命題は、\(0\)とは異なる任意の実数\(x\)に対してその乗法逆元\(x^{-1}\)が常に等しくなることを主張しているのではありません。\(0\)とは異なる実数\(x,y\)をとれば、それらの乗法逆元\(x^{-1},y^{-1}\)は一致するとは限りませんが、\(x^{-1}\)や\(y^{-1}\)はそれぞれ1つの実数であることを上の命題は主張しています。

次回は除法について解説します。

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