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DEFINITION OF REAL NUMBER

乗法

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乗法

すべての実数からなる集合\(\mathbb{R}\)の上には乗法(multiplication)と呼ばれる二項演算が定義されているものとし、これを\(\cdot \)と表記します。また、乗法\(\cdot \)が実数の順序対\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R}^{2}\)に対して定める実数を\(x\)と\(y\)の(product)と呼び、これを\(x\cdot y\)もしくは\(xy\)と表記します。また、\(\left( x,y\right) \)に\(\cdot \)を作用させることを\(x\)と\(y\)を掛ける(multiply)と言います。\(\mathbb{R}\)上に\(\cdot \)が定義されているとき、\(\mathbb{R}\)は\(\cdot \)について閉じている(closed)と言います。

公理主義的実数論においては、乗法\(\cdot \)が満たすべき性質を公理として定めます。1つ目の公理は、\begin{equation*}
\left( R_{5}\right) \ \forall x,y,z\in \mathbb{R}:\left( x\cdot y\right) \cdot z=x\cdot \left( y\cdot z\right)
\end{equation*}というものであり、これを乗法に関する結合律(associative law)と呼びます。括弧\(\left( \ \right) \)は乗法を適用する順番を表しています。つまり、左辺\(\left( x\cdot y\right) \cdot z\)は、はじめに\(x\)と\(y\)を掛けた上で、得られた結果\(x\cdot y\)と\(z\)をさらに掛けて得られる結果です。右辺の\(x\cdot \left( y\cdot z\right) \)は、はじめに\(y\)と\(z\)を掛けた上で、\(x\)と先の結果を掛けて得られる結果です。結合律はこれらの結果が等しいことを保証します。つまり、3つの実数\(x,y,z\)に対して乗法を適用する際には、隣り合うどの2つを先に掛けても得られる結果は変わらないということです。

乗法\(\cdot \)が満たすべき2つ目の公理は、\begin{equation*}
\left( R_{6}\right) \ \exists 1\in \mathbb{R}\backslash \left\{ 0\right\} ,\ \forall x\in \mathbb{R}:x\cdot 1=x
\end{equation*}というものです。これは、任意の実数\(x\)に掛けてもその結果が\(x\)のままであるような\(0\)とは異なる実数\(1\)の存在を保証しています。この実数\(1\)を乗法単位元(multiple identity element)やイチ(one)などと呼びます。

乗法\(\cdot \)が満たすべき3つ目の公理は、\begin{equation*}
\left( R_{7}\right) \ \forall x\in \mathbb{R}\backslash \left\{ 0\right\} ,\ \exists x^{-1}\in \mathbb{R}:x\cdot x^{-1}=1
\end{equation*}というものです。これは、加法単位元\(0\)とは異なるそれぞれの実数\(x\)に対して、それに掛けると結果が乗法単位元\(1\)になるような実数\(x^{-1}\)の存在を保証しています。このような実数\(x^{-1}\)を\(x\)の乗法逆元(multiple inverse element)や逆数(inverse number)などと呼びます。\(x\)の乗法逆元を\(1/x\)や\(\frac{1}{x}\)で表記することもあります。

上の公理\(\left( R_{7}\right) \)では、加法単位元\(0\)とは異なる実数\(x\)に対してのみ、その乗法逆元\(x^{-1}\)の存在を保証しています。では、\(0\)の乗法逆元\(0^{-1}\)は存在するのでしょうか。つまり、\(0\cdot 0^{-1}=1\)を満たす実数\(0^{-1}\)は存在するのでしょうか。\(0^{-1}\)が存在するものと仮定しましょう。詳細は場を改めて解説しますが、後ほど導入する分配律と呼ばれる公理を利用すると、任意の実数と\(0\)の積は\(0\)になることが示されるため、仮に\(0^{-1}\)が存在する場合には\(0\cdot 0^{-1}=0\)となり、これと\(0\cdot 0^{-1}=1\)から\(0=1\)を得ます。一方、公理\(\left( R_{6}\right) \)において\(1\)を\(0\)とは異なる実数と定義しているため、これは矛盾です。したがって、\(0^{-1}\)が存在することを公理として認めると公理系が矛盾したものになってしまいます。このような事情もあり、公理\(\left( R_{7}\right) \)では\(0\)とは異なる実数に対して乗法逆元が存在するものと定めています。

乗法\(\cdot \)が満たすべき4つ目の公理は、\begin{equation*}
\left( R_{8}\right) \ \forall x,y\in \mathbb{R}:x\cdot y=y\cdot x
\end{equation*}というものであり、これを乗法に関する交換律(commutative law)と呼びます。一般に、2つの実数\(x,y\)に関する順序対\(\left( x,y\right) ,\left( y,x\right) \)は異なるものとして区別されるため、\(\left( x,y\right) \)に\(\cdot \)を適用して得られる\(x\cdot y\)と\(\left( y,x\right) \)に\(\cdot \)を適用して得られる\(y\cdot x\)もまた区別されるべきですが、公理\(\left( H\right) \)はこれらが常に等しいことを保証します。

乗法\(\cdot \)が結合律\(\left( R_{5}\right) \)を満たすことは、\(\mathbb{R}\)が乗法\(\cdot \)に関して半群(semigroup)であることを意味します。また、\(\left( R_{5}\right) \)に加えて乗法単位元の存在を保証\(\left( R_{6}\right) \)することは、\(\mathbb{R}\)が乗法\(\cdot \)に関してモノイド(monoid)であることを意味します。また、\(\left( R_{5}\right) \)と\(\left( R_{6}\right) \)に加えて乗法逆元の存在を保証\(\left( R_{7}\right) \)することは、\(\mathbb{R}\)から\(0\)を除いた集合\(\mathbb{R}\backslash \left\{ 0\right\} \)が乗法\(\cdot \)に関して(group)であることを意味します。最後に、\(\left( R_{5}\right) ,\left( R_{6}\right) ,\left( R_{7}\right) \)に加えて交換律\(\left( R_{8}\right) \)を満たすことは、\(\mathbb{R}\backslash \left\{ 0\right\} \)が乗法\(\cdot \)に関して可換群(commutative group)またはアーベル群(abelian group)であることを意味します。

公理(乗法に関する公理)
\(\mathbb{R}\backslash \{0\}\)は乗法\(\cdot \)に関する可換群である。すなわち、\begin{eqnarray*}
&&\left( R_{5}\right) \ \forall x,y,z\in \mathbb{R}:\left( x\cdot y\right) \cdot z=x\cdot \left( y\cdot z\right) \\
&&\left( R_{6}\right) \ \exists 1\in \mathbb{R}\backslash \left\{ 0\right\} ,\ \forall x\in \mathbb{R}:x\cdot 1=x \\
&&\left( R_{7}\right) \ \forall x\in \mathbb{R}\backslash \left\{ 0\right\} ,\ \exists x^{-1}\in \mathbb{R}:x\cdot x^{-1}=1 \\
&&\left( R_{8}\right) \ \forall x,y\in \mathbb{R}:x\cdot y=y\cdot x
\end{eqnarray*}を公理として定める。

 

乗法逆元の乗法逆元

公理主義のもとで実数について考えるということは実数の公理だけを議論の前提として認めることを意味します。つまり、実数の集合上に定義された乗法に関する命題はいずれも先の公理から導かれてはじめて正しいものとして認められます。そこで、先の公理から導かれる乗法に関する基本的な命題をいくつか紹介します。

\(0\)とは異なる実数\(x\)を任意に選んだとき、乗法逆元の定義より、その乗法逆元\(x^{-1}\)に相当する実数が存在します。しかも\(x^{-1}\)は\(0\)とは異なる実数です。実際、乗法逆元の定義より\(x\cdot x^{-1}=1\)が成り立ちますが、仮に\(x^{-1}=0\)とすると\(x\cdot 0=1\)を得ます。詳細は場を改めて解説しますが、後ほど導入する分配律と呼ばれる公理を利用すると、任意の実数と\(0\)の積は\(0\)になることが示されるため\(x\cdot 0=0\)を得ます。これと\(x\cdot 0=1\)より\(0=1\)を得ます。一方、公理\(\left( R_{6}\right) \)において\(1\)を\(0\)とは異なる実数と定義しているため、これは矛盾です。したがって、\(0\)とは異なる任意の実数\(x\)の乗法逆元\(x^{-1}\)もまた\(0\)とは異なることが保証されます。\(x^{-1}\)が\(0\)ではない実数であるならば、やはり乗法逆元の定義より、さらにその乗法逆元\(\left( x^{-1}\right) ^{-1}\)が存在しますが、実はこれはもとの実数\(x\)と一致します。つまり、\(0\)とは異なる任意の実数\(x\)に対して、その乗法逆元の乗法逆元は\(x\)と一致するということです。証明は以下の通りです。

\(x\not=0\)を満たす実数\(x\)を任意に選んだとき、乗法逆元の定義より、\begin{equation*}
x\cdot x^{-1}=1
\end{equation*}が成り立ちますが、左辺に対して乗法の交換律を適用すると、\begin{equation*}
x^{-1}\cdot x=1
\end{equation*}を得ます。つまり、\(x^{-1}\)に\(x\)をかけると\(1\)になりますが、これは、\(x^{-1}\)の乗法逆元が\(x\)であることを意味します。

命題(乗法逆元の乗法逆元)
実数\(x\in \mathbb{R}\backslash \left\{ 0\right\} \)を任意に選んだとき、\begin{equation*}
\left( x^{-1}\right) ^{-1}=x
\end{equation*}が成り立つ。

 

乗法に関する簡約法則

\(\mathbb{R}\)は乗法\(\cdot \)について閉じているため、\(0\)ではない実数\(x\)に対して実数\(y,z\)をそれぞれ掛けて得られる\(x\cdot y\)と\(x\cdot z\)はともに実数です。仮にこの2つの積が等しければ、\(x\)にそれぞれ掛けた\(y\)と\(z\)が等しくなります。これを乗法に関する簡約法則(cancellation law)と呼びます。これは直感的には自明な主張ですが、公理主義的実数論のもとでは、これもまた乗法に関する公理から証明する必要があります。証明は以下の通りです。

\(x\cdot y=x\cdot z\)を満たす実数\(x\in \mathbb{R}\backslash \{0\}\)と\(y,z\in \mathbb{R}\)をそれぞれ任意に選んだとき、\begin{align*}
y& =y\cdot 1\quad \because \ \text{乗法単位元の定義} \\
& =y\cdot \left( x\cdot x^{-1}\right) \quad \because x\not=0\text{と乗法逆元の定義} \\
& =\left( y\cdot x\right) \cdot x^{-1}\quad \because \ \text{乗法の結合律} \\
& =\left( x\cdot y\right) \cdot x^{-1}\quad \because \ \text{乗法の交換律} \\
& =\left( x\cdot z\right) \cdot x^{-1}\quad \because x\cdot y=x\cdot z \\
& =\left( z\cdot x\right) \cdot x^{-1}\quad \because \ \text{乗法の交換律} \\
& =z\cdot \left( x\cdot x^{-1}\right) \quad \because \ \text{乗法の結合律} \\
& =z\cdot 1\quad \because x\not=0\text{と乗法逆元の定義} \\
& =z\quad \because \ \text{乗法単位元の定義}
\end{align*}すなわち\(y=z\)が成り立ちます。

命題(乗法の簡約法則)

実数\(x\in \mathbb{R}\backslash \{0\}\)と\(y,z\in \mathbb{R}\)をそれぞれ任意に選んだとき、\begin{equation*}
x\cdot y=x\cdot z\Rightarrow y=z
\end{equation*}が成り立つ。

上の命題において\(x\)は\(0\)とは異なる実数と定められていますが、\(x=0\)の場合、上の命題は成立しません。繰り返しになりますが、後ほど導入する分配律と呼ばれる公理を踏まえると任意の実数と\(0\)の積は\(0\)になることが示されるため、\(x=0\)の場合、\(y\not=z\)を満たす実数\(y,z\)についても\(x\cdot y=x\cdot z=0\)が成り立ちます。しかし\(y\not=z\)であるため、この場合には上の命題は成り立ちません。

乗法の簡約法則は実数の公理から導かれた命題であるため、議論の前提として利用することができます。乗法の簡約法則からは様々な有用な命題を導くことができます。

 

乗法単位元の乗法逆元

乗法単位元\(1\)は\(0\)とは異なる実数であるため、乗法逆元の定義より、その乗法逆元\(1^{-1}\)もまた実数ですが、乗法に関する簡約法則を利用すると、これが\(1\)と一致することが示されます。つまり、乗法単位元\(1\)の乗法逆元は\(1\)と一致するということです。しかも、乗法単位元の定義より\(1\not=0\)であるため、\(1\)と一致する\(1^{-1}\)に関しても\(1^{-1}\not=0\)であることが保証されます。証明は以下の通りです。

乗法に関する簡約法則より、実数\(x\in \mathbb{R}\backslash \left\{ 0\right\} \)と\(y,z\in \mathbb{R}\)をそれぞれ任意に選んだとき、\begin{equation*}
x\cdot y=x\cdot z\Rightarrow y=z
\end{equation*}が成り立ちます。乗法単位元\(1\)は\(0\)とは異なる実数であるため、上の命題において\(x=z=1\)とおくことができ、その結果、\begin{equation*}
1\cdot y=1\cdot 1\Rightarrow y=1
\end{equation*}を得ます。乗法単位元の定義より\(1\cdot 1=1\)が成り立つため、このとき、\begin{equation*}
1\cdot y=1\Rightarrow y=1
\end{equation*}を得ます。つまり、\(y\)が\(1\)の乗法逆元であるならば、\(y\)は\(1\)でなければならないということです。

命題(乗法単位元の乗法逆元)
\(\mathbb{R}\)における乗法単位元\(1\)について、\begin{equation*}
1^{-1}=1
\end{equation*}が成り立つ。したがって\(1^{-1}\not=0\)である。

 

乗法単位元の一意性

乗法に関する簡約法則を利用すると、乗法単位元\(1\)が一意的であることが示されます。証明は以下の通りです。

実数\(x\in \mathbb{R}\backslash \{0\}\)と\(y,z\in \mathbb{R}\)をそれぞれ任意に選んだとき、乗法に関する簡約法則より、\begin{equation*}
x\cdot y=x\cdot z\Rightarrow y=z
\end{equation*}が成り立ちます。乗法単位元\(1\)は実数であるため、上の命題において\(z=1\)とおくことができ、その結果、\begin{equation*}
x\cdot y=x\cdot 1\Rightarrow y=1
\end{equation*}を得ます。乗法単位元の定義より\(x\cdot 1=x\)が成り立つため、このとき、\begin{equation*}
x\cdot y=x\Rightarrow y=1
\end{equation*}を得ます。つまり、\(y\)が乗法単位元であるとき、これは\(1\)でなければなりません。

命題(乗法単位元の一意性)
\(\mathbb{R}\)における乗法単位元\(1\)は一意的である。

 

乗法逆元の一意性

\(0\)とは異なる実数\(x\)を任意に選んだとき、乗法単位元の定義より、その乗法逆元\(x^{-1}\)に相当する実数が存在しますが、乗法に関する簡約法則を利用するとこれが一意的であることが示されます。つまり、\(0\)とは異なるそれぞれの実数に対して、その乗法逆元は1つずつしか存在しないということです。証明は以下の通りです。

実数\(x\in \mathbb{R}\backslash \{0\}\)と\(y,z\in \mathbb{R}\)をそれぞれ任意に選んだとき、乗法に関する簡約法則より、\begin{equation*}
x\cdot y=x\cdot z\Rightarrow y=z
\end{equation*}が成り立ちます。乗法逆元の定義より\(x^{-1}\)もまた実数であるため、上の命題において\(z=x^{-1}\)とおくことができ、その結果、\begin{equation*}
x\cdot y=x\cdot x^{-1}\Rightarrow y=x^{-1}
\end{equation*}を得ます。乗法逆元の定義より\(x\cdot x^{-1}=1\)が成り立つため、このとき、\begin{equation*}
x\cdot y=1\Rightarrow y=x^{-1}
\end{equation*}を得ます。つまり、\(y\)が\(x\)の乗法逆元であるとき、これは\(x^{-1}\)でなければなりません。

命題(乗法逆元の一意性)
実数\(x\in \mathbb{R}\backslash \left\{ 0\right\} \)を任意に選んだとき、その乗法逆元\(x^{-1}\)は一意的である。

 

演習問題

問題(乗法単位元)
\(\mathbb{R}\)における乗法単位元\(1\)は、\begin{equation*}
\forall x\in \mathbb{R}:x\cdot 1=x
\end{equation*}を満たす\(0\)とは異なる実数として定義されますが、その一方で、\begin{equation*}
\forall x\in \mathbb{R}:1\cdot x=x
\end{equation*}という命題もまた成立することを実数の公理から証明してください。
証明

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問題(乗法逆元)
実数\(x\in \mathbb{R}\backslash \left\{ 0\right\} \)の乗法逆元は、\begin{equation*}
x\cdot x^{-1}=1
\end{equation*}を満たす実数\(x^{-1}\in \mathbb{R}\)として定義されますが、その一方で、\begin{equation*}
\forall x\in \mathbb{R}\backslash \left\{ 0\right\} :x^{-1}\cdot x=1
\end{equation*}という命題もまた成立することを実数の公理から証明してください。
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問題(分配律)
本文中で指摘したように、これまで登場した公理に加えて分配律(distributive law)と呼ばれる公理を導入すると、\(0\)の乗法逆元\(0^{-1}\)が存在しないことや、\(0\)とは異なる実数の乗法逆元が\(0\)ではないことが示されます。分配律について少し先取りしておきましょう。分配律とは加法と乗法の関係を規定する公理であり、具体的には、\begin{equation*}
\forall x,y,z\in \mathbb{R}:\left( x+y\right) \cdot z=x\cdot z+y\cdot z
\end{equation*}と定義されます。これまで登場した公理に加えて分配律もまた公理として認めるとき、以下が成り立つことをそれぞれ証明してください。

  1. 任意の実数と\(0\)の積は\(0\)になる。すなわち、\begin{equation*}
    \forall x\in \mathbb{R}:x\cdot 0=x
    \end{equation*}が成り立つ。
  2. \(0\)の乗法逆元\(0^{-1}\)は存在しない。
  3. \(0\)とは異なる任意の実数の乗法逆元は\(0\)ではない。すなわち、\begin{equation*}
    \forall x\in \mathbb{R}\backslash \left\{ 0\right\} :x^{-1}\not=0
    \end{equation*}が成り立つ。
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次回は除法について解説します。

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