実数集合の最大値・最小値

実数集合の最大値

実数空間\(\mathbb{R} \)上には大小関係\(\leq \)と呼ばれる二項関係が定義されており、これは全順序としての性質\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall x\in \mathbb{R} :x\leq x \\
&&\left( b\right) \ \forall x,y\in \mathbb{R} :[(x\leq y\wedge y\leq x)\Rightarrow x=y] \\
&&\left( c\right) \ \forall x,y,z\in \mathbb{R} :\left[ \left( x\leq y\wedge y\leq z\right) \Rightarrow x\leq z\right] \\
&&\left( d\right) \ \forall x,y\in \mathbb{R} :\left( x\leq y\vee y\leq x\right)
\end{eqnarray*}を満たすことを公理として定めます。狭義大小関係\(\leq \)は、任意の実数\(x,y\in \mathbb{R} \)に対して以下の条件\begin{equation*}x<y\Leftrightarrow \left( x\leq y\wedge x\not=y\right)
\end{equation*}を満たすものとして定義される\(\mathbb{R} \)上の二項関係です。

実数空間\(\mathbb{R} \)の空でない部分集合\(A\)が与えられたとき、この集合\(A\)に属するある実数\(a\)が、同じ集合\(A\)に属する任意の実数以上である場合には、つまり、\begin{equation*}\exists a\in A,\ \forall x\in A:x\leq a
\end{equation*}が成り立つならば、この要素\(a\)を集合\(A\)の最大値（maximum value）や最大元（maximum element）などと呼び、そのことを、\begin{equation*}\max A=a
\end{equation*}で表記します。つまり、集合\(A\)の最大値\(\max A\)は以下の条件\begin{equation*}\forall x\in A:x\leq \max A
\end{equation*}を満たす実数として定義されるということです。集合\(A\)の最大値は\(A\)の要素である必要があります。つまり、\begin{equation*}\max A\in A
\end{equation*}です。\(A\)に属さない実数は\(A\)の最大値にはなり得ません。

逆に、集合\(A\)に属する実数\(a\)がその集合\(A\)の最大値でないことは、\begin{equation*}\exists x\in A:\lnot \left( x\leq a\right)
\end{equation*}が成り立つことを意味します。ただし、大小関係\(\leq \)は全順序であることから以下の関係\begin{equation*}\lnot \left( x\leq a\right) \Leftrightarrow a<x
\end{equation*}が成り立つため、\(a\)が\(A\)の最大値でないことは、\begin{equation*}\exists x\in A:a<x
\end{equation*}と必要十分です。つまり、集合\(A\)の要素である実数\(a\)に対して、それよりも大きい実数が\(A\)の中に存在する場合、\(a\)は\(A\)の最大値ではありません。

実数集合の最小値

実数空間\(\mathbb{R} \)の空でない部分集合\(A\)が与えられたとき、この集合\(A\)に属するある実数\(a\)が、同じ集合\(A\)に属する任意の実数以下である場合には、つまり、\begin{equation*}\exists a\in A,\ \forall x\in A:a\leq x
\end{equation*}が成り立つならば、この要素\(a\)を集合\(A\)の最小値（minimum value）や最小元（minimum element）などと呼び、そのことを、\begin{equation*}\min A=a
\end{equation*}で表記します。つまり、集合\(A\)の最小値\(\min A\)は以下の条件\begin{equation*}\forall x\in A:\min A\leq x
\end{equation*}を満たす実数として定義されるということです。集合\(A\)の最小値は\(A\)の要素である必要があります。つまり、\begin{equation*}\min A\in A
\end{equation*}です。\(A\)に属さない実数は\(A\)の最小値にはなり得ません。

逆に、集合\(A\)に属する実数\(a\)がその集合\(A\)の最小値でないことは、\begin{equation*}\exists x\in A:\lnot \left( a\leq x\right)
\end{equation*}が成り立つことを意味します。ただし、大小関係\(\leq \)は全順序であることから以下の関係\begin{equation*}\lnot \left( a\leq x\right) \Leftrightarrow a>x
\end{equation*}が成り立つため、\(a\)が\(A\)の最小値でないことは、\begin{equation*}\exists x\in A:a>x
\end{equation*}と必要十分です。つまり、集合\(A\)の要素である実数\(a\)に対して、それより小さい実数が\(A\)の中に存在する場合、\(a\)は\(A\)の最小値ではありません。

最大値と最小値は異なるとは限らない

以下は最大値と最小値が異なる\(\mathbb{R} \)の部分集合の例です。

\(\mathbb{R} \)の部分集合の最大値と最小値が一致する状況も起こり得ます。以下の例より明らかです。

最大値や最小値は存在するとは限らない

\(\mathbb{R} \)の部分集合の最大値や最小値は存在するとは限りません。以下の例より明らかです。

\(\mathbb{R} \)の非空な部分集合について、最大値と最小値のどちらか一方が存在するような状況は起こり得ます。以下は最小値を持つ一方で最大値を持たない\(\mathbb{R} \)の部分集合の例です。

有限集合は最大値と最小値を持つ

\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)が有限集合である場合、すなわち、\(A\)に属する要素の個数が有限である場合、\(A\)の最大値と最小値がともに存在することが保証されます。これは有限集合に含まれる要素の個数\(n\)に関する数学的帰納法より証明可能です

最大値や最小値の一意性

先に示したように、\(\mathbb{R} \)の非空な部分集合は最大値や最小値を持つとは限りません。ただ、最大値や最小値が存在する場合、それらはそれぞれ1つの実数として定まることが保証されます。

空集合の最大値と最小値

これまでは\(\mathbb{R} \)の非空な部分集合\(A\)を対象に、その最大値や最小値を考えてきました。空集合は任意の集合の部分集合であるため\(\phi \subset \mathbb{R} \)です。では、空集合の最大値や最小値は存在するのでしょうか。

空集合\(\phi \)の最大値に相当する実数\(\max \phi \in \mathbb{R} \)が存在するものと仮定します。最大値の定義より\(\max \phi \in \phi \)でなければなりませんが、空集合は要素を持たないためこれは矛盾です。したがって背理法より\(\phi \)は最大値を持たないことが明らかになりました。

空集合\(\phi \)が最小値を持たないことの証明も同様です。

極大値・極小値

\(\mathbb{R} \)の空でない部分集合\(A\)について、そのある要素\(a\)よりも大きい要素が\(A\)の中に存在しないならば、つまり、\begin{equation*}\exists a\in A,\ \forall x\in A:\lnot \left( a<x\right)
\end{equation*}が成り立つならば、\(a\)を\(A\)の極大値（maximal value）や極大元（maximal element）などと呼びます。このとき、\begin{eqnarray*}\lnot \left( a<x\right) &\Leftrightarrow &\lnot \left( a\leq x\wedge
a\not=x\right) \quad \because <\text{の定義} \\
&\Leftrightarrow &\lnot \left( a\leq x\right) \vee \left( a=x\right) \quad
\because \text{ド・モルガンの法則} \\
&\Leftrightarrow &a\leq x\rightarrow a=x\quad \because \rightarrow \text{の定義}
\end{eqnarray*}という同値変形が可能であるため、\(a\)が\(A\)の極大値であることを、\begin{equation*}\exists a\in A,\ \forall x\in A:\left( a\leq x\Rightarrow x=a\right)
\end{equation*}と定義することもできます。つまり、\(a\)が\(A\)の要素であるとともに、仮に\(a\)以上の\(A\)の要素が存在する場合、それは\(a\)と一致することが保証される（つまり\(a\)より大きい\(A\)の要素が存在しない）ということです。

\(\mathbb{R} \)の空でない部分集合\(A\)について、そのある要素\(a\)よりも小さい要素が\(A\)の中に存在しないならば、つまり、\begin{equation*}\exists a\in A,\ \forall x\in A:\lnot \left( x<a\right)
\end{equation*}が成り立つならば、\(a\)を\(A\)の極小値（minimal value）や極小元（minimal element）などと呼びます。このとき、\begin{eqnarray*}\lnot \left( x<a\right) &\Leftrightarrow &\lnot \left( x\leq a\wedge
x\not=a\right) \quad \because <\text{の定義} \\
&\Leftrightarrow &\lnot \left( x\leq a\right) \vee \left( x=a\right) \quad
\because \text{ド・モルガンの法則} \\
&\Leftrightarrow &x\leq a\rightarrow x=a\quad \because \rightarrow \text{の定義}
\end{eqnarray*}という同値変形が可能であるため、\(a\)が\(A\)の極小値であることを、\begin{equation*}\exists a\in A,\ \forall x\in A:\left( x\leq a\Rightarrow x=a\right)
\end{equation*}と定義することもできます。つまり、\(a\)が\(A\)の要素であるとともに、仮に\(a\)以下の\(A\)の要素が存在する場合、それは\(a\)と一致することが保証される（つまり\(a\)より小さい\(A\)の要素が存在しない）ということです。

\(\mathbb{R} \)の非空な部分集合\(A\)が最大値を持つとき、それは同時に\(A\)の極大値でもあります。逆に、\(A\)が極大値を持つとき、それは\(A\)の最大値でもあります。

最小値と極小値の間にも同様の関係が成り立ちます。

以上の議論により、\(\mathbb{R} \)の非空な部分集合を議論の対象とする場合、最大値と極大値は概念として一致し、最小値と極小値は概念として一致することが明らかになりました。したがって、\(\mathbb{R} \)の部分集合を議論の対象とする場合には、極大値や極小値などについてあえて考える必要はありません。

最大値と最小値の利用例

先取りになりますが、最大値や最小値の利用例をいくつか紹介します。

演習問題