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DEFINITION OF REAL NUMBER

実数集合の最大値・最小値

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最大値・最小値

実数体\(\mathbb{R}\)上に定義された大小関係\(\leq \)は全順序としての公理を満たすものとします。\(\mathbb{R} \)の空でない部分集合\(A\)について、そのある要素\(a\)が\(A\)の任意の実数以上である場合には、つまり、\begin{equation*}\exists a\in A,\ \forall x\in A:x\leq a
\end{equation*}が成り立つならば、\(a\)を\(A\)の最大値(maximum value)や最大元(maximum element)などと呼び、そのことを、\begin{equation*}\max A=a
\end{equation*}で表します。つまり、\(\max A\)は集合\(A\)の最大値を表す記号です。定義より、\(A\)の最大値は\(A\)の要素でなければなりません。ちなみに、\(A\)の要素である\(a\)が\(A\)の最大値でないことは、\begin{equation*}\exists x\in A:\lnot \left( x\leq a\right)
\end{equation*}が成り立つことを意味しますが、\(\leq \)が全順序であることから、これは、\begin{equation*}\exists x\in A:a<x
\end{equation*}とと言い換え可能です。つまり、\(A\)の要素である\(a\)に対して、それよりも大きい\(A\)の要素が存在する場合、\(a\)は\(A\)の最大値ではありません。

例(最大値)
\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、\begin{equation*}A=\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a\leq x\leq b\right\}
\end{equation*}という\(\mathbb{R} \)の部分集合を定義します。\(a,b\)は\(A\)の要素であるため\(A\)は非空です。さらに、\begin{equation*}\forall x\in A:x\leq b
\end{equation*}が成り立つため、\begin{equation*}
\max A=b
\end{equation*}です。

例(最大値)
すべての非正の実数からなる集合は、\begin{equation*}\mathbb{R} _{-}=\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ x\leq 0\right\}
\end{equation*}と定義される\(\mathbb{R} \)の部分集合です。\(0\)は\(\mathbb{R} _{-}\)の要素であるため\(\mathbb{R} _{-}\)は非空です。さらに、\begin{equation*}\forall x\in \mathbb{R} _{-}:x\leq 0
\end{equation*}が成り立つため、\begin{equation*}
\max \mathbb{R} _{-}=0
\end{equation*}です。

\(\mathbb{R} \)の空でない部分集合\(A\)について、そのある要素\(a\)が\(A\)の任意の実数以下である場合には、つまり、\begin{equation*}\exists a\in A,\ \forall x\in A:a\leq x
\end{equation*}が成り立つならば、\(a\)を\(A\)の最小値(minimum value)や最小元(minimum element)などと呼び、そのことを、\begin{equation*}\min A=a
\end{equation*}で表します。つまり、\(\min A\)は集合\(A\)の最小値を表す記号です。定義より、\(A\)の最小値は\(A\)の要素でなければなりません。ちなみに、\(A\)の要素である\(a\)が\(A\)の最小値でないことは、\begin{equation*}\exists x\in A:\lnot \left( a\leq x\right)
\end{equation*}が成り立つことを意味しますが、\(\leq \)が全順序であることから、これは、\begin{equation*}\exists x\in A:x<a
\end{equation*}と言い換え可能です。つまり、\(A\)の要素である\(a\)に対して、それよりも小さな\(A\)の要素が存在する場合、\(a\)は\(A\)の最小値ではありません。

例(最小値)
\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、\begin{equation*}A=\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a\leq x\leq b\right\}
\end{equation*}という\(\mathbb{R} \)の部分集合を定義します。\(a,b\)は\(A\)の要素であるため\(A\)は非空です。さらに、\begin{equation*}\forall x\in A:a\leq x
\end{equation*}が成り立つため、\begin{equation*}
\min A=a
\end{equation*}です。

例(最小値)
すべての非負の実数からなる集合は、\begin{equation*}\mathbb{R} _{+}=\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ 0\leq x\right\}
\end{equation*}と定義される\(\mathbb{R} \)の部分集合です。\(0\)は\(\mathbb{R} _{+}\)の要素であるため\(\mathbb{R} _{+}\)は非空です。さらに、\begin{equation*}\forall x\in \mathbb{R} _{+}:0\leq x
\end{equation*}が成り立つため、\begin{equation*}
\min \mathbb{R} _{+}=0
\end{equation*}です。

定義より、\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)の最大値や最小値はいずれも\(A\)の要素でなければなりません。以下は最大値と最小値が一致する\(\mathbb{R} \)の部分集合の例です。

例(最大値・最小値)
実数\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、\begin{equation*}A=\left\{ a\right\}
\end{equation*}という\(\mathbb{R} \)の部分集合を定義します。\(a\in A\)であるため、\(A\)は非空です。\(a\)は\(A\)の唯一の要素であるとともに\(\leq \)の反射律より\(a\leq a\)が成り立つため、\begin{equation*}\max A=\min A=a
\end{equation*}となります。

例(最大値・最小値)
\(\mathbb{R} \)の非空な部分集合\(A\)が有限集合(要素の個数が有限であるような集合)である場合、その最大値\(\max A\)と最小値\(\min A\)がそれぞれ必ず存在します。これは有限集合に含まれる要素の個数\(n\)に関する数学的帰納法より証明可能です(演習問題とします)。

 

最大値や最小値は存在するとは限らない

一般に、\(\mathbb{R} \)の非空な部分集合については、その最大値や最小値は存在するとは限りません。以下の例から明らかです。

例(最大値や最小値は存在するとは限らない)
\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、\begin{equation*}A=\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a<x<b\right\}
\end{equation*}という\(\mathbb{R} \)の部分集合を定義します。\(a\)と\(b\)はともに\(A\)の要素ではありませんが、有理数の稠密性より、\(a<x<b\)を満たす有理数\(x\)が存在します。有理数は実数であるため、\(A\)は非空です。\(\max A\)が存在しないことを示すために\(\max A\)が存在するものと仮定して矛盾を導きます。\(\max A\)が存在するとき、最大値の定義より\(\max A\in A\)ですが、すると\(A\)の定義より、\begin{equation}a<\max A<b \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立ちます。\(\max A\)と\(b\)はともに実数であるため、やはり有理数の稠密性より、\begin{equation}\max A<x<b \quad \cdots (2)
\end{equation}を満たす有理数\(x\)が存在します。有理数は実数であるため\(x\)は実数です。\(\left( 1\right) ,\left( 2\right) \)および\(<\)の推移律より、\begin{equation*}a<x<b
\end{equation*}が成り立ちますが、\(A\)の定義より、これは\(x\in A\)であることを意味します。つまり、\(\max A\)よりも大きい\(A\)の要素\(x\)が存在することが示されましたが、これは\(\max A\)が\(A\)の最大値であることと矛盾します。したがって\(\max A\)は存在しません。\(\min A\)が存在しないことも同様にして示されます(演習問題とします)。

\(\mathbb{R} \)の非空な部分集合について、最大値と最小値のどちらか一方が存在するような状況も起こり得ます。以下は最小値を持つが最大値を持たない\(\mathbb{R} \)の部分集合の例です。

例(最大値や最小値は存在するとは限らない)
\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、\begin{equation*}A=\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a\leq x<b\right\}
\end{equation*}という\(\mathbb{R} \)の部分集合を定義します。\(a\in A\)であるとともに、\begin{equation*}\forall x\in A:a\leq x
\end{equation*}が成り立つため、\begin{equation*}
\min A=a
\end{equation*}です。他方で、\(A\)の最大値\(\max A\)が存在しないことが先の例と同様にして示されます。

 

最大値や最小値の一意性

繰り返しになりますが、\(\mathbb{R} \)の非空な部分集合は最大値や最小値を持つとは限りません。ただ、最大値や最小値が存在する場合、それらはそれぞれ1つの実数として定まります。

命題(最大値や最小値の一意性)
\(\mathbb{R} \)の非空な部分集合\(A\)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}&&(a)\ \max A\text{が存在するならば、それは一意的である。} \\
&&\left( b\right) \ \min A\text{が存在するならば、それは一意的である。}
\end{eqnarray*}が成り立つ。

証明

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極大値・極小値

\(\mathbb{R} \)の空でない部分集合\(A\)について、そのある要素\(a\)よりも大きい要素が\(A\)の中に存在しないならば、つまり、\begin{equation*}\exists a\in A,\ \forall x\in A:\lnot \left( a<x\right)
\end{equation*}が成り立つならば、\(a\)を\(A\)の極大値(maximal value)や極大元(maximal element)などと呼びます。狭義大小関係\(<\)の定義より、\begin{eqnarray*}\lnot \left( a<x\right) &\Leftrightarrow &\lnot \left( a\leq x\wedge
a\not=x\right) \quad \because <\text{の定義} \\
&\Leftrightarrow &\lnot \left( a\leq x\right) \vee \left( a=x\right) \quad
\because \text{ド・モルガンの法則} \\
&\Leftrightarrow &a\leq x\rightarrow a=x\quad \because \rightarrow \text{の定義}
\end{eqnarray*}という同値変形が可能であるため、\(a\)が\(A\)の極大値であることを、\begin{equation*}\exists a\in A,\ \forall x\in A:\left( a\leq x\Rightarrow x=a\right)
\end{equation*}と定義することもできます。つまり、\(a\)が\(A\)の要素であるとともに、仮に\(a\)以上の\(A\)の要素が存在する場合、それは\(a\)と一致することが保証される(つまり\(a\)より大きい\(A\)の要素が存在しない)ということです。

例(極大値)
\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、\begin{equation*}A=\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a\leq x\leq b\right\}
\end{equation*}という\(\mathbb{R} \)の部分集合を定義します。\(a,b\)は\(A\)の要素であるため\(A\)は非空です。\(b\)が\(A\)の極大値であることを示します。まず\(b\in A\)です。さらに、\(b\leq x\)を満たす\(x\in A\)を任意に選びます。すると\(A\)の定義より\(x\leq b\)です。これと\(b\leq x\)に大小関係\(\leq \)の反対称律を適用すると\(x=b\)を得ます。したがって\(b\)が\(A\)の極大値であることが示されました。

\(\mathbb{R} \)の空でない部分集合\(A\)について、そのある要素\(a\)よりも小さい要素が\(A\)の中に存在しないならば、つまり、\begin{equation*}\exists a\in A,\ \forall x\in A:\lnot \left( x<a\right)
\end{equation*}が成り立つならば、\(a\)を\(A\)の極小値(minimal value)や極小元(minimal element)などと呼びます。狭義大小関係\(<\)の定義より、\begin{eqnarray*}\lnot \left( x<a\right) &\Leftrightarrow &\lnot \left( x\leq a\wedge
x\not=a\right) \quad \because <\text{の定義} \\
&\Leftrightarrow &\lnot \left( x\leq a\right) \vee \left( x=a\right) \quad
\because \text{ド・モルガンの法則} \\
&\Leftrightarrow &x\leq a\rightarrow x=a\quad \because \rightarrow \text{の定義}
\end{eqnarray*}という同値変形が可能であるため、\(a\)が\(A\)の極小値であることを、\begin{equation*}\exists a\in A,\ \forall x\in A:\left( x\leq a\Rightarrow x=a\right)
\end{equation*}と定義することもできます。つまり、\(a\)が\(A\)の要素であるとともに、仮に\(a\)以下の\(A\)の要素が存在する場合、それは\(a\)と一致することが保証される(つまり\(a\)より小さい\(A\)の要素が存在しない)ということです。

例(極小値)
\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、\begin{equation*}A=\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a\leq x\leq b\right\}
\end{equation*}という\(\mathbb{R} \)の部分集合を定義します。\(a,b\)は\(A\)の要素であるため\(A\)は非空です。\(a\)が\(A\)の極小値であることを示します。まず\(a\in A\)です。さらに、\(x\leq a\)を満たす\(x\in A\)を任意に選びます。すると\(A\)の定義より\(a\leq x\)です。これと\(x\leq a\)に大小関係\(\leq \)の反対称律を適用すると\(x=a\)を得ます。したがって\(a\)が\(A\)の極小値であることが示されました。

\(\mathbb{R} \)の非空な部分集合\(A\)が最大値を持つとき、それは同時に\(A\)の極大値でもあります。逆に、\(A\)が極大値を持つとき、それは\(A\)の最大値でもあります。

命題(極大値と最大値の関係)
\(\mathbb{R} \)の非空な部分集合\(A\)を任意に選んだとき、\(a\in \mathbb{R} \)が\(A\)の極大値であることは、\(a\)が\(A\)の最大値であるための必要十分条件である。
証明

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最小値と極小値の間にも同様の関係が成り立ちます。

命題(極小値と最小値の関係)
\(\mathbb{R} \)の非空な部分集合\(A\)を任意に選んだとき、\(a\in \mathbb{R} \)が\(A\)の極小値であることは、\(a\)が\(A\)の最小値であるための必要十分条件である。
証明

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以上の議論により、\(\mathbb{R} \)の非空な部分集合を議論の対象とするとき、最大値と極大値は概念として一致し、最小値と極小値は概念として一致することが明らかになりました。そこで以降では、極大値や極小値については明示的に扱いません。

 

演習問題

問題(最大値・最小値)
すべての自然数からなる集合\(\mathbb{N} =\left\{ 1,2,3,\cdots \right\} \)について、その最大値や最小値は存在しますか。議論してください。
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問題(最大値・最小値)
すべての整数からなる\(\mathbb{Z} =\left\{ \cdots ,-2,-1,0,1,2,\cdots \right\} \)について、その最大値や最小値は存在しますか。議論してください。
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問題(最大値・最小値)
\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、\begin{equation*}A=\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a<x<b\right\}
\end{equation*}という\(\mathbb{R} \)の部分集合を定義します。\(\min A\)が存在しないことを証明してください。
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問題(最大値・最小値)
最小値を持たない一方で最大値を持つような\(\mathbb{R} \)の非空な部分集合を具体的に挙げてください。
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問題(有限集合の最大値と最小値)
実数集合\(\mathbb{R} \)の空でない部分集合\(A\)が有限集合であるならば、その最大値\(\max A\)と最小値\(\max A\)がそれぞれ存在することを証明してください。
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次回は実数の部分集合の上界や下界について解説します。

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