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実数の定義

実数集合の最大値・最小値

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実数の狭義大小関係

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実数集合の最大値

実数空間\(\mathbb{R} \)上には大小関係\(\leq \)と呼ばれる二項関係が定義されており、これは全順序としての性質\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall x\in \mathbb{R} :x\leq x \\
&&\left( b\right) \ \forall x,y\in \mathbb{R} :[(x\leq y\wedge y\leq x)\Rightarrow x=y] \\
&&\left( c\right) \ \forall x,y,z\in \mathbb{R} :\left[ \left( x\leq y\wedge y\leq z\right) \Rightarrow x\leq z\right] \\
&&\left( d\right) \ \forall x,y\in \mathbb{R} :\left( x\leq y\vee y\leq x\right)
\end{eqnarray*}を満たすことを公理として定めます。狭義大小関係\(\leq \)は、任意の実数\(x,y\in \mathbb{R} \)に対して以下の条件\begin{equation*}x<y\Leftrightarrow \left( x\leq y\wedge x\not=y\right)
\end{equation*}を満たすものとして定義される\(\mathbb{R} \)上の二項関係です。

実数空間\(\mathbb{R} \)の空でない部分集合\(A\)が与えられたとき、この集合\(A\)に属するある実数\(a\)が、同じ集合\(A\)に属する任意の実数以上である場合には、つまり、\begin{equation*}\exists a\in A,\ \forall x\in A:x\leq a
\end{equation*}が成り立つならば、この要素\(a\)を集合\(A\)の最大値(maximum value)や最大元(maximum element)などと呼び、そのことを、\begin{equation*}\max A=a
\end{equation*}で表記します。つまり、集合\(A\)の最大値\(\max A\)は以下の条件\begin{equation*}\forall x\in A:x\leq \max A
\end{equation*}を満たす実数として定義されるということです。集合\(A\)の最大値は\(A\)の要素である必要があります。つまり、\begin{equation*}\max A\in A
\end{equation*}です。\(A\)に属さない実数は\(A\)の最大値にはなり得ません。

逆に、集合\(A\)に属する実数\(a\)がその集合\(A\)の最大値でないことは、\begin{equation*}\exists x\in A:\lnot \left( x\leq a\right)
\end{equation*}が成り立つことを意味します。ただし、大小関係\(\leq \)は全順序であることから以下の関係\begin{equation*}\lnot \left( x\leq a\right) \Leftrightarrow a<x
\end{equation*}が成り立つため、\(a\)が\(A\)の最大値でないことは、\begin{equation*}\exists x\in A:a<x
\end{equation*}と必要十分です。つまり、集合\(A\)の要素である実数\(a\)に対して、それよりも大きい実数が\(A\)の中に存在する場合、\(a\)は\(A\)の最大値ではありません。

例(最大値)
\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、以下の集合\begin{equation*}A=\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a\leq x\leq b\right\}
\end{equation*}を定義します。\(A\)は非空な\(\mathbb{R} \)の部分集合です。さらに、\begin{equation*}\forall x\in A:x\leq b
\end{equation*}が成り立つため、\begin{equation*}
\max A=b
\end{equation*}です。

例(最大値)
すべての非正の実数からなる集合は、\begin{equation*}\mathbb{R} _{-}=\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ x\leq 0\right\}
\end{equation*}と定義されます。\(\mathbb{R} _{-}\)は非空な\(\mathbb{R} \)の部分集合です。さらに、\begin{equation*}\forall x\in \mathbb{R} _{-}:x\leq 0
\end{equation*}が成り立つため、\begin{equation*}
\max \mathbb{R} _{-}=0
\end{equation*}です。

 

実数集合の最小値

実数空間\(\mathbb{R} \)の空でない部分集合\(A\)が与えられたとき、この集合\(A\)に属するある実数\(a\)が、同じ集合\(A\)に属する任意の実数以下である場合には、つまり、\begin{equation*}\exists a\in A,\ \forall x\in A:a\leq x
\end{equation*}が成り立つならば、この要素\(a\)を集合\(A\)の最小値(minimum value)や最小元(minimum element)などと呼び、そのことを、\begin{equation*}\max A=a
\end{equation*}で表記します。つまり、集合\(A\)の最小値\(\min A\)は以下の条件\begin{equation*}\forall x\in A:\min A\leq x
\end{equation*}を満たす実数として定義されるということです。集合\(A\)の最小値は\(A\)の要素である必要があります。つまり、\begin{equation*}\min A\in A
\end{equation*}です。\(A\)に属さない実数は\(A\)の最小値にはなり得ません。

逆に、集合\(A\)に属する実数\(a\)がその集合\(A\)の最小値でないことは、\begin{equation*}\exists x\in A:\lnot \left( a\leq x\right)
\end{equation*}が成り立つことを意味します。ただし、大小関係\(\leq \)は全順序であることから以下の関係\begin{equation*}\lnot \left( a\leq x\right) \Leftrightarrow a>x
\end{equation*}が成り立つため、\(a\)が\(A\)の最小値でないことは、\begin{equation*}\exists x\in A:a>x
\end{equation*}と必要十分です。つまり、集合\(A\)の要素である実数\(a\)に対して、それより小さい実数が\(A\)の中に存在する場合、\(a\)は\(A\)の最小値ではありません。

例(最小値)
\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、以下の集合\begin{equation*}A=\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a\leq x\leq b\right\}
\end{equation*}\(A\)は非空な\(\mathbb{R} \)の部分集合です。さらに、\begin{equation*}\forall x\in A:a\leq x
\end{equation*}が成り立つため、\begin{equation*}
\min A=a
\end{equation*}です。

例(最小値)
すべての非負の実数からなる集合は、\begin{equation*}\mathbb{R} _{+}=\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ 0\leq x\right\}
\end{equation*}と定義されます。\(\mathbb{R} _{+}\)は非空な\(\mathbb{R} \)の部分集合です。さらに、\begin{equation*}\forall x\in \mathbb{R} _{+}:0\leq x
\end{equation*}が成り立つため、\begin{equation*}
\min \mathbb{R} _{+}=0
\end{equation*}です。

 

最大値と最小値は異なるとは限らない

以下は最大値と最小値が異なる\(\mathbb{R} \)の部分集合の例です。

例(最大値と最小値が異なる場合)
\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、以下の集合\begin{equation*}A=\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a\leq x\leq b\right\}
\end{equation*}を定義します。先に示したように、\begin{eqnarray*}
\max A &=&b \\
\min A &=&a
\end{eqnarray*}ですが、仮定より\(a<b\)であるため、\begin{equation*}\max A\not=\min A
\end{equation*}です。

\(\mathbb{R} \)の部分集合の最大値と最小値が一致する状況も起こり得ます。以下の例より明らかです。

例(最大値と最小値が一致する場合)
実数\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、それだけを要素として持つ1点集合\begin{equation*}\left\{ a\right\}
\end{equation*}を定義します。\(a\in \left\{a\right\} \)であるため\(\left\{ a\right\} \)は非空です。\(\leq \)の反射律より、\begin{equation*}\forall a\in \left\{ a\right\} :a\leq a
\end{equation*}が成り立つため、最大値および最小値の定義より、\begin{eqnarray*}
\max \left\{ a\right\} &=&a \\
\min \left\{ a\right\} &=&a
\end{eqnarray*}がともに成り立ちます。したがって、\begin{equation*}
\max \left\{ a\right\} =\min \left\{ a\right\}
\end{equation*}となります。

 

最大値や最小値は存在するとは限らない

\(\mathbb{R} \)の部分集合の最大値や最小値は存在するとは限りません。以下の例より明らかです。

例(最大値や最小値は存在するとは限らない)
\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、以下の集合\begin{equation*}A=\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a<x<b\right\}
\end{equation*}を定義します。\(\max A\)が存在しないことを示すために\(\max A\)が存在するものと仮定して矛盾を導きます。\(\max A\)が存在するとき、最大値の定義より\(\max A\in A\)ですが、すると\(A\)の定義より、\begin{equation}a<\max A<b \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立ちます。\(\max A\)と\(b\)はともに実数であるため、有理数の稠密性より、\begin{equation}\max A<x<b \quad \cdots (2)
\end{equation}を満たす有理数\(x\)が存在します。有理数は実数であるため\(x\)は実数です。\(\left( 1\right) ,\left( 2\right) \)および\(<\)の推移律より、\begin{equation*}a<x<b
\end{equation*}が成り立ちますが、\(A\)の定義より、これは\(x\in A\)であることを意味します。つまり、\(\max A\)よりも大きい\(A\)の要素\(x\)が存在することが示されましたが、これは\(\max A\)が\(A\)の最大値であることと矛盾します。したがって背理法より\(\max A\)が存在しないことが明らかになりました。\(\min A\)が存在しないことも同様にして示されます(演習問題)。

\(\mathbb{R} \)の非空な部分集合について、最大値と最小値のどちらか一方が存在するような状況は起こり得ます。以下は最小値を持つ一方で最大値を持たない\(\mathbb{R} \)の部分集合の例です。

例(最大値や最小値は存在するとは限らない)
\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、以下の集合\begin{equation*}A=\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a\leq x<b\right\}
\end{equation*}を定義します。\(a\in A\)であるとともに、\begin{equation*}\forall x\in A:a\leq x
\end{equation*}が成り立つため、\begin{equation*}
\min A=a
\end{equation*}です。他方で、\(A\)の最大値\(\max A\)が存在しないことが先の例と同様にして示されます。

 

有限集合は最大値と最小値を持つ

\(\mathbb{R} \)の部分集合\(A\)が有限集合である場合、すなわち、\(A\)に属する要素の個数が有限である場合、\(A\)の最大値と最小値がともに存在することが保証されます。これは有限集合に含まれる要素の個数\(n\)に関する数学的帰納法より証明可能です

命題(有限集合は最大値と最小値を持つ)
集合\(A\subset \mathbb{R} \)が非空の有限集合である場合、最大値\(\max A\)と最小値\(\min A\)がともに存在する。
証明

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最大値や最小値の一意性

先に示したように、\(\mathbb{R} \)の非空な部分集合は最大値や最小値を持つとは限りません。ただ、最大値や最小値が存在する場合、それらはそれぞれ1つの実数として定まることが保証されます。

命題(最大値や最小値の一意性)
\(\mathbb{R} \)の非空な部分集合\(A\)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}&&(a)\ \max A\text{が存在するならば、それは一意的である。} \\
&&\left( b\right) \ \min A\text{が存在するならば、それは一意的である。}
\end{eqnarray*}が成り立つ。

証明

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空集合の最大値と最小値

これまでは\(\mathbb{R} \)の非空な部分集合\(A\)を対象に、その最大値や最小値を考えてきました。空集合は任意の集合の部分集合であるため\(\phi \subset \mathbb{R} \)です。では、空集合の最大値や最小値は存在するのでしょうか。

空集合\(\phi \)の最大値に相当する実数\(\max \phi \in \mathbb{R} \)が存在するものと仮定します。最大値の定義より\(\max \phi \in \phi \)でなければなりませんが、空集合は要素を持たないためこれは矛盾です。したがって背理法より\(\phi \)は最大値を持たないことが明らかになりました。

空集合\(\phi \)が最小値を持たないことの証明も同様です。

 

極大値・極小値

\(\mathbb{R} \)の空でない部分集合\(A\)について、そのある要素\(a\)よりも大きい要素が\(A\)の中に存在しないならば、つまり、\begin{equation*}\exists a\in A,\ \forall x\in A:\lnot \left( a<x\right)
\end{equation*}が成り立つならば、\(a\)を\(A\)の極大値(maximal value)や極大元(maximal element)などと呼びます。このとき、\begin{eqnarray*}\lnot \left( a<x\right) &\Leftrightarrow &\lnot \left( a\leq x\wedge
a\not=x\right) \quad \because <\text{の定義} \\
&\Leftrightarrow &\lnot \left( a\leq x\right) \vee \left( a=x\right) \quad
\because \text{ド・モルガンの法則} \\
&\Leftrightarrow &a\leq x\rightarrow a=x\quad \because \rightarrow \text{の定義}
\end{eqnarray*}という同値変形が可能であるため、\(a\)が\(A\)の極大値であることを、\begin{equation*}\exists a\in A,\ \forall x\in A:\left( a\leq x\Rightarrow x=a\right)
\end{equation*}と定義することもできます。つまり、\(a\)が\(A\)の要素であるとともに、仮に\(a\)以上の\(A\)の要素が存在する場合、それは\(a\)と一致することが保証される(つまり\(a\)より大きい\(A\)の要素が存在しない)ということです。

例(極大値)
\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、以下の集合\begin{equation*}A=\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a\leq x\leq b\right\}
\end{equation*}を定義します。\(a,b\)は\(A\)の要素であるため\(A\)は非空です。\(b\)が\(A\)の極大値であることを示します。まず\(b\in A\)です。さらに、\(b\leq x\)を満たす\(x\in A\)を任意に選びます。すると\(A\)の定義より\(x\leq b\)です。これと\(b\leq x\)に大小関係\(\leq \)の反対称律を適用すると\(x=b\)を得ます。したがって\(b\)が\(A\)の極大値であることが示されました。

\(\mathbb{R} \)の空でない部分集合\(A\)について、そのある要素\(a\)よりも小さい要素が\(A\)の中に存在しないならば、つまり、\begin{equation*}\exists a\in A,\ \forall x\in A:\lnot \left( x<a\right)
\end{equation*}が成り立つならば、\(a\)を\(A\)の極小値(minimal value)や極小元(minimal element)などと呼びます。このとき、\begin{eqnarray*}\lnot \left( x<a\right) &\Leftrightarrow &\lnot \left( x\leq a\wedge
x\not=a\right) \quad \because <\text{の定義} \\
&\Leftrightarrow &\lnot \left( x\leq a\right) \vee \left( x=a\right) \quad
\because \text{ド・モルガンの法則} \\
&\Leftrightarrow &x\leq a\rightarrow x=a\quad \because \rightarrow \text{の定義}
\end{eqnarray*}という同値変形が可能であるため、\(a\)が\(A\)の極小値であることを、\begin{equation*}\exists a\in A,\ \forall x\in A:\left( x\leq a\Rightarrow x=a\right)
\end{equation*}と定義することもできます。つまり、\(a\)が\(A\)の要素であるとともに、仮に\(a\)以下の\(A\)の要素が存在する場合、それは\(a\)と一致することが保証される(つまり\(a\)より小さい\(A\)の要素が存在しない)ということです。

例(極小値)
\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、以下の集合\begin{equation*}A=\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a\leq x\leq b\right\}
\end{equation*}を定義します。\(a,b\)は\(A\)の要素であるため\(A\)は非空です。\(a\)が\(A\)の極小値であることを示します。まず\(a\in A\)です。さらに、\(x\leq a\)を満たす\(x\in A\)を任意に選びます。すると\(A\)の定義より\(a\leq x\)です。これと\(x\leq a\)に大小関係\(\leq \)の反対称律を適用すると\(x=a\)を得ます。したがって\(a\)が\(A\)の極小値であることが示されました。

\(\mathbb{R} \)の非空な部分集合\(A\)が最大値を持つとき、それは同時に\(A\)の極大値でもあります。逆に、\(A\)が極大値を持つとき、それは\(A\)の最大値でもあります。

命題(極大値と最大値の関係)
\(\mathbb{R} \)の非空な部分集合\(A\)を任意に選んだとき、\(a\in \mathbb{R} \)が\(A\)の極大値であることは、\(a\)が\(A\)の最大値であるための必要十分条件である。
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最小値と極小値の間にも同様の関係が成り立ちます。

命題(極小値と最小値の関係)
\(\mathbb{R} \)の非空な部分集合\(A\)を任意に選んだとき、\(a\in \mathbb{R} \)が\(A\)の極小値であることは、\(a\)が\(A\)の最小値であるための必要十分条件である。
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以上の議論により、\(\mathbb{R} \)の非空な部分集合を議論の対象とする場合、最大値と極大値は概念として一致し、最小値と極小値は概念として一致することが明らかになりました。したがって、\(\mathbb{R} \)の部分集合を議論の対象とする場合には、極大値や極小値などについてあえて考える必要はありません。

 

最大値と最小値の利用例

先取りになりますが、最大値や最小値の利用例をいくつか紹介します。

例(数列の最大値と最小値)
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)が与えられたとき、この数列の項からなる集合\begin{equation*}\left\{ x_{n}\in \mathbb{R} \ |\ n\in \mathbb{N} \right\}
\end{equation*}は\(\mathbb{R} \)の非空な集合であるため、その最大値と最小値\begin{eqnarray*}&&\max \left\{ x_{n}\in \mathbb{R} \ |\ n\in \mathbb{N} \right\} \\
&&\min \left\{ x_{n}\in \mathbb{R} \ |\ n\in \mathbb{N} \right\}
\end{eqnarray*}がそれぞれ存在するか検討できます。

例(関数の最大値と最小値)
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、この関数\(f\)が定める値からなる集合\begin{equation*}\left\{ f\left( x\right) \in \mathbb{R} \ |\ x\in \mathbb{R} \right\}
\end{equation*}は\(\mathbb{R} \)の非空な集合であるため、その最大値と最小値\begin{eqnarray*}&&\max \left\{ f\left( x\right) \in \mathbb{R} \ |\ x\in \mathbb{R} \right\} \\
&&\min \left\{ f\left( x\right) \in \mathbb{R} \ |\ x\in \mathbb{R} \right\}
\end{eqnarray*}がそれぞれ存在するか検討できます。

 

演習問題

問題(最大値・最小値)
すべての自然数からなる集合\begin{equation*}\mathbb{N} =\left\{ 1,2,3,\cdots \right\}
\end{equation*}について、その最大値や最小値は存在しますか。議論してください。

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問題(最大値・最小値)
すべての整数からなる集合\begin{equation*}\mathbb{Z} =\left\{ \cdots ,-2,-1,0,1,2,\cdots \right\}
\end{equation*}について、その最大値や最小値は存在しますか。議論してください。

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問題(最大値・最小値)
\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、以下の集合\begin{equation*}A=\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a<x<b\right\}
\end{equation*}を定義します。\(\min A\)が存在しないことを証明してください。
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問題(最大値・最小値)
最小値を持たない一方で最大値を持つような\(\mathbb{R} \)の非空な部分集合を具体的に挙げてください。
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問題(最大値の代替的な定義)
2つの実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、以下の関係\begin{equation*}\max \left\{ a,b\right\} =\frac{\left\vert a-b\right\vert +\left( a+b\right)
}{2}
\end{equation*}が成り立つことを示してください。

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問題(最小値の代替的な定義)
2つの実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、以下の関係\begin{equation*}\min \left\{ a,b\right\} =\frac{\left( a+b\right) -\left\vert a-b\right\vert
}{2}
\end{equation*}が成り立つことを示してください。

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