大小関係

実数の集合\(\mathbb{R}\)上に大小関係(magnitude relation)と呼ばれる二項関係\(\leq \)を定義します。その上で、実数の順序対\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R}^{2}\)に対して\(x\leq y\)が成り立つ場合には、\(x\)は\(y\)以下(less or equal)であるとか、\(y\)は\(x\)以上(greater or equal)であると言います。

\(\mathbb{R}\)上に定義された大小関係\(\leq \)の性質を規定する以下の命題を実数の公理系として定めます。それぞれの公理の意味は以降で解説します。

公理(実数の比較)
\(\mathbb{R}\)上に定義された大小関係\(\leq \)は以下を満たす。\begin{eqnarray*}
&&\left( L\right) \ \forall x\in \mathbb{R}:x\leq x \\
&&\left( M\right) \ \forall x,y\in \mathbb{R}:[(x\leq y\ \wedge \ y\leq x)\ \Rightarrow \ x=y] \\
&&\left( N\right) \ \forall x,y,z\in \mathbb{R}:[(x\leq y\ \wedge \ y\leq z)\ \Rightarrow \ x\leq z] \\
&&\left( O\right) \ \forall x,y\in \mathbb{R}:(x\leq y\ \vee \ y\leq x)
\end{eqnarray*}

 

実数の集合は大小関係に関する全順序集合

\(\mathbb{R}\)上に定義された大小関係\(\leq \)の性質を規定する公理のうち、\begin{equation*}
\left( L\right) \ \forall x\in \mathbb{R}:x\leq x
\end{equation*}を大小関係に関する反射律(reflexive aw)と呼びます。これは、任意の実数が自身以下であると同時に自身以上であることを保証します。

大小関係\(\leq \)の性質を規定する公理のうち、\begin{equation*}
\left( M\right) \ \forall x,y\in \mathbb{R}:[(x\leq y\ \wedge \ y\leq x)\ \Rightarrow \ x=y] \end{equation*}を大小関係に関する反対称律(antisymmetric law)と呼びます。これは、任意の実数\(x,y\)について、\(x\)が\(y\)以下であり\(y\)が\(x\)以下である場合には\(x\)と\(y\)が等しいことを保証します。ちなみに、反対称律の対偶をとると、任意の\(x,y\in \mathbb{R}\)に対して、\begin{equation*}
x\not=y\ \Rightarrow \ [\lnot (x\leq y)\ \vee \ \lnot (y\leq x)] \end{equation*}が成り立ちます。つまり、反対称律は異なる実数\(x,y\)について\(x\leq y\)と\(y\leq x\)が同時に成り立たないことを保証します。

大小関係\(\leq \)の性質を規定する公理のうち、\begin{equation*}
\left( N\right) \ \forall x,y,z\in \mathbb{R}:[(x\leq y\ \wedge \ y\leq z)\ \Rightarrow \ x\leq z] \end{equation*}を大小関係に関する推移律(transitive law)と呼びます。これは、任意の実数\(x,y,z\)について、\(x\)が\(y\)以下であり\(y\)が\(z\)以下である場合には\(x\)は\(z\)以下であることを保証します。

大小関係\(\leq \)は\(\mathbb{R}\)上の二項関係ですから、任意の実数\(x,y\)に対して\(x\leq y\)や\(y\leq x\)などの命題はそれぞれ真か偽のどちらか一方です。ですから、\begin{equation*}
\lnot (x\leq y)\ \wedge \ \lnot (y\leq x)
\end{equation*}が真になる場合が起こり得ます。この場合には\(x\)と\(y\)の大小を判定できないため、\(x\)と\(y\)は比較不可能(non-comparable)であると言います。一方、上の命題の否定に相当する以下の命題\begin{equation*}
x\leq y\ \vee \ y\leq x
\end{equation*}が真である場合には\(x\)と\(y\)の大小を判定できるため、このとき\(x\)と\(y\)は比較可能(comparable)であると言います。以上を踏まえると、大小関係\(\leq \)の性質を規定する公理のうち、\begin{equation*}
\left( O\right) \ \forall x,y\in \mathbb{R}:(x\leq y\ \vee \ y\leq x)
\end{equation*}は、任意の 2 つの実数が比較可能であることを保証します。これを完備律(complete law)と呼びます。

大小関係\(\leq \)が完備律を満たす場合には、任意の\(x\in \mathbb{R}\)について、\begin{equation*}
x\leq x\ \vee \ x\leq x
\end{equation*}が成り立ちますが、これは\(x\leq x\)と論理的に同値です。つまり、大小関係の完備律から反射律が導かれるため、完備律を仮定する場合には反射律を明示的に仮定する必要はありません。

大小関係\(\leq \)に関して\(\left( L\right) ,\left( M\right) ,\left( N\right) \)が成り立つことは、\(\leq \)が\(\mathbb{R}\)上の順序(ordering)または半順序(partially ordering)であり、\(\mathbb{R}\)が\(\leq \)に関する順序集合(ordering set)であることを意味します。さらに、\(\left( L\right) ,\left( M\right) ,\left( N\right) \)に加えて\(\left( O\right) \)が成り立つことは、\(\leq \)が\(\mathbb{R}\)上の全順序(total ordering)または線形順序(linear ordering)であり、\(\mathbb{R}\)が\(\leq \)に関する全順序集合(total ordering set)であることを意味します。集合\(\mathbb{R}\)上に大小関係\(\leq \)が定義された全順序集合を\((\mathbb{R},\leq )\)で表しますが、以降ではこれをシンプルに\(\mathbb{R}\)で表します。

 

実数の符号

実数\(x\in \mathbb{R}\)が\(0\leq x\)を満たす場合、\(x\)は非負(nonnegative)であると言います。その上で、すべての非負の実数からなる集合を\(\mathbb{R}_{+}=\left\{ x\in \mathbb{R}\ |\ x\geq 0\right\} \)で表します。

実数\(x\in \mathbb{R}\)が\(0\geq x\)を満たす場合、\(x\)は非正(nonpositive)であると言います。その上で、すべての非正の実数からなる集合を\(\mathbb{R}_{-}=\left\{ x\in \mathbb{R}\ |\ x\leq 0\right\} \)で表します。

反射律より\(0\leq 0\)ですから、\(0\)は非負かつ非正な実数です。つまり、\(0\in \mathbb{R}_{+}\)かつ\(0\in \mathbb{R}_{-}\)です。

次回は狭義大小関係について解説します。
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