実数の大小関係

大小関係

公理主義的実数論の立場のもと、実数空間\(\mathbb{R} \)上に加法\(+\)および乗法\(\cdot \)と呼ばれる二項演算を定義した上で、これらが体としての性質\begin{eqnarray*}&&\left( R_{1}\right) \ \forall x,y,z\in \mathbb{R} :\left( x+y\right) +z=x+\left( y+z\right) \\
&&\left( R_{2}\right) \ \exists 0\in \mathbb{R} ,\ \forall x\in \mathbb{R} :x+0=x \\
&&\left( R_{3}\right) \ \forall x\in \mathbb{R} ,\ \exists -x\in \mathbb{R} :x+\left( -x\right) =0 \\
&&\left( R_{4}\right) \ \forall x,y\in \mathbb{R} :x+y=y+x \\
&&\left( R_{5}\right) \ \forall x,y,z\in \mathbb{R} :\left( x\cdot y\right) \cdot z=x\cdot \left( y\cdot z\right) \\
&&\left( R_{6}\right) \ \exists 1\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} ,\ \forall x\in \mathbb{R} :x\cdot 1=x \\
&&\left( R_{7}\right) \ \forall x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} ,\ \exists x^{-1}\in \mathbb{R} :x\cdot x^{-1}=1 \\
&&\left( R_{8}\right) \ \forall x,y\in \mathbb{R} :x\cdot y=y\cdot x \\
&&\left( R_{9}\right) \ \forall x,y,z\in \mathbb{R} :\left( x+y\right) \cdot z=x\cdot z+y\cdot z
\end{eqnarray*}を満たすことを公理として定めました。私たちは実数どうしを足したり掛けたりしますが、これらの演算の性質を一般化したものが以上の公理です。私たちは実数に対して演算を行うだけでなく、実数の大きさ比較します。そこで以降では、実数どうしの比較操作の性質を一般化した上で、それらを実数の公理に加えます。

すべての実数からなる集合\(\mathbb{R} \)上には大小関係（magnitude relation）と呼ばれる二項関係\begin{equation*}\leq \in \mathbb{R} \times \mathbb{R} \end{equation*}が定義されているものと定めます。その上で、任意の実数\(x,y\in \mathbb{R} \)に対して、以下の関係\begin{equation*}x\leq y\Leftrightarrow \left( x,y\right) \in \leq
\end{equation*}を満たすものとして記号\(x\leq y\)の意味を定義します。つまり、実数を成分とする順序対\(\left( x,y\right) \)が大小関係\(\leq \)の要素である場合、そしてその場合にのみ\(x\leq y\)が成り立つものとして\(x\leq y\)の意味を定義するということです。この場合、任意の\(x,y\in \mathbb{R} \)について、\begin{equation*}\lnot \left( x\leq y\right) \Leftrightarrow \left( x,y\right) \not\in \leq
\end{equation*}という関係もまた成立することに注意してください。

大小関係\(\leq \)が与えられたとき、実数\(x,y\in \mathbb{R} \)について\(x\leq y\)が成り立つ場合には、\(x\)は\(y\)以下（less or equal）であるとか、\(y\)は\(x\)以上（greater or equal）であるとか、\(x\)は\(y\)を超えない（\(x\) is not greater than \(y\)）などと言います。

公理主義的実数論においては、大小関係\(\leq \)が満たすべき性質を公理として定めます。

大小関係\(\leq \)が満たすべき1つ目の公理は、\begin{equation*}\left( R_{10}\right) \ \forall x\in \mathbb{R} :x\leq x
\end{equation*}であり、これを大小関係に関する反射律（reflexive law）と呼びます。これは、任意の実数\(x\)は自身\(x\)以下であるとともに自身\(x\)以上であることを保証します。

大小関係\(\leq \)が満たすべき2つ目の公理は、\begin{equation*}\left( R_{11}\right) \ \forall x,y\in \mathbb{R} :[(x\leq y\wedge y\leq x)\Rightarrow x=y] \end{equation*}であり、これを大小関係に関する反対称律（antisymmetric law）と呼びます。これは、任意の実数\(x,y\)について、\(x\)が\(y\)以下であり、なおかつ\(y\)が\(x\)以下である場合には、\(x\)と\(y\)が等しいことを保証します。反対称律の対偶をとると、\begin{equation*}\forall x,y\in \mathbb{R} :\left[ x\not=y\Rightarrow \lnot \left( x\leq y\wedge y\leq x\right) \right] \end{equation*}を得ます。つまり、反対称律のもとでは、異なる実数\(x,y\)を任意に選んだときに\(x\leq y\)と\(y\leq x\)が同時に成り立つ事態は起こり得ないことが保証されます。

大小関係\(\leq \)が満たすべき3つ目の公理は、\begin{equation*}\left( R_{12}\right) \ \forall x,y,z\in \mathbb{R} :\left[ \left( x\leq y\wedge y\leq z\right) \Rightarrow x\leq z\right] \end{equation*}であり、これを大小関係に関する推移律（transitive law）と呼びます。これは、任意の実数\(x,y,z\)について、\(x\)が\(y\)以下であり、なおかつ\(y\)が\(z\)以下である場合には、\(x\)は\(z\)以下であることを保証します。言い換えると、\(y\)が\(x\)以上であり、\(z\)が\(y\)以上である場合には、\(z\)が\(x\)以上であることを保証します。

大小関係\(\leq \)が満たすべき4つ目の公理は、\begin{equation*}\left( R_{13}\right) \ \forall x,y\in \mathbb{R} :\left( x\leq y\vee y\leq x\right)
\end{equation*}であり、これを大小関係に関する完備律（complete law）と呼びます。\(\leq \)が完備律を満たさない場合には、その否定である、\begin{equation*}\exists x,y\in \mathbb{R} :\left[ \lnot \left( x\leq y\right) \wedge \lnot \left( y\leq x\right) \right] \end{equation*}が成り立ちます。つまり、大小関係\(\leq \)が完備律を満たさない場合には、何らかの実数\(x,y\)に関して\(x\leq y\)と\(y\leq x\)がともに成り立たないような事態が起こり得るため、\(\leq \)のもとで両者の大小を比較できません。この場合、\(x\)と\(y\)は比較不可能（non-comparable）であると言います。逆に、大小関係\(\leq \)が完備律を満たす場合には、実数\(x,y\)を任意に選んだときに\(x\leq y\)と\(y\leq x\)の少なくとも一方が成り立つため、両者の大小を比較できます。このとき、\(x\)と\(y\)は比較可能（comparable）であると言います。完備律は任意の2つの実数どうしが比較可能であることを保証します。

大小関係\(\leq \)が完備律を満たすこととは、\begin{equation*}\forall x,y\in \mathbb{R} :\left( x\leq y\vee y\leq x\right)
\end{equation*}が成り立つことを意味しますが、\(x\)と\(y\)は任意であるため、\(x=y\)を満たす実数\(x,y\)に注目すると、\begin{equation*}\forall x\in \mathbb{R} :\left( x\leq x\vee x\leq x\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall x\in \mathbb{R} :x\leq x
\end{equation*}を得ますが、これは反射律に他なりません。つまり、反射律は完備律から導出可能であるため、完備律を公理として定める場合、反射律を独立した公理として定める必要はありません。ただ、以降では慣例にしたがって反射律と完備律を独立した公理として定めます。

大小関係を規定する公理は以上の通りです。まとめておきます。

大小関係\(\leq \)が\(\left( R_{10}\right) ,\left(R_{11}\right) ,\left( R_{12}\right) \)を満たすことは、\(\leq \)が\(\mathbb{R} \)上の順序（ordering）または半順序（partially ordering）であり、\(\mathbb{R} \)が\(\leq \)に関する順序集合（ordering set）であることを意味します。また、\(\left( R_{10}\right) ,\left( R_{11}\right) ,\left(R_{12}\right) \)に加えて\(\left( R_{13}\right) \)を満たすことは、\(\leq \)が\(\mathbb{R} \)上の全順序（total ordering）または線形順序（linear ordering）であり、\(\mathbb{R} \)が\(\leq \)に関する全順序集合（total ordering set）であることを意味します。

実数の符号

公理主義のもとで実数について考えるということは実数の公理だけを議論の前提として認めることを意味します。つまり、実数どうしの大小関係に関する命題はいずれも先の公理から導かれてはじめて正しいものとして認められます。以下では、先の公理から導かれる大小関係に関する基本的な命題をいくつか紹介します。

実数\(x\in \mathbb{R} \)が以下の条件\begin{equation*}0\leq x
\end{equation*}を満たす場合、すなわち、\(x\)が加法単位元\(0\)以上である場合、この実数\(x\)は非負（nonnegative）であると言います。その上で、すべての非負の実数からなる集合を、\begin{equation*}\mathbb{R} _{+}=\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ 0\leq x\right\} \end{equation*}で表記します。

実数\(x\in \mathbb{R} \)が以下の条件\begin{equation*}x\leq 0
\end{equation*}を満たす場合、すなわち、\(x\)が加法単位元\(0\)以下である場合、この実数\(x\)は非正（nonpositive）であると言います。その上で、すべての非正の実数からなる集合を、\begin{equation*}\mathbb{R} _{-}=\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ x\leq 0\right\} \end{equation*}で表記します。

以上の例から明らかになったように、加法単位元\(0\)は非負かつ非正であるような実数ですが、実は、このような実数は\(0\)に限定されます。つまり、\(\mathbb{R} _{+}\)と\(\mathbb{R} _{-}\)の双方に属する実数は\(0\)だけです。

加法単位元\(0\)とは異なる実数\(x\)を任意に選んだとき、それは非負の実数であるか、非正の実数であるか、そのどちらか一方であることが保証されます。

大小関係の逆関係

実数集合\(\mathbb{R} \)上に大小関係\(\leq \)が定義されており、これは全順序としての公理を満たすものとします。このとき、任意の実数\(x,y\in \mathbb{R} \)に対して、以下の関係\begin{equation*}x\geq y\Leftrightarrow y\leq x
\end{equation*}を満たすものとして\(\mathbb{R} \)上の新たな二項関係\(\geq \)を定義します。つまり、任意の実数\(x,y\)について、\(y\)が\(x\)以下である場合、そしてその場合にのみ\(x\geq y\)が成り立つものとして\(\geq \)を定義するということです。つまり、大小関係\(\leq \)の逆関係を\(\geq \)で表記するということです。

大小関係\(\leq \)の逆関係\(\geq \)を以上のように定義した場合、\(\geq \)もまた\(\mathbb{R} \)上の全順序になることが保証されます。つまり、以下の性質\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall x\in \mathbb{R} :x\geq x \\
&&\left( b\right) \ \forall x,y\in \mathbb{R} :[(x\geq y\wedge y\geq x)\Rightarrow x=y] \\
&&\left( c\right) \ \forall x,y,z\in \mathbb{R} :\left[ \left( x\geq y\wedge y\geq z\right) \Rightarrow x\geq z\right] \\
&&\left( d\right) \ \forall x,y\in \mathbb{R} :\left( x\geq y\vee y\geq x\right)
\end{eqnarray*}が成り立つということです。

以上の命題を踏まえた上で、以降では、任意の実数\(x,y\in \mathbb{R} \)について\(x\leq y\)と\(y\geq x\)は交換可能であるものとみなします。つまり、大小関係\(\leq \)のもとで\(x\)が\(y\)以下であることを\(y\geq x\)と表記してもよいものと定めます。逆に、\(y\geq x\)と表記されている場合、それは大小関係\(\leq \)のもとで\(x\)が\(y\)以下であることを意味するものと定めます。

大小関係の部分集合への制限

実数集合\(\mathbb{R} \)上に大小関係\(\leq \)が定義されており、これは全順序としての公理を満たすものとします。\(\mathbb{R} \)の非空な部分集合\(A\)を任意に選んだ上で、その要素\(x,y\in A\)を任意に選びます。\(A\subset \mathbb{R} \)ゆえに\(x,y\in \mathbb{R} \)であるため、大小関係\(\leq \)のもとで\(x\leq y\)が成り立つか検討できます。以上を踏まえた上で、任意の実数\(x,y\in \mathbb{R} \)に対して、以下の関係\begin{equation*}x\leq _{A}y\Leftrightarrow x\leq y
\end{equation*}を満たすものとして\(A\)上の二項関係\(\leq _{A}\)を定義します。つまり、\(A\)の要素である実数\(x,y\)を任意に選んだとき、大小関係\(\leq \)のもとで\(x\)が\(y\)以下である場合、そしてその場合にのみ\(x\leq _{A}y\)が成り立つものとして\(A\)上の二項関係\(\leq _{A}\)を定義するということです。つまり、大小関係\(\leq \)の集合\(A\)への制限を\(\leq _{A}\)で表記するということです。

大小関係\(\leq \)の集合\(A\)への制限\(\leq _{A}\)を以上のように定義した場合、\(\leq _{A}\)は\(A\)上の全順序になることが保証されます。つまり、以下の性質\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall x\in A:x\leq _{A}x \\
&&\left( b\right) \ \forall x,y\in A:[(x\leq _{A}y\wedge y\leq
_{A}x)\Rightarrow x=y] \\
&&\left( c\right) \ \forall x,y,z\in A:\left[ \left( x\leq _{A}y\wedge y\leq
_{A}z\right) \Rightarrow x\leq _{A}z\right] \\
&&\left( d\right) \ \forall x,y\in A:\left( x\leq _{A}y\vee y\leq
_{A}x\right)
\end{eqnarray*}が成り立つということです。

以上の命題を踏まえた上で、以降では、大小関係の制限\(\leq _{A}\)を大小関係\(\leq \)と同じ記号を用いて表記できるものと定めます。つまり、部分集合\(A\subset \mathbb{R} \)とその要素\(x,y\in A\)を任意に選んだとき、\(x\leq _{A}y\)が成り立つことを\(x\leq y\)と表記できるものと定めます。