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DEFINITION OF REAL NUMBER

大小関係

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大小関係

公理主義的実数論において、実数体\(\mathbb{R} \)上には大小関係(magnitude relation)と呼ばれる二項関係が定義されているものと定め、これを\(\leq \)で表記します。二項関係の定義より、大小関係\(\leq \)は直積\(\mathbb{R} \times \mathbb{R} \)の部分集合です。その上で、任意の実数\(x,y\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}x\leq y\Leftrightarrow \left( x,y\right) \in \leq
\end{equation*}を満たすものとして\(x\leq y\)という表記を定義します。つまり、実数を成分とする順序対\(\left( x,y\right) \)が大小関係\(\leq \)の部分集合であるとき、そしてその場合にのみ\(x\leq y\)が成り立つものと定義するということです。実数\(x,y\)に対して\(x\leq y\)が成り立つとき、\(x\)は\(y\)以下(lessor equal)であるとか、\(y\)は\(x\)以上(greater or equal)であるなどと言います。

大小関係\(\leq \)の逆関係を\(\geq \)で表記します。つまり、任意の実数\(x,y\in \mathbb{R} \)について、\begin{equation*}x\geq y\Leftrightarrow y\leq x
\end{equation*}を満たすものとして\(\mathbb{R} \)上の二項関係\(\geq \)を定義します。つまり、実数\(x,y\)について、\(x\)が\(y\)以上であることを\(x\geq y\)と表記してもよいものと定めるということです。

公理主義的実数論においては、大小関係\(\leq \)が満たすべき性質を公理として定めます。1つ目の公理は、\begin{equation*}\left( R_{10}\right) \ \forall x\in \mathbb{R} :x\leq x
\end{equation*}というものであり、これを大小関係に関する反射律(reflexive law)と呼びます。これは、任意の実数\(x\)は自身\(x\)以下であるとともに自身\(x\)以上であることを保証します。

大小関係\(\leq \)が満たすべき2つ目の公理は、\begin{equation*}\left( R_{11}\right) \ \forall x,y\in \mathbb{R} :[(x\leq y\wedge y\leq x)\Rightarrow x=y] \end{equation*}というものであり、これを大小関係に関する反対称律(antisymmetric law)と呼びます。これは、任意の実数\(x,y\)について、\(x\)が\(y\)以下であり、なおかつ\(y\)が\(x \)以下である場合には、\(x\)と\(y\)が等しいことを保証しています。反対称律の対偶をとると、\begin{equation*}\forall x,y\in \mathbb{R} :\left[ x\not=y\Rightarrow \lnot \left( x\leq y\wedge y\leq x\right) \right] \end{equation*}を得ます。つまり、反対称律は、異なる実数\(x,y\)について\(x\leq y\)と\(y\leq x\)が同時に成り立たないことを保証します。

大小関係\(\leq \)が満たすべき3つ目の公理は、\begin{equation*}\left( R_{12}\right) \ \forall x,y,z\in \mathbb{R} :\left[ \left( x\leq y\wedge y\leq z\right) \Rightarrow x\leq z\right] \end{equation*}というものであり、これを大小関係に関する推移律(transitive law)と呼びます。これは、任意の実数\(x,y,z\)について、\(x\)が\(y\)以下であり、なおかつ\(y\)が\(z\)以下である場合には、\(x\)は\(z\)以下であることを保証します。言い換えると、\(y\)が\(x\)以上であり、\(z\)が\(y\)以上である場合には、\(z\)が\(x \)以上であることを保証します。

大小関係\(\leq \)が満たすべき4つ目の公理は、\begin{equation*}\left( R_{13}\right) \ \forall x,y\in \mathbb{R} :\left( x\leq y\vee y\leq x\right)
\end{equation*}というものであり、これを大小関係に関する完備律(complete law)と呼びます。\(\leq \)が完備律を満たさない場合には、その否定である、\begin{equation*}\exists x,y\in \mathbb{R} :\left[ \lnot \left( x\leq y\right) \wedge \lnot \left( y\leq x\right) \right] \end{equation*}が成り立ちます。つまり、上の実数\(x,y\)について\(x\leq y\)と\(y\leq x\)がともに成り立たないため、\(\leq \)のもとで両者の大小を比較することさえできません。このとき、\(x\)と\(y\)は比較不可能(non-comparable)であると言います。逆に、\(\leq \)が完備律を満たす場合には、実数\(x,y\)を任意に選んだときに\(x\leq y\)と\(y\leq x\)の少なくとも一方が成り立つため、両者の大小を比較できます。このとき、\(x\)と\(y\)は比較可能(comparable)であると言います。完備律は任意の2つの実数どうしが比較可能であることを保証します。

繰り返しになりますが、完備律とは、\begin{equation*}
\forall x,y\in \mathbb{R} :\left( x\leq y\vee y\leq x\right)
\end{equation*}という公理です。\(x\)と\(y\)は任意であるため、\(x=y\)を満たす実数\(x,y\)に注目すると、\begin{equation*}\forall x\in \mathbb{R} :\left( x\leq x\vee x\leq x\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall x\in \mathbb{R} :x\leq x
\end{equation*}を得ますが、これは反射律に他なりません。つまり、反射律は完備律から導出可能であるため、完備律を公理として定める場合、反射律を独立した公理として定める必要はありません。ただ、以降では慣例にしたがって反射律と完備律を独立した公理として定めます。

大小関係\(\leq \)が\(\left( R_{10}\right) ,\left(R_{11}\right) ,\left( R_{12}\right) \)を満たすことは、\(\leq \)が\(\mathbb{R} \)上の順序(ordering)または半順序(partially ordering)であり、\(\mathbb{R} \)が\(\leq \)に関する順序集合(ordering set)であることを意味します。また、\(\left( R_{10}\right) ,\left( R_{11}\right) ,\left(R_{12}\right) \)に加えて\(\left( R_{13}\right) \)を満たすことは、\(\leq \)が\(\mathbb{R} \)上の全順序(total ordering)または線形順序(linear ordering)であり、\(\mathbb{R} \)が\(\leq \)に関する全順序集合(total ordering set)であることを意味します。通常、全順序集合を\(\left( \mathbb{R} ,\leq \right) \)で表しますが、全順序集合について言及していることが文脈から明らかである場合には、全順序集合を\(\mathbb{R} \)で表すこともできます。

公理(大小関係に関する公理)
\(\mathbb{R} \)は大小関係\(\leq \)に関する全順序集合であるものと定める。すなわち、\begin{eqnarray*}&&\left( R_{10}\right) \ \forall x\in \mathbb{R} :x\leq x \\
&&\left( R_{11}\right) \ \forall x,y\in \mathbb{R} :[(x\leq y\wedge y\leq x)\Rightarrow x=y] \\
&&\left( R_{12}\right) \ \forall x,y,z\in \mathbb{R} :\left[ \left( x\leq y\wedge y\leq z\right) \Rightarrow x\leq z\right] \\
&&\left( R_{13}\right) \ \forall x,y\in \mathbb{R} :\left( x\leq y\vee y\leq x\right)
\end{eqnarray*}が成り立つものと定める。

 

実数の符号

公理主義のもとで実数について考えるということは実数の公理だけを議論の前提として認めることを意味します。つまり、実数どうしの大小関係に関する命題はいずれも先の公理から導かれてはじめて正しいものとして認められます。以下では、先の公理から導かれる大小関係に関する基本的な命題をいくつか紹介します。

実数\(x\)を任意に選んだとき、それが\(0\leq x\)を満たす場合、この実数\(x\)は非負(non negative)であると言います。逆に、\(x\leq 0\)を満たす場合、この実数\(x\)は非正(non positive)であると言います。すべての非負の実数からなる集合、すべての非正の実数からなる集合をそれぞれ、\begin{eqnarray*}\mathbb{R} _{+} &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ 0\leq x\right\} \\\mathbb{R} _{-} &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ x\leq 0\right\} \end{eqnarray*}と表記します。先に定めた大小関係\(\leq \)に関する公理を利用すると、\(\mathbb{R} _{+}\)と\(\mathbb{R} _{-}\)の双方に属する実数は\(0\)だけであるとともに、\(0\)とは異なるそれぞれの実数は\(\mathbb{R} _{+}\)と\(\mathbb{R} _{-}\)のどちらか一方の要素であることが示されます。

命題(実数の符号)
\(\mathbb{R} \)上の大小関係\(\leq \)に関して、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \mathbb{R} _{+}\cap \mathbb{R} _{-}=\left\{ 0\right\} \\
&&\left( b\right) \ \forall x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} :\left( x\in \mathbb{R} _{+}\veebar x\in \mathbb{R} _{-}\right)
\end{eqnarray*}が成り立つ。
証明

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演習問題

問題(大小関係の逆関係)
\(\mathbb{R} \)上の大小関係\(\leq \)の逆関係を\(\geq \)で表記します。この逆関係\(\geq \)に関しても、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall x\in \mathbb{R} :x\geq x \\
&&\left( b\right) \ \forall x,y\in \mathbb{R} :[(x\geq y\wedge y\geq x)\Rightarrow x=y] \\
&&\left( c\right) \ \forall x,y,z\in \mathbb{R} :\left[ \left( x\geq y\wedge y\geq z\right) \Rightarrow x\geq z\right] \\
&&\left( d\right) \ \forall x,y\in \mathbb{R} :\left( x\geq y\vee y\geq x\right)
\end{eqnarray*}が成り立つことを実数の公理から証明してください。
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問題(大小関係の制限)
全順序集合\(\mathbb{R} \)が与えられたとき、その非空な部分集合\(A\)を任意に選びます。その上で、任意の\(x,y\in A\)に対して、\begin{equation*}x\leq _{A}y\Leftrightarrow x\leq y
\end{equation*}を満たすものとして\(A\)上の二項関係\(\leq _{A}\)を定義します。ただし、\(\leq \)は\(\mathbb{R} \)上の大小関係です。このように定義される\(\leq _{A}\)を\(\leq \)を\(A\)に制限した大小関係(restriction)と呼びます。このとき、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall x\in A:x\leq _{A}x \\
&&\left( b\right) \ \forall x,y\in A:[(x\leq _{A}y\wedge y\leq
_{A}x)\Rightarrow x=y] \\
&&\left( c\right) \ \forall x,y,z\in A:\left[ \left( x\leq _{A}y\wedge y\leq
_{A}z\right) \Rightarrow x\leq _{A}z\right] \\
&&\left( d\right) \ \forall x,y\in A:\left( x\leq _{A}y\vee y\leq
_{A}x\right)
\end{eqnarray*}が成り立つことを実数の公理から証明してください。
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次回は狭義大小関係について解説します。

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DISCUSSION

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