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DEFINITION OF REAL NUMBER

加法

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加法

すべての実数からなる集合\(\mathbb{R}\)の上には加法(addition)と呼ばれる二項演算が定義されているものとし、これを\(+\)と表記します。また、加法\(+\)が実数からなる順序対\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R}^{2}\)に対して定める実数を\(x\)と\(y\)の(sum)と呼び、これを\(x+y\)と表記します。\(\left( x,y\right) \)に\(+\)を作用させることを、\(x\)と\(y\)を足す(add)と言います。\(\mathbb{R}\)上に\(+\)が定義されているとき、\(\mathbb{R}\)は\(+\)について閉じている(closed)と言います。

公理主義的実数論においては、加法\(+\)が満たすべき性質を公理として定めます。1つ目の公理は、\begin{equation*}
\left( R_{1}\right) \ \forall x,y,z\in \mathbb{R}:\left( x+y\right) +z=x+\left( y+z\right)
\end{equation*}というものであり、これを加法に関する結合律(associative law)と呼びます。括弧\(\left( \ \right) \)は加法を適用する順番を表す記号です。つまり、左辺\(\left( x+y\right) +z\)は、はじめに\(x\)と\(y\)を足した上で、得られた結果\(x+y\)と\(z\)をさらに足して得られる結果です。右辺の\(x+\left( y+z\right) \)は、はじめに\(y\)と\(z\)を足した上で、\(x\)と先の結果を足して得られる結果です。結合律はこれらの結果が等しいことを保証します。つまり、3つの実数\(x,y,z\)に対して加法を適用する際には、隣り合うどの2つを先に足しても得られる結果は変わらないということです。

加法\(+\)が満たすべき2つ目の公理は、\begin{equation*}
\left( R_{2}\right) \ \exists 0\in \mathbb{R},\ \forall x\in \mathbb{R}:x+0=x
\end{equation*}というものです。これは、任意の実数\(x\)に足してもその結果が\(x\)のままであるような実数\(0\)の存在を保証しています。この実数\(0\)を加法単位元(additive identity element)やゼロ(zero)などと呼びます。

加法\(+\)が満たすべき3つ目の公理は、\begin{equation*}
\left( R_{3}\right) \ \forall x\in \mathbb{R},\ \exists -x\in \mathbb{R}:x+\left( -x\right) =0
\end{equation*}というものです。これは、それぞれの実数\(x\)に対して、それに足すと結果が加法単位元\(0\)になるような実数\(-x\)の存在を保証しています。このような実数\(-x\)を\(x\)の加法逆元(additive inverse element)や負数(negative number)などと呼びます。

加法\(+\)が満たすべき4つ目の公理は、\begin{equation*}
\left( R_{4}\right) \ \forall x,y\in \mathbb{R}:x+y=y+x
\end{equation*}というものであり、これを加法に関する交換律(commutative law)と呼びます。一般に、2つの実数\(x,y\)に関する順序対\(\left( x,y\right) ,\left( y,x\right) \)は異なるものとして区別されるため、\(\left( x,y\right) \)に\(+\)を適用して得られる\(x+y\)と\(\left( y,x\right) \)に\(+\)を適用して得られる\(y+x\)もまた区別されるべきですが、公理\(\left( R_{4}\right) \)はこれらが等しいことを保証します。

加法\(+\)が\(\left( R_{1}\right) \)を満たすことは、\(\mathbb{R}\)が加法\(+\)に関して半群(semigroup)であることを意味します。また、\(\left( R_{1}\right) \)に加えて\(\left( R_{2}\right) \)を満たすことは、\(\mathbb{R}\)が加法\(+\)に関してモノイド(monoid)であることを意味します。さらに、\(\left( R_{1}\right) ,\left( R_{2}\right) \)に加えて\(\left( R_{3}\right) \)が成り立つことは、\(\mathbb{R}\)が加法\(+\)に関して(group)であることを意味します。最後に、\(\left( R_{1}\right) ,\left( R_{2}\right) ,\left( R_{3}\right) \)に加えて\(\left( R_{4}\right) \)が成り立つことは、\(\mathbb{R}\)が加法\(+\)に関して可換群(commutative group)またはアーベル群(abelian group)であることを意味します。

公理(加法に関する公理)
\(\mathbb{R}\)は加法\(+\)に関する可換群である。すなわち、\begin{eqnarray*}
&&\left( R_{1}\right) \ \forall x,y,z\in \mathbb{R}:\left( x+y\right) +z=x+\left( y+z\right) \\
&&\left( R_{2}\right) \ \exists 0\in \mathbb{R},\ \forall x\in \mathbb{R}:x+0=x \\
&&\left( R_{3}\right) \ \forall x\in \mathbb{R},\ \exists -x\in \mathbb{R}:x+\left( -x\right) =0 \\
&&\left( R_{4}\right) \ \forall x,y\in \mathbb{R}:x+y=y+x
\end{eqnarray*}を公理として定める。

 

加法逆元の加法逆元

公理主義のもとで実数について考えるということは実数の公理だけを議論の前提として認めることを意味します。つまり、実数の集合上に定義された加法に関する命題はいずれも先の公理から導かれてはじめて正しいものとして認められます。以下では、先の公理から導かれる加法に関する基本的な命題をいくつか紹介します。

実数\(x\)を任意に選んだとき、加法逆元の定義より、その加法逆元\(-x\)に相当する実数が存在します。\(-x\)は実数であるため、やはり加法逆元の定義より、さらにその加法逆元\(-\left( -x\right) \)が存在しますが、実はこれはもとの実数\(x\)と一致します。つまり、任意の実数\(x\)に対して、その加法逆元の加法逆元は\(x\)と一致するということです。証明は以下の通りです。

実数\(x\)を任意に選んだとき、加法逆元の定義より、\begin{equation*}
x+\left( -x\right) =0
\end{equation*}が成り立ちますが、左辺に対して加法の交換律を適用すると、\begin{equation*}
\left( -x\right) +x=0
\end{equation*}を得ます。つまり、\(-x\)に\(x\)を足すと\(0\)になりますが、これは、\(-x\)の加法逆元\(-\left( -x\right) \)が\(x\)であることを意味します。

命題(加法逆元の加法逆元)
実数\(x\in \mathbb{R}\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}
-\left( -x\right) =x
\end{equation*}が成り立つ。

 

加法に関する簡約法則

\(\mathbb{R}\)は加法\(+\)について閉じているため、実数\(x\)に対して実数\(y,z\)をそれぞれ足して得られる\(x+y\)と\(x+z\)はともに実数です。仮にこの2つの和が等しければ、\(x\)にそれぞれ足した\(y\)と\(z\)が等しくなります。これを加法に関する簡約法則(cancellation law)と呼びます。これは直感的には自明な主張ですが、公理主義的実数論のもとではこれもまた加法に関する公理から証明する必要があります。証明は以下の通りです。

\(x+y=x+z\)を満たす実数\(x,y,z\)をそれぞれ任意に選んだとき、\begin{align*}
y& =y+0\quad \because \text{加法単位元の定義} \\
& =y+\left[ x+\left( -x\right) \right] \quad \because \text{加法逆元の定義} \\
& =\left( y+x\right) +\left( -x\right) \quad \because \text{加法の結合律} \\
& =\left( x+y\right) +\left( -x\right) \quad \because \text{加法の交換律} \\
& =\left( x+z\right) +\left( -x\right) \quad \because x+y=x+z \\
& =\left( z+x\right) +\left( -x\right) \quad \because \text{加法の交換律} \\
& =z+\left[ x+\left( -x\right) \right] \quad \because \text{加法の結合律} \\
& =z+0\quad \because \text{加法逆元の定義} \\
& =z\quad \because \text{加法単位元の定義}
\end{align*}すなわち\(y=z\)が成り立ちます。

命題(加法の簡約法則)

実数\(x,y,z\in \mathbb{R}\)をそれぞれ任意に選んだとき、\begin{equation*}
x+y=x+z\Rightarrow y=z
\end{equation*}が成り立つ。

加法に関する簡約法則は実数の公理から導かれた命題であるため、議論の前提として利用することができます。加法に関する簡約法則からは様々な有用な命題を導くことができます。

 

加法単位元の加法逆元

加法単位元\(0\)は実数であるため、加法逆元の定義より\(-0\)もまた実数ですが、加法に関する簡約法則を利用すると、これが\(0\)と一致することが示されます。つまり、加法単位元\(0\)の加法逆元は\(0\)と一致するということです。証明は以下の通りです。

加法に関する簡約法則より、実数\(x,y,z\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}
x+y=x+z\Rightarrow y=z
\end{equation*}が成り立ちます。加法単位元\(0\)は実数であるため、上の命題において\(x=z=0\)とおくことができ、その結果、\begin{equation*}
0+y=0+0\Rightarrow y=0
\end{equation*}を得ます。加法単位元の定義より\(0+0=0\)が成り立つため、このとき、\begin{equation*}
0+y=0\Rightarrow y=0
\end{equation*}を得ます。つまり、\(y\)が\(0\)の加法逆元\(-0\)であるならば、\(y\)は\(0\)でなければならないということです。

命題(加法単位元の加法逆元)
\(\mathbb{R}\)における加法単位元\(0\)について、\begin{equation*}
-0=0
\end{equation*}が成り立つ。

 

加法単位元の一意性

加法に関する簡約法則を利用すると、加法単位元\(0\)が一意的であることが示されます。証明は以下の通りです。

実数\(x,y,z\)を任意に選んだとき、加法に関する簡約法則より、\begin{equation*}
x+y=x+z\Rightarrow y=z
\end{equation*}が成り立ちます。加法単位元\(0\)は実数であるため、上の命題において\(z=0\)とおくことができ、その結果、\begin{equation*}
x+y=x+0\Rightarrow y=0
\end{equation*}を得ます。加法単位元の定義より\(x+0=x\)が成り立つため、このとき、\begin{equation*}
x+y=x\Rightarrow y=0
\end{equation*}を得ます。つまり、\(y\)が加法単位元であるとき、これは\(0\)でなければなりません。

命題(加法単位元の一意性)
\(\mathbb{R}\)における加法単位元\(0\)は一意的である。

 

加法逆元の一意性

実数\(x\)を任意に選んだとき、加法逆元の定義より、その加法逆元\(-x\)に相当する実数が存在しますが、加法に関する簡約法則を利用するとこれが一意的であることが示されます。つまり、それぞれの実数に対して、その加法逆元は1つずつしか存在しないということです。証明は以下の通りです。

実数\(x,y,z\)を任意に選んだとき、加法に関する簡約法則より、\begin{equation*}
x+y=x+z\Rightarrow y=z
\end{equation*}が成り立ちます。加法単位元の定義より\(-x\)もまた実数であるため、上の命題において\(z=-x\)とおくことができ、その結果、\begin{equation*}
x+y=x+\left( -x\right) \Rightarrow y=-x
\end{equation*}を得ます。加法逆元の定義より\(x+\left( -x\right) \)が成り立つため、このとき、\begin{equation*}
x+y=0\Rightarrow y=-x
\end{equation*}を得ます。つまり、\(y\)が\(x\)の加法逆元であるとき、それは\(-x\)でなければなりません。

命題(加法逆元の一意性)
実数\(x\in \mathbb{R}\)を任意に選んだとき、その加法逆元\(-x\)は一意的である。

 

演習問題

問題(加法単位元)
\(\mathbb{R}\)における加法単位元\(0\)は、\begin{equation*}
\forall x\in \mathbb{R}:x+0=x
\end{equation*}を満たすものとして定義されますが、その一方で、\begin{equation*}
\forall x\in \mathbb{R}:0+x=x
\end{equation*}という命題もまた成立することを実数の公理から証明してください。
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問題(加法単位元)
実数\(x\in \mathbb{R}\)の加法逆元は、\begin{equation*}
x+\left( -x\right) =0
\end{equation*}を満たす実数\(-x\in \mathbb{R}\)として定義されますが、その一方で、\begin{equation*}
\forall x\in \mathbb{R}:\left( -x\right) +x=0
\end{equation*}という命題もまた成立することを実数の公理から証明してください。
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問題(加法に関する結合律)
加法に関する結合律より、3個の実数\(x_{1},x_{2},x_{3}\in \mathbb{R}\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}
\left( x_{1}+x_{2}\right) +x_{3}=x_{1}+\left( x_{2}+x_{3}\right)
\end{equation*}という関係が成り立ちます。つまり、3個の実数\(x_{1},x_{2},x_{3}\)を足し合わせる際に、隣り合うどの2つを先に足しても得られる結果は変わりません。4個の実数\(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}\in \mathbb{R}\)を任意に選んだとき、これらを足し合わせる際には、隣り合うどの2つを先に足し合わせるかその順番によって、生じ得る結果は以下の5通り\begin{eqnarray*}
&&\left( \left( x_{1}+x_{2}\right) +x_{3}\right) +x_{4} \\
&&\left( x_{1}+\left( x_{2}+x_{3}\right) \right) +x_{4} \\
&&x_{1}+\left( \left( x_{2}+x_{3}\right) +x_{4}\right) \\
&&x_{1}+\left( x_{2}+\left( x_{3}+x_{4}\right) \right) \\
&&\left( x_{1}+x_{2}\right) +\left( x_{3}+x_{4}\right)
\end{eqnarray*}存在しますが、これらが一致することを実数の公理から証明してください。
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次回は減法について解説します。

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