公理主義的実数論では実数空間上に加法と呼ばれる二項演算を定義した上で、それが可換群(アーベル群)としての性質を満たすことを公理として定めます。加法に関する性質はいずれもそれらの公理から導かれて初めて正しいものとして認められます。
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加法

すべての実数からなる集合\(\mathbb{R}\)の上には加法(addition)と呼ばれる二項演算が定義されているものとし、これを\(+:\mathbb{R}\times \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\)と表記します。また、加法\(+\)が実数からなる順序対\(\left( x,y\right) \)に対して定める実数を\(x\)と\(y\)の(sum)と呼び、これを\(x+y\)と表記します。\(\left( x,y\right) \)に\(+\)を作用させることを、\(x\)と\(y\)を足す(add)と言います。\(\mathbb{R}\)上に\(+\)が定義されているとき、\(\mathbb{R}\)は\(+\)について閉じている(closed)と言います。

公理主義的実数論においては、加法\(+\)が満たすべき性質を公理として定めます。1つ目の公理は、\begin{equation*}
\left( R_{1}\right) \ \forall x,y,z\in
\mathbb{R}:\left( x+y\right) +z=x+\left( y+z\right)
\end{equation*}というものであり、これを加法に関する結合律(associative law)と呼びます。括弧\(\left( \ \right) \)は加法を適用する順番を表す記号です。つまり、左辺\(\left( x+y\right) +z\)は、はじめに\(x\)と\(y\)を足した上で、得られた結果\(x+y\)と\(z\)をさらに足して得られる結果です。右辺の\(x+\left( y+z\right) \)は、はじめに\(y\)と\(z\)を足した上で、\(x\)と先の結果を足して得られる結果です。結合律はこれらの結果が等しいことを保証します。つまり、3 つの実数\(x,y,z\)に対して加法を適用する際には、隣り合うどの 2 つを先に足しても得られる結果は変わらないということです。

加法\(+\)が満たすべき2つ目の公理は、\begin{equation*}
\left( R_{2}\right) \ \exists 0\in
\mathbb{R},\ \forall x\in
\mathbb{R}:x+0=x
\end{equation*}というものです。これは、任意の実数\(x\)に足してもその結果が\(x\)のままであるような実数\(0\)の存在を保証しています。この実数\(0\)を加法単位元(additive identity element)やゼロ(zero)などと呼びます。

加法\(+\)が満たすべき3つ目の公理は、\begin{equation*}
\left( R_{3}\right) \ \forall x\in
\mathbb{R},\ \exists -x\in
\mathbb{R}:x+\left( -x\right) =0
\end{equation*}というものです。これは、それぞれの実数\(x\)に対して、それに足すと結果が加法単位元\(0\)になるような実数\(-x\)の存在を保証しています。このような実数\(-x\)を\(x\)の加法逆元(additive inverse element)や負数(negative number)などと呼びます。

加法\(+\)が満たすべき4つ目の公理は、\begin{equation*}
\left( R_{4}\right) \ \forall x,y\in
\mathbb{R}:x+y=y+x
\end{equation*}というものであり、これを加法に関する交換律(commutative law)と呼びます。一般に、2 つの実数\(x,y\)に関する順序対\(\left( x,y\right) ,\left( y,x\right) \)は異なるものとして区別されるため、\(\left( x,y\right) \)に\(+\)を適用して得られる\(x+y\)と\(\left( y,x\right) \)に\(+\)を適用して得られる\(y+x\)もまた区別されるべきですが、公理\(\left( D\right) \)はこれらが等しいことを保証します。

加法\(+\)が結合律\(\left( A\right) \)を満たすことは、\(\mathbb{R}\)が加法\(+\)に関して半群(semigroup)であることを意味します。また、\(\left( A\right) \)に加えて加法単位元の存在を保証\(\left( B\right) \)することは、\(\mathbb{R}\)が加法\(+\)に関してモノイド(monoid)であることを意味します。また、\(\left( A\right) \)と\(\left( B\right) \)に加えて加法逆元の存在を保証\(\left( C\right) \)することは、\(\mathbb{R}\)が加法\(+\)に関して(group)であることを意味します。最後に、\(\left( A\right) ,\left( B\right) ,\left( C\right) \)に加えて交換律\(\left( D\right) \)を満たすことは、\(\mathbb{R}\)が加法\(+\)に関して可換群(commutative group)またはアーベル群(abelian group)であることを意味します。

公理(加法に関する公理)
\(\mathbb{R}\)は加法\(+\)に関する可換群である。すなわち、\begin{eqnarray*}
&&\left( R_{1}\right) \ \forall x,y,z\in
\mathbb{R}:\left( x+y\right) +z=x+\left( y+z\right) \\
&&\left( R_{2}\right) \ \exists 0\in
\mathbb{R},\ \forall x\in
\mathbb{R}:x+0=x \\
&&\left( R_{3}\right) \ \forall x\in
\mathbb{R},\ \exists -x\in
\mathbb{R}:x+\left( -x\right) =0 \\
&&\left( R_{4}\right) \ \forall x,y\in
\mathbb{R}:x+y=y+x
\end{eqnarray*}を公理として定める。

 

加法逆元の加法逆元

公理主義のもとで実数について考えるということは、実数の公理だけを議論の前提として認めることを意味します。つまり、実数の集合上に定義された加法に関する命題はいずれも先の公理から導かれてはじめて正しいものとして認められます。そこで、先の公理から導かれる加法に関する基本的な命題をいくつか紹介します。

実数\(x\)を任意に選んだとき、その加法逆元\(-x\)に相当する実数が存在します。\(-x\)は実数であるため、さらにその加法逆元\(-\left( -x\right) \)に相当する実数が存在します。加法逆元の定義より\(x+\left( -x\right) =0\)という関係が成り立ちますが、加法の交換律より\(\left( -x\right) +x=0\)を得ます。つまり、\(-x\)に\(x\)を足すと\(0\)になりますが、これは、\(-x\)の加法逆元\(-\left( -x\right) \)が\(x\)であることを意味します。

命題(加法逆元の加法逆元)
実数\(x\in \mathbb{R}\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}
-\left( -x\right) =x
\end{equation*}が成り立つ。
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加法に関する簡約法則

\(\mathbb{R}\)は加法\(+\)について閉じているため、実数\(x\)に対して実数\(y,z\)をそれぞれ足して得られる\(x+y\)と\(x+z\)はともに実数です。仮にこの 2 つの和が等しければ、\(x\)にそれぞれ足した\(y\)と\(z\)が等しくなります。これを加法に関する簡約法則(cancellation law)と呼びます。これは直感的には自明な主張ですが、公理主義的実数論のもとでは、これもまた加法に関する公理から証明する必要があります。

具体的には、\(x+y=x+z\)を満たす実数\(x,y,z\)をそれぞれ任意に選んだとき、\begin{align*}
y& =y+0\quad \because \text{加法単位元の定義} \\
& =y+\left[ x+\left( -x\right) \right] \quad \because \text{加法逆元の定義} \\
& =\left( y+x\right) +\left( -x\right) \quad \because \text{加法の結合律} \\
& =\left( x+y\right) +\left( -x\right) \quad \because \text{加法の交換律} \\
& =\left( x+z\right) +\left( -x\right) \quad \because x+y=x+z \\
& =\left( z+x\right) +\left( -x\right) \quad \because \text{加法の交換律} \\
& =z+\left[ x+\left( -x\right) \right] \quad \because \text{加法の結合律} \\
& =z+0\quad \because \text{加法逆元の定義} \\
& =z\quad \because \text{加法単位元の定義}
\end{align*}すなわち\(y=z\)が成り立ちます。

命題(加法の簡約法則)
実数\(x,y,z\in \mathbb{R}\)をそれぞれ任意に選んだとき、\begin{equation*}
x+y=x+z\ \Rightarrow \ y=z
\end{equation*}が成り立つ。
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加法単位元の加法逆元

加法に関する簡約法則より、実数\(x,y,z\in \mathbb{R}\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}
x+y=x+z\ \Rightarrow \ y=z
\end{equation*}が成り立ちます。加法単位元\(0\)は実数であるため、上の命題において\(x=z=0\)とすると、\begin{equation*}
0+y=0+0\ \Rightarrow \ y=0
\end{equation*}を得ます。加法単位元の定義より\(0+0=0\)が成り立つため、\begin{equation*}
0+y=0\ \Rightarrow \ y=0
\end{equation*}を得ます。つまり、\(y\)が\(0\)の加法逆元であるならば、\(y\)は\(0\)でなければなりません。

命題(加法単位元の加法逆元)
\(\mathbb{R}\)における加法単位元\(0\)について、\begin{equation*}
-0=0
\end{equation*}が成り立つ。
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加法単位元の一意性

加法に関する簡約法則より、実数\(x,y,z\in \mathbb{R}\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}
x+y=x+z\ \Rightarrow \ y=z
\end{equation*}が成り立ちます。加法単位元\(0\)は実数であるため、上の命題において\(z=0\)とした、\begin{equation*}
x+y=x+0\ \Rightarrow \ y=0
\end{equation*}もまた成り立ちます。加法単位元の定義より\(x+0=x\)であるため、これは、\begin{equation*}
x+y=x\ \Rightarrow \ y=0
\end{equation*}と言い換え可能です。つまり、\(y\)が加法単位元であるとき、これは\(0\)でなければなりません。

命題(加法単位元の一意性)
\(\mathbb{R}\)における加法単位元\(0\)は一意的である。
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加法逆元の一意性

上の命題と同様に、加法の簡約法則より、それぞれの実数\(x\)に対して、その加法逆元\(-x\)が一意的であることを示すことができます。

命題(加法逆元の一意性)
実数\(x\in \mathbb{R}\)を任意に選んだとき、その加法逆元\(-x\)は一意的である。
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上の命題は、任意の実数\(x\)に対してその加法逆元\(-x\)が常に等しくなることを主張しているのではありません。異なる実数\(x,y\)をとれば、それらの加法逆元\(-x,-y\)は一致するとは限りませんが、\(-x\)や\(-y\)はそれぞれ1つの実数であることを上の命題は主張しています。

次回は減法について解説します。

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