実数\(x\)の絶対値を\(\left\vert x\right\vert =\max \left\{ x,-x\right\}\)と定義します。

絶対値

実数\(x\in \mathbb{R}\)の絶対値(absolute value)を、\begin{equation*}
\left\vert x\right\vert =\max \left\{ x,-x\right\}
\end{equation*}と定義します。

定義より、\(x\geq 0\)の場合には\(x\geq -x\)ゆえに\(\left\vert x\right\vert =x \)となり、\(x<0\)の場合には\(x<-x\)ゆえに\(\left\vert x\right\vert =-x\)となります。したがって、\begin{equation*}
\left\vert x\right\vert =\left\{
\begin{array}{ll}
x & \left( if\quad x\geq 0\right) \\
-x & \left( if\quad x<0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}という関係が成り立ちます。

 

絶対値の基本性質

絶対値は以下の性質を満たします。

命題(絶対値の基本性質)
\(\mathbb{R}\)において以下が成り立つ。\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \forall x\in \mathbb{R}:\left\vert x\right\vert \geq 0 \\
&&\left( b\right) \ \forall x\in \mathbb{R}:\left( \left\vert x\right\vert =0\ \Leftrightarrow \ x=0\right) \\
&&\left( c\right) \ \forall x\in \mathbb{R}:\left\vert x\right\vert =\left\vert -x\right\vert \\
&&\left( d\right) \ \forall x\in \mathbb{R}:\pm x\leq \left\vert x\right\vert
\end{eqnarray*}
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絶対値と演算

絶対値どうしの演算に関して以下が成り立ちます。

命題(絶対値と演算)
\(\mathbb{R}\)において以下が成り立つ。\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \forall x\in \mathbb{R}:\left\vert x\right\vert ^{2}=x^{2} \\
&&\left( b\right) \ \forall x,y\in \mathbb{R}:\left\vert x\right\vert \left\vert y\right\vert =\left\vert xy\right\vert
\\
&&\left( c\right) \ \forall x\in \mathbb{R},\ \forall y\in \mathbb{R}\backslash \left\{ 0\right\} :\frac{\left\vert x\right\vert }{\left\vert y\right\vert }=\left\vert \frac{x}{y}\right\vert \\
&&\left( d\right) \ \forall x,y\in \mathbb{R}:\left\vert x+y\right\vert \leq \left\vert x\right\vert +\left\vert y\right\vert \\
&&\left( e\right) \ \forall x,y\in \mathbb{R}:\left\vert x\right\vert -\left\vert y\right\vert \leq \left\vert x-y\right\vert \leq \left\vert x\right\vert +\left\vert y\right\vert
\end{eqnarray*}
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次回は実数の部分集合の上界や下界などについて解説します。
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