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DEFINITION OF REAL NUMBER

絶対値

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絶対値

実数\(x\)を任意に選ぶと、その加法逆元\(-x\)も実数であるため、これらを要素とする\(\mathbb{R} \)の非空な部分集合\(\left\{x,-x\right\} \)をとることができます。この集合\(\left\{x,-x\right\} \)の最大値を\(x\)の絶対値(absolute value)と呼び、\(\left\vert x\right\vert \)で表記します。すなわち、\begin{equation*}\left\vert x\right\vert =\max \left\{ x,-x\right\}
\end{equation*}です。

実数\(x\)を任意に選びます。\(x\geq 0\)が成り立つ場合、これは\(-x\leq 0\)と必要十分であるため、\(\leq \)の推移律より\(-x\leq x\)を得ます。これと絶対値の定義を踏まえると\(\left\vert x\right\vert =x\)を得ます。一方、\(x<0\)が成り立つ場合、これは\(-x>0\)と必要十分であるため、\(<\)の推移律より\(x<-x\)を得ます。これと絶対値の定義を踏まえると\(\left\vert x \right\vert =-x\)を得ます。以上の議論より、実数\(x\in \mathbb{R} \)の絶対値を、\begin{equation*}\left\vert x\right\vert =\left\{
\begin{array}{ll}
x & \left( if\ x\geq 0\right) \\
-x & \left( if\ x<0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}と定義することもできます。

例(絶対値)
絶対値の定義より、\begin{eqnarray*}
\left\vert 3\right\vert &=&\left\vert -3\right\vert =3 \\
\left\vert \frac{2}{3}\right\vert &=&\left\vert -\frac{2}{3}\right\vert =\frac{2}{3} \\
\left\vert 0\right\vert &=&0
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。

例(絶対値)
実数\(x\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\left\vert 2x-3\right\vert =2x-3
\end{equation*}は成り立つとは限りません。実際、\(x=1\)の場合には、\begin{eqnarray*}\left\vert 2x-3\right\vert &=&\left\vert 2\cdot 1-3\right\vert =\left\vert
-1\right\vert =1 \\
2x-3 &=&2\cdot 1-3=-1
\end{eqnarray*}となり、両者は異なります。絶対値の定義より、\(2x-3\geq 0\)すなわち\(x\geq \frac{3}{2}\)の場合には\(\left\vert2x-3\right\vert =2x-3\)であり、\(2x-3<0\)すなわち\(x<\frac{3}{2}\)の場合には\(\left\vert 2x-3\right\vert =-\left( 2x-3\right) \)であるため、\begin{equation*}\left\vert 2x-3\right\vert =\left\{
\begin{array}{cc}
2x-3 & \left( if\ x\geq \frac{3}{2}\right) \\
3-2x & \left( if\ x<\frac{3}{2}\right)\end{array}\right.
\end{equation*}となります。

 

絶対値の非負性

実数\(x\)を任意に選んだとき、\(x\geq 0\)の場合には、\begin{align*}\left\vert x\right\vert & =x\quad \because \text{絶対値の定義} \\
& \geq 0\quad \because x\geq 0
\end{align*}となり、\(x<0\)の場合には、\begin{align*}\left\vert x\right\vert & =-x\quad \because \text{絶対値の定義} \\
& >0\quad \because x<0
\end{align*}となります。したがって、任意の実数の絶対値は非負です。これを絶対値の非負性(non-negativity)と呼びます。

命題(絶対値の非負性)

任意の実数\(x\in \mathbb{R} \)について、\begin{equation*}\left\vert x\right\vert \geq 0
\end{equation*}という関係が成り立つ。

 

絶対値の非退化性

実数\(x\)が加法単位元\(0\)と一致する場合には、\begin{eqnarray*}\left\vert x\right\vert &=&\left\vert 0\right\vert \quad \because x=0 \\
&=&0\quad \because \text{絶対値の定義}
\end{eqnarray*}すなわち、\(\left\vert x\right\vert =0\)が成り立ちます。逆に、\(\left\vert x\right\vert =0\)から\(x=0\)を導くこともできます。したがって、実数\(x\)が\(0\)であることと、その絶対値\(\left\vert x\right\vert \)が\(0\)であることは必要十分です。これを絶対値の非退化性(non-degeneracy)と呼びます。

命題(絶対値の非退化性)
任意の実数\(x\in \mathbb{R} \)について、\begin{equation*}x=0\Leftrightarrow \left\vert x\right\vert =0
\end{equation*}が成り立つ。

証明

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任意の実数\(x,y\in \mathbb{R} \)について、\begin{equation*}x=y\Leftrightarrow \left\vert x-y\right\vert =0
\end{equation*}が成り立つことが非退化性から導かれますが、これを不可識別者同一性(identity of indiscernibles)と呼びます。逆に、不可識別者同一性から非退化性を導くこともできるため両者は必要十分です。

命題(不可識別者同一性)
絶対値の非退化性と不可識別者同一性は必要十分である。すなわち、以下の2つの命題\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \forall x\in \mathbb{R} :\left( x=0\Leftrightarrow \left\vert x\right\vert =0\right) \\
&&\left( b\right) \ \forall x,y\in \mathbb{R} :\left( x=y\Leftrightarrow \left\vert x-y\right\vert =0\right)
\end{eqnarray*}は必要十分である。

証明

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絶対値の偶性

実数\(x\)を任意に選んだとき、\(x\geq 0\)が成り立つ場合、これは\(-x\leq 0\)と必要十分です。すると絶対値の定義より、\begin{eqnarray*}\left\vert x\right\vert &=&x \\
\left\vert -x\right\vert &=&-\left( -x\right) =x
\end{eqnarray*}すなわち、\(\left\vert x\right\vert =\left\vert-x\right\vert \)を得ます。逆に\(x<0\)が成り立つ場合、これは\(-x>0\)と必要十分です。すると絶対値の定義より、\begin{align*}\left\vert x\right\vert & =-x \\
\left\vert -x\right\vert & =-x
\end{align*}すなわち、\(\left\vert x\right\vert =\left\vert-x\right\vert \)を得ます。したがって、実数\(x\)の絶対値とその加法逆元\(-x\)の絶対値は常に一致します。これを絶対値の偶性(evenness)と呼びます。

命題(絶対値の偶性)
任意の実数\(x\in \mathbb{R} \)について、\begin{equation*}\left\vert x\right\vert =\left\vert -x\right\vert
\end{equation*}が成り立つ。

任意の実数\(x,y\in \mathbb{R} \)について、\begin{equation*}\left\vert x-y\right\vert =\left\vert y-x\right\vert
\end{equation*}が成り立つことは偶性から導かれます。逆に、上の命題から偶性を導くこともできるため両者は必要十分です。

命題(差の絶対値)
以下の2つの命題\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \forall x\in \mathbb{R} :\left\vert x\right\vert =\left\vert -x\right\vert \\
&&\left( b\right) \ \forall x,y\in \mathbb{R} :\left\vert x-y\right\vert =\left\vert y-x\right\vert
\end{eqnarray*}は必要十分である。

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絶対値の乗法性

実数\(x,y\)を任意に選んだとき、\(x,y\)の少なくとも一方が\(0\)であるものとします。\(x=0\)としても一般性は失われません。このとき、\begin{eqnarray*}\left\vert x\cdot y\right\vert &=&\left\vert 0\cdot y\right\vert
=\left\vert 0\right\vert =0 \\
\left\vert x\right\vert \cdot \left\vert y\right\vert &=&\left\vert
0\right\vert \cdot \left\vert y\right\vert =0\cdot \left\vert y\right\vert =0
\end{eqnarray*}すなわち、\(\left\vert x\cdot y\right\vert=\left\vert x\right\vert \cdot \left\vert y\right\vert \)を得ます。\(x>0\)かつ\(y>0\)の場合には\(x\cdot y>0\)が成り立つため、\begin{eqnarray*}\left\vert x\cdot y\right\vert &=&x\cdot y \\
\left\vert x\right\vert \cdot \left\vert y\right\vert &=&x\cdot y
\end{eqnarray*}すなわち、\(\left\vert x\cdot y\right\vert=\left\vert x\right\vert \cdot \left\vert y\right\vert \)を得ます。他の場合についても同様です。つまり、実数の積の絶対値は絶対値の積に等しいということです。これを絶対値の乗法性(multiplicativity)と呼びます。

命題(絶対値の乗法性)

任意の実数\(x,y\in \mathbb{R} \)について、\begin{equation*}\left\vert x\cdot y\right\vert =\left\vert x\right\vert \cdot \left\vert
y\right\vert
\end{equation*}が成り立つ。

証明

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任意の2つの実数\(x\in \mathbb{R} \)と\(y\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)について、\begin{equation*}\left\vert \frac{x}{y}\right\vert =\frac{\left\vert x\right\vert }{\left\vert y\right\vert }
\end{equation*}が成り立つことは乗法性から導かれます。逆に、上の命題から乗法性を導くこともできるため両者は必要十分です。

命題(商の絶対値)
以下の2つの命題\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \forall x,y\in \mathbb{R} :\left\vert x\cdot y\right\vert =\left\vert x\right\vert \cdot \left\vert
y\right\vert \\
&&\left( b\right) \ \forall x\in \mathbb{R} ,\ \forall y\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} :\left\vert \frac{x}{y}\right\vert =\frac{\left\vert x\right\vert }{\left\vert y\right\vert }
\end{eqnarray*}は必要十分である。

証明

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劣加法性と三角不等式

正の実数\(\varepsilon >0\)を任意に選んだ上で、それに対して\(\left\vert x\right\vert <\varepsilon \)を満たす実数\(x\)を任意に選びます。\(x\geq 0\)の場合には\(x<\varepsilon \)であり、\(x<0\)の場合には\(-x<\varepsilon \)すなわち\(x>-\varepsilon \)であるため、\begin{equation}-\varepsilon <x<\varepsilon \quad \cdots (1)
\end{equation}を得ます。逆に\(\left( 1\right) \)が成り立つとき、\(x\geq 0\)の場合には、\begin{eqnarray*}\left\vert x\right\vert &=&x\quad \because x\geq 0 \\
&<&\varepsilon
\end{eqnarray*}となり、\(x<0\)の場合には、\begin{eqnarray*}\left\vert x\right\vert &=&-x\quad \because x<0 \\
&<&-\varepsilon \quad \because \left( 1\right) \\
&<&\varepsilon \quad \because \left( 1\right)
\end{eqnarray*}となるため、\(\left\vert x\right\vert<\varepsilon \)であることが示されました。

命題(絶対値と狭義大小関係)
正の実数\(\varepsilon >0\)と実数\(x\in \mathbb{R} \)をそれぞれ任意に選んだとき、\begin{equation*}\left\vert x\right\vert <\varepsilon \Leftrightarrow -\varepsilon
<x<\varepsilon
\end{equation*}が成り立つ。

非負の実数\(\varepsilon \)と実数\(x\)をそれぞれ任意に選びます。このとき、\begin{eqnarray*}\left\vert x\right\vert =\varepsilon &\Leftrightarrow &x=\varepsilon \quad
\because \varepsilon >0 \\
&\Leftrightarrow &-\varepsilon =x=\varepsilon
\end{eqnarray*}が成り立ちます。したがって、上の命題において狭義大小関係\(<\)を大小関係\(\leq \)に置き換えることで得られる命題もまた成立します。

命題(絶対値と大小関係)
非負の実数\(\varepsilon \geq 0\)と実数\(x\in \mathbb{R} \)をそれぞれ任意に選んだとき、\begin{equation*}\left\vert x\right\vert \leq \varepsilon \Leftrightarrow -\varepsilon \leq
x\leq \varepsilon
\end{equation*}が成り立つ。

実数\(x\)を任意に選びます。\(\left\vert x\right\vert \geq 0\)かつ\(\left\vert x\right\vert \leq \left\vert x\right\vert \)が成り立つため、上の命題より、\begin{equation*}-\left\vert x\right\vert \leq x\leq \left\vert x\right\vert
\end{equation*}を得ます。

命題(絶対値と大小関係)
実数\(x\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\begin{equation*}-\left\vert x\right\vert \leq x\leq \left\vert x\right\vert
\end{equation*}が成り立つ。

実数\(x,y\)をそれぞれ任意に選ぶと、上の命題より、\begin{eqnarray*}-\left\vert x\right\vert &\leq &x\leq \left\vert x\right\vert \\
-\left\vert y\right\vert &\leq &y\leq \left\vert y\right\vert
\end{eqnarray*}を得るため、これらの辺々を足して、\begin{equation*}
-\left( \left\vert x\right\vert +\left\vert y\right\vert \right) \leq
x+y\leq \left\vert x\right\vert +\left\vert y\right\vert
\end{equation*}を得ますが、これは、\begin{equation*}
\left\vert x+y\right\vert \leq \left\vert x\right\vert +\left\vert
y\right\vert
\end{equation*}と必要十分です。つまり、和の絶対値は絶対値の和以下です。これを劣加法性(subadditivity)と呼びます。

命題(劣加法性)
任意の実数\(x,y\in \mathbb{R} \)について、\begin{equation*}\left\vert x+y\right\vert \leq \left\vert x\right\vert +\left\vert
y\right\vert
\end{equation*}が成り立つ。

任意の実数\(x,y,z\in \mathbb{R} \)について、\begin{equation*}\left\vert x-z\right\vert \leq \left\vert x-y\right\vert +\left\vert
y-z\right\vert
\end{equation*}が成り立つことが劣加法性から導かれます。これを三角不等式(triangle inequality)と呼びます。逆に、三角不等式から劣加法性を導くこともできるため両者は必要十分です。

命題(三角不等式)
劣加法性と三角不等式は必要十分である。すなわち、以下の2つの命題\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \forall x,y\in \mathbb{R} :\left\vert x+y\right\vert \leq \left\vert x\right\vert +\left\vert
y\right\vert \\
&&\left( b\right) \ \forall x,y,z\in \mathbb{R} :\left\vert x-z\right\vert \leq \left\vert x-y\right\vert +\left\vert
y-z\right\vert
\end{eqnarray*}は必要十分である。

証明

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劣加法性や三角不等式は2つの実数の和や差の絶対値がとり得る値の最大値を与える関係式です。一方、逆向きの三角不等式(reverse triangle inequality)は2つの実数の和や差が取り得る値の最小値を与えます。これは、任意の実数\(x,y,z\in \mathbb{R} \)について、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \left\vert \left\vert x\right\vert -\left\vert
y\right\vert \right\vert \leq \left\vert x-y\right\vert \\
&&\left( b\right) \ \left\vert \left\vert x\right\vert -\left\vert
y\right\vert \right\vert \leq \left\vert x+y\right\vert
\end{eqnarray*}が成り立つという命題です。これは劣加法性から導かれます。

命題(逆向きの三角不等式)
任意の実数\(x,y,z\in \mathbb{R} \)について、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \left\vert \left\vert x\right\vert -\left\vert
y\right\vert \right\vert \leq \left\vert x-y\right\vert \\
&&\left( b\right) \ \left\vert \left\vert x\right\vert -\left\vert
y\right\vert \right\vert \leq \left\vert x+y\right\vert
\end{eqnarray*}がともに成り立つ。

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絶対値と平方・平方根

実数\(x\)に対して、\begin{equation*}x\cdot x
\end{equation*}を\(x\)の平方(square)や2乗(square)などと呼び、これを\(x^{2}\)で表記します。つまり、\begin{equation*}x^{2}=x\cdot x
\end{equation*}です。実数\(x\)の絶対値\(\left\vert x\right\vert \)もまた実数であるため、その平方\(\left\vert x\right\vert ^{2}\)をとることができます。\(x\geq 0\)の場合には、\begin{eqnarray*}\left\vert x\right\vert ^{2} &=&\left\vert x\right\vert \cdot \left\vert
x\right\vert \quad \because \text{平方の定義}
\\
&=&x\cdot x\quad \because x\geq 0 \\
&=&x^{2}
\end{eqnarray*}となり、\(x<0\)の場合には、\begin{eqnarray*}\left\vert x\right\vert ^{2} &=&\left\vert x\right\vert \cdot \left\vert
x\right\vert \quad \because \text{平方の定義}
\\
&=&\left( -x\right) \cdot \left( -x\right) \quad \because x<0 \\
&=&x^{2}
\end{eqnarray*}となります。したがって、\(\left\vert x\right\vert ^{2}=x^{2}\)が常に成り立ちます。

命題(絶対値の平方)
任意の実数\(x\in \mathbb{R} \)について、\begin{equation*}\left\vert x\right\vert ^{2}=x^{2}
\end{equation*}が成り立つ。

実数\(x\)に対して、\(x=y^{2}\)を満たす非負の実数\(y\)を\(x \)の非負の平方根(non-negative square root)と呼び、これを\(\sqrt{x}\)で表記します。つまり、実数\(x\)の非負の平方根\(\sqrt{x}\)は、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ y^{2}=x \\
&&\left( b\right) \ y\geq 0
\end{eqnarray*}をともに満たす実数\(y\)として定義されます。実数\(x\)の平方\(x^{2}\)も実数であるため、その非負の平方根\(\sqrt{x^{2}}\)について考えることができます。絶対値の平方に関する先の命題より\(\left\vert x\right\vert ^{2}=x^{2}\)が成り立ち、絶対値の非負性より\(\left\vert x\right\vert \geq 0\)が成り立ちますが、これは\(\left\vert x\right\vert \)が\(x^{2}\)の非負の平方根であることを意味します。つまり、\begin{equation*}\sqrt{x^{2}}=\left\vert x\right\vert
\end{equation*}が成り立ちます。

命題(実数の平方の正の平方根)
任意の実数\(x\in \mathbb{R} \)について、\begin{equation*}\sqrt{x^{2}}=\left\vert x\right\vert
\end{equation*}が成り立つ。

 

絶対値のベキ等性

実数\(x\)に対して、その絶対値\(\left\vert x\right\vert \)もまた実数であるため、さらにその絶対値\(\left\vert\left\vert x\right\vert \right\vert \)をとることができます。\(x\geq 0\)の場合には、\begin{equation*}\left\vert \left\vert x\right\vert \right\vert =\left\vert x\right\vert
\quad \because x\geq 0
\end{equation*}となり、\(x<0\)の場合には、\begin{eqnarray*}\left\vert \left\vert x\right\vert \right\vert &=&\left\vert -x\right\vert
\quad \because x<0 \\
&=&\left\vert x\right\vert \quad \because \text{偶性}
\end{eqnarray*}を得ます。つまり、\(\left\vert \left\vert x\right\vert \right\vert \)は\(\left\vert x\right\vert \)と常に一致します。これを絶対値のベキ等性(idempotence)と呼びます。

命題(絶対値のベキ等性)
任意の実数\(x\in \mathbb{R} \)について、\begin{equation*}\left\vert \left\vert x\right\vert \right\vert =\left\vert x\right\vert
\end{equation*}が成り立つ。

例(絶対値のベキ等性)
実数\(x\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、絶対値のベキ等性を繰り返し適用することにより、\begin{eqnarray*}\left\vert \left\vert \left\vert x\right\vert \right\vert \right\vert
&=&\left\vert \left\vert x\right\vert \right\vert =\left\vert x\right\vert
\\
\left\vert \left\vert \left\vert \left\vert x\right\vert \right\vert
\right\vert \right\vert &=&\left\vert \left\vert \left\vert x\right\vert
\right\vert \right\vert =\left\vert \left\vert x\right\vert \right\vert
=\left\vert x\right\vert \\
&&\vdots
\end{eqnarray*}などを得ます。

 

演習問題

問題(問題)
実数\(x\in \mathbb{R} \)は、\begin{equation*}\left\vert x+4\right\vert -6<9
\end{equation*}を満たすものとします。\(x\)がとり得る値の範囲を特定してください。
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問題(問題)
実数\(x\in \mathbb{R} \)は、\begin{equation*}\left\vert 5x+6\right\vert +4<1
\end{equation*}を満たすものとします。\(x\)がとり得る値の範囲を特定してください。
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問題(問題)
実数\(x\in \mathbb{R} \)は、\begin{equation*}\left\vert 2x-1\right\vert -7\geq -3
\end{equation*}を満たすものとします。\(x\)がとり得る値の範囲を特定してください。
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問題(問題)
実数\(x\in \mathbb{R} \)は、\begin{equation*}\left\vert 3x-4\right\vert +9>5
\end{equation*}を満たすものとします。\(x\)がとり得る値の範囲を特定してください。
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問題(劣加法性)
絶対値の劣加法性とは、2つの実数\(x,y\in \mathbb{R} \)を任意に選んだときに、\begin{equation*}\left\vert x+y\right\vert \leq \left\vert x\right\vert +\left\vert
y\right\vert
\end{equation*}が成り立つという命題ですが、以上を踏まえた上で、自然数\(n\in \mathbb{N} \)を任意に選んだとき、\(n\)個の任意の実数\(x_{1},\cdots ,x_{n}\in \mathbb{R} \)に対しても同様の主張が成り立つこと、すなわち、\begin{equation*}\left\vert \sum_{i=1}^{n}x_{i}\right\vert \leq \sum_{i=1}^{n}\left\vert
x_{i}\right\vert
\end{equation*}が成り立つことを証明してください。

証明

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次回は2つの実数の間の距離について解説します。

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