絶対値の定義と性質

絶対値

実数\(x\in \mathbb{R} \)を任意に選ぶと、その加法逆元\(-x\in \mathbb{R} \)も実数であるため、これらを要素とする\(\mathbb{R} \)の非空な部分集合\begin{equation*}\left\{ x,-x\right\} \subset \mathbb{R} \end{equation*}をとることができます。この集合\(\left\{ x,-x\right\} \)の最大値を\(x\)の絶対値（absolute value）と呼び、\begin{equation*}\left\vert x\right\vert =\max \left\{ x,-x\right\}
\end{equation*}で表記します。

実数\(x\in \mathbb{R} \)を任意に選びます。\(x\geq 0\)が成り立つ場合、これは\(-x\leq 0\)と必要十分であるため、大小関係\(\leq \)の推移律より、\begin{equation}-x\leq x \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立ちます。したがって、\begin{eqnarray*}
\left\vert x\right\vert &=&\max \left\{ x,-x\right\} \quad \because \text{絶対値の定義} \\
&=&x\quad \because \left( 1\right)
\end{eqnarray*}を得ます。一方、\(x<0\)が成り立つ場合、これは\(-x>0\)と必要十分であるため、狭義大小関係\(<\)の推移律より、\begin{equation}x<-x \quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立ちます。したがって、\begin{eqnarray*}
\left\vert x\right\vert &=&\max \left\{ x,-x\right\} \quad \because \text{絶対値の定義} \\
&=&-x\quad \because \left( 2\right)
\end{eqnarray*}を得ます。以上の議論より、実数\(x\in \mathbb{R} \)の絶対値は、\begin{equation*}\left\vert x\right\vert =\left\{
\begin{array}{ll}
x & \left( if\ x\geq 0\right) \\
-x & \left( if\ x<0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}と定まることが明らかになりました。

絶対値の非負性

実数\(x\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\left\vert x\right\vert \geq 0
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、任意の実数の絶対値は非負です。これを絶対値の非負性（non-negativity）と呼びます。

絶対値の非退化性

任意の実数\(x\in \mathbb{R} \)について、以下の関係\begin{equation*}x=0\Leftrightarrow \left\vert x\right\vert =0
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、実数\(x\)が\(0\)と一致することと、\(x\)の絶対値が\(0\)と一致することは必要十分です。これを絶対値の非退化性（non-degeneracy）と呼びます。

任意の実数\(x,y\in \mathbb{R} \)について、\begin{equation*}x=y\Leftrightarrow \left\vert x-y\right\vert =0
\end{equation*}が成り立つことが非退化性から導かれます。これを絶対値の不可識別者同一性（identity of indiscernibles）と呼びます。逆に、不可識別者同一性から非退化性を導くこともできるため両者は必要十分です。

絶対値の偶性

実数\(x\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\left\vert x\right\vert =\left\vert -x\right\vert
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、実数\(x\)の絶対値は、その加法逆元\(-x\)の絶対値と一致します。これを絶対値の偶性（evenness）と呼びます。

任意の実数\(x,y\in \mathbb{R} \)について、\begin{equation*}\left\vert x-y\right\vert =\left\vert y-x\right\vert
\end{equation*}が成り立つことが偶性から導かれます。逆に、上の命題から偶性を導くこともできるため両者は必要十分です。

絶対値の乗法性

実数\(x,y\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\left\vert x\cdot y\right\vert =\left\vert x\right\vert \cdot \left\vert
y\right\vert
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、実数の積の絶対値（左辺）は絶対値の積（右辺）に等しいということです。これを絶対値の乗法性（multiplicativity）と呼びます。

任意の実数\(x\in \mathbb{R} \)および\(y\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)について、\begin{equation*}\left\vert \frac{x}{y}\right\vert =\frac{\left\vert x\right\vert }{\left\vert y\right\vert }
\end{equation*}が成り立つことが乗法性から導かれます。逆に、上の命題から乗法性を導くこともできるため両者は必要十分です。

劣加法性と三角不等式

正の実数\(\varepsilon >0\)と実数\(x\in \mathbb{R} \)をそれぞれ任意に選んだとき、以下の関係\begin{equation*}\left\vert x\right\vert <\varepsilon \Leftrightarrow -\varepsilon
<x<\varepsilon
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、実数\(x\)の絶対値が\(\varepsilon \)よりも小さいことと、\(x\)が\(-\varepsilon \)より大きく\(\varepsilon \)より小さいことは必要十分です。

上の命題において狭義大小関係\(<\)を大小関係\(\leq \)に置き換えることで得られる命題もまた成立します。

実数\(x\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき\(\left\vert x\right\vert \geq 0\)が成り立ちます。加えて、\begin{equation}\left\vert x\right\vert \leq \left\vert x\right\vert \quad \cdots (1)
\end{equation}が明らかに成り立ちます。そこで、先の命題において\(\varepsilon =\left\vert x\right\vert \geq 0\)とおけば、\(\left( 1\right) \)と必要十分な以下の命題\begin{equation}-\left\vert x\right\vert \leq x\leq \left\vert x\right\vert \quad \cdots (2)
\end{equation}が得られます。\(\left( 1\right) \)は真であるため、それと必要十分な\(\left( 2\right) \)もまた真です。したがって以下を得ます。

実数\(x,y\in \mathbb{R} \)をそれぞれ任意に選ぶと、上の命題より、\begin{eqnarray*}-\left\vert x\right\vert &\leq &x\leq \left\vert x\right\vert \\
-\left\vert y\right\vert &\leq &y\leq \left\vert y\right\vert
\end{eqnarray*}を得るため、これらの辺々を足せば、\begin{equation*}
-\left( \left\vert x\right\vert +\left\vert y\right\vert \right) \leq
x+y\leq \left\vert x\right\vert +\left\vert y\right\vert
\end{equation*}を得ます。さらにこれは、\begin{equation*}
\left\vert x+y\right\vert \leq \left\vert x\right\vert +\left\vert
y\right\vert
\end{equation*}と必要十分です。つまり、和の絶対値は絶対値の和以下です。これを劣加法性（subadditivity）と呼びます。

任意の実数\(x,y,z\in \mathbb{R} \)について、\begin{equation*}\left\vert x-z\right\vert \leq \left\vert x-y\right\vert +\left\vert
y-z\right\vert
\end{equation*}が成り立つことが劣加法性から導かれます。これを三角不等式（triangle inequality）と呼びます。逆に、三角不等式から劣加法性を導くこともできるため両者は必要十分です。

劣加法性や三角不等式は2つの実数の和や差の絶対値がとり得る値の最大値を与える関係式です。一方、逆向きの三角不等式（reverse triangle inequality）は2つの実数の和や差が取り得る値の最小値を与えます。これは、任意の実数\(x,y,z\in \mathbb{R} \)について、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \left\vert \left\vert x\right\vert -\left\vert
y\right\vert \right\vert \leq \left\vert x-y\right\vert \\
&&\left( b\right) \ \left\vert \left\vert x\right\vert -\left\vert
y\right\vert \right\vert \leq \left\vert x+y\right\vert
\end{eqnarray*}が成り立つという命題です。これは劣加法性から導かれます。

絶対値と平方・平方根

実数\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}x\cdot x
\end{equation*}を\(x\)の平方（square）や2乗（square）などと呼び、これを\(x^{2}\)で表記します。つまり、\begin{equation*}x^{2}=x\cdot x
\end{equation*}です。

実数\(x\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、その絶対値\(\left\vert x\right\vert \in \mathbb{R} \)もまた実数であるため、絶対値の平方\begin{equation*}\left\vert x\right\vert ^{2}=\left\vert x\right\vert \cdot \left\vert
x\right\vert
\end{equation*}が定義可能ですが、以下の関係\begin{equation*}
\left\vert x\right\vert ^{2}=x^{2}
\end{equation*}が常に成り立ちます。つまり、実数の平方と、その実数の絶対値の平方は必ず一致します。

実数\(x\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、それに対して、\begin{equation*}x=y^{2}
\end{equation*}を満たす非負の実数\(y\in \mathbb{R} _{+}\)を\(x\)の非負の平方根（non-negative square root）と呼び、これを、\begin{equation*}\sqrt{x}
\end{equation*}で表記します。つまり、実数\(x\)の非負の平方根\(\sqrt{x}\)は、以下の2つの条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ y^{2}=x \\
&&\left( b\right) \ y\geq 0
\end{eqnarray*}をともに満たす実数\(y\)として定義されます。

実数\(x\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、その平方\(x^{2}\in \mathbb{R} \)もまた実数であるため、その非負の平方根\begin{equation*}\sqrt{x^{2}}
\end{equation*}が定義可能ですが、これは\(x\)の絶対値と必ず一致します。つまり、\begin{equation*}\sqrt{x^{2}}=\left\vert x\right\vert
\end{equation*}が成り立つということです。

絶対値のベキ等性

実数\(x\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、その絶対値\(\left\vert x\right\vert \)もまた実数であるため、さらにその絶対値\(\left\vert \left\vert x\right\vert \right\vert \)をとることができますが、以下の関係\begin{equation*}\left\vert \left\vert x\right\vert \right\vert =\left\vert x\right\vert
\end{equation*}が必ず成り立ちます。これを絶対値のベキ等性（idempotence）と呼びます。

演習問題