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絶対値

実数\(x\)を任意に選ぶと、その加法逆元\(-x\)も実数であるため、これらを要素とする\(\mathbb{R}\)の非空な部分集合\(\left\{ x,-x\right\} \)をとることができます。この集合\(\left\{ x,-x\right\} \)の最大値を\(x\)の絶対値(absolute value)と呼び、\(\left\vert x\right\vert \)で表記します。すなわち、\begin{equation*}
\left\vert x\right\vert =\max \left\{ x,-x\right\}
\end{equation*}です。

実数\(x\)を任意に選びます。\(x\geq 0\)が成り立つ場合、これは\(-x\leq 0\)と必要十分であるため、\(\leq \)の推移律より\(-x\leq x\)を得ます。これと絶対値の定義を踏まえると\(\left\vert x\right\vert =x\)を得ます。一方、\(x<0\)が成り立つ場合、これは\(-x>0\)と必要十分であるため、\(<\)の推移律より\(x<-x\)を得ます。これと絶対値の定義を踏まえると\(\left\vert x\right\vert =-x\)を得ます。以上を総合すると、それぞれの実数\(x\in \mathbb{R}\)の絶対値を、\begin{equation*}
\left\vert x\right\vert =\left\{
\begin{array}{ll}
x & \left( if\ x\geq 0\right) \\
-x & \left( if\ x<0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}と定義することもできます。

例(絶対値)
絶対値の定義より、\begin{eqnarray*}
\left\vert 3\right\vert &=&\left\vert -3\right\vert =3 \\
\left\vert \frac{2}{3}\right\vert &=&\left\vert -\frac{2}{3}\right\vert =\frac{2}{3} \\
\left\vert 0\right\vert &=&0
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。
例(絶対値)
実数\(x\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}
\left\vert 2x-3\right\vert =2x-3
\end{equation*}は成り立つとは限りません。実際、\(x=1\)の場合には、\begin{eqnarray*}
\left\vert 2x-3\right\vert &=&\left\vert 2\cdot 1-3\right\vert =\left\vert
-1\right\vert =1 \\
2x-3 &=&2\cdot 1-3=-1
\end{eqnarray*}となり、両者は異なります。絶対値の定義より、\(2x-3\geq 0\)すなわち\(x\geq \frac{3}{2}\)の場合には\(\left\vert 2x-3\right\vert =2x-3\)であり、\(2x-3<0\)すなわち\(x<\frac{3}{2}\)の場合には\(\left\vert 2x-3\right\vert =-\left( 2x-3\right) \)であるため、\begin{equation*}
\left\vert 2x-3\right\vert =\left\{
\begin{array}{cc}
2x-3 & \left( if\ x\geq \frac{3}{2}\right) \\
3-2x & \left( if\ x<\frac{3}{2}\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}となります。

 

実数の非負性

実数\(x\)を任意に選んだとき、\(x\geq 0\)の場合には、\begin{align*}
\left\vert x\right\vert & =x\quad \because \text{絶対値の定義} \\
& \geq 0\quad \because x\geq 0
\end{align*}となり、\(x<0\)の場合には、\begin{align*}
\left\vert x\right\vert & =-x\quad \because \text{絶対値の定義} \\
& >0\quad \because x<0
\end{align*}となります。したがって、任意の実数の絶対値は非負です。これを絶対値の非負性(non-negativity)と呼びます。

命題(絶対値の非負性)
任意の実数\(x\in \mathbb{R}\)について、\begin{equation*}
\left\vert x\right\vert \geq 0
\end{equation*}という関係が成り立つ。
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絶対値の非退化性

実数\(x\)が加法単位元\(0\)と一致する場合には、\begin{eqnarray*}
\left\vert x\right\vert &=&\left\vert 0\right\vert \quad \because x=0 \\
&=&0\quad \because \text{絶対値の定義}
\end{eqnarray*}すなわち、\(\left\vert x\right\vert =0\)が成り立ちます。逆に、\(\left\vert x\right\vert =0\)から\(x=0\)を導くこともできます(演習問題にします)。したがって、実数\(x\)が\(0\)であることと、その絶対値\(\left\vert x\right\vert \)が\(0\)であることは必要十分です。これを絶対値の非退化性(non-degeneracy)と呼びます。

命題(絶対値の非退化性)
任意の実数\(x\in \mathbb{R}\)について、\begin{equation*}
x=0\Leftrightarrow \left\vert x\right\vert =0
\end{equation*}が成り立つ。
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絶対値\(x,y\)を任意に選びます。\(x=y\)が成り立つ場合、\begin{eqnarray*}
\left\vert x-y\right\vert &=&\left\vert x-x\right\vert \quad \because x=y \\
&=&\left\vert 0\right\vert \\
&=&0
\end{eqnarray*}すなわち、\(\left\vert x-y\right\vert =0\)を得ます。逆に、\(\left\vert x-y\right\vert =0\)が成り立つ場合、絶対値の非退化性より\(x-y=0\)を得るため、\(x=y\)が成り立ちます。したがって、実数\(x,y\)が一致することと、差\(x-y\)の絶対値が\(0\)であることは必要十分です。これを不可識別者同一性(identity of indiscernibles)と呼びます。逆に、不可識別者同一性から非退化性を導くこともできるため(演習問題にします)、以下を得ます。

命題(不可識別者同一性)
任意の実数\(x,y\in \mathbb{R}\)について、\begin{equation*}
x=y\Leftrightarrow \left\vert x-y\right\vert =0
\end{equation*}が成り立つことは、非退化性が成り立つための必要十分条件である。
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絶対値の偶性

実数\(x\)を任意に選んだとき、\(x\geq 0\)が成り立つ場合、これは\(-x\leq 0\)と必要十分です。すると絶対値の定義より、\begin{eqnarray*}
\left\vert x\right\vert &=&x \\
\left\vert -x\right\vert &=&-\left( -x\right) =x
\end{eqnarray*}すなわち、\(\left\vert x\right\vert =\left\vert -x\right\vert \)を得ます。逆に\(x<0\)が成り立つ場合、これは\(-x>0\)と必要十分です。すると絶対値の定義より、\begin{align*}
\left\vert x\right\vert & =-x \\
\left\vert -x\right\vert & =-x
\end{align*}すなわち、\(\left\vert x\right\vert =\left\vert -x\right\vert \)を得ます。したがって、実数\(x\)の絶対値とその加法逆元\(-x\)の絶対値は常に一致します。これを絶対値の偶性(evenness)と呼びます。

命題(絶対値の偶性)
任意の実数\(x\in \mathbb{R}\)について、\begin{equation*}
\left\vert x\right\vert =\left\vert -x\right\vert
\end{equation*}が成り立つ。
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実数\(x,y\)を任意に選ぶと、\begin{eqnarray*}
\left\vert x-y\right\vert &=&\left\vert -\left( y-x\right) \right\vert \\
&=&\left\vert y-x\right\vert \quad \because \text{偶性}
\end{eqnarray*}すなわち、\(\left\vert x-y\right\vert =\left\vert y-x\right\vert \)を得ます。逆に、\(\left\vert x-y\right\vert =\left\vert y-x\right\vert \)から偶性を導くこともできるため(演習問題にします)、以下を得ます。

命題(差の絶対値)
任意の実数\(x,y\in \mathbb{R}\)について、\begin{equation*}
\left\vert x-y\right\vert =\left\vert y-x\right\vert
\end{equation*}が成り立つことは、偶性が成り立つための必要十分条件である。
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絶対値の乗法性

実数\(x,y\)を任意に選んだとき、\(x,y\)の少なくとも一方が\(0\)であるものとします。\(x=0\)としても一般性は失われません。このとき、\begin{eqnarray*}
\left\vert x\cdot y\right\vert &=&\left\vert 0\cdot y\right\vert
=\left\vert 0\right\vert =0 \\
\left\vert x\right\vert \cdot \left\vert y\right\vert &=&\left\vert
0\right\vert \cdot \left\vert y\right\vert =0\cdot \left\vert y\right\vert =0
\end{eqnarray*}すなわち、\(\left\vert x\cdot y\right\vert =\left\vert x\right\vert \cdot \left\vert y\right\vert \)を得ます。\(x>0\)かつ\(y>0\)の場合には\(x\cdot y>0\)が成り立つため、\begin{eqnarray*}
\left\vert x\cdot y\right\vert &=&x\cdot y \\
\left\vert x\right\vert \cdot \left\vert y\right\vert &=&x\cdot y
\end{eqnarray*}すなわち、\(\left\vert x\cdot y\right\vert =\left\vert x\right\vert \cdot \left\vert y\right\vert \)を得ます。他の場合についても同様です(演習問題にします)。つまり、実数の積の絶対値は絶対値の積に等しいということです。これを絶対値の乗法性(multiplicativity)と呼びます。

命題(絶対値の乗法性)
任意の実数\(x,y\in \mathbb{R}\)について、\begin{equation*}
\left\vert x\cdot y\right\vert =\left\vert x\right\vert \cdot \left\vert
y\right\vert
\end{equation*}が成り立つ。
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実数\(x,y\)を任意に選びます。ただし\(y\not=0\)です。このとき、\(y>0\)と\(y<0\)のどちらか一方が成り立ちます。\(y>0\)の場合には\(\frac{1}{y}>0\)が成り立つことを踏まえると、\begin{eqnarray*}
\left\vert \frac{1}{y}\right\vert &=&\frac{1}{y} \\
\frac{1}{\left\vert y\right\vert } &=&\frac{1}{y}
\end{eqnarray*}となるため、\begin{equation}
\left\vert \frac{1}{y}\right\vert =\frac{1}{\left\vert y\right\vert }
\tag{1}
\end{equation}を得ます。すると、\begin{eqnarray*}
\left\vert \frac{x}{y}\right\vert &=&\left\vert x\cdot \frac{1}{y}\right\vert \\
&=&\left\vert x\right\vert \cdot \left\vert \frac{1}{y}\right\vert \quad
\because \text{絶対値の乗法性} \\
&=&\left\vert x\right\vert \cdot \frac{1}{\left\vert y\right\vert } \\
&=&\frac{\left\vert x\right\vert }{\left\vert y\right\vert }
\end{eqnarray*}すなわち、\(\left\vert \frac{x}{y}\right\vert =\frac{\left\vert x\right\vert }{\left\vert y\right\vert }\)を得ます。\(y<0\)の場合にも同様の結論が得られます(演習問題)。つまり、実数の商の絶対値は絶対値の商に等しいということです。逆に、商の絶対値に関するこの命題から乗法性を導くこともできるため(演習問題にします)、以下を得ます。

命題(商の絶対値)
任意の2つの実数\(x\in \mathbb{R}\)と\(y\in \mathbb{R}\backslash \left\{ 0\right\} \)について、\begin{equation*}
\left\vert \frac{x}{y}\right\vert =\frac{\left\vert x\right\vert }{\left\vert y\right\vert }
\end{equation*}が成り立つことは、乗法性が成り立つための必要十分条件である。
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劣加法性(三角不等式)

正の実数\(\varepsilon >0\)を任意に選んだ上で、それに対して\(\left\vert x\right\vert <\varepsilon \)を満たす実数\(x\)を任意に選びます。\(x\geq 0\)の場合には\(x<\varepsilon \)であり、\(x<0\)の場合には\(-x<\varepsilon \)すなわち\(x>-\varepsilon \)であるため、\begin{equation}
-\varepsilon <x<\varepsilon \tag{1}
\end{equation}を得ます。逆に\(\left( 1\right) \)が成り立つとき、\(x\geq 0\)の場合には、\begin{eqnarray*}
\left\vert x\right\vert &=&x\quad \because x\geq 0 \\
&<&\varepsilon
\end{eqnarray*}となり、\(x<0\)の場合には、\begin{eqnarray*}
\left\vert x\right\vert &=&-x\quad \because x<0 \\
&<&-\varepsilon \quad \because \left( 1\right) \\
&<&\varepsilon \quad \because \left( 1\right)
\end{eqnarray*}となるため、\(\left\vert x\right\vert <\varepsilon \)であることが示されました。

命題(絶対値と狭義大小関係)
正の実数\(\varepsilon >0\)と実数\(x\in \mathbb{R}\)をそれぞれ任意に選んだとき、\begin{equation*}
\left\vert x\right\vert <\varepsilon \Leftrightarrow -\varepsilon
<x<\varepsilon
\end{equation*}が成り立つ。
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上の命題において狭義大小関係\(<\)を大小関係\(\leq \)に置き換えることで得られる命題もまた成立します(演習問題にします)。

命題(絶対値と大小関係)
非負の実数\(\varepsilon \geq 0\)と実数\(x\in \mathbb{R}\)をそれぞれ任意に選んだとき、\begin{equation*}
\left\vert x\right\vert \leq \varepsilon \Leftrightarrow -\varepsilon \leq
x\leq \varepsilon
\end{equation*}が成り立つ。
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実数\(x\)を任意に選びます。\(\left\vert x\right\vert \geq 0\)かつ\(\left\vert x\right\vert \leq \left\vert x\right\vert \)が成り立つため、上の命題より、\begin{equation*}
-\left\vert x\right\vert \leq x\leq \left\vert x\right\vert
\end{equation*}を得ます。

命題(絶対値と大小関係)
実数\(x\in \mathbb{R}\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}
-\left\vert x\right\vert \leq x\leq \left\vert x\right\vert
\end{equation*}が成り立つ。
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実数\(x,y\)をそれぞれ任意に選ぶと、上の命題より、\begin{eqnarray*}
-\left\vert x\right\vert &\leq &x\leq \left\vert x\right\vert \\
-\left\vert y\right\vert &\leq &y\leq \left\vert y\right\vert
\end{eqnarray*}を得るため、これらの辺々を足して、\begin{equation*}
-\left( \left\vert x\right\vert +\left\vert y\right\vert \right) \leq
x+y\leq \left\vert x\right\vert +\left\vert y\right\vert
\end{equation*}を得ますが、これは、\begin{equation*}
\left\vert x+y\right\vert \leq \left\vert x\right\vert +\left\vert
y\right\vert
\end{equation*}と必要十分です。つまり、和の絶対値は絶対値の和以下です。これを劣加法性(subadditivity)と呼びます。

命題(劣加法性)
任意の実数\(x,y\in \mathbb{R}\)について、\begin{equation*}
\left\vert x+y\right\vert \leq \left\vert x\right\vert +\left\vert
y\right\vert
\end{equation*}が成り立つ。
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実数\(x,y,z\)を任意に選ぶと、\begin{eqnarray*}
\left\vert x-z\right\vert &=&\left\vert x-y+y-z\right\vert \\
&\leq &\left\vert x-y\right\vert +\left\vert y-z\right\vert \quad \because
\text{劣加法性}
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
\left\vert x-z\right\vert \leq \left\vert x-y\right\vert +\left\vert
y-z\right\vert
\end{equation*}を得ます。これを三角不等式(triangle inequality)と呼びます。逆に、三角不等式から劣加法性を導くこともできるため(演習問題にします)、以下を得ます。

命題(三角不等式)
任意の実数\(x,y,z\in \mathbb{R}\)について、\begin{equation*}
\left\vert x-z\right\vert \leq \left\vert x-y\right\vert +\left\vert
y-z\right\vert
\end{equation*}が成り立つことは、劣加法性が成り立つための必要十分条件である。
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実数\(x,y\)を任意に選ぶと、\begin{eqnarray*}
\left\vert x\right\vert &=&\left\vert y+\left( x-y\right) \right\vert \\
&\leq &\left\vert y\right\vert +\left\vert x-y\right\vert \quad \because
\text{劣加法性}
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation}
\left\vert x\right\vert -\left\vert y\right\vert \leq \left\vert
x-y\right\vert \tag{1}
\end{equation}が成り立ちます。同様に、\begin{eqnarray*}
\left\vert y\right\vert &=&\left\vert x+\left( y-x\right) \right\vert \\
&\leq &\left\vert x\right\vert +\left\vert y-x\right\vert \quad \because
\text{劣加法性} \\
&=&\left\vert x\right\vert +\left\vert x-y\right\vert \quad \because \text{偶性}
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation}
-\left\vert x-y\right\vert \leq \left\vert x\right\vert -\left\vert
y\right\vert \tag{2}
\end{equation}を得ます。\(\left( 1\right) ,\left( 2\right) \)より、\begin{equation*}
-\left\vert x-y\right\vert \leq \left\vert x\right\vert -\left\vert
y\right\vert \leq \left\vert x-y\right\vert
\end{equation*}を得ますが、\(\left\vert x-y\right\vert \geq 0\)であることから、絶対値と大小関係に関する先の命題より、\begin{equation*}
\left\vert \left\vert x\right\vert -\left\vert y\right\vert \right\vert \leq
\left\vert x-y\right\vert
\end{equation*}を得ます。これを逆向きの三角不等式(reverse triangle inequality)と呼びます。逆に、逆向きの三角不等式から劣加法性を導くこともできるため(演習問題にします)、以下を得ます。

命題(逆向きの三角不等式)
任意の実数\(x,y\in \mathbb{R}\)について、\begin{equation*}
\left\vert \left\vert x\right\vert -\left\vert y\right\vert \right\vert \leq
\left\vert x-y\right\vert
\end{equation*}が成り立つことは、劣加法性が成り立つための必要十分条件である。
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以上より、劣加法性、三角不等式、逆向きの三角不等式はお互いに必要十分であることが明らかになりました。

 

絶対値と平方・平方根

実数\(x\)に対して、\(x\cdot x\)を\(x\)の平方(square)や2乗(square)などと呼び、これを\(x^{2}\)で表記します。つまり、\begin{equation*}
x^{2}=x\cdot x
\end{equation*}です。実数\(x\)の絶対値\(\left\vert x\right\vert \)もまた実数であるため、その平方\(\left\vert x\right\vert ^{2}\)をとることができます。\(x\geq 0\)の場合には、\begin{eqnarray*}
\left\vert x\right\vert ^{2} &=&\left\vert x\right\vert \cdot \left\vert
x\right\vert \quad \because \text{平方の定義}
\\
&=&x\cdot x\quad \because x\geq 0 \\
&=&x^{2}
\end{eqnarray*}となり、\(x<0\)の場合には、\begin{eqnarray*}
\left\vert x\right\vert ^{2} &=&\left\vert x\right\vert \cdot \left\vert
x\right\vert \quad \because \text{平方の定義}
\\
&=&\left( -x\right) \cdot \left( -x\right) \quad \because x<0 \\
&=&x^{2}
\end{eqnarray*}となります。したがって、\(\left\vert x\right\vert ^{2}=x^{2}\)が常に成り立ちます。

命題(絶対値の平方)
任意の実数\(x\in \mathbb{R}\)について、\begin{equation*}
\left\vert x\right\vert ^{2}=x^{2}
\end{equation*}が成り立つ。
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実数\(x\)に対して、\(x=y^{2}\)を満たす非負の実数\(y\)を\(x\)の非負の平方根(non-negative square root)と呼び、これを\(\sqrt{x}\)で表記します。つまり、実数\(x\)の非負の平方根\(\sqrt{x}\)は、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ y^{2}=x \\
&&\left( b\right) \ y\geq 0
\end{eqnarray*}をともに満たす実数\(y\)として定義されます。実数\(x\)の平方\(x^{2}\)も実数であるため、その非負の平方根\(\sqrt{x^{2}}\)について考えることができます。絶対値の平方に関する先の命題より\(\left\vert x\right\vert ^{2}=x^{2}\)が成り立ち、絶対値の非負性より\(\left\vert x\right\vert \geq 0\)が成り立ちますが、これは\(\left\vert x\right\vert \)が\(x^{2}\)の非負の平方根であることを意味します。つまり、\begin{equation*}
\sqrt{x^{2}}=\left\vert x\right\vert
\end{equation*}が成り立ちます。

命題(実数の平方の正の平方根)
任意の実数\(x\in \mathbb{R}\)について、\begin{equation*}
\sqrt{x^{2}}=\left\vert x\right\vert
\end{equation*}が成り立つ。
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絶対値のベキ等性

実数\(x\)に対して、その絶対値\(\left\vert x\right\vert \)もまた実数であるため、さらにその絶対値\(\left\vert \left\vert x\right\vert \right\vert \)をとることができます。\(x\geq 0\)の場合には、\begin{equation*}
\left\vert \left\vert x\right\vert \right\vert =\left\vert x\right\vert
\quad \because x\geq 0
\end{equation*}となり、\(x<0\)の場合には、\begin{eqnarray*}
\left\vert \left\vert x\right\vert \right\vert &=&\left\vert -x\right\vert
\quad \because x<0 \\
&=&\left\vert x\right\vert \quad \because \text{偶性}
\end{eqnarray*}を得ます。つまり、\(\left\vert \left\vert x\right\vert \right\vert \)は\(\left\vert x\right\vert \)と常に一致します。これを絶対値のベキ等性(idempotence)と呼びます。

命題(絶対値のベキ等性)
任意の実数\(x\in \mathbb{R}\)について、\begin{equation*}
\left\vert \left\vert x\right\vert \right\vert =\left\vert x\right\vert
\end{equation*}が成り立つ。
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例(絶対値のベキ等性)
実数\(x\in \mathbb{R}\)を任意に選んだとき、絶対値のベキ等性を繰り返し適用することにより、\begin{eqnarray*}
\left\vert \left\vert \left\vert x\right\vert \right\vert \right\vert
&=&\left\vert \left\vert x\right\vert \right\vert =\left\vert x\right\vert
\\
\left\vert \left\vert \left\vert \left\vert x\right\vert \right\vert
\right\vert \right\vert &=&\left\vert \left\vert \left\vert x\right\vert
\right\vert \right\vert =\left\vert \left\vert x\right\vert \right\vert
=\left\vert x\right\vert \\
&&\vdots
\end{eqnarray*}などを得ます。

次回は2つの実数の間の距離について解説します。

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