確認テストI（実数の定義）

以下の問いに答えてください。

1. 以下の集合\begin{equation*}A=(0,1]\cup \lbrack 4,+\infty )
   \end{equation*}について、その最大値、最小値、上限、下限がそれぞれ存在するか判定してください。また、存在する場合には具体的に特定してください。ただし、厳密に証明する必要はありません（10点）。
2. 以下の集合\begin{equation*}B=\left\{ \frac{1}{2n}\in \mathbb{R} \ |\ n\in \mathbb{N} \right\}
   \end{equation*}について、その最大値、最小値、上限、下限がそれぞれ存在するか判定してください。また、存在する場合には具体的に特定してください。ただし、厳密に証明する必要はありません（10点）。

2つの非空集合\(A,B\subset \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}A+B=\left\{ a+b\in \mathbb{R} \ |\ a\in A\wedge b\in B\right\}
\end{equation*}と定義します。\(A,B\)はともに上に有界であるものとします。以下の問いに答えてください。

1. \(\sup A+\sup B\)が\(A+B\)の上界であることを証明してください（10点）。
2. \(\sup A+\sup B\)が\(A+B\)の上限であること、すなわち、\begin{equation*}\sup \left( A+B\right) =\sup A+\sup B\end{equation*}が成り立つことを証明してください（10点）。

以下の問いに答えてください。

1. 有理数集合\(\mathbb{Q} \)が実数集合\(\mathbb{R} \)上において稠密であることの定義を述べてください（5点）。
2. 実数\(x\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\(x\)は有理数を項として持つ何らかの数列の極限として表せることを証明してください（15点）。

以下の問いに答えてください。

1. 非空の集合\(A\subset \mathbb{R} \)が有界であることの定義を述べてください（5点）。
2. 以下の集合\begin{equation*}\left\{ \frac{1}{x^{2}-3}\in \mathbb{R} \ |\ x\in \mathbb{Q} \right\}
   \end{equation*}は有界でしょうか。自身の立場を明らかにした上で、主張の正しさを証明してください（15点）。

数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)が以下の形で再帰的に定義されているものとします。\begin{equation*}\left\{
\begin{array}{c}
x_{1}=1 \\
x_{2}=1 \\
x_{n}=x_{n-1}+x_{n-2}\end{array}\right.
\end{equation*}このような数列をフィボナッチ数列（Fibonacci numbers）と呼びます。フィボナッチ数列\(\left\{x_{n}\right\} \)について、\(n\)が\(3\)の倍数である場合には\(x_{n}\)は偶数であることを数学的帰納法を用いて証明してください。