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MULTIVARIABLE FUNCTION

多変数関数(スカラー場)

OVERVIEW

本節で学ぶ内容

ユークリッド空間もしくはその部分集合を定義域とし、値として実数をとるような写像をスカラー場と呼びます。多くの場合、スカラー場は多変数関数とも呼ばれます。

本節ではスカラー場が有限な実数へ収束することの意味や、スカラー場が連続であることの意味を解説します。本節を読み進める前に、数列や関数、およびユークリッド空間や点列に関する知識が必要です。また、本節で得られる知識は後にスカラー場の微分(全微分・方向微分・偏微分)について学ぶ上での前提知識となります。
TABLE OF CONTENTS

目次

SECTION 1

多変数関数(スカラー場)

多変数関数(スカラー場)の概念を定義します。

多変数関数の定義

ユークリッド空間もしくはその部分集合を定義域とし、値として実数をとるような写像を多変数関数やスカラー場などと呼びます。

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多変数関数による像と値域

多変数関数(スカラー場)による点の像、集合の像、値域などの概念を定義します。また、多変数関数のグラフと平面が交わる領域を特定する方法を解説します。

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多変数関数による逆像と定義域

多変数関数(スカラー場)による点の逆像(等位集合)、集合の逆像、定義域などの概念を定義します。また、多変数関数のグラフと平面が交わる領域を特定する方法を解説します。

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SECTION 2

多変数の多項式関数

多項式関数と呼ばれる基本的なスカラー場について解説します。

ノルム関数

入力したベクトルに対して、そのノルムに相当する実数を出力する関数をノルム関数と呼びます。

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SECTION 3

多変数関数の極限

多変数関数が収束することの意味を定義するとともに、収束するか判定する方法を解説します。

SECTION 4

多変数関数の極限の性質

多変数関数の極限が満たす基本的な性質について解説します。

収束する多変数関数と順序

定義域を共有する2つの多変数の収束関数について、一方の関数が定める値が他方の関数が定める値以上であるとき、両者の極限についても同様の大小関係が成り立ちます。また、多変数関数に関するはさみうち定理についても解説します。

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SECTION 5

多変数関数の連続性

多変数が連続であることの意味を定義するとともに、連続であるか判定する方法を解説します。

多変数関数の連続性

多変数関数の変数が定義域上のある点に限りなく近づくにつれて関数の値が有限な極限へ収束するとともに、その点における関数の値が先の極限と一致する場合、関数はその点において連続であると言います。

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SECTION 6

連続な多変数関数の性質

連続な多変数関数が満たす基本的な性質について解説します。

RELATED KNOWLEDGE

関連知識

REQUIRED KNOWLEDGE

必須知識

以下の分野の知識があると本節の内容を円滑に学習できます。

数列

数列に関するテキストと演習問題です。数列という概念を定義した上で、さらに収束列、単調数列、区間列、部分列などについて学び、これらの概念を使って実数の連続性を表現できることを確認します。

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1変数関数

関数に関するテキストと演習問題です。実数の点集合上に定義され実数を値としてとる関数について、収束の概念や連続性の概念を中心に解説します。

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ユークリッド空間の定義

n 次元空間上にベクトル加法やスカラー乗法などの演算や大小関係を定義すると、実順序ベクトル空間になります。実順序ベクトル空間上にユークリッド距離と呼ばれる概念を定義したものがユークリッド空間です。

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ユークリッド空間上の点列

ユークリッド空間上の無限個の点を順番に並べたものを点列と呼びます。点列は実数列を一般化した概念です。ここでは点列が収束することの意味を定義した上で、収束点列の性質について解説します。

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ユークリッド位相

ユークリッド距離をもとにユークリッド空間上の開集合と呼ばれる概念を定義した上で、その性質や、関連する概念などについて解説します。

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ベクトル値関数(曲線)

実数空間もしくはその部分集合を定義とし、ユークリッド空間を終集合とする写像を曲線やベクトル値関数などと呼びます。ここでは曲線の収束や連続性などについて解説します。

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ADVANCED KNOWLEDGE

発展知識

本節で得た知識は以下の分野を学ぶ上での土台になります。

多変数関数の微分

スカラー場(多変数関数)について、その微分(偏微分・方向微分・全微分)を定義した上で、微分に関して成り立つ様々な性質を解説します。

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