多変数関数(スカラー場)

多変数関数(スカラー場)という概念を定義するとともに、多変数関数が有限な実数へ収束すること、および連続であることの意味を定義した上で、連続な多変数関数の性質について解説します。

学習内容

多変数関数(スカラー場)

多変数関数(スカラー場)の概念を定義します。

多変数関数の定義

ユークリッド空間もしくはその部分集合を定義域とし、値として実数をとるような写像を多変数関数やスカラー場などと呼びます。

多変数関数のグラフ

多変数関数fが与えられたとき、y=f(x) を満たすベクトル(x,y)からなる集合をfのグラフと呼びます。

多変数関数による像と多変数関数の値域

多変数関数(スカラー場)による点の像、集合の像、値域などの概念を定義します。また、多変数関数のグラフと平面が交わる領域を特定する方法を解説します。

多変数関数による逆像と多変数関数の定義域

多変数関数(スカラー場)による点の逆像(等位集合)、集合の逆像、定義域などの概念を定義します。また、多変数関数のグラフと平面が交わる領域を特定する方法を解説します。

多変数関数と1変数関数の合成関数

多変数関数の値域が1変数関数の定義域の部分集合である場合、これらの合成関数が定義可能です。

ベクトル値関数と多変数関数の合成関数

ベクトル値関数の値域が多変数関数の定義域の部分集合である場合、これらの合成関数が定義可能です。

多変数の多項式関数

多変数の多項式関数について解説します。

多変数関数の極限

多変数関数が収束することの意味を定義するとともに、収束するか判定する方法を解説します。

多変数関数の極限の性質

多変数関数の極限が満たす基本的な性質について解説します。

多変数関数と1変数関数の合成関数の極限

多変数関数と1変数関数の合成関数が有限な実数へ収束するための条件およびその極限を求める方法を解説します。

ベクトル値関数と多変数関数の合成関数の極限

ベクトル値関数と多変数関数の合成関数が有限な実数へ収束するための条件およびその極限を求める方法を解説します。

多変数の定数関数の極限

多変数の定数関数は有限な実数へ収束します。

多変数の座標関数の極限

多変数の座標関数は有限な実数へ収束します。

多変数関数の定数倍の極限

収束する多変数関数の定数倍として定義される多変数関数もまた収束し、その極限はもとの関数の極限の定数倍と一致します。

多変数関数の和の極限

収束する2つの多変数関数の和として定義される多変数関数もまた収束し、その極限はもとの2つの関数の極限の和と一致します。

多変数関数の差の極限

収束する2つの多変数関数の差として定義される多変数関数もまた収束し、その極限はもとの2つの関数の極限の差と一致します。

多変数関数の積の極限

収束する2つの多変数関数の積として定義される多変数関数もまた収束し、その極限はもとの2つの関数の極限の積と一致します。

多変数の多項式関数の極限

多変数の多項式関数は有限な実数へ収束することを示すとともに、その極限を求める方法について解説します。

ノルム関数の極限

ノルム関数は有限な実数へ収束することを示すとともに、その極限を求める方法について解説します。

収束する多変数関数と順序

定義域を共有する2つの多変数の収束関数について、一方の関数が定める値が他方の関数が定める値以上であるとき、両者の極限についても同様の大小関係が成り立ちます。また、多変数関数に関するはさみうち定理についても解説します。

多変数関数の連続性

多変数関数が連続であることの意味を定義するとともに、連続であるか判定する方法を解説します。

連続な多変数関数の性質

連続な多変数関数が満たす基本的な性質について解説します。

多変数関数の連続性と1変数関数の連続性の関係

多変数関数が連続である場合、多変数関数を1変数関数とみなすことで得られる任意の関数もまた連続になりますが、その逆は成り立つとは限りません。

多変数関数と1変数関数の合成関数の連続性

多変数関数と1変数関数の合成関数が連続であるための条件について解説します。

ベクトル値関数と多変数関数の合成関数の連続性

ベクトル値関数と多変数関数の合成関数が連続であるための条件について解説します。

多変数の定数関数の連続性

多変数の定数関数は連続です。

多変数の座標関数の連続性

多変数の座標関数は連続です。

多変数関数の定数倍の連続性

連続な多変数関数の定数倍として定義される多変数関数もまた連続です。

多変数関数の和の連続性

連続な多変数関数どうしの和として定義される多変数関数もまた連続です。

多変数関数の差の連続性

連続な多変数関数どうしの差として定義される多変数関数もまた連続です。

多変数関数の積の連続性

連続な多変数関数どうしの積として定義される多変数関数もまた連続です。

多変数の多項式関数の連続性

多変数の多項式関数は連続関数です。

ノルム関数の連続性

ノルム関数は連続関数です。

連続な多変数関数によるコンパクト集合の像と逆像

連続な多変数関数によるコンパクト集合の像はコンパクト集合になることが保証されます。また、連続な多変数関数の定義域がコンパクト集合である場合には、コンパクト集合の逆像がコンパクト集合になることが保証されます。

多変数関数に関する最大値・最小値の定理(極値定理)

コンパクト集合(有界な閉集合)上に定義された連続な多変数関数は定義域上において最大値や最小値をとることが保証されます。これを最大値・最小値の定理と呼びます。

連続な多変数関数による連結集合の像と逆像

連続な多変数関数による連結集合の像は連結集合になることが保証されます。また、連続な多変数関数の逆写像が連続である場合には、連結集合の逆像が連結集合になります。

連続な多変数関数による弧状連結集合の像と逆像

連続な多変数関数による弧状連結集合の像は連結集合になることが保証されます。また、連続な多変数関数の逆写像が連続である場合には、弧状連結集合の逆像が弧状連結集合になります。

多変数関数に関する中間値の定理(方程式の解の存在判定)

連結集合上に定義された連続な多変数関数に関しては、中間値の定理に相当する命題が成り立ちます。この命題は、連続な多変数関数による連結集合の像が連結であることと必要十分です。

多変数関数の一様連続性

多変数関数が一様連続であることの意味を定義するとともに、一様連続であるか判定する方法を解説します。

確認テスト

多変数関数に関する確認テストです。

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