OVERVIEW
本節で学ぶ内容
ユークリッド空間もしくはその部分集合を定義域とし、値として実数をとるような写像をスカラー場と呼びます。多くの場合、スカラー場は多変数関数とも呼ばれます。
本節ではスカラー場が有限な実数へ収束することの意味や、スカラー場が連続であることの意味を解説します。本節を読み進める前に、数列や関数、およびユークリッド空間や点列に関する知識が必要です。また、本節で得られる知識は後にスカラー場の微分（全微分・方向微分・偏微分）について学ぶ上での前提知識となります。
TABLE OF CONTENTS
目次
SECTION 1
多変数関数（スカラー場）
多変数関数（スカラー場）の概念を定義します。
多変数関数による逆像と定義域
多変数関数（スカラー場）による点の逆像（等位集合）、集合の逆像、定義域などの概念を定義します。また、多変数関数のグラフと平面が交わる領域を特定する方法を解説します。
SECTION 2
多変数の多項式関数
多項式関数と呼ばれる基本的なスカラー場について解説します。
SECTION 3
多変数関数の極限
多変数関数が収束することの意味を定義するとともに、収束するか判定する方法を解説します。
多変数関数のための片側極限の拡張
多変数関数がある点の周辺の任意の点において定義されていない場合でも、変数がその点に限りなく近づく経路が存在する場合には、多変数関数の極限を定義することができます。
SECTION 4
多変数関数の極限の性質
多変数関数の極限が満たす基本的な性質について解説します。
収束する多変数関数と順序
定義域を共有する2つの多変数の収束関数について、一方の関数が定める値が他方の関数が定める値以上であるとき、両者の極限についても同様の大小関係が成り立ちます。また、多変数関数に関するはさみうち定理についても解説します。
SECTION 5
多変数関数の連続性
多変数が連続であることの意味を定義するとともに、連続であるか判定する方法を解説します。
多変数関数の連続性
多変数関数の変数が定義域上のある点に限りなく近づくにつれて関数の値が有限な極限へ収束するとともに、その点における関数の値が先の極限と一致する場合、関数はその点において連続であると言います。
SECTION 6
連続な多変数関数の性質
連続な多変数関数が満たす基本的な性質について解説します。
多変数関数の連続性と1変数関数の連続性の関係
多変数関数が連続である場合、多変数関数を1変数関数とみなすことで得られる任意の関数もまた連続になりますが、その逆は成り立つとは限りません。
多変数関数に関する最大値・最小値の定理
コンパクト集合（有界な閉集合）上に定義された連続な多変数関数は定義域上において最大値や最小値をとることが保証されます。これを最大値・最小値の定理と呼びます。
RELATED KNOWLEDGE
関連知識
REQUIRED KNOWLEDGE
必須知識
以下の分野の知識があると本節の内容を円滑に学習できます。
数列
数列に関するテキストと演習問題です。数列という概念を定義した上で、さらに収束列、単調数列、区間列、部分列などについて学び、これらの概念を使って実数の連続性を表現できることを確認します。
ユークリッド空間の定義
n 次元空間上にベクトル加法やスカラー乗法などの演算や大小関係を定義すると、実順序ベクトル空間になります。実順序ベクトル空間上にユークリッド距離と呼ばれる概念を定義したものがユークリッド空間です。
ユークリッド空間上の点列
ユークリッド空間上の無限個の点を順番に並べたものを点列と呼びます。点列は実数列を一般化した概念です。ここでは点列が収束することの意味を定義した上で、収束点列の性質について解説します。
ベクトル値関数（曲線）
実数空間もしくはその部分集合を定義とし、ユークリッド空間を終集合とする写像を曲線やベクトル値関数などと呼びます。ここでは曲線の収束や連続性などについて解説します。
ADVANCED KNOWLEDGE
発展知識
本節で得た知識は以下の分野を学ぶ上での土台になります。
