多変数関数の定義
ユークリッド空間もしくはその部分集合を定義域とし、値として実数をとるような写像を多変数関数やスカラー場などと呼びます。
TABLE OF CONTENTS
目次
SCALAR FIELD
多変数関数（スカラー場）
多変数関数（スカラー場）の概念を定義します。
多変数関数のグラフ
多変数関数fが与えられたとき、y=f(x) を満たすベクトル(x,y)からなる集合をfのグラフと呼びます。
多変数関数による像と値域
多変数関数（スカラー場）による点の像、集合の像、値域などの概念を定義します。また、多変数関数のグラフと平面が交わる領域を特定する方法を解説します。
多変数関数による逆像と定義域
多変数関数（スカラー場）による点の逆像（等位集合）、集合の逆像、定義域などの概念を定義します。また、多変数関数のグラフと平面が交わる領域を特定する方法を解説します。
多変数関数と1変数関数の合成関数
多変数関数の値域が1変数関数の定義域の部分集合である場合、これらの合成関数が定義可能です。
ベクトル値関数と多変数関数の合成関数
ベクトル値関数の値域が多変数関数の定義域の部分集合である場合、これらの合成関数が定義可能です。
MULTIVARIABLE POLYNOMIAL
多変数の多項式関数
多変数の多項式関数について解説します。
多変数の定数関数
入力する点とは関係なく常に同じ実数を値として返す多変数関数を定数関数と呼びます。
多変数の座標関数
入力したベクトルに対して、その特定の成分の値を返す多変数関数を座標関数と呼びます。
多変数の多項式関数
多変数の多項式関数を定義するとともに、その基本的な性質について解説します。
多変数の有理関数（分数関数）
多変数関数が有理関数であることとは、それが多変数の多項式関数の商として表される関数であることを意味します。
ノルム関数
入力したベクトルに対して、そのノルムに相当する実数を出力する関数をノルム関数と呼びます。
LIMIT OF SCALAR FIELD
多変数関数の極限
多変数関数が収束することの意味を定義するとともに、収束するか判定する方法を解説します。
多変数関数の極限（収束する多変数関数）
多変数関数の変数がある点に限りなく近づくにつれて関数が定める値が有限な実数に限りなく近づく場合、その関数は収束すると言います。
点列を用いた多変数関数の収束判定
多変数関数が有限な実数へ収束することを示す際にイプシロン・デルタ論法を用いるのではなく、点列を用いて判定する方法について解説します。
極座標を用いた多変数関数の収束判定
多変数関数が有限な実数へ収束すること、しないことを示すために極座標を利用する方法について解説します。
多変数関数のための片側極限の拡張
多変数関数がある点の周辺の任意の点において定義されていない場合でも、変数がその点に限りなく近づく経路が存在する場合には、多変数関数の極限を定義することができます。
PROPERTIES OF LIMIT OF SCALAR FIELD
多変数関数の極限の性質
多変数関数の極限が満たす基本的な性質について解説します。
多変数関数と1変数関数の合成関数の極限
多変数関数と1変数関数の合成関数が有限な実数へ収束するための条件およびその極限を求める方法を解説します。
ベクトル値関数と多変数関数の合成関数の極限
ベクトル値関数と多変数関数の合成関数が有限な実数へ収束するための条件およびその極限を求める方法を解説します。
多変数の定数関数の極限
多変数の定数関数は有限な実数へ収束します。
多変数の座標関数の極限
多変数の座標関数は有限な実数へ収束します。
多変数関数の定数倍の極限
収束する多変数関数の定数倍として定義される多変数関数もまた収束し、その極限はもとの関数の極限の定数倍と一致します。
多変数関数の和の極限
収束する2つの多変数関数の和として定義される多変数関数もまた収束し、その極限はもとの2つの関数の極限の和と一致します。
多変数関数の差の極限
収束する2つの多変数関数の差として定義される多変数関数もまた収束し、その極限はもとの2つの関数の極限の差と一致します。
多変数関数の積の極限
収束する2つの多変数関数の積として定義される多変数関数もまた収束し、その極限はもとの2つの関数の極限の積と一致します。
多変数の多項式関数の極限
多変数の多項式関数は有限な実数へ収束することを示すとともに、その極限を求める方法について解説します。
ノルム関数の極限
ノルム関数は有限な実数へ収束することを示すとともに、その極限を求める方法について解説します。
収束する多変数関数と順序
定義域を共有する2つの多変数の収束関数について、一方の関数が定める値が他方の関数が定める値以上であるとき、両者の極限についても同様の大小関係が成り立ちます。また、多変数関数に関するはさみうち定理についても解説します。
CONTINUITY OF SCALAR FIELD
多変数関数の連続性
多変数関数が連続であることの意味を定義するとともに、連続であるか判定する方法を解説します。
多変数関数の連続性
多変数関数の変数が定義域上のある点に限りなく近づくにつれて関数の値が有限な極限へ収束するとともに、その点における関数の値が先の極限と一致する場合、関数はその点において連続であると言います。
イプシロン・デルタ論法を用いた多変数関数の連続性の判定
多変数関数が連続であることを定義する際に、関数の極限の概念を経由せず、イプシロン・デルタ論法を用いることもできます。
点列を用いた多変数関数の連続性の判定
多変数関数が定義域上の点において連続であること、連続ではないことを点列を用いて判定する方法を解説します。
PROPERTIES OF CONTINUOUS SCALAR FIELD
連続な多変数関数の性質
連続な多変数関数が満たす基本的な性質について解説します。
多変数関数の連続性と1変数関数の連続性の関係
多変数関数が連続である場合、多変数関数を1変数関数とみなすことで得られる任意の関数もまた連続になりますが、その逆は成り立つとは限りません。
多変数関数と1変数関数の合成関数の連続性
多変数関数と1変数関数の合成関数が連続であるための条件について解説します。
ベクトル値関数と多変数関数の合成関数の連続性
ベクトル値関数と多変数関数の合成関数が連続であるための条件について解説します。
多変数の定数関数の連続性
多変数の定数関数は連続です。
多変数の座標関数の連続性
多変数の座標関数は連続です。
多変数関数の定数倍の連続性
連続な多変数関数の定数倍として定義される多変数関数もまた連続です。
多変数関数の和の連続性
連続な多変数関数どうしの和として定義される多変数関数もまた連続です。
多変数関数の差の連続性
連続な多変数関数どうしの差として定義される多変数関数もまた連続です。
多変数関数の積の連続性
連続な多変数関数どうしの積として定義される多変数関数もまた連続です。
多変数の多項式関数の連続性
多変数の多項式関数は連続関数です。
ノルム関数の連続性
ノルム関数は連続関数です。
多変数関数に関する最大値・最小値の定理
コンパクト集合（有界な閉集合）上に定義された連続な多変数関数は定義域上において最大値や最小値をとることが保証されます。これを最大値・最小値の定理と呼びます。
UNIFORMLY CONTINUOUS SCALAR FIELD
多変数関数の一様連続性
多変数関数が一様連続であることの意味を定義するとともに、一様連続であるか判定する方法を解説します。
多変数関数の一様連続性
多変数関数が一様連続であることの意味を定義するとともに、多変数関数が一様連続であること、ないし一様連続ではないことを判定する方法について解説します。
点列を用いた多変数関数の一様連続性の判定
多変数関数が一様連続であること、ないし一様連続ではないことを点列を用いて判定する方法を解説します。
多変数のリプシッツ関数と一様連続関数の関係
多変数関数がリプシッツ関数であることの意味を定義します。リプシッツ関数は一様連続ですが、一様連続関数はリプシッツ関数であるとは限りません。
多変数関数の連続性と一様連続性の関係
一様連続な多変数関数は連続である一方、連続関数は一様連続であるとは限りません。ただ、連続関数の定義域がコンパクト集合である場合、その関数が一様連続であることが保証されます。
RELATED KNOWLEDGE
関連知識
REQUIRED KNOWLEDGE
前提知識
以下の分野の知識があると本節の内容を円滑に学習できます。
数列
実数を順番に並べたものを数列や実数列と呼びます。数列の項が先に進むにつれてある実数に限りなく近づく場合には、その数列は収束すると言い、その実数を数列の極限と呼びます。
1変数関数
関数に関するテキストと演習問題です。実数の点集合上に定義され実数を値としてとる関数について、収束の概念や連続性の概念を中心に解説します。
ユークリッド空間の定義
n 次元空間上にベクトル加法やスカラー乗法などの演算や大小関係を定義すると、実順序ベクトル空間になります。実順序ベクトル空間上にユークリッド距離と呼ばれる概念を定義したものがユークリッド空間です。
ユークリッド空間上の点列
ユークリッド空間上の無限個の点を順番に並べたものを点列と呼びます。点列は実数列を一般化した概念です。ここでは点列が収束することの意味を定義した上で、収束点列の性質について解説します。
ユークリッド位相
ユークリッド距離をもとにユークリッド空間上の開集合と呼ばれる概念を定義した上で、その性質や、関連する概念などについて解説します。
ベクトル値関数（曲線）
実数空間もしくはその部分集合を定義とし、ユークリッド空間を終集合とする写像を曲線やベクトル値関数などと呼びます。ここでは曲線の収束や連続性などについて解説します。
ADVANCED KNOWLEDGE
発展知識
本節で得た知識は以下の分野を学ぶ上での基礎になります。
多変数関数の微分
多変数関数（スカラー場）について、偏微分、方向微分、全微分などの様々な微分概念を定義するとともに、これらの微分概念の性質について解説します。
