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極座標を用いたスカラー場の収束判定

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極座標を用いたスカラー場の収束判定

スカラー場\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が点\(a\in \mathbb{R} ^{n}\)の周辺にある任意の点において定義されているとき、変数\(x\)が点\(a\)とは異なる\(X\)上の点をとりながら\(a\)に限りなく近づくにつれて\(f\left( x\right) \)の値がある有限な実数\(b\in \mathbb{R} \)へ近づく場合、\(x\)が\(a\)に限りなく近づくときに\(f\)は\(b\)へ収束すると言い、このことを、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =b
\end{equation*}と表記しました。\(n=2\)の場合、スカラー場\(f\)の変数\(x\)は平面上を移動するため、\(x\)が\(a\)とは異なる値をとりながら\(a\)に限りなく近づいていく際の経路のパターンは無数に存在します。\(n\geq 2\)の場合にも同様です。いずれにせよ、\(x\)がどのような経路で\(a\)へ限りなく近づいていく場合においても、それに応じて\(f\left( x\right) \)が必ず\(b\)に限りなく近づくのであれば、そのことを、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow \alpha }f\left( x\right) =b
\end{equation*}と表記するということです。繰り返しになりますが、一般のスカラー場では変数\(x\)が点\(a\)に近づいていく際の経路のパターンは無数に存在するため、\(x\rightarrow a\)のときに\(f\)が有限な実数へ収束することを示すために、関数の場合の右側極限や左側極限などのように、それぞれの経路ごとに異なる極限概念を定義し、それらの値がすべて一致することを確認するのは困難です。ただ、極座標を導入することにより比較的容易にスカラー場の収束可能性を判定できます。

2次元のユークリッド空間もしくはその部分集合上に定義されたスカラー場\(f:\mathbb{R} ^{2}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が原点\(\left( 0,0\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)の周辺にある任意の点において定義されているとき、\(\left( x,y\right) \rightarrow \left( 0,0\right) \)の場合に\(f\)が有限な実数へ収束するかどうかを判定しようとしている状況を想定します。ここで、\(\left( x,y\right) \)を極座標で表示します。つまり、\(r>0\)と\(0\leq \theta <2\pi \)を満たす\(\left( r,\theta \right) \in \mathbb{R} ^{2}\)を用いて、\begin{equation*}
\left( x,y\right) =\left( r\cos \theta ,r\sin \theta \right)
\end{equation*}と表示するということです。このとき、\(\theta \)の値とは関係なく、\begin{equation*}
\left( x,y\right) \rightarrow \left( 0,0\right) \Leftrightarrow r\rightarrow
0
\end{equation*}という関係が成り立つため、\(\left( x,y\right) \rightarrow \left( 0,0\right) \)の場合の\(f\left( x,y\right) \)の値の挙動を調べるかわりに、\(r\rightarrow 0\)の場合の\(f\left( r\cos \theta ,r\sin \theta \right) \)の挙動を調べても一般性は失われません。しかも\(r\)を\(0\)に近づける中で\(\theta \)を自由に動かすことにより、\(\left( x,y\right) \)が\(\left( 0,0\right) \)へ近づく際のあらゆる経路を表現することができます。以上を踏まえると、\(\left( x,y\right) \rightarrow \left( 0,0\right) \)のときに\(f\left( x,y\right) \)が有限な実数へ収束することと、\(\theta \)の値に関係なく\(r\rightarrow 0\)のときに\(f\left( r\cos \theta ,r\sin \theta \right) \)が有限な実数へ収束することは必要十分です。

例(極座標を用いたスカラー場の収束判定)
スカラー場\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}
f\left( x,y\right) =xy
\end{equation*}を定めるものとします。このとき、\begin{equation*}
\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( 0,0\right) }f\left( x,y\right) =0
\end{equation*}が成り立つことを証明します。極座標表示すると、\begin{eqnarray*}
f\left( r\cos \theta ,r\sin \theta \right) &=&r\cos \theta \cdot r\sin
\theta \\
&=&r^{2}\cos \theta \sin \theta
\end{eqnarray*}となるため、\begin{eqnarray*}
\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( 0,0\right) }f\left( x,y\right)
&=&\lim_{r\rightarrow 0}f\left( r\cos \theta ,r\sin \theta \right) \\
&=&\lim_{r\rightarrow 0}\left( r^{2}\cos \theta \sin \theta \right)
\end{eqnarray*}という関係が成り立ちます。さて、任意の\(\theta \in \left[ 0,2\pi \right] \)に対して、\begin{equation*}
-1\leq \cos \theta \sin \theta \leq 1
\end{equation*}であることを踏まえると、\begin{equation*}
-r^{2}\leq r^{2}\cos \theta \cos \theta \leq r^{2}
\end{equation*}を得ます。さらに、\begin{equation*}
\lim_{r\rightarrow 0}r^{2}=\lim_{r\rightarrow 0}\left( -r^{2}\right) =0
\end{equation*}が成り立つため、はさみうちの定理より、\begin{equation*}
\lim_{r\rightarrow 0}\left( r^{2}\cos \theta \cos \theta \right) =0
\end{equation*}となります。任意の\(\theta \)について同様の議論が成り立つため、\begin{equation*}
\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( 0,0\right) }f\left( x,y\right) =0
\end{equation*}であることが示されました。

 

球面座標系を用いたスカラー場の収束判定

3次元のユークリッド空間もしくはその部分集合上に定義されたスカラー場\(f:\mathbb{R} ^{3}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が原点\(\left( 0,0,0\right) \in \mathbb{R} ^{3}\)の周辺にある任意の点において定義されているとき、\(\left( x,y,z\right) \rightarrow \left( 0,0,9\right) \)の場合に\(f\)が有限な実数へ収束するかどうかを判定しようとしている状況を想定します。この場合、\(\left( x,y,z\right) \)を球面座標系(3次元の極座標)で表示します。つまり、\(r>0\)と\(0\leq \theta <\pi \)と\(0\leq \phi <2\pi \)を満たす\(\left( r,\theta ,\phi \right) \in \mathbb{R} ^{3}\)を用いて、\begin{equation*}
\left( x,y,z\right) =\left( r\sin \theta \cos \phi ,r\sin \theta \sin \phi
,r\cos \theta \right)
\end{equation*}と表示するということです。このとき、\(\theta ,\phi \)の値とは関係なく、\begin{equation*}
\left( x,y,z\right) \rightarrow \left( 0,0,0\right) \Leftrightarrow
r\rightarrow 0
\end{equation*}という関係が成り立つため、\(\left( x,y,z\right) \rightarrow \left( 0,0\right) \)の場合の\(f\left( x,y,z\right) \)の値の挙動を調べるかわりに、\(r\rightarrow 0\)の場合の\(f\left( r\sin \theta \cos \phi ,r\sin \theta \sin \phi ,r\cos \theta \right) \)の挙動を調べても一般性は失われません。しかも\(r\)を\(0\)に近づける中で\(\theta \)と\(\phi \)を自由に動かすことにより、\(\left( x,y,z\right) \)が\(\left( 0,0,0\right) \)へ近づく際のあらゆる経路を表現することができます。以上を踏まえると、\(\left( x,y,z\right) \rightarrow \left( 0,0,0\right) \)のときに\(f\left( x,y,z\right) \)が有限な実数へ収束することと、\(\theta \)と\(\phi \)の値に関係なく\(r\rightarrow 0\)のときに\(f\left( r\sin \theta \cos \phi ,r\sin \theta \sin \phi ,r\cos \theta \right) \)が有限な実数へ収束することは必要十分です。

例(極座標を用いたスカラー場の収束判定)
スカラー場\(f:\mathbb{R} ^{3}\backslash \left\{ \left( 0,0,0\right) \right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y,z\right) \in \mathbb{R} ^{3}\backslash \left\{ \left( 0,0,0\right) \right\} \)に対して、\begin{equation*}
f\left( x,y,z\right) =\frac{x^{3}}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}
\end{equation*}を定めるものとします。このとき、\begin{equation*}
\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( 0,0,0\right) }f\left(
x,y,z\right) =0
\end{equation*}が成り立つことを証明します。極座標表示すると、\begin{eqnarray*}
f\left( r\sin \theta \cos \phi ,r\sin \theta \sin \phi ,r\cos \theta \right)
&=&\frac{\left( r\sin \theta \cos \phi \right) ^{3}}{\left( r\sin \theta
\cos \phi \right) ^{2}+\left( r\sin \theta \sin \phi \right) ^{2}+\left(
r\cos \theta \right) ^{2}} \\
&=&\frac{r^{3}\sin ^{3}\theta \cos ^{3}\phi }{r^{2}\sin ^{2}\theta \cos
^{2}\phi +r^{2}\sin ^{2}\theta \sin ^{2}\phi +r^{2}\cos ^{2}\theta } \\
&=&\frac{r^{3}\sin ^{3}\theta \cos ^{3}\phi }{r^{2}\left( \cos ^{2}\phi
+\sin ^{2}\theta \right) \sin ^{2}\phi +r^{2}\cos ^{2}\theta } \\
&=&\frac{r^{3}\sin ^{3}\theta \cos ^{3}\phi }{r^{2}\sin ^{2}\phi +r^{2}\cos
^{2}\theta } \\
&=&\frac{r^{3}\sin ^{3}\theta \cos ^{3}\phi }{r^{2}\left( \sin ^{2}\phi
+\cos ^{2}\theta \right) } \\
&=&\frac{r^{3}\sin ^{3}\theta \cos ^{3}\phi }{r^{2}} \\
&=&r\sin ^{3}\theta \cos ^{3}\phi
\end{eqnarray*}となるため、\begin{eqnarray*}
\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( 0,0,0\right) }f\left(
x,y,z\right) &=&\lim_{r\rightarrow 0}f\left( r\sin \theta \cos \phi ,r\sin
\theta \sin \phi ,r\cos \theta \right) \\
&=&\lim_{r\rightarrow 0}\left( r\sin ^{3}\theta \cos ^{3}\phi \right)
\end{eqnarray*}という関係が成り立ちます。さて、任意の\(\theta \)と\(\phi \)について、\begin{equation*}
-1\leq \sin ^{3}\theta \cos ^{3}\phi \leq 1
\end{equation*}であることを踏まえると、\begin{equation*}
-\left\vert r\right\vert \leq r\cos \theta \cos \theta \leq \left\vert
r\right\vert
\end{equation*}を得ます。さらに、\begin{equation*}
\lim_{r\rightarrow 0}\left\vert r\right\vert =\lim_{r\rightarrow 0}\left(
-\left\vert r\right\vert \right) =0
\end{equation*}が成り立つため、はさみうちの定理より、\begin{equation*}
\lim_{r\rightarrow 0}\left( r\cos \theta \cos \theta \right) =0
\end{equation*}となります。任意の\(\theta \)と\(\phi \)について同様の議論が成り立つため、\begin{equation*}
\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( 0,0,0\right) }f\left(
x,y,z\right) =0
\end{equation*}であることが示されました。

 

演習問題

問題(極座標を用いたスカラー場の収束判定)
スカラー場\(f:\mathbb{R} ^{2}\backslash \left\{ \left( 0,0\right) \right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\backslash \left\{ \left( 0,0\right) \right\} \)に対して、\begin{equation*}
f\left( x,y\right) =\frac{x^{3}}{x^{2}+y^{2}}
\end{equation*}を定めるものとします。このとき、\begin{equation*}
\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( 0,0\right) }f\left( x,y\right) =0
\end{equation*}が成り立つことを示してください。
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問題(極座標を用いたスカラー場の収束判定)
スカラー場\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation}
f\left( x,y\right) =\left( x-2\right) \left( y-3\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}を定めるものとします。このとき、\begin{equation*}
\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( 2,3\right) }f\left( x,y\right) =0
\end{equation*}が成り立つことを示してください。
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次回は連続関数の性質を利用してスカラー場が収束することを判定する方法について解説します。

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