極座標を用いた多変数関数の極限の表現
2変数関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が点\(\left( a,b\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)の周辺において定義されている場合、\(\left(x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) \)の場合に\(f\)が有限な実数へ収束することとは、すなわち、\begin{equation*}\exists L\in \mathbb{R} :\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) }f\left( x,y\right) =L
\end{equation*}が成り立つこととは、関数\(f\)の変数\(\left( x,y\right) \)を点\(\left( a,b\right) \)とは異なる\(X\)上の点をとりながら\(\left( a,b\right) \)へ限りなく近づける場合、\(\left( x,y\right) \)がどのような経路をたどって点\(\left( a,b\right) \)へ近づいていく場合においても、その際に\(f\left( x,y\right) \)の値が必ず有限な実数\(L\)へ限りなく近づくことを意味します。イプシロン・デルタ論法を用いてこれを表現すると、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall \left( x,y\right) \in X:
\left[ 0<d\left( \left( x,y\right) ,\left( a,b\right) \right) <\delta
\Rightarrow \left\vert f\left( x,y\right) -L\right\vert <\varepsilon \right]
\end{equation*}となります。ただ、以上の定義にもとづいて関数が収束することを証明するのは面倒です。極座標を導入することにより比較的容易に多変数関数の収束可能性を判定できます。順番に解説します。
関数\(f\)の変数\(\left( x,y\right) \)を極座標で表示します。つまり、\(r>0\)かつ\(0\leq \theta<2\pi \)を満たす\(\left( r,\theta \right) \in \mathbb{R} ^{2}\)を用いて、\begin{equation*}\left( x,y\right) =\left( a+r\cos \left( \theta \right) ,b+r\sin \left( \theta
\right) \right)
\end{equation*}と表現するということです。それにあわせて関数\(f\)の値は、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =f\left( a+r\cos \left( \theta \right) ,b+r\sin \left( \theta
\right) \right)
\end{equation*}と変換されます。このとき、\(\theta \)の値とは関係なく、\begin{equation*}r\rightarrow 0+\Rightarrow \left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right)
\end{equation*}という関係が成り立つため、\(\left( x,y\right) \rightarrow \left(a,b\right) \)の場合の\(f\left( x,y\right) \)の挙動を調べるかわりに、\(r\rightarrow 0+\)の場合の\(f\left(a+r\cos \left( \theta \right) ,b+r\sin \left( \theta \right) \right) \)の挙動を調べます。\(r\)を\(0\)に近づける中で\(\theta \)を自由に動かすことにより、\(\left( x,y\right) \)が\(\left(a,b\right) \)へ限りなく近づく際のあらゆる経路を表現できるからです。以上を踏まえると、\(\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) \)の場合に\(f\left( x,y\right) \)が有限な実数へ収束することと、\(\theta \)が\(\left[ 0,2\pi \right) \)上を変動することを許容した状況下において\(r\rightarrow 0+\)の場合に\(f\left( a+r\cos \left(\theta \right) ,b+r\sin \left( \theta \right) \right) \)が有限な実数へ収束することは必要十分であることが明らかになりました。
\end{equation*}を定めるものとします。このとき、\begin{equation*}
\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( 0,0\right) }f\left( x,y\right) =0
\end{equation*}が成り立つことを証明します。極座標表示すると、\begin{eqnarray*}
f\left( r\cos \left( \theta \right) ,r\sin \left( \theta \right) \right)
&=&r\cos \left( \theta \right) \cdot r\sin \left( \theta \right) \\
&=&r^{2}\cos \left( \theta \right) \sin \left( \theta \right)
\end{eqnarray*}となります。加えて、任意の\(\theta \in \left[ 0,2\pi \right) \)に対して、\begin{equation*}-1\leq \cos \left( \theta \right) \sin \left( \theta \right) \leq 1
\end{equation*}であることを踏まえると、\begin{equation*}
-r^{2}\leq r^{2}\cos \left( \theta \right) \cos \left( \theta \right) \leq
r^{2}
\end{equation*}を得ます。さらに、\begin{equation*}
\lim_{r\rightarrow 0}r^{2}=\lim_{r\rightarrow 0}\left( -r^{2}\right) =0
\end{equation*}が成り立つため、はさみうちの定理より、\begin{equation*}
\lim_{r\rightarrow 0}\left( r^{2}\cos \left( \theta \right) \cos \left(
\theta \right) \right) =0
\end{equation*}となります。任意の\(\theta \in \left[ 0,2\pi \right) \)について同様の議論が成り立つため、\(\theta \)が\(\left[ 0,2\pi \right) \)上を変動することを許容した状況下において\(r\rightarrow 0+\)の場合に\(r^{2}\cos \left(\theta \right) \cos \left( \theta \right) \)は\(0\)へ限りなく近づくことが明らかになりました。したがって、\begin{equation*}\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( 0,0\right) }f\left( x,y\right) =0
\end{equation*}が成り立ちます。
関数\(f\)と有限な実数\(L\)について、\begin{equation*}\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) }f\left( x,y\right) =L
\end{equation*}が成り立つことを極座標を用いて示すためには、\(\theta \)が\(\left[ 0,2\pi \right) \)上を変動することを許容した状況下において\(r\rightarrow 0+\)の場合に\(f\left(a+r\cos \left( \theta \right) ,b+r\sin \left( \theta \right) \right) \)が有限な実数へ収束することを示す必要があります。上の例のように、はさみうちの定理を利用できる場合には問題ありません。
一方、\(\theta \in \left[ 0,2\pi \right) \)を任意に選んだ上で、それに対して、\begin{equation*}\lim_{r\rightarrow 0+}f\left( a+r\cos \left( \theta \right) ,b+r\sin \left(
\theta \right) \right) =L
\end{equation*}が成り立つことを示しても、関数\(f\)が\(L\)へ収束することを示したことになりません。つまり、\begin{equation}\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) }f\left( x,y\right) =L
\quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立つことと、\begin{equation}
\forall \theta \in \left[ 0,2\pi \right) :\lim_{r\rightarrow 0+}f\left(
a+r\cos \left( \theta \right) ,b+r\sin \left( \theta \right) \right) =L \quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立つことは必要十分ではありません。\(\left( 1\right) \)では\(\left( x,y\right) \)があらゆる経路をたどって\(\left( a,b\right) \)が限りなく近づく状況を想定しているのに対し、\(\left( 2\right) \)では最初に選んだ何らかの角度\(\theta \)を前提に\(r\)を\(0\)に限りなく近づけているため、\(\left( x,y\right) \)が\(\left( a,b\right) \)へ直進するという限定的な経路しか表現できていないからです。したがって、\(\left( 1\right) \)と\(\left( 2\right) \)は必要十分ではありません(以下の例を参照)。繰り返しになりますが、\(\left(1\right) \)が成り立つことを極座標を用いて示すためには、\(\theta \)を固定するのではなく、\(\theta \)が\(\left[ 0,2\pi \right) \)上を変動することを許容した状況下において\(r\rightarrow 0+\)の場合に\(f\left( a+r\cos \left( \theta \right) ,b+r\sin\left( \theta \right) \right) \)が有限な実数へ収束することを示す必要があります。
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\begin{equation*}
X=\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ x^{4}+y^{2}\not=0\right\}
\end{equation*}です。極座標表示すると、\begin{eqnarray*}
f\left( r\cos \left( \theta \right) ,r\sin \left( \theta \right) \right) &=&\frac{r^{2}\cos ^{2}\left( \theta \right) r\sin \left( \theta \right) }{r^{4}\cos ^{4}\left( \theta \right) +r^{2}\sin ^{2}\left( \theta \right) } \\
&=&\frac{r\cos ^{2}\left( \theta \right) \sin \left( \theta \right) }{r^{2}\cos ^{4}\left( \theta \right) +\sin ^{2}\left( \theta \right) }
\end{eqnarray*}となるため、\(\theta \in \left[ 0,2\pi\right) \)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}\lim_{r\rightarrow 0+}f\left( r\cos \left( \theta \right) ,r\sin \left(
\theta \right) \right) &=&\lim_{r\rightarrow 0+}\frac{r\cos ^{2}\left(
\theta \right) \sin \left( \theta \right) }{r^{2}\cos ^{4}\left( \theta
\right) +\sin ^{2}\left( \theta \right) } \\
&=&\frac{0}{0+\sin ^{2}\left( \theta \right) } \\
&=&0
\end{eqnarray*}となります。以上より、\begin{equation*}
\forall \theta \in \left[ 0,2\pi \right) :\lim_{r\rightarrow 0+}f\left(
r\cos \left( \theta \right) ,r\sin \left( \theta \right) \right) =0
\end{equation*}が成り立つことが明らかになりました。ただし、これは\(f\)が\(\left(x,y\right) \rightarrow \left( 0,0\right) \)の場合に\(0\)へ収束することと必要十分ではありません。実際、変数\(\left( x,y\right) \)が\(y=x^{2}\)を満たしながら\(\left( 0,0\right) \)へ限りなく近づく場合には、\begin{eqnarray*}\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( 0,0\right) }f\left( x,y\right)
&=&\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( 0,0\right) }\frac{x^{2}y}{x^{4}+y^{2}}\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\lim_{x\rightarrow 0}\frac{x^{2}x^{2}}{x^{4}+x^{4}}\quad \because y=x^{2}
\\
&=&\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1}{2} \\
&=&\frac{1}{2}
\end{eqnarray*}となり、極座標を用いた場合とは異なる結果が導かれます。
球面座標系を用いた多変数関数の収束判定
3変数関数\(f:\mathbb{R} ^{3}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が点\(\left( a,b,c\right) \in \mathbb{R} ^{3}\)の周辺において定義されている場合、\(\left(x,y,z\right) \rightarrow \left( a,b,c\right) \)の場合に\(f\)が有限な実数へ収束すること、すなわち、\begin{equation*}\exists L\in \mathbb{R} :\lim_{\left( x,y,z\right) \rightarrow \left( a,b,c\right) }f\left(
x,y,z\right) =L
\end{equation*}が成り立つこととは、関数\(f\)の変数\(\left( x,y,z\right) \)を点\(\left( a,b,c\right) \)とは異なる\(X\)上の点をとりながら\(\left( a,b,c\right) \)へ限りなく近づける場合、\(\left( x,y,z\right) \)がどのような経路をたどって点\(\left( a,b,c\right) \)へ近づいていく場合においても、その際に\(f\left( x,y,z\right) \)の値が必ず有限な実数\(L\)へ限りなく近づくことを意味します。
関数\(f\)の変数\(\left( x,y,z\right) \)を極座標で表示します。つまり、\(r>0\)かつ\(0\leq \theta<\pi \)かつ\(0\leq \phi <2\pi \)を満たす\(\left( r,\theta ,\phi \right) \in \mathbb{R} ^{3}\)を用いて、\begin{equation*}\left( x,y,z\right) =\left( a+r\sin \left( \theta \right) \cos \left( \phi
\right) ,b+r\sin \left( \theta \right) \sin \left( \phi \right) ,c+r\cos
\left( \theta \right) \right)
\end{equation*}と表示するということです。それにあわせて関数\(f\)の値は、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =f\left( a+r\sin \left( \theta \right) \cos \left( \phi
\right) ,b+r\sin \left( \theta \right) \sin \left( \phi \right) ,c+r\cos
\left( \theta \right) \right)
\end{equation*}と変換されます。このとき、\(\theta \)や\(\phi \)の値とは関係なく、\begin{equation*}r\rightarrow 0+\Rightarrow \left( x,y,z\right) \rightarrow \left(
a,b,c\right)
\end{equation*}という関係が成り立つため、\(\left( x,y,z\right) \rightarrow \left(a,b,c\right) \)の場合の\(f\left( x,y,z\right) \)の挙動を調べるかわりに、\(r\rightarrow 0+\)の場合の\(f\left(a+r\sin \left( \theta \right) \cos \left( \phi \right) ,b+r\sin \left( \theta \right) \sin \left( \phi \right) ,c+r\cos \left( \theta \right) \right) \)の挙動を調べます。\(r\)を\(0\)に近づける中で\(\theta \)と\(\phi \)を自由に動かすことにより、\(\left(x,y,z\right) \)が\(\left( a,b,c\right) \)へ限りなく近づく際のあらゆる経路を表現できるからです。以上を踏まえると、\(\left( x,y,z\right) \rightarrow\left( a,b,c\right) \)の場合に\(f\left( x,y,z\right) \)が有限な実数へ収束することと、\(\theta \)が\(\left[0,\pi \right) \)上を変動し、\(\theta \)が\(\left[ 0,2\pi \right) \)上を変動することを許容した状況下において\(r\rightarrow 0+\)の場合に\(f\left( a+r\sin \left( \theta \right) \cos \left(\phi \right) ,b+r\sin \left( \theta \right) \sin \left( \phi \right)
,c+r\cos \left( \theta \right) \right) \)が有限な実数へ収束することは必要十分であることが明らかになりました。
\end{equation*}を定めるものとします。このとき、\begin{equation*}
\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( 0,0,0\right) }f\left(
x,y,z\right) =0
\end{equation*}が成り立つことを証明します。極座標表示すると、\begin{eqnarray*}
f\left( r\sin \left( \theta \right) \cos \left( \phi \right) ,r\sin \left(
\theta \right) \sin \left( \phi \right) ,r\cos \left( \theta \right) \right)
&=&\frac{\left( r\sin \left( \theta \right) \cos \left( \phi \right) \right)
^{3}}{\left( r\sin \left( \theta \right) \cos \left( \phi \right) \right)
^{2}+\left( r\sin \left( \theta \right) \sin \left( \phi \right) \right)
^{2}+\left( r\cos \left( \theta \right) \right) ^{2}} \\
&=&\frac{r^{3}\sin ^{3}\left( \theta \right) \cos ^{3}\left( \phi \right) }{r^{2}\sin ^{2}\left( \theta \right) \cos ^{2}\left( \phi \right) +r^{2}\sin
^{2}\left( \theta \right) \sin ^{2}\left( \phi \right) +r^{2}\cos ^{2}\left(
\theta \right) } \\
&=&\frac{r^{3}\sin ^{3}\left( \theta \right) \cos ^{3}\left( \phi \right) }{r^{2}\left( \cos ^{2}\left( \phi \right) +\sin ^{2}\left( \theta \right)
\right) \sin ^{2}\left( \phi \right) +r^{2}\cos ^{2}\left( \theta \right) }
\\
&=&\frac{r^{3}\sin ^{3}\left( \theta \right) \cos ^{3}\left( \phi \right) }{r^{2}\sin ^{2}\left( \phi \right) +r^{2}\cos ^{2}\left( \theta \right) } \\
&=&\frac{r^{3}\sin ^{3}\left( \theta \right) \cos ^{3}\left( \phi \right) }{r^{2}\left( \sin ^{2}\left( \phi \right) +\cos ^{2}\left( \theta \right)
\right) } \\
&=&\frac{r^{3}\sin ^{3}\left( \theta \right) \cos ^{3}\left( \phi \right) }{r^{2}} \\
&=&r\sin ^{3}\left( \theta \right) \cos ^{3}\left( \phi \right)
\end{eqnarray*}となります。任意の\(\theta \in \left[ 0,2\pi \right] \)と\(\phi \in \left[ 0,2\pi \right] \)について、\begin{equation*}-1\leq \sin ^{3}\left( \theta \right) \cos ^{3}\left( \phi \right) \leq 1
\end{equation*}であることを踏まえると、\begin{equation*}
-\left\vert r\right\vert \leq r\sin ^{3}\left( \theta \right) \cos
^{3}\left( \phi \right) \leq \left\vert r\right\vert
\end{equation*}を得ます。さらに、\begin{equation*}
\lim_{r\rightarrow 0}\left\vert r\right\vert =\lim_{r\rightarrow 0}\left(
-\left\vert r\right\vert \right) =0
\end{equation*}が成り立つため、はさみうちの定理より、\begin{equation*}
\lim_{r\rightarrow 0}\left( r\sin ^{3}\left( \theta \right) \cos ^{3}\left(
\phi \right) \right) =0
\end{equation*}となります。任意の\(\theta \)と\(\phi \)について同様の議論が成り立つため、\(\theta \)が\(\left[ 0,\pi \right) \)上を変動し、\(\theta \)が\(\left[ 0,2\pi \right) \)上を変動することを許容した状況下において\(r\rightarrow 0+\)の場合に\(r^{2}\cos\left( \theta \right) \cos \left( \theta \right) \)は\(0\)へ限りなく近づくことが明らかになりました。したがって、\begin{equation*}\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( 0,0,0\right) }f\left(
x,y,z\right) =0
\end{equation*}であることが示されました。
多変数関数が収束しないことの証明
極座標を用いる手法は、多変数関数が有限な実数へ収束しないことを示す際にも有用です。繰り返しになりますが、2変数関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)の変数を\(r>0\)と\(0\leq \theta <2\pi \)を満たす\(\left( r,\theta \right) \in \mathbb{R} ^{2}\)を用いて、\begin{equation*}\left( x,y\right) =\left( r\cos \theta ,r\sin \theta \right)
\end{equation*}という形で極座標表示した場合、\(\left( x,y\right)\rightarrow \left( a,b\right) \)のときに\(f\left(x,y\right) \)が有限な実数へ収束することと、\(\theta \)の値とは関係なく\(r\rightarrow 0\)のときに\(f\left( a+r\cos \left( \theta \right),b+r\sin \left( \theta \right) \right) \)が有限な実数へ収束することは必要十分です。したがって、何らかの値\(\theta \)のもとで\(r\rightarrow 0\)のときに\(f\left( a+r\cos \left( \theta \right) ,b+r\sin\left( \theta \right) \right) \)が有限な実数へ収束しないことを示せば、\(f\)は\(\left( x,y\right)\rightarrow \left( a,b\right) \)のときに有限な実数へ収束しなことを示したことになります。なぜなら、そのような値\(\theta \)が存在することは、\(f\)が\(\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) \)のときに有限な実数へ収束することと矛盾するからです。
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\(f\)の定義域は、\begin{equation*}X=\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ x\not=0\wedge y\not=0\right\}
\end{equation*}です。\(\left( x,y\right) \rightarrow \left( 0,0\right) \)のときに\(f\)は有限な実数へ収束しないことを証明します。具体的には、\(\theta =\frac{\pi }{4}\)の場合には、\begin{eqnarray*}\lim_{r\rightarrow 0}f\left( r\cos \left( \frac{\pi }{4}\right) ,r\sin
\left( \frac{\pi }{4}\right) \right) &=&\lim_{r\rightarrow 0}\frac{1}{r\cos
\left( \frac{\pi }{4}\right) r\sin \left( \frac{\pi }{4}\right) }\quad
\because f\text{の定義} \\
&=&\lim_{r\rightarrow 0}\frac{2}{r^{2}} \\
&=&+\infty
\end{eqnarray*}となり、これは有限な実数ではありません。したがって、\(\left(x,y\right) \rightarrow \left( 0,0\right) \)のときに\(f\)は有限な実数へ収束しないことが明らかになりました。
2変数関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、何らかの2つの値\(\theta ,\theta^{\prime }\)を具体的に選んだ上で、それに対して\(r\rightarrow 0\)のときに\(f\left( a+r\cos \left(\theta \right) ,b+r\sin \left( \theta \right) \right) \)と\(f\left(a+r\cos \left( \theta ^{\prime }\right) ,b+r\sin \left( \theta ^{\prime }\right) \right) \)が異なる極限へ収束することを示せば、\(f\)は\(\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) \)のときに有限な実数へ収束しなことを示したことになります。なぜなら、そのような値\(\theta ,\theta ^{\prime }\)が存在することは、\(f\)が\(\left(x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) \)のときに有限な実数へ収束することと矛盾するからです。
\end{equation*}を定めるものとします。\(\left( x,y\right) \rightarrow \left( 0,0\right) \)のときに\(f\left( x,y\right) \)は有限な実数へ収束しないことを証明します。まず、\(\theta =\frac{\pi }{4}\)の場合には、\begin{eqnarray*}\lim_{r\rightarrow 0}f\left( r\cos \left( \frac{\pi }{4}\right) ,r\sin
\left( \frac{\pi }{4}\right) \right) &=&\lim_{r\rightarrow 0}\frac{r^{2}\cos
^{2}\left( \frac{\pi }{4}\right) r^{2}\sin ^{2}\left( \frac{\pi }{4}\right)
}{r^{4}\cos ^{4}\left( \frac{\pi }{4}\right) +3r^{4}\sin ^{4}\left( \frac{\pi }{4}\right) }\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\lim_{r\rightarrow 0}\frac{1}{4} \\
&=&\frac{1}{4}
\end{eqnarray*}である一方、\(\theta =0\)の場合には、\begin{eqnarray*}\lim_{r\rightarrow 0}f\left( r\cos \left( 0\right) ,r\sin \left( 0\right)
\right) &=&\lim_{r\rightarrow 0}\frac{r^{2}\cos ^{2}\left( 0\right)
r^{2}\sin ^{2}\left( 0\right) }{r^{4}\cos ^{4}\left( 0\right) +3r^{4}\sin
^{4}\left( 0\right) }\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\lim_{r\rightarrow 0}0 \\
&=&0
\end{eqnarray*}であり、2つの極限の値が異なるため、\(\left(x,y\right) \rightarrow \left( 0,0\right) \)のときに\(f\)は有限な実数へ収束しないことが明らかになりました。
3変数関数についても同様に考えます。
演習問題
\end{equation*}を定めるものとします。このとき、\begin{equation*}
\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( 0,0\right) }f\left( x,y\right) =0
\end{equation*}が成り立つことを極座標を用いて示してください。
\end{equation}を定めるものとします。このとき、\begin{equation*}
\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( 2,3\right) }f\left( x,y\right) =0
\end{equation*}が成り立つことを極座標を用いて示してください。
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