多変数のリプシッツ関数の定義
多変数関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が以下の条件\begin{equation*}\exists c\in \mathbb{R} ,\ \forall x,y\in X:\left\vert f\left( y\right) -f\left( x\right)
\right\vert \leq c\cdot d\left( y,x\right)
\end{equation*}を満たす場合には、\(f\)はリプシッツ関数（Lipschitz function）であると言います。ただし、\(d:\mathbb{R} ^{n}\times \mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)はユークリッド距離関数であり、2つの点\(y,x\in \mathbb{R} ^{n}\)の間の距離は、\begin{eqnarray*}d\left( y,x\right) &=&\sqrt{\sum_{i=1}^{n}\left( y_{i}-x_{i}\right) ^{2}}\quad \because \text{ユークリッド距離の定義} \\
&=&\left\Vert y-x\right\Vert \quad \because \text{ノルムの定義}
\end{eqnarray*}と定義されます。また、上の命題中の不等式\begin{equation*}
\left\vert f\left( y\right) -f\left( x\right) \right\vert \leq c\cdot
d\left( y,x\right)
\end{equation*}をリプシッツ不等式（Lipschitz inequality）と呼び、リプシッツ不等式中の定数\(c\)をリプシッツ定数（Lipschitz constant）と呼びます。
例（リプシッツ関数）
関数\(f:\mathbb{R} \supset X^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in X\)に対して定める値が、定数\(d\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =d
\end{equation*}と表されるものとします。つまり、\(f\)は定数関数です。この関数がリプシッツ関数であることを示します。点\(x,y\in X\)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}\left\vert f\left( y\right) -f\left( x\right) \right\vert &=&\left\vert
d-d\right\vert \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\left\vert 0\right\vert \\
&=&0
\end{eqnarray*}が成り立ちます。一方、非負の実数\(c\in \mathbb{R} _{+}\)を適当に選べば、点\(x,y\in X\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}c\cdot d\left( y,x\right) \geq 0\quad \because \text{距離関数}d\text{の非負性および}c\geq 0
\end{equation*}が成り立ちます。以上より、\begin{equation*}
\exists c\in \mathbb{R} _{+},\ \forall x,y\in X:\left\vert f\left( y\right) -f\left( x\right)
\right\vert \leq c\cdot d\left( y,x\right)
\end{equation*}が示されたため、\(f\)がリプシッツ関数であることが明らかになりました。
\end{equation*}と表されるものとします。つまり、\(f\)は定数関数です。この関数がリプシッツ関数であることを示します。点\(x,y\in X\)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}\left\vert f\left( y\right) -f\left( x\right) \right\vert &=&\left\vert
d-d\right\vert \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\left\vert 0\right\vert \\
&=&0
\end{eqnarray*}が成り立ちます。一方、非負の実数\(c\in \mathbb{R} _{+}\)を適当に選べば、点\(x,y\in X\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}c\cdot d\left( y,x\right) \geq 0\quad \because \text{距離関数}d\text{の非負性および}c\geq 0
\end{equation*}が成り立ちます。以上より、\begin{equation*}
\exists c\in \mathbb{R} _{+},\ \forall x,y\in X:\left\vert f\left( y\right) -f\left( x\right)
\right\vert \leq c\cdot d\left( y,x\right)
\end{equation*}が示されたため、\(f\)がリプシッツ関数であることが明らかになりました。
例（リプシッツ関数）
関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =x+y
\end{equation*}を定めるものとします。この関数がリプシッツ関数であることを示します。点\(\left(x_{1},y_{1}\right) ,\left( x_{2},y_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}\left\vert f\left( x_{2},y_{2}\right) -f\left( x_{1},y_{1}\right)
\right\vert &=&\left\vert \left( x_{2}+y_{2}\right) -\left(
x_{1}+y_{1}\right) \right\vert \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\left\vert \left( x_{2}-x_{1}\right) +\left( y_{2}-y_{1}\right)
\right\vert \\
&\leq &\left\vert x_{2}-x_{1}\right\vert +\left\vert y_{2}-y_{1}\right\vert
\\
&=&\sqrt{\left( x_{2}-x_{1}\right) ^{2}}+\sqrt{\left( y_{2}-y_{1}\right) ^{2}} \\
&\leq &\sqrt{\left( x_{2}-x_{1}\right) ^{2}+\left( y_{2}-y_{1}\right) ^{2}}+\sqrt{\left( x_{2}-x_{1}\right) ^{2}+\left( y_{2}-y_{1}\right) ^{2}} \\
&\leq &2\sqrt{\left( x_{2}-x_{1}\right) ^{2}+\left( y_{2}-y_{1}\right) ^{2}}
\\
&=&2\cdot d\left( \left( x_{2},y_{2}\right) ,\left( x_{1},y_{1}\right)
\right)
\end{eqnarray*}が成り立ちます。以上より、\begin{equation*}
\exists 2\in \mathbb{R} ,\ \forall \left( x_{1},y_{1}\right) ,\left( x_{2},y_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}:\left\vert f\left( x_{2},y_{2}\right) -f\left( x_{1},x_{2}\right)
\right\vert \leq 2\cdot d\left( \left( x_{2},y_{2}\right) ,\left(
x_{1},y_{1}\right) \right)
\end{equation*}が示されたため、\(f\)がリプシッツ関数であることが明らかになりました。
\end{equation*}を定めるものとします。この関数がリプシッツ関数であることを示します。点\(\left(x_{1},y_{1}\right) ,\left( x_{2},y_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}\left\vert f\left( x_{2},y_{2}\right) -f\left( x_{1},y_{1}\right)
\right\vert &=&\left\vert \left( x_{2}+y_{2}\right) -\left(
x_{1}+y_{1}\right) \right\vert \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\left\vert \left( x_{2}-x_{1}\right) +\left( y_{2}-y_{1}\right)
\right\vert \\
&\leq &\left\vert x_{2}-x_{1}\right\vert +\left\vert y_{2}-y_{1}\right\vert
\\
&=&\sqrt{\left( x_{2}-x_{1}\right) ^{2}}+\sqrt{\left( y_{2}-y_{1}\right) ^{2}} \\
&\leq &\sqrt{\left( x_{2}-x_{1}\right) ^{2}+\left( y_{2}-y_{1}\right) ^{2}}+\sqrt{\left( x_{2}-x_{1}\right) ^{2}+\left( y_{2}-y_{1}\right) ^{2}} \\
&\leq &2\sqrt{\left( x_{2}-x_{1}\right) ^{2}+\left( y_{2}-y_{1}\right) ^{2}}
\\
&=&2\cdot d\left( \left( x_{2},y_{2}\right) ,\left( x_{1},y_{1}\right)
\right)
\end{eqnarray*}が成り立ちます。以上より、\begin{equation*}
\exists 2\in \mathbb{R} ,\ \forall \left( x_{1},y_{1}\right) ,\left( x_{2},y_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}:\left\vert f\left( x_{2},y_{2}\right) -f\left( x_{1},x_{2}\right)
\right\vert \leq 2\cdot d\left( \left( x_{2},y_{2}\right) ,\left(
x_{1},y_{1}\right) \right)
\end{equation*}が示されたため、\(f\)がリプシッツ関数であることが明らかになりました。
例（リプシッツ関数）
関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in X\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =x^{2}+y^{2}
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\begin{equation*}
X=\left( 0,2\right) \times \left( 0,2\right)
\end{equation*}です。この関数がリプシッツ関数であることを示します。点\(\left( x_{1},y_{1}\right) ,\left( x_{2},y_{2}\right) \in X\)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}\left\vert f\left( x_{2},y_{2}\right) -f\left( x_{1},y_{1}\right)
\right\vert &=&\left\vert \left( x_{2}^{2}+y_{2}^{2}\right) -\left(
x_{1}^{2}+y_{1}^{2}\right) \right\vert \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\left\vert \left( x_{2}^{2}-x_{1}^{2}\right) +\left(
y_{2}^{2}-y_{1}^{2}\right) \right\vert \\
&\leq &\left\vert x_{2}^{2}-x_{1}^{2}\right\vert +\left\vert
y_{2}^{2}-y_{1}^{2}\right\vert \\
&=&\left\vert \left( x_{2}-x_{1}\right) \left( x_{2}+x_{1}\right)
\right\vert +\left\vert \left( y_{2}-y_{1}\right) \left( y_{2}+y_{1}\right)
\right\vert \\
&=&\left\vert x_{2}-x_{1}\right\vert \cdot \left\vert x_{2}+x_{1}\right\vert
+\left\vert y_{2}-y_{1}\right\vert \cdot \left\vert y_{2}+y_{1}\right\vert
\\
&<&4\left\vert x_{2}-x_{1}\right\vert +4\left\vert y_{2}-y_{1}\right\vert
\quad \because 0<x_{1},x_{2},y_{1},y_{2}<2 \\
&=&4\left( \left\vert x_{2}-x_{1}\right\vert +\left\vert
y_{2}-y_{1}\right\vert \right) \\
&=&4\left( \sqrt{\left( x_{2}-x_{1}\right) ^{2}}+\sqrt{\left(
y_{2}-y_{1}\right) ^{2}}\right) \\
&\leq &4\left( \sqrt{\left( x_{2}-x_{1}\right) ^{2}+\left(
y_{2}-y_{1}\right) ^{2}}+\sqrt{\left( x_{2}-x_{1}\right) ^{2}+\left(
y_{2}-y_{1}\right) ^{2}}\right) \\
&=&8\sqrt{\left( x_{2}-x_{1}\right) ^{2}+\left( y_{2}-y_{1}\right) ^{2}} \\
&=&8\cdot d\left( \left( x_{2},y_{2}\right) ,\left( x_{1},y_{1}\right)
\right)
\end{eqnarray*}が成り立ちます。以上より、\begin{equation*}
\exists 8\in \mathbb{R} ,\ \forall \left( x_{1},y_{1}\right) ,\left( x_{2},y_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}:\left\vert f\left( x_{2},y_{2}\right) -f\left( x_{1},x_{2}\right)
\right\vert \leq 8\cdot d\left( \left( x_{2},y_{2}\right) ,\left(
x_{1},y_{1}\right) \right)
\end{equation*}が示されたため、\(f\)が\(X\)上でリプシッツ関数であることが明らかになりました。
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\begin{equation*}
X=\left( 0,2\right) \times \left( 0,2\right)
\end{equation*}です。この関数がリプシッツ関数であることを示します。点\(\left( x_{1},y_{1}\right) ,\left( x_{2},y_{2}\right) \in X\)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}\left\vert f\left( x_{2},y_{2}\right) -f\left( x_{1},y_{1}\right)
\right\vert &=&\left\vert \left( x_{2}^{2}+y_{2}^{2}\right) -\left(
x_{1}^{2}+y_{1}^{2}\right) \right\vert \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\left\vert \left( x_{2}^{2}-x_{1}^{2}\right) +\left(
y_{2}^{2}-y_{1}^{2}\right) \right\vert \\
&\leq &\left\vert x_{2}^{2}-x_{1}^{2}\right\vert +\left\vert
y_{2}^{2}-y_{1}^{2}\right\vert \\
&=&\left\vert \left( x_{2}-x_{1}\right) \left( x_{2}+x_{1}\right)
\right\vert +\left\vert \left( y_{2}-y_{1}\right) \left( y_{2}+y_{1}\right)
\right\vert \\
&=&\left\vert x_{2}-x_{1}\right\vert \cdot \left\vert x_{2}+x_{1}\right\vert
+\left\vert y_{2}-y_{1}\right\vert \cdot \left\vert y_{2}+y_{1}\right\vert
\\
&<&4\left\vert x_{2}-x_{1}\right\vert +4\left\vert y_{2}-y_{1}\right\vert
\quad \because 0<x_{1},x_{2},y_{1},y_{2}<2 \\
&=&4\left( \left\vert x_{2}-x_{1}\right\vert +\left\vert
y_{2}-y_{1}\right\vert \right) \\
&=&4\left( \sqrt{\left( x_{2}-x_{1}\right) ^{2}}+\sqrt{\left(
y_{2}-y_{1}\right) ^{2}}\right) \\
&\leq &4\left( \sqrt{\left( x_{2}-x_{1}\right) ^{2}+\left(
y_{2}-y_{1}\right) ^{2}}+\sqrt{\left( x_{2}-x_{1}\right) ^{2}+\left(
y_{2}-y_{1}\right) ^{2}}\right) \\
&=&8\sqrt{\left( x_{2}-x_{1}\right) ^{2}+\left( y_{2}-y_{1}\right) ^{2}} \\
&=&8\cdot d\left( \left( x_{2},y_{2}\right) ,\left( x_{1},y_{1}\right)
\right)
\end{eqnarray*}が成り立ちます。以上より、\begin{equation*}
\exists 8\in \mathbb{R} ,\ \forall \left( x_{1},y_{1}\right) ,\left( x_{2},y_{2}\right) \in \mathbb{R} ^{2}:\left\vert f\left( x_{2},y_{2}\right) -f\left( x_{1},x_{2}\right)
\right\vert \leq 8\cdot d\left( \left( x_{2},y_{2}\right) ,\left(
x_{1},y_{1}\right) \right)
\end{equation*}が示されたため、\(f\)が\(X\)上でリプシッツ関数であることが明らかになりました。
多変数関数はリプシッツ関数であるとは限らない
多変数関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)がリプシッツ関数であることは、\begin{equation*}\exists c\in \mathbb{R} ,\ \forall x,y\in X:\left\vert f\left( y\right) -f\left( x\right)
\right\vert \leq c\cdot d\left( y,x\right)
\end{equation*}が成り立つこととして定義されます。したがって、\(f\)がリプシッツ関数ではないこととは、上の命題の否定に相当する、\begin{equation*}\forall c\in \mathbb{R} ,\ \exists x,y\in X:\left\vert f\left( y\right) -f\left( x\right)
\right\vert >c\cdot d\left( y,x\right)
\end{equation*}が成り立つことを意味します。
関数はリプシッツ連続であるとは限りません。以下の例より明らかです。
例（リプシッツ関数ではない関数）
関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in X\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =x^{2}+y^{2}
\end{equation*}を定めるものとします。定義域が、\begin{equation*}
X=\left( 0,2\right) \times \left( 0,2\right)
\end{equation*}である場合、\(f\)がリプシッツ関数であることは先に示した通りです。一方、定義域が、\begin{equation*}X=\mathbb{R} _{++}^{2}
\end{equation*}である場合、\(f\)はリプシッツ関数ではありません。つまり、\begin{equation*}\forall c\in \mathbb{R} ,\ \exists \left( x_{1},y_{1}\right) ,\left( x_{2},y_{2}\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}:\left\vert f\left( x_{2},y_{2}\right) -f\left( x_{1},y_{1}\right)
\right\vert >c\cdot d\left( \left( x_{2},y_{2}\right) ,\left(
x_{1},y_{1}\right) \right)
\end{equation*}が成り立ちます（演習問題）。
\end{equation*}を定めるものとします。定義域が、\begin{equation*}
X=\left( 0,2\right) \times \left( 0,2\right)
\end{equation*}である場合、\(f\)がリプシッツ関数であることは先に示した通りです。一方、定義域が、\begin{equation*}X=\mathbb{R} _{++}^{2}
\end{equation*}である場合、\(f\)はリプシッツ関数ではありません。つまり、\begin{equation*}\forall c\in \mathbb{R} ,\ \exists \left( x_{1},y_{1}\right) ,\left( x_{2},y_{2}\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}:\left\vert f\left( x_{2},y_{2}\right) -f\left( x_{1},y_{1}\right)
\right\vert >c\cdot d\left( \left( x_{2},y_{2}\right) ,\left(
x_{1},y_{1}\right) \right)
\end{equation*}が成り立ちます（演習問題）。
上の例が示唆するように、同一形状の関数を対象としていても、定義域を変えればその関数がリプシッツ関数になったり、リプシッツ関数にならなかったりする状況が起こり得ます。
多変数のリプシッツ関数は一様連続
多変数関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義域\(X\)上で一様連続であることとは、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall a\in X,\ \forall x\in X:
\left[ d\left( x,a\right) <\delta \Rightarrow \left\vert f\left( x\right)
-f\left( a\right) \right\vert <\varepsilon \right]
\end{equation*}が成り立つことを意味します。
リプシッツ関数は一様連続です。
命題（リプシッツ関数は一様連続）
関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)がリプシッツ関数であるならば、\(f\)は一様連続である。
例（リプシッツ関数は一様連続）
関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in X\)に対して定める値が、定数\(d\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =d
\end{equation*}と表されるものとします。先に示したように、\(f\)はリプシッツ関数であるため、先の命題より、\(f\)は\(X\)上で一様連続です。同じことを一様連続性の定義にもとづいて確認します。一様連続性の定義より、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall a\in X,\ \forall x\in \mathbb{R} :\left[ d\left( x,a\right) <\delta \Rightarrow \left\vert f\left( x\right)
-f\left( a\right) \right\vert <\varepsilon \right] \end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall a\in X,\ \forall x\in \mathbb{R} :\left[ d\left( x,a\right) <\delta \Rightarrow \left\vert d-d\right\vert
<\varepsilon \right] \end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall a\in X,\ \forall x\in \mathbb{R} :\left[ d\left( x,a\right) <\delta \Rightarrow 0<\varepsilon \right] \end{equation*}を示すことが目標ですが、\(0<\varepsilon \)は真であるため上の命題そのものも真です。したがって、\(f\)が\(X\)上で一様連続であることが明らかになりました。この結果は先の結論と整合的です。
\end{equation*}と表されるものとします。先に示したように、\(f\)はリプシッツ関数であるため、先の命題より、\(f\)は\(X\)上で一様連続です。同じことを一様連続性の定義にもとづいて確認します。一様連続性の定義より、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall a\in X,\ \forall x\in \mathbb{R} :\left[ d\left( x,a\right) <\delta \Rightarrow \left\vert f\left( x\right)
-f\left( a\right) \right\vert <\varepsilon \right] \end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall a\in X,\ \forall x\in \mathbb{R} :\left[ d\left( x,a\right) <\delta \Rightarrow \left\vert d-d\right\vert
<\varepsilon \right] \end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall a\in X,\ \forall x\in \mathbb{R} :\left[ d\left( x,a\right) <\delta \Rightarrow 0<\varepsilon \right] \end{equation*}を示すことが目標ですが、\(0<\varepsilon \)は真であるため上の命題そのものも真です。したがって、\(f\)が\(X\)上で一様連続であることが明らかになりました。この結果は先の結論と整合的です。
例（リプシッツ関数は一様連続）
関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =x+y
\end{equation*}を定めるものとします。先に示したように、\(f\)はリプシッツ関数であるため、先の命題より、\(f\)は\(\mathbb{R} ^{2}\)上で一様連続です。同じことを一様連続性の定義にもとづいて確認します。一様連続性の定義より、\begin{eqnarray*}\forall \varepsilon &>&0,\ \exists \delta >0,\ \forall \left( a,b\right)
\in \mathbb{R} ^{2},\ \forall \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}: \\
&&\left[ d\left( \left( x,y\right) ,\left( a,b\right) \right) <\delta
\Rightarrow \left\vert f\left( x,y\right) -f\left( a,b\right) \right\vert
<\varepsilon \right] \end{eqnarray*}すなわち、\begin{eqnarray*}
\forall \varepsilon &>&0,\ \exists \delta >0,\ \forall \left( a,b\right)
\in \mathbb{R} ^{2},\ \forall \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}: \\
&&\left[ \sqrt{\left( x-a\right) ^{2}+\left( y-b\right) ^{2}}<\delta
\Rightarrow \left\vert \left( x+y\right) -\left( a+b\right) \right\vert
<\varepsilon \right] \end{eqnarray*}を示すことが目標です。\(\varepsilon >0\)を任意に選びます。すると、\begin{equation}\delta =\frac{\varepsilon }{2}>0 \quad \cdots (1)
\end{equation}をとることができます。その上で、\begin{equation}
\sqrt{\left( x-a\right) ^{2}+\left( y-b\right) ^{2}}<\delta \quad \cdots (2)
\end{equation}を満たす\(\left( a,b\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)および\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)をそれぞれ任意に選びます。このとき、\begin{eqnarray*}\left( x-a\right) ^{2} &\leq &\left( x-a\right) ^{2}+\left( y-b\right) ^{2}
\\
&<&\delta ^{2}\quad \because \left( 2\right)
\end{eqnarray*}となるため、\begin{equation}
\left\vert x-a\right\vert <\delta \quad \cdots (3)
\end{equation}を得ます。同様に、\begin{equation}
\left\vert y-b\right\vert <\delta \quad \cdots (4)
\end{equation}が導かれます。したがってこのとき、\begin{eqnarray*}
\left\vert \left( x+y\right) -\left( a+b\right) \right\vert &=&\left\vert
\left( x-a\right) +\left( y-b\right) \right\vert \\
&\leq &\left\vert x-a\right\vert +\left\vert y-b\right\vert \\
&<&\delta +\delta \quad \because \left( 3\right) ,\left( 4\right) \\
&=&2\delta \\
&=&2\frac{\varepsilon }{2}\quad \because \left( 1\right) \\
&=&\varepsilon
\end{eqnarray*}となるため証明が完了しました。この結果は先の結論と整合的です。
\end{equation*}を定めるものとします。先に示したように、\(f\)はリプシッツ関数であるため、先の命題より、\(f\)は\(\mathbb{R} ^{2}\)上で一様連続です。同じことを一様連続性の定義にもとづいて確認します。一様連続性の定義より、\begin{eqnarray*}\forall \varepsilon &>&0,\ \exists \delta >0,\ \forall \left( a,b\right)
\in \mathbb{R} ^{2},\ \forall \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}: \\
&&\left[ d\left( \left( x,y\right) ,\left( a,b\right) \right) <\delta
\Rightarrow \left\vert f\left( x,y\right) -f\left( a,b\right) \right\vert
<\varepsilon \right] \end{eqnarray*}すなわち、\begin{eqnarray*}
\forall \varepsilon &>&0,\ \exists \delta >0,\ \forall \left( a,b\right)
\in \mathbb{R} ^{2},\ \forall \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}: \\
&&\left[ \sqrt{\left( x-a\right) ^{2}+\left( y-b\right) ^{2}}<\delta
\Rightarrow \left\vert \left( x+y\right) -\left( a+b\right) \right\vert
<\varepsilon \right] \end{eqnarray*}を示すことが目標です。\(\varepsilon >0\)を任意に選びます。すると、\begin{equation}\delta =\frac{\varepsilon }{2}>0 \quad \cdots (1)
\end{equation}をとることができます。その上で、\begin{equation}
\sqrt{\left( x-a\right) ^{2}+\left( y-b\right) ^{2}}<\delta \quad \cdots (2)
\end{equation}を満たす\(\left( a,b\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)および\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)をそれぞれ任意に選びます。このとき、\begin{eqnarray*}\left( x-a\right) ^{2} &\leq &\left( x-a\right) ^{2}+\left( y-b\right) ^{2}
\\
&<&\delta ^{2}\quad \because \left( 2\right)
\end{eqnarray*}となるため、\begin{equation}
\left\vert x-a\right\vert <\delta \quad \cdots (3)
\end{equation}を得ます。同様に、\begin{equation}
\left\vert y-b\right\vert <\delta \quad \cdots (4)
\end{equation}が導かれます。したがってこのとき、\begin{eqnarray*}
\left\vert \left( x+y\right) -\left( a+b\right) \right\vert &=&\left\vert
\left( x-a\right) +\left( y-b\right) \right\vert \\
&\leq &\left\vert x-a\right\vert +\left\vert y-b\right\vert \\
&<&\delta +\delta \quad \because \left( 3\right) ,\left( 4\right) \\
&=&2\delta \\
&=&2\frac{\varepsilon }{2}\quad \because \left( 1\right) \\
&=&\varepsilon
\end{eqnarray*}となるため証明が完了しました。この結果は先の結論と整合的です。
例（リプシッツ関数は一様連続）
関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in X\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =x^{2}+y^{2}
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\begin{equation*}
X=\left( 0,2\right) \times \left( 0,2\right)
\end{equation*}です。先に示したように、\(f\)はリプシッツ関数であるため、先の命題より、\(f\)は\(X\)上で一様連続です。同じことを一様連続性の定義にもとづいて確認します。一様連続性の定義より、\begin{eqnarray*}\forall \varepsilon &>&0,\ \exists \delta >0,\ \forall \left( a,b\right)
\in X,\ \forall \left( x,y\right) \in X: \\
&&\left[ d\left( \left( x,y\right) ,\left( a,b\right) \right) <\delta
\Rightarrow \left\vert f\left( x,y\right) -f\left( a,b\right) \right\vert
<\varepsilon \right] \end{eqnarray*}すなわち、\begin{eqnarray*}
\forall \varepsilon &>&0,\ \exists \delta >0,\ \forall \left( a,b\right)
\in X,\ \forall \left( x,y\right) \in X: \\
&&\left[ \sqrt{\left( x-a\right) ^{2}+\left( y-b\right) ^{2}}<\delta
\Rightarrow \left\vert \left( x^{2}+y^{2}\right) -\left( a^{2}+b^{2}\right)
\right\vert <\varepsilon \right] \end{eqnarray*}を示すことが目標です。\(\varepsilon >0\)を任意に選びます。すると、\begin{equation}\delta =\frac{\varepsilon }{8}>0 \quad \cdots (1)
\end{equation}をとることができます。その上で、\begin{equation}
\sqrt{\left( x-a\right) ^{2}+\left( y-b\right) ^{2}}<\delta \quad \cdots (2)
\end{equation}を満たす\(\left( a,b\right) \in X\)および\(\left( x,y\right) \in X\)をそれぞれ任意に選びます。このとき、\begin{eqnarray*}\left( x-a\right) ^{2} &\leq &\left( x-a\right) ^{2}+\left( y-b\right) ^{2}
\\
&<&\delta ^{2}\quad \because \left( 2\right)
\end{eqnarray*}となるため、\begin{equation}
\left\vert x-a\right\vert <\delta \quad \cdots (3)
\end{equation}を得ます。同様に、\begin{equation}
\left\vert y-b\right\vert <\delta \quad \cdots (4)
\end{equation}が導かれます。したがってこのとき、\begin{eqnarray*}
&&\left\vert \left( x^{2}+y^{2}\right) -\left( a^{2}+b^{2}\right)
\right\vert \\
&=&\left\vert \left( x^{2}-a^{2}\right) +\left( y^{2}-b^{2}\right)
\right\vert \\
&=&\left\vert \left( x+a\right) \left( x-a\right) +\left( y+b\right) \left(
y-b\right) \right\vert \\
&\leq &\left\vert \left( x+a\right) \left( x-a\right) \right\vert
+\left\vert \left( y+b\right) \left( y-b\right) \right\vert \\
&=&\left\vert x+a\right\vert \left\vert x-a\right\vert +\left\vert
y+b\right\vert \left\vert y-b\right\vert \\
&<&\left\vert 2+2\right\vert \cdot \delta +\left\vert 2+2\right\vert \cdot
\delta \quad \because \left( 3\right) ,\left( 4\right) \text{および}0<x<2\text{かつ}0<a<2, \\
&=&8\delta \\
&=&8\frac{\varepsilon }{8}\quad \because \left( 1\right) \\
&=&\varepsilon
\end{eqnarray*}となるため証明が完了しました。この結果は先の結論と整合的です。
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\begin{equation*}
X=\left( 0,2\right) \times \left( 0,2\right)
\end{equation*}です。先に示したように、\(f\)はリプシッツ関数であるため、先の命題より、\(f\)は\(X\)上で一様連続です。同じことを一様連続性の定義にもとづいて確認します。一様連続性の定義より、\begin{eqnarray*}\forall \varepsilon &>&0,\ \exists \delta >0,\ \forall \left( a,b\right)
\in X,\ \forall \left( x,y\right) \in X: \\
&&\left[ d\left( \left( x,y\right) ,\left( a,b\right) \right) <\delta
\Rightarrow \left\vert f\left( x,y\right) -f\left( a,b\right) \right\vert
<\varepsilon \right] \end{eqnarray*}すなわち、\begin{eqnarray*}
\forall \varepsilon &>&0,\ \exists \delta >0,\ \forall \left( a,b\right)
\in X,\ \forall \left( x,y\right) \in X: \\
&&\left[ \sqrt{\left( x-a\right) ^{2}+\left( y-b\right) ^{2}}<\delta
\Rightarrow \left\vert \left( x^{2}+y^{2}\right) -\left( a^{2}+b^{2}\right)
\right\vert <\varepsilon \right] \end{eqnarray*}を示すことが目標です。\(\varepsilon >0\)を任意に選びます。すると、\begin{equation}\delta =\frac{\varepsilon }{8}>0 \quad \cdots (1)
\end{equation}をとることができます。その上で、\begin{equation}
\sqrt{\left( x-a\right) ^{2}+\left( y-b\right) ^{2}}<\delta \quad \cdots (2)
\end{equation}を満たす\(\left( a,b\right) \in X\)および\(\left( x,y\right) \in X\)をそれぞれ任意に選びます。このとき、\begin{eqnarray*}\left( x-a\right) ^{2} &\leq &\left( x-a\right) ^{2}+\left( y-b\right) ^{2}
\\
&<&\delta ^{2}\quad \because \left( 2\right)
\end{eqnarray*}となるため、\begin{equation}
\left\vert x-a\right\vert <\delta \quad \cdots (3)
\end{equation}を得ます。同様に、\begin{equation}
\left\vert y-b\right\vert <\delta \quad \cdots (4)
\end{equation}が導かれます。したがってこのとき、\begin{eqnarray*}
&&\left\vert \left( x^{2}+y^{2}\right) -\left( a^{2}+b^{2}\right)
\right\vert \\
&=&\left\vert \left( x^{2}-a^{2}\right) +\left( y^{2}-b^{2}\right)
\right\vert \\
&=&\left\vert \left( x+a\right) \left( x-a\right) +\left( y+b\right) \left(
y-b\right) \right\vert \\
&\leq &\left\vert \left( x+a\right) \left( x-a\right) \right\vert
+\left\vert \left( y+b\right) \left( y-b\right) \right\vert \\
&=&\left\vert x+a\right\vert \left\vert x-a\right\vert +\left\vert
y+b\right\vert \left\vert y-b\right\vert \\
&<&\left\vert 2+2\right\vert \cdot \delta +\left\vert 2+2\right\vert \cdot
\delta \quad \because \left( 3\right) ,\left( 4\right) \text{および}0<x<2\text{かつ}0<a<2, \\
&=&8\delta \\
&=&8\frac{\varepsilon }{8}\quad \because \left( 1\right) \\
&=&\varepsilon
\end{eqnarray*}となるため証明が完了しました。この結果は先の結論と整合的です。
一様連続関数はリプシッツ関数であるとは限らない
先の命題の逆は成り立つとは限りません。つまり、一様連続な関数はリプシッツ関数であるとは限らないということです。以下の例より明らかです。
例（一様連続な非リプシッツ関数）
関数\(f:\mathbb{R} _{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =\sqrt{x}
\end{equation*}を定めるものとします。この関数\(f\)は\(\mathbb{R} _{+}^{2}\)上で一様連続である一方で、リプシッツ関数ではありません（演習問題）。
\end{equation*}を定めるものとします。この関数\(f\)は\(\mathbb{R} _{+}^{2}\)上で一様連続である一方で、リプシッツ関数ではありません（演習問題）。
演習問題
問題（リプシッツ関数ではない関数）
関数\(f:\mathbb{R} _{++}^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =x^{2}+y^{2}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)がリプシッツ関数ではないことを示してください。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)がリプシッツ関数ではないことを示してください。
問題（一様連続な関数）
関数\(f:\mathbb{R} _{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =\sqrt{x}
\end{equation*}を定めるものとします。この関数\(f\)は\(\mathbb{R} _{+}^{2}\)上で一様連続である一方で、リプシッツ関数ではないことを示してください。
\end{equation*}を定めるものとします。この関数\(f\)は\(\mathbb{R} _{+}^{2}\)上で一様連続である一方で、リプシッツ関数ではないことを示してください。
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