多変数関数と1変数関数の合成関数

多変数関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)の値域が1変数関数\(g:\mathbb{R} \supset Y\rightarrow \mathbb{R} \)の定義域の部分集合であるものとします。つまり、\begin{equation*}f\left( X\right) \subset Y
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall x\in X:f\left( x\right) \in Y
\end{equation*}が成り立つということです。多変数関数\(f\)は定義域のそれぞれの要素\(x=\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \in X\)に対して実数\begin{equation*}f\left( x\right) =f\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \in \mathbb{R} \end{equation*}を定めますが、先の条件のもとではこの点\(f\left( x\right) \)は関数\(g\)の定義域\(Y\)の要素であることが保証されるため、\(g\)はこの点\(f\left( x\right) \)に対して実数\begin{equation*}g\left( f\left( x\right) \right) =g\left( f\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right)
\right) \in \mathbb{R} \end{equation*}を定めます。このような事情を踏まえると、先の条件が満たされる場合、それぞれの\(x\in X\)に対して実数\(g\left( f\left( x\right) \right) \in \mathbb{R} \)を値として定める多変数関数が定義可能です。この多変数関数を、\begin{equation*}g\circ f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}で表記し、\(f\)と\(g\)の合成関数（composite function）と呼びます。定義より、合成関数\(g\circ f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x=\left( x_{1},\cdots,x_{n}\right) \in X\)に対して定める値は、\begin{eqnarray*}\left( g\circ f\right) \left( x\right) &=&g\left( f\left( x\right) \right)
\\
&=&g\left( f\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \right)
\end{eqnarray*}という実数です。

例（多変数関数と1変数関数の合成関数）

関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =x^{2}+y^{2}
\end{equation*}を定め、関数\(g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}g\left( x\right) =\sin \left( x\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)の値域\(f\left( \mathbb{R} ^{2}\right) \)は明らかに\(g\)の定義域\(\mathbb{R} \)の部分集合であるため合成関数\(g\circ f:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)が定義可能であり、これはそれぞれの\(\left(x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{eqnarray*}\left( g\circ f\right) \left( x,y\right) &=&g\left( f\left( x,y\right)
\right) \quad \because \text{合成関数の定義} \\
&=&g\left( x^{2}+y^{2}\right) \quad \because f\text{の定義}
\\
&=&\sin \left( x^{2}+y^{2}\right) \quad \because g\text{の定義}
\end{eqnarray*}を定めます。

例（多変数関数と1変数関数の合成関数）

関数\(f:\mathbb{R} ^{3}\rightarrow \mathbb{R} \)は空間上のそれぞれの位置\(\left( x,y,z\right) \in \mathbb{R} ^{3}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y,z\right) =\text{位置}\left( x,y,z\right) \text{の温度（華氏）}
\end{equation*}を定め、関数\(g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)は華氏で表現されたそれぞれの温度\(x\in \mathbb{R} \)に対して、それを華氏に変換した温度\begin{equation*}g\left( x\right) =\frac{x-32}{1.8}
\end{equation*}を返すものとします。このとき、合成関数\(g\circ f:\mathbb{R} ^{3}\rightarrow \mathbb{R} \)は空間上のそれぞれの位置\(\left( x,y,z\right) \in \mathbb{R} ^{3}\)に対して、\begin{eqnarray*}\left( g\circ f\right) \left( x,y,z\right) &=&g\left( f\left( x,y,z\right)
\right) \quad \because \text{合成関数の定義} \\
&=&g\left( \text{位置}\left( x,y,z\right) \text{の温度（華氏）}\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\frac{\text{位置}\left( x,y,z\right) \text{の温度（華氏）}-32}{1.8}\quad \because g\text{の定義} \\
&=&\text{位置}\left( x,y,z\right) \text{の温度（摂氏）}
\end{eqnarray*}を定めます。つまり、\(g\circ f\)は位置\(\left( x,y,z\right) \)の温度を摂氏で表示する多変数関数です。

例（多変数関数と1変数関数の合成関数）

関数\(f:\mathbb{R} _{++}^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)は体重\(x\)（kg）と身長\(y\)（cm）の組\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\)に対して、そのときのBMI\begin{equation*}f\left( x,y\right) =\frac{x}{y^{2}}
\end{equation*}を定めるものとします。また、関数\(g:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれのBMI\(x\in \mathbb{R} _{+}\)に対して、それに対応する肥満度\begin{equation*}g\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{ll}
0\text{（低体重）} & \left( if\ 0\leq
x<18.5\right) \\
1\text{（普通体重）} & \left( if\
18.5\leq x<25\right) \\
2\text{（肥満）} & \left( if\ 25\leq x\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。このとき、合成関数\(g\circ f:\mathbb{R} _{++}^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)は体重\(x\)と身長\(y\)の組\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\)に対して、\begin{eqnarray*}\left( g\circ f\right) \left( x,y\right) &=&g\left( f\left( x,y\right)
\right) \quad \because \text{合成関数の定義} \\
&=&g\left( \frac{x}{y^{2}}\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\left\{
\begin{array}{ll}
0\text{（低体重）} & \left( if\ 0\leq \frac{x}{y^{2}}<18.5\right) \\
1\text{（普通体重）} & \left( if\
18.5\leq \frac{x}{y^{2}}<25\right) \\
2\text{（肥満）} & \left( if\ 25\leq \frac{x}{y^{2}}\right)
\end{array}\right. \quad \because g\text{の定義}
\end{eqnarray*}を定めます。つまり、\(g\circ f\)は体重\(x\)と身長\(y\)から肥満度を特定する多変数関数です。

合成関数の定義域

繰り返しになりますが、多変数関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)の値域が1変数関数\(g:\mathbb{R} \supset Y\rightarrow \mathbb{R} \)の定義域の部分集合である場合には、つまり、\begin{equation*}f\left( X\right) \subset Y
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall x\in X:f\left( x\right) \in Y
\end{equation*}が成り立つ場合には合成関数\(g\circ f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義可能です。一方、上の条件が成り立たない場合には、すなわち、\begin{equation*}\exists x\in X:f\left( x\right) \not\in Y
\end{equation*}が成り立つ場合、関数\(g\)はそもそも上の点\(f\left( x\right) \)において定義されていないため\(g\left( f\left(x\right) \right) \)は定義不可能であり、したがって合成関数\(g\circ f\)は定義不可能です。以上を踏まえると、合成関数\(g\circ f\)の定義域は\(f\left( x\right) \in Y\)を満たすような点\(x\in X\)からなる集合\begin{eqnarray*}D\left( g\circ f\right) &=&\left\{ x\in X\ |\ f\left( x\right) \in
Y\right\} \\
&=&\left\{ \left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \in X\ |\ f\left( x_{1},\cdots
,x_{n}\right) \in Y\right\}
\end{eqnarray*}となります。

例（合成関数の定義域）

関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =x^{2}+y^{2}
\end{equation*}を定め、関数\(g:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{equation*}g\left( x\right) =\frac{1}{x}
\end{equation*}を定めるものとします。合成関数\(g\circ f\)の定義域は、\begin{eqnarray*}D\left( g\circ f\right) &=&\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ f\left( x,y\right) \in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \right\} \\
&=&\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ x^{2}+y^{2}\not=0\right\} \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\mathbb{R} ^{2}\backslash \left\{ \left( 0,0\right) \right\}
\end{eqnarray*}となります。さらに、この合成関数\(g\circ f:\mathbb{R} ^{2}\backslash \left\{ \left( 0,0\right) \right\} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\backslash \left\{ \left( 0,0\right) \right\} \)に対して、\begin{eqnarray*}\left( g\circ f\right) \left( x,y\right) &=&g\left( f\left( x,y\right)
\right) \\
&=&g\left( x^{2}+y^{2}\right) \quad \because f\text{の定義}
\\
&=&\frac{1}{x^{2}+y^{2}}\quad \because g\text{の定義}
\end{eqnarray*}を定めます。

例（合成関数の定義域）

関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =-x^{2}-y^{2}-1
\end{equation*}を定め、関数\(g:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{+}\)に対して、\begin{equation*}g\left( x\right) =\sqrt{x}
\end{equation*}を定めるものとします。関数\(f\)がそれぞれの\(\left( x,y\right) \)に対して定める値\(f\left( x,y\right) \)は負の実数ですが、関数\(g\)の変数は非負の実数であるため、そもそも合成関数\(g\circ f\)は定義不可能です。

演習問題

問題（合成関数の定義域）

関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =1-x^{2}-y^{2}
\end{equation*}を定め、関数\(g:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{+}\)に対して、\begin{equation*}g\left( x\right) =\sqrt{x}
\end{equation*}を定めるものとします。合成関数\(g\circ f\)とその定義域を特定してください。

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問題（合成関数の定義域）

関数\(f:\mathbb{R} ^{3}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y,z\right) \in \mathbb{R} ^{3}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =x^{2}+2y^{2}+3z
\end{equation*}を定め、関数\(g:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{equation*}g\left( x\right) =\frac{1}{x}
\end{equation*}を定めるものとします。合成関数\(g\circ f\)とその定義域を特定してください。

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