多変数関数と1変数関数の合成関数
集合\(X,Y\)に加えて多変数の実数値関数と1変数の実数値関数\begin{eqnarray*}f &:&\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \\
g &:&\mathbb{R} \supset Y\rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}が与えられた状況を想定します。加えて、\(f\)の値域が\(g\)の定義域の部分集合であるものとします。つまり、\begin{equation*}f\left( X\right) \subset Y
\end{equation*}すなわち、\begin{equation}
\forall \boldsymbol{x}\in X:f\left( \boldsymbol{x}\right) \in Y \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立つということです。
関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)は自身の定義域\(X\)の要素であるベクトル\(\boldsymbol{x}\in X\)に対して、実数\begin{equation*}f\left( \boldsymbol{x}\right) \in \mathbb{R} \end{equation*}を定めますが、仮定\(\left( 1\right) \)より、この実数\(f\left( \boldsymbol{x}\right) \)は関数\(g:\mathbb{R} \supset Y\rightarrow \mathbb{R} \)の定義域\(Y\)の要素であるため、\(g\)はこの実数\(f\left( \boldsymbol{x}\right) \in Y\)に対して実数\begin{equation*}g\left( f\left( \boldsymbol{x}\right) \right) \in \mathbb{R} \end{equation*}を定めます。
このような事情を踏まえると、先のような2つの関数\(f,g\)が与えられた場合には、関数\(f\)の定義域\(X\)の要素であるそれぞれのベクトル\(\boldsymbol{x}\in X\)に対して、以下の実数\begin{equation*}\left( g\circ f\right) \left( \boldsymbol{x}\right) =g\left( f\left(
\boldsymbol{x}\right) \right)
\end{equation*}を定める多変数の実数値関数\begin{equation*}
g\circ f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能です。これを\(f\)と\(g\)の合成関数（composite function）と呼びます。
\end{equation*}を定め、関数\(g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}g\left( x\right) =\sin \left( x\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)の値域\(f\left( \mathbb{R} ^{2}\right) \)は明らかに\(g\)の定義域\(\mathbb{R} \)の部分集合であるため合成関数\(g\circ f:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)が定義可能であり、これはそれぞれの\(\left(x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{eqnarray*}\left( g\circ f\right) \left( x,y\right) &=&g\left( f\left( x,y\right)
\right) \quad \because \text{合成関数の定義} \\
&=&g\left( x^{2}+y^{2}\right) \quad \because f\text{の定義}
\\
&=&\sin \left( x^{2}+y^{2}\right) \quad \because g\text{の定義}
\end{eqnarray*}を定めます。
\end{equation*}を定め、関数\(g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)は華氏で表現されたそれぞれの温度\(x\in \mathbb{R} \)に対して、それを華氏に変換した温度\begin{equation*}g\left( x\right) =\frac{x-32}{1.8}
\end{equation*}を返すものとします。このとき、合成関数\(g\circ f:\mathbb{R} ^{3}\rightarrow \mathbb{R} \)は空間上のそれぞれの位置\(\left( x,y,z\right) \in \mathbb{R} ^{3}\)に対して、\begin{eqnarray*}\left( g\circ f\right) \left( x,y,z\right) &=&g\left( f\left( x,y,z\right)
\right) \quad \because \text{合成関数の定義} \\
&=&g\left( \text{位置}\left( x,y,z\right) \text{の温度（華氏）}\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\frac{\text{位置}\left( x,y,z\right) \text{の温度（華氏）}-32}{1.8}\quad \because g\text{の定義} \\
&=&\text{位置}\left( x,y,z\right) \text{の温度（摂氏）}
\end{eqnarray*}を定めます。つまり、\(g\circ f\)は位置\(\left( x,y,z\right) \)の温度を摂氏で表示する多変数関数です。
\end{equation*}を定めるものとします。また、関数\(g:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれのBMI\(x\in \mathbb{R} _{+}\)に対して、それに対応する肥満度\begin{equation*}g\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{ll}
0\text{（低体重）} & \left( if\ 0\leq
x<18.5\right) \\
1\text{（普通体重）} & \left( if\
18.5\leq x<25\right) \\
2\text{（肥満）} & \left( if\ 25\leq x\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。このとき、合成関数\(g\circ f:\mathbb{R} _{++}^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)は体重\(x\)と身長\(y\)の組\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\)に対して、\begin{eqnarray*}\left( g\circ f\right) \left( x,y\right) &=&g\left( f\left( x,y\right)
\right) \quad \because \text{合成関数の定義} \\
&=&g\left( \frac{x}{y^{2}}\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\left\{
\begin{array}{ll}
0\text{（低体重）} & \left( if\ 0\leq \frac{x}{y^{2}}<18.5\right) \\
1\text{（普通体重）} & \left( if\
18.5\leq \frac{x}{y^{2}}<25\right) \\
2\text{（肥満）} & \left( if\ 25\leq \frac{x}{y^{2}}\right)
\end{array}\right. \quad \because g\text{の定義}
\end{eqnarray*}を定めます。つまり、\(g\circ f\)は体重\(x\)と身長\(y\)から肥満度を特定する多変数関数です。
合成関数の定義域
多変数関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)の値域が1変数関数\(g:\mathbb{R} \supset Y\rightarrow \mathbb{R} \)の定義域の部分集合である場合には、つまり、\begin{equation*}f\left( X\right) \subset Y
\end{equation*}すなわち、\begin{equation}
\forall \boldsymbol{x}\in X:f\left( \boldsymbol{x}\right) \in Y \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立つ場合には合成関数\(g\circ f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義可能です。
一方、\(\left( 1\right) \)が成り立たない場合には、すなわち、\(\left( 1\right) \)の否定である、\begin{equation}\exists \boldsymbol{x}_{0}\in X:f\left( \boldsymbol{x}_{0}\right) \not\in Y
\quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立つ場合には、点\(f\left( \boldsymbol{x}_{0}\right) \)においてそもそも関数\(g\)は定義されていないため\(g\left( f\left( \boldsymbol{x}_{0}\right) \right) \)は定義不可能であり、したがって点\(\boldsymbol{x}_{0}\)において合成関数\(g\circ f\)は定義不可能です。ゆえに、\(\left( 2\right) \)が成り立つ場合には合成関数\(g\circ f\)の定義域として\(X\)を採用できません。
\(\left( 2\right) \)が成り立つ状況において合成関数\(g\circ f\)を定義するためには、\(\left( 2\right) \)を満たす点\(\boldsymbol{x}_{0}\)を定義域\(X\)から除外する必要があります。つまり、合成関数\(g\circ f\)の定義域として、\(f\left( \boldsymbol{x}\right) \in Y\)を満たすような点\(\boldsymbol{x}\in X\)からなる集合\begin{equation*}D\left( g\circ f\right) =\left\{ \boldsymbol{x}\in X\ |\ f\left( \boldsymbol{x}\right) \in Y\right\}
\end{equation*}を採用する必要があります。
\end{equation*}を定め、関数\(g:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{equation*}g\left( x\right) =\frac{1}{x}
\end{equation*}を定めるものとします。合成関数\(g\circ f\)の定義域は、\begin{eqnarray*}D\left( g\circ f\right) &=&\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ f\left( x,y\right) \in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \right\} \\
&=&\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ x^{2}+y^{2}\not=0\right\} \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\mathbb{R} ^{2}\backslash \left\{ \left( 0,0\right) \right\}
\end{eqnarray*}となります。さらに、この合成関数\(g\circ f:\mathbb{R} ^{2}\backslash \left\{ \left( 0,0\right) \right\} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\backslash \left\{ \left( 0,0\right) \right\} \)に対して、\begin{eqnarray*}\left( g\circ f\right) \left( x,y\right) &=&g\left( f\left( x,y\right)
\right) \\
&=&g\left( x^{2}+y^{2}\right) \quad \because f\text{の定義}
\\
&=&\frac{1}{x^{2}+y^{2}}\quad \because g\text{の定義}
\end{eqnarray*}を定めます。
\end{equation*}を定め、関数\(g:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{+}\)に対して、\begin{equation*}g\left( x\right) =\sqrt{x}
\end{equation*}を定めるものとします。関数\(f\)がそれぞれの\(\left( x,y\right) \)に対して定める値\(f\left( x,y\right) \)は負の実数ですが、関数\(g\)の変数は非負の実数であるため、そもそも合成関数\(g\circ f\)は定義不可能です。
演習問題
\end{equation*}を定め、関数\(g:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{+}\)に対して、\begin{equation*}g\left( x\right) =\sqrt{x}
\end{equation*}を定めるものとします。合成関数\(g\circ f\)とその定義域を特定してください。
\end{equation*}を定め、関数\(g:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{equation*}g\left( x\right) =\frac{1}{x}
\end{equation*}を定めるものとします。合成関数\(g\circ f\)とその定義域を特定してください。
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