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多変数関数と1変数関数の合成関数

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多変数関数と1変数関数の合成関数

多変数関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)の値域が1変数関数\(g:\mathbb{R} \supset Y\rightarrow \mathbb{R} \)の定義域の部分集合であるものとします。つまり、\begin{equation*}f\left( X\right) \subset Y
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall x\in X:f\left( x\right) \in Y
\end{equation*}が成り立つということです。関数\(f\)は定義域\(X\)のそれぞれの要素\(x\)に対して値\(f\left( x\right) \)を定めますが、上の条件より点\(f\left( x\right) \)は関数\(g\)の定義域の要素であるため、\(g\)は点\(f\left( x\right) \)に対して値\(g\left( f\left( x\right) \right) \)を定めます。したがって、以上の条件が満たされる場合、それぞれの\(x\in X\)に対して\(g\left( f\left( x\right) \right) \in \mathbb{R} \)を値として定める新たな多変数関数が定義可能です。この多変数関数を、\begin{equation*}g\circ f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}と表記し、\(f\)と\(g\)の合成関数(composite function)と呼びます。定義より、それぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}\left( g\circ f\right) \left( x\right) =g\left( f\left( x\right) \right) \in \mathbb{R} \end{equation*}という関係が成り立ちます。

例(多変数関数と1変数関数の合成関数)
関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =x^{2}+y^{2}
\end{equation*}を定め、関数\(g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}g\left( x\right) =\sin \left( x\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)の値域は明らかに\(g\)の定義域の部分集合であるため合成関数\(g\circ f:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)が定義可能であり、これはそれぞれの\(\left(x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{eqnarray*}\left( g\circ f\right) \left( x,y\right) &=&g\left( f\left( x,y\right)
\right) \quad \because \text{合成関数の定義} \\
&=&g\left( x^{2}+y^{2}\right) \quad \because f\text{の定義}
\\
&=&\sin \left( x^{2}+y^{2}\right) \quad \because g\text{の定義}
\end{eqnarray*}を定めます。

例(多変数関数と1変数関数の合成関数)
関数\(f:\mathbb{R} ^{3}\rightarrow \mathbb{R} \)は空間上のそれぞれの位置\(\left( x,y,z\right) \in \mathbb{R} ^{3}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y,z\right) =\text{位置}\left( x,y,z\right) \text{の温度(華氏)}
\end{equation*}を定め、関数\(g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)は華氏で表現されたそれぞれの値\(x\in \mathbb{R} \)に対して、それを華氏に変換した値\begin{equation*}g\left( x\right) =\frac{x-32}{1.8}
\end{equation*}を返すものとします。このとき、合成関数\(g\circ f:\mathbb{R} ^{3}\rightarrow \mathbb{R} \)は空間上のそれぞれの位置\(\left( x,y,z\right) \in \mathbb{R} ^{3}\)に対して、\begin{eqnarray*}\left( g\circ f\right) \left( x,y,z\right) &=&g\left( f\left( x,y,z\right)
\right) \quad \because \text{合成関数の定義} \\
&=&g\left( \text{位置}\left( x,y,z\right) \text{の温度(華氏)}\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\frac{\text{位置}\left( x,y,z\right) \text{の温度(華氏)}-32}{1.8}\quad \because g\text{の定義} \\
&=&\text{位置}\left( x,y,z\right) \text{の温度(摂氏)}
\end{eqnarray*}を定めます。つまり、\(g\circ f\)は位置\(\left( x,y,z\right) \)の温度を摂氏で表示するスカラー場です。
例(多変数関数と1変数関数の合成関数)
関数\(f:\mathbb{R} _{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)は体重\(x\)(kg)と身長\(y\)(cm)に対して、そのときのBMI\begin{equation*}f\left( x,y\right) =\frac{x}{y^{2}}
\end{equation*}を定めるものとします。また、関数\(g:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} \)はBMIのそれぞれの値\(x\in \mathbb{R} _{+}\)に対して、それに対応する肥満度\begin{equation*}g\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{ll}
0\text{(低体重)} & \left( if\ 0\leq
x<18.5\right) \\
1\text{(普通体重)} & \left( if\
18.5\leq x<25\right) \\
2\text{(肥満)} & \left( if\ 25\leq x\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。このとき、合成関数\(g\circ f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)は体重\(x\)と身長\(y\)に対して、\begin{eqnarray*}\left( g\circ f\right) \left( x,y\right) &=&g\left( f\left( x,y\right)
\right) \quad \because \text{合成関数の定義} \\
&=&g\left( \frac{x}{y^{2}}\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\left\{
\begin{array}{ll}
0\text{(低体重)} & \left( if\ 0\leq \frac{x}{y^{2}}<18.5\right) \\
1\text{(普通体重)} & \left( if\
18.5\leq \frac{x}{y^{2}}<25\right) \\
2\text{(肥満)} & \left( if\ 25\leq \frac{x}{y^{2}}\right)
\end{array}\right. \quad \because g\text{の定義}
\end{eqnarray*}を定めます。つまり、\(g\circ f\)は体重\(x\)と身長\(y\)から肥満度を特定するスカラー場です。

 

合成関数の定義域

繰り返しになりますが、多変数関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)の値域が1変数関数\(g:\mathbb{R} \supset Y\rightarrow \mathbb{R} \)の定義域の部分集合である場合には、つまり、\begin{equation*}f\left( X\right) \subset Y
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall x\in X:f\left( x\right) \in Y
\end{equation*}が成り立つ場合には合成関数\(g\circ f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義可能です。一方、上の条件が成り立たない場合には、すなわち、\begin{equation*}\exists x\in X:f\left( x\right) \not\in Y
\end{equation*}が成り立つ場合、関数\(g\)はそもそも上の点\(f\left( x\right) \)において定義されていないため\(g\left( f\left(x\right) \right) \)は定義不可能であり、したがって合成関数\(g\circ f\)は定義不可能です。以上を踏まえると、合成関数\(g\circ f\)の定義域は、\begin{equation*}D\left( g\circ f\right) =\left\{ x\in X\ |\ f\left( x\right) \in Y\right\}
\end{equation*}となります。

例(合成関数の定義域)
関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =x^{2}+y^{2}
\end{equation*}を定め、関数\(g:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{equation*}g\left( x\right) =\frac{1}{x}
\end{equation*}を定めるものとします。合成関数\(g\circ f\)の定義域を特定します。関数\(g\)は点\(0\)において定義されていないため、\(f\left( x,y\right) =0\)を満たす点\(\left( x,y\right) \)は\(g\circ f\)の定義域には含まれません。つまり、\(g\circ f\)の定義域は、\begin{eqnarray*}D\left( g\circ f\right) &=&\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ f\left( x,y\right) \not=0\right\} \\
&=&\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ x^{2}+y^{2}\not=0\right\} \\
&=&\mathbb{R} ^{2}\backslash \left\{ \left( 0,0\right) \right\}
\end{eqnarray*}となります。その上で、\(g\circ f\)は定義域のそれぞれの要素\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\backslash \left\{ \left( 0,0\right) \right\} \)に対して、\begin{eqnarray*}\left( g\circ f\right) \left( x,y\right) &=&g\left( f\left( x,y\right)
\right) \quad \because g\circ f\text{の定義} \\
&=&g\left( x^{2}+y^{2}\right) \quad \because f\text{の定義}
\\
&=&\frac{1}{x^{2}+y^{2}}\quad \because g\text{の定義}
\end{eqnarray*}を値として定めます。

例(合成関数の定義域)
関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =-x^{2}-y^{2}-1
\end{equation*}を定め、関数\(g:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{+}\)に対して、\begin{equation*}g\left( x\right) =\sqrt{x}
\end{equation*}を定めるものとします。関数\(f\)がそれぞれの\(\left( x,y\right) \)に対して定める値\(f\left( x,y\right) \)は負の実数ですが、関数\(g\)の変数は非負の実数であるため、そもそも合成関数\(g\circ f\)は定義不可能です。

次回は多変数関数とベクトル値関数の合成関数について解説します。

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