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MULTIVARIABLE FUNCTION

多変数の定数関数

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多変数の定数関数

スカラー場\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in X\)に対して定める値が、ある特定の実数\(c\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =c
\end{equation*}という形で表すことができるとき、\(f\)を定数関数(constant function)と呼びます。つまり、定数関数とは入力する\(x\)の値によらず出力される値\(f\left( x\right) \)が常に一定であるようなスカラー場です。

例(定数関数)
スカラー場\(f:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} ^{n}\)に対して定める値が、特定の実数\(c\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =c
\end{equation*}であるとき、この\(f\)は定数関数です。つまり、定数関数は\(\mathbb{R} ^{n}\)上に定義可能です。
例(定数関数)
スカラー場\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して定める値が、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =3
\end{equation*}であるとき、この\(f\)は定数関数です。この関数のグラフは以下の通りです。

図:定数関数
図:定数関数
例(定数関数)
試験を受けた\(10\)人の学生による得点を成分とするベクトルを、\begin{equation*}x=\left( x_{1},\cdots ,x_{10}\right) \in X
\end{equation*}で表記します。先生がすべての学生に対して試験の得点とは関係なく必ず単位を与える場合、試験結果\(x\in X\)のもとで単位を得る学生の人数は、\begin{equation*}f\left( x\right) =10
\end{equation*}となります。このスカラー場\(f:\mathbb{R} ^{10}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)は定数関数です。

 

定数関数との合成関数

曲線\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選びます。また、ユークリッド空間上に定義された定数関数を\(g:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)で表記します。つまり、\begin{equation}\exists c\in \mathbb{R} ,\ \forall x\in \mathbb{R} ^{n}:g\left( x\right) =c \quad \cdots (1)
\end{equation}であるということです。\(f\)の終集合と\(g\)の定義域はともに\(\mathbb{R} ^{n}\)であるため合成関数\(g\circ f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義可能であり、これはそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{eqnarray*}\left( g\circ f\right) \left( x\right) &=&g\left( f\left( x\right) \right)
\quad \because \text{合成関数の定義} \\
&=&c\quad \because \left( 1\right)
\end{eqnarray*}を定めます。つまり、任意の曲線\(f\)と多変数の定数関数\(g\)の合成関数\(g\circ f\)は定数関数になります。

例(定数関数との合成関数)
曲線\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left( x,x^{2}\right)
\end{equation*}を定め、スカラー場\(g:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}g\left( x,y\right) =1
\end{equation*}を定めるものとします。合成関数\(g\circ f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}\left( g\circ f\right) \left( x\right) &=&g\left( f\left( x\right) \right)
\quad \because \text{合成関数の定義} \\
&=&1\quad \because f\text{の定義}
\end{eqnarray*}を定めるため、\begin{equation*}
g\circ f=g
\end{equation*}が成り立ちます。

スカラー場\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定数関数であるものとします。つまり、\begin{equation}\exists c\in \mathbb{R} ,\ \forall x\in X:f\left( x\right) =c \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立つということです。\(f\)の値域は\(f\left(X\right) =\left\{ c\right\} \)であるため、曲線\(g:\mathbb{R} \supset Y\rightarrow \mathbb{R} ^{n}\)の定義域が\(c\in Y\)を満たす場合には合成関数\(g\circ f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義可能であり、これはそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{eqnarray*}\left( g\circ f\right) \left( x\right) &=&g\left( f\left( x\right) \right)
\quad \because \text{合成関数の定義} \\
&=&g\left( c\right) \quad \because \left( 1\right)
\end{eqnarray*}を定めます。つまり、多変数の定数関数\(f\)と任意の曲線\(g\)の合成関数\(g\circ f\)は多変数の定数関数になります。

例(定数関数との合成関数)
スカラー場\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =1
\end{equation*}を定め、曲線\(g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}g\left( x\right) =\left( x,x^{2}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。合成関数\(g\circ f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{eqnarray*}\left( g\circ f\right) \left( x,y\right) &=&g\left( f\left( x,y\right)
\right) \quad \because \text{合成関数の定義} \\
&=&g\left( 1\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\left( 1,1^{2}\right) \quad \because g\text{の定義} \\
&=&\left( 1,1\right)
\end{eqnarray*}を定めるため、\(g\circ f\)は定数関数であるような曲線です。

 

演習問題

問題(定数関数による像)
スカラー場\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定数関数であるものとします。つまり、\begin{equation*}\exists c\in \mathbb{R} ,\ \forall x\in X:f\left( x\right) =c
\end{equation*}が成り立つということです。始集合の部分集合\(Y\subset X\)を任意に選んだ上で、\(f\)による像\(f\left( Y\right) \)を求めてください。また、\(f\)の値域\(R\left(f\right) \)を求めてください。
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問題(定数関数による逆像)
スカラー場\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定数関数であるものとします。つまり、\begin{equation*}\exists c\in \mathbb{R} ,\ \forall x\in X:f\left( x\right) =c
\end{equation*}が成り立つということです。終集合の要素\(y\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、その逆像\(f^{-1}\left( y\right) \)を求めてください。また、終集合の部分集合\(Y\subset \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、その逆像\(f^{-1}\left( Y\right) \)を求めてください。
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問題(多変数の定数関数)
多変数の定数関数の現実例を挙げてください。答案はコメント欄に投稿してください。

次回は多変数の恒等関数について解説します。

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