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SCALAR FIELD

点列を用いたスカラー場の収束判定

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スカラー場の極限と点列の極限の関係

イプシロン・デルタ論法を使ってスカラー場が収束することを証明するのは面倒です。スカラー場の極限は点列の極限を用いて表現することもでき、そちらの定義を利用したほうがスカラー場が収束することを容易に示すことができます。順を追って説明します。

スカラー場\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と点\(a\in \mathbb{R} ^{n}\)および点\(b\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =b
\end{equation*}が成り立つものとします。このとき、以下の条件\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \forall v\in \mathbb{N} :x_{v}\in X \\
&&\left( b\right) \ \forall v\in \mathbb{N} :x_{v}\not=a \\
&&\left( c\right) \ \lim_{v\rightarrow +\infty }x_{v}=a
\end{eqnarray*}をすべて満たす\(\mathbb{R} ^{n}\)上の点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)を任意に選びます。つまり、\(a\)以外の\(X\)の点を項とするとともに、\(a\)へ収束する点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)を任意に選ぶということです。この点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)の任意の項\(x_{v}\)は\(X\)の要素であるため、それに対して\(f\)は像\(f\left( x_{v}\right) \)を定めます。\(f\left( x_{v}\right) \)は実数であるため、これを項とする新たな数列\(\left\{ f\left( x_{v}\right) \right\} \)を構成できます。このとき、この数列\(\left\{ f\left( x_{v}\right) \right\} \)が\(b\)へ収束することが保証されます。

命題(スカラー場の極限と点列の極限の関係)
スカラー場\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と点\(a\in \mathbb{R} ^{n}\)および点\(b\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、\(a\)とは異なる\(X\)の点を項とするとともに\(a\)へ収束する点列\(\{x_{v}\}\)を任意に選んだ上で、そこから新たな数列\(\{f\left( x_{v}\right) \}\)をつくる。このとき、スカラー場\(f\)について、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =b
\end{equation*}が成り立つならば、先のように定義された任意の数列\(\{f\left( x_{v}\right) \}\)について、\begin{equation*}
\lim\limits_{v\rightarrow +\infty }f\left( x_{v}\right) =b
\end{equation*}が成り立つ。
証明

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上の命題の逆もまた成立します。つまり、スカラー場\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と点\(a\in \mathbb{R} ^{n}\)および点\(b\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、以下の条件\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \forall v\in \mathbb{N} :x_{v}\in X \\
&&\left( b\right) \ \forall v\in \mathbb{N} :x_{v}\not=a \\
&&\left( c\right) \ \lim_{v\rightarrow +\infty }x_{v}=a
\end{eqnarray*}をすべて満たす点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)を任意に選んだ上で、さらにそこから数列\(\left\{ f\left( x_{v}\right) \right\} \)を構成します。このように定義される任意の数列\(\{f\left( x_{v}\right) \}\)が\(b\)へ収束する場合には、\(x\)が\(a\)に限りなく近づくときにスカラー場\(f\)が\(b\)へ収束することが保証されます。

命題(スカラー場の極限と点列の極限の関係)
スカラー場\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と点\(a\in \mathbb{R} ^{n}\)および点\(b\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、\(a\)とは異なる\(X\)の点を項とするとともに\(a\)へ収束する点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)を任意に選んだ上で、そこから新たな数列\(\left\{ f\left( x_{v}\right) \right\} \)をつくる。このように定義された任意の数列\(\left\{ f\left( x_{v}\right) \right\} \)について、\begin{equation*}
\lim\limits_{v\rightarrow +\infty }f\left( x_{v}\right) =b
\end{equation*}が成り立つならば、スカラー場\(f\)について、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =b
\end{equation*}が成り立つ。
証明

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この命題について注意しなければならないのは、\(a\)とは異なる\(X\)の点を項とするとともに\(a\)へ収束する「任意の」点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)に対して、そこから構成される数列\(\{f\left( x_{v}\right) \}\)が\(b\)へ収束することが前提条件になっているという点です。したがって、このような性質を満たす点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)が「存在する」ことを示しただけでは、上の命題が要求する前提条件を満たしたことにはなりません。

以上の2つの命題により、関数の収束という概念は数列の収束概念を用いて以下のように特徴づけられることが明らかになりました。

命題(スカラー場の極限と点列の極限の関係)
スカラー場\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と点\(a\in \mathbb{R} ^{n}\)および点\(b\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、\(a\)とは異なる\(X\)の点を項とするとともに\(a\)へ収束する点列\(\{x_{v}\}\)を任意に選んだ上で、そこから新たな数列\(\{f\left( x_{v}\right) \}\)をつくる。このように定義された任意の数列\(\{f\left( x_{v}\right) \}\)について、\begin{equation*}
\lim\limits_{v\rightarrow +\infty }f\left( x_{v}\right) =b
\end{equation*}が成り立つことは、スカラー場\(f\)について、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =b
\end{equation*}が成り立つための必要十分条件である。

上の命題より、スカラー場の収束に関する議論を点列の収束に関する議論に置き換えて考えることができます。

例(スカラー場の極限と点列の極限の関係)
スカラー場\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}
f\left( x,y\right) =xy
\end{equation*}を定めるものとします。このとき、\begin{equation*}
\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( 0,0\right) }f\left( x,y\right) =0
\end{equation*}が成り立つことを点列を用いて示します。具体的には、\(\left( 0,0\right) \)とは異なる点を項とするとともに\(\left( 0,0\right) \)へ収束する点列を任意に選びます。つまり、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \forall v\in \mathbb{N} :\left( x_{v},y_{v}\right) \not=\left( 0,0\right) \\
&&\left( b\right) \ \lim_{v\rightarrow \infty }\left( x_{v},y_{v}\right)
=\left( 0,0\right)
\end{eqnarray*}を満たす点列\(\left\{ \left( x_{v},y_{v}\right) \right\} \)を任意に選ぶということです。\(\left( b\right) \)が成り立つことは、数列\(\left\{ x_{v}\right\} ,\left\{ y_{v}\right\} \)に関して、\begin{eqnarray*}
&&\left( b_{1}\right) \ \lim_{v\rightarrow \infty }x_{v}=0 \\
&&\left( b_{2}\right) \ \lim_{v\rightarrow \infty }y_{v}=0
\end{eqnarray*}ともに成り立つことと必要十分です。このとき、数列\(\left\{ f\left( x_{v},y_{v}\right) \right\} \)の極限について、\begin{eqnarray*}
\lim_{v\rightarrow \infty }f\left( x_{v},y_{v}\right) &=&\lim_{v\rightarrow
\infty }\left( x_{v}y_{v}\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\lim_{v\rightarrow \infty }x_{n}\cdot \lim_{v\rightarrow \infty
}y_{n}\quad \because \text{収束する数列の積} \\
&=&0\cdot 0\quad \because \left( b_{1}\right) ,\left( b_{2}\right) \\
&=&0
\end{eqnarray*}が成り立つため証明が完了しました。
例(スカラー場の極限と点列の極限の関係)
スカラー場\(f:\mathbb{R} ^{2}\backslash \left\{ \left( 0,0\right) \right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\backslash \left\{ \left( 0,0\right) \right\} \)に対して、\begin{equation*}
f\left( x,y\right) =\frac{x^{3}}{x^{2}+y^{2}}
\end{equation*}を定めるものとします。このとき、\begin{equation*}
\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( 0,0\right) }f\left( x,y\right) =0
\end{equation*}が成り立つことを点列を用いて示します。具体的には、\(\left( 0,0\right) \)とは異なる点を項とするとともに\(\left( 0,0\right) \)へ収束する点列を任意に選びます。つまり、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \forall v\in \mathbb{N} :\left( x_{v},y_{v}\right) \not=\left( 0,0\right) \\
&&\left( b\right) \ \lim_{v\rightarrow \infty }\left( x_{v},y_{v}\right)
=\left( 0,0\right)
\end{eqnarray*}を満たす点列\(\left\{ \left( x_{v},y_{v}\right) \right\} \)を任意に選ぶということです。\(\left( b\right) \)が成り立つことは、数列\(\left\{ x_{v}\right\} ,\left\{ y_{v}\right\} \)に関して、\begin{eqnarray*}
&&\left( b_{1}\right) \ \lim_{v\rightarrow \infty }x_{v}=0 \\
&&\left( b_{2}\right) \ \lim_{v\rightarrow \infty }y_{v}=0
\end{eqnarray*}がともに成り立つことと必要十分です。このとき、数列\(\left\{ f\left( x_{v},y_{v}\right) \right\} \)の一般項について、\begin{eqnarray*}
\left\vert f\left( x_{v},y_{v}\right) \right\vert &=&\left\vert \frac{x_{v}^{3}}{x_{v}^{2}+y_{v}^{2}}\right\vert \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\left\vert x_{v}\right\vert \left\vert \frac{x_{v}^{2}}{x_{v}^{2}+y_{v}^{2}}\right\vert \\
&\leq &\left\vert x_{v}\right\vert \cdot 1 \\
&=&\left\vert x_{v}\right\vert
\end{eqnarray*}となります。さらに\(\left( b_{1}\right) \)より、\begin{equation*}
\lim_{v\rightarrow \infty }\left\vert x_{v}\right\vert =0
\end{equation*}が成り立つため、はさみうちの定理より、\begin{equation*}
\lim_{v\rightarrow \infty }f\left( x_{v},y_{v}\right) =0
\end{equation*}を得ます。したがって証明が完了しました。

 

演習問題

問題(スカラー場の極限)
スカラー場\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}
f\left( x,y\right) =\frac{xy}{x^{2}+y^{2}+1}
\end{equation*}を定めるものとします。このとき、\begin{equation*}
\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( 0,0\right) }f\left( x,y\right) =0
\end{equation*}が成り立つことを点列を用いて証明してください。
証明

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問題(スカラー場の極限)
スカラー場\(f:\mathbb{R} ^{2}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in X\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =\frac{xy}{x+y}
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\(f\)の定義域は、\begin{equation*}X=\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ x+y\not=0\right\}
\end{equation*}です。点\(\left( a,b\right) \in X\)を任意に選んだときに、\begin{equation*}\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) }f\left( x,y\right) =\frac{ab}{a+b}
\end{equation*}が成り立つことを点列を用いて証明してください。
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次回は極座標を利用してスカラー場が収束することを判定する方法について解説します。

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