点列を用いた多変数関数の収束判定

多変数関数の極限と点列の極限の関係

ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)もしくはその部分集合\(X\)を定義域とし、値として実数をとる多変数関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が与えられているものとします。その上で、関数\(f\)の定義域\(X\)の集積点\(\boldsymbol{a}\in \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選びます。集積点の定義より、このとき、\begin{equation*}\forall \delta >0:N_{\delta }\left( \boldsymbol{a}\right) \cap \left(
X\backslash \left\{ \boldsymbol{a}\right\} \right) \not=\phi
\end{equation*}が成り立ちます。ただし、\(N_{\delta }\left( \boldsymbol{a}\right) \)は点\(\boldsymbol{a}\)を中心とする半径\(\delta >0\)の近傍であり、\begin{eqnarray*}N_{\delta }\left( \boldsymbol{a}\right) &=&\left\{ \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ d\left( \boldsymbol{x},\boldsymbol{a}\right) <\delta \right\} \\
&=&\left\{ \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ \left\Vert \boldsymbol{x}-\boldsymbol{a}\right\Vert <\delta
\right\}
\end{eqnarray*}と定義されます。\(d:\mathbb{R} ^{n}\times \mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)はユークリッド距離関数です。いずれにせよ、この場合、\(f\)は点\(\boldsymbol{a}\)において定義されているとは限りませんが、点\(\boldsymbol{a}\)からいくらでも近い場所に\(\boldsymbol{a}\)とは異なる\(X\)の点が必ず存在します。

このような関数\(f\)が\(\boldsymbol{x}\rightarrow \boldsymbol{a}\)の場合に有限な実数へ収束すること、すなわち、\begin{equation*}\exists b\in \mathbb{R} :\lim_{\boldsymbol{x}\rightarrow \boldsymbol{a}}f\left( \boldsymbol{x}\right) =b
\end{equation*}が成り立つこととは、以下の命題\begin{equation*}
\exists b\in \mathbb{R} ,\ \forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall \boldsymbol{x}\in
X:\left( 0<d\left( \boldsymbol{x},\boldsymbol{a}\right) <\delta \Rightarrow
\left\vert f\left( \boldsymbol{x}\right) -b\right\vert <\varepsilon \right)
\end{equation*}が成り立つこととして定義されます。ただ、以上の定義にもとづいて多変数関数が有限な実数へ収束することを証明するのは面倒です。多変数関数の極限は点列を用いて表現することもでき、そちらの定義を利用した方が多変数関数が収束することを容易に示すことができる場合もあります。順番に解説します。

関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と定義域\(X\)の集積点\(\boldsymbol{a}\in \mathbb{R} ^{n}\)および有限な実数\(b\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}\lim_{\boldsymbol{x}\rightarrow \boldsymbol{a}}f\left( \boldsymbol{x}\right)
=b
\end{equation*}が成り立つものとします。その上で、以下の条件\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \forall v\in \mathbb{N} :\boldsymbol{x}_{v}\in X \\
&&\left( b\right) \ \forall v\in \mathbb{N} :\boldsymbol{x}_{v}\not=\boldsymbol{a} \\
&&\left( c\right) \ \lim_{v\rightarrow +\infty }\boldsymbol{x}_{v}=\boldsymbol{a}
\end{eqnarray*}をすべて満たす\(\mathbb{R} ^{n}\)上の点列\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \)を任意に選びます。つまり、点\(\boldsymbol{a}\)以外の\(X\)の点を項とするとともに、点\(\boldsymbol{a}\)へ収束する点列\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \)を任意に選ぶということです。この点列\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \)の任意の項\(\boldsymbol{x}_{v}\)は\(X\)の要素であるため、それに対して\(f\)は像\(f\left( \boldsymbol{x}_{v}\right) \)を定めます。\(f\left( \boldsymbol{x}_{v}\right) \)は実数であるため、これを項とする新たな数列\(\left\{ f\left( \boldsymbol{x}_{v}\right) \right\} \)を構成できます。このとき、この数列\(\left\{f\left( \boldsymbol{x}_{v}\right) \right\} \)が\(b\)へ収束することが保証されます。

先の命題の逆もまた成立します。つまり、多変数関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と定義域\(X\)の集積点\(\boldsymbol{a}\in \mathbb{R} ^{n}\)および有限な実数\(b\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall v\in \mathbb{N} :\boldsymbol{x}_{v}\in X \\
&&\left( b\right) \ \forall v\in \mathbb{N} :\boldsymbol{x}_{v}\not=\boldsymbol{a} \\
&&\left( c\right) \ \lim_{v\rightarrow +\infty }\boldsymbol{x}_{v}=\boldsymbol{a}
\end{eqnarray*}をすべて満たす点列\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \)を任意に選んだ上で、さらにそこから数列\(\left\{ f\left( \boldsymbol{x}_{v}\right) \right\} \)を構成します。このようにして得られた任意の数列\(\{f\left( \boldsymbol{x}_{v}\right) \}\)が\(b\)へ収束する場合には、関数\(f\)について、\begin{equation*}\lim_{\boldsymbol{x}\rightarrow \boldsymbol{a}}f\left( \boldsymbol{x}\right)
=b
\end{equation*}が成り立つことが保証されます。

以上の2つの命題により、多変数関数の収束という概念は点列の収束概念を用いて以下のように特徴づけられることが明らかになりました。

この命題が要求していることは、\(\boldsymbol{a}\)とは異なる\(X\)の点を項とするとともに\(\boldsymbol{a}\)へ収束する「任意の」点列\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \)に対して、そこから構成される数列\(\{f\left( \boldsymbol{x}_{v}\right) \}\)が\(b\)へ収束しなければならないということです。したがって、このような性質を満たす点列\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \)が「存在する」ことを示しただけでは、関数\(f\)が\(\boldsymbol{x}\rightarrow \boldsymbol{a}\)のときに\(b\)へ収束することを示したことにはなりません。

多変数関数が収束することの証明

先の命題より、多変数関数の極限に関する議論を点列の収束に関する議論に置き換えられることが明らかになりました。つまり、多変数関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と定義域\(X\)の集積点\(\boldsymbol{a}\in \mathbb{R} ^{n}\)および有限な実数\(b\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall v\in \mathbb{N} :\boldsymbol{x}_{v}\in X \\
&&\left( b\right) \ \forall v\in \mathbb{N} :\boldsymbol{x}_{v}\not=\boldsymbol{a} \\
&&\left( c\right) \ \lim_{v\rightarrow +\infty }\boldsymbol{x}_{v}=\boldsymbol{a}
\end{eqnarray*}をすべて満たす点列\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \)を任意に選んだ上で、それに対して、\begin{equation*}\lim\limits_{v\rightarrow +\infty }f\left( \boldsymbol{x}_{v}\right) =b
\end{equation*}が成り立つことを示せば、先の命題より、\begin{equation*}
\lim_{\boldsymbol{x}\rightarrow \boldsymbol{a}}f\left( \boldsymbol{x}\right)
=b
\end{equation*}であることを示したことになります。

多変数関数が収束しないことの証明

先の命題は、多変数関数が有限な実数へ収束しないことを示す際にも有用です。多変数関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と定義域\(X\)の集積点\(\boldsymbol{a}\in \mathbb{R} ^{n}\)が与えられたとき、\(\boldsymbol{a}\)とは異なる\(X\)の点を項とするとともに\(\boldsymbol{a}\)へ収束する何らかの点列\(\{\boldsymbol{x}_{v}\}\)を具体的に選んだ上で、それに対して数列\(\left\{f\left( \boldsymbol{x}_{v}\right) \right\} \)が有限な実数へ収束しないことを示せば、\(f\)は\(\boldsymbol{x}\rightarrow \boldsymbol{a}\)のときに有限な実数へ収束しないことを示したことになります。なぜなら、先の命題より、そのような点列\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \)が存在することは、\(f\)が\(\boldsymbol{x}\rightarrow \boldsymbol{a}\)のときに有限な実数へ収束することと矛盾するからです。

多変数関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と定義域\(X\)の集積点\(\boldsymbol{a}\in \mathbb{R} ^{n}\)が与えられたとき、\(\boldsymbol{a}\)とは異なる\(X\)の点を項とするとともに\(\boldsymbol{a}\)へ収束する何らかの2つの点列\(\{\boldsymbol{x}_{v}\},\left\{ \boldsymbol{y}_{v}\right\} \)を具体的に選んだ上で、それに対して数列\(\left\{ f\left( \boldsymbol{x}_{v}\right) \right\} ,\left\{ f\left( \boldsymbol{y}_{v}\right) \right\} \)が異なる極限へ収束することを示せば、\(f\)は\(\boldsymbol{x}\rightarrow \boldsymbol{a}\)のときに有限な実数へ収束しないことを示したことになります。なぜなら、先の命題より、そのような点列\(\{\boldsymbol{x}_{v}\},\left\{ \boldsymbol{y}_{v}\right\} \)が存在することは、\(f\)が\(\boldsymbol{x}\rightarrow \boldsymbol{a}\)のときに有限な実数へ収束することと矛盾するからです。

演習問題