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多変数関数

点列を用いた多変数関数の収束判定

目次

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多変数関数の極限と点列の極限の関係

多変数関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と点\(a\in \mathbb{R} ^{n}\)および点\(b\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、\(x\rightarrow a\)のときに\(f\left( x\right) \)が\(b\)へ限りなく近づくこと、すなわち、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =b
\end{equation*}が成り立つこととは、\(f\)が点\(a\)の周辺の任意の点において定義されているとともに、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left( 0<d\left(
x,a\right) <\delta \Rightarrow \left\vert f\left( x\right) -b\right\vert
<\varepsilon \right)
\end{equation*}が成り立つことを意味します。ただ、以上の定義にもとづいて関数が収束することを証明するのは面倒です。関数の極限は点列を用いて表現することもでき、そちらの定理を利用した方が関数が収束することを容易に示すことができる場合もあります。順番に解説します。

関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と点\(a\in \mathbb{R} ^{n}\)および点\(b\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =b
\end{equation*}が成り立つものとします。このとき、以下の条件\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \forall v\in \mathbb{N} :x_{v}\in X \\
&&\left( b\right) \ \forall v\in \mathbb{N} :x_{v}\not=a \\
&&\left( c\right) \ \lim_{v\rightarrow +\infty }x_{v}=a
\end{eqnarray*}をすべて満たす\(\mathbb{R} ^{n}\)上の点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)を任意に選びます。つまり、\(a\)以外の\(X\)の点を項とするとともに、点\(a\)へ収束する点列\(\left\{x_{v}\right\} \)を任意に選ぶということです。この点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)の任意の項\(x_{v}\)は\(X\)の要素であるため、それに対して\(f\)は像\(f\left( x_{v}\right) \)を定めます。\(f\left( x_{v}\right) \)は実数であるため、これを項とする新たな数列\(\left\{f\left( x_{v}\right) \right\} \)を構成できます。このとき、この数列\(\left\{ f\left( x_{v}\right) \right\} \)が\(b\)へ収束することが保証されます。

命題(収束関数と収束点列)
関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と点\(a\in \mathbb{R} ^{n}\)および点\(b\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、\(a\)とは異なる\(X\)の点を項とするとともに\(a\)へ収束する点列\(\{x_{v}\}\)を任意に選んだ上で、そこから新たな数列\(\{f\left(x_{v}\right) \}\)をつくる。このとき、関数\(f\)について、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =b
\end{equation*}が成り立つならば、先のように定義された任意の数列\(\{f\left( x_{v}\right) \}\)について、\begin{equation*}\lim\limits_{v\rightarrow +\infty }f\left( x_{v}\right) =b
\end{equation*}が成り立つ。

証明

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上の命題の逆もまた成立します。つまり、多変数関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と点\(a\in \mathbb{R} ^{n}\)および点\(b\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall v\in \mathbb{N} :x_{v}\in X \\
&&\left( b\right) \ \forall v\in \mathbb{N} :x_{v}\not=a \\
&&\left( c\right) \ \lim_{v\rightarrow +\infty }x_{v}=a
\end{eqnarray*}をすべて満たす点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)を任意に選んだ上で、さらにそこから数列\(\left\{ f\left( x_{v}\right) \right\} \)を構成します。このように定義される任意の数列\(\{f\left( x_{v}\right) \}\)が\(b\)へ収束する場合には、\(x\)が\(a\)に限りなく近づくときに関数\(f\)が\(b\)へ収束することが保証されます。

命題(収束関数と収束点列)
関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と点\(a\in \mathbb{R} ^{n}\)および点\(b\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、\(a\)とは異なる\(X\)の点を項とするとともに\(a\)へ収束する点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)を任意に選んだ上で、そこから新たな数列\(\left\{ f\left( x_{v}\right) \right\} \)をつくる。このように定義された任意の数列\(\left\{ f\left(x_{v}\right) \right\} \)について、\begin{equation*}\lim\limits_{v\rightarrow +\infty }f\left( x_{v}\right) =b
\end{equation*}が成り立つならば、関数\(f\)について、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =b
\end{equation*}が成り立つ。

証明

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以上の2つの命題により、多変数関数の収束という概念は点列の収束概念を用いて以下のように特徴づけられることが明らかになりました。

命題(収束関数と収束点列)
関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と点\(a\in \mathbb{R} ^{n}\)および点\(b\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、\(a\)とは異なる\(X\)の点を項とするとともに\(a\)へ収束する点列\(\{x_{v}\}\)を任意に選んだ上で、そこから新たな数列\(\{f\left(x_{v}\right) \}\)をつくる。このように定義された任意の数列\(\{f\left( x_{v}\right) \}\)について、\begin{equation*}\lim\limits_{v\rightarrow +\infty }f\left( x_{v}\right) =b
\end{equation*}が成り立つことは、関数\(f\)について、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =b
\end{equation*}が成り立つための必要十分条件である。

この命題が要求していることは、\(a\)とは異なる\(X\)の点を項とするとともに\(a\)へ収束する「任意の」点列\(\left\{x_{v}\right\} \)に対して、そこから構成される数列\(\{f\left( x_{v}\right) \}\)が\(b\)へ収束しなければならないということです。したがって、このような性質を満たす点列\(\left\{x_{v}\right\} \)が「存在する」ことを示しただけでは、関数\(f\)が\(x\rightarrow a\)のときに\(b\)へ収束することを示したことにはなりません。

上の命題より、多変数関数の収束に関する議論を点列の収束に関する議論に置き換えられることが明らかになりました。

例(多変数関数の極限と収束点列)
関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =xy
\end{equation*}を定めるものとします。このとき、\begin{equation*}
\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( 0,0\right) }f\left( x,y\right) =0
\end{equation*}が成り立つことを点列を用いて示します。具体的には、\(\left( 0,0\right) \)とは異なる点を項とするとともに\(\left( 0,0\right) \)へ収束する点列を任意に選びます。つまり、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall v\in \mathbb{N} :\left( x_{v},y_{v}\right) \not=\left( 0,0\right) \\
&&\left( b\right) \ \lim_{v\rightarrow \infty }\left( x_{v},y_{v}\right)
=\left( 0,0\right)
\end{eqnarray*}を満たす点列\(\left\{ \left(x_{v},y_{v}\right) \right\} \)を任意に選ぶということです。\(\left(b\right) \)が成り立つことは、数列\(\left\{ x_{v}\right\} ,\left\{ y_{v}\right\} \)に関して、\begin{eqnarray*}&&\left( b_{1}\right) \ \lim_{v\rightarrow \infty }x_{v}=0 \\
&&\left( b_{2}\right) \ \lim_{v\rightarrow \infty }y_{v}=0
\end{eqnarray*}ともに成り立つことと必要十分です。このとき、数列\(\left\{ f\left(x_{v},y_{v}\right) \right\} \)の極限について、\begin{eqnarray*}\lim_{v\rightarrow \infty }f\left( x_{v},y_{v}\right) &=&\lim_{v\rightarrow
\infty }\left( x_{v}y_{v}\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\lim_{v\rightarrow \infty }x_{n}\cdot \lim_{v\rightarrow \infty
}y_{n}\quad \because \text{収束する数列の積} \\
&=&0\cdot 0\quad \because \left( b_{1}\right) ,\left( b_{2}\right) \\
&=&0
\end{eqnarray*}が成り立つため証明が完了しました。

例(多変数関数の極限と収束点列)
関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\backslash \left\{ \left( 0,0\right) \right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\backslash \left\{ \left( 0,0\right) \right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =\frac{x^{3}}{x^{2}+y^{2}}
\end{equation*}を定めるものとします。このとき、\begin{equation*}
\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( 0,0\right) }f\left( x,y\right) =0
\end{equation*}が成り立つことを点列を用いて示します。具体的には、\(\left( 0,0\right) \)とは異なる点を項とするとともに\(\left( 0,0\right) \)へ収束する点列を任意に選びます。つまり、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall v\in \mathbb{N} :\left( x_{v},y_{v}\right) \not=\left( 0,0\right) \\
&&\left( b\right) \ \lim_{v\rightarrow \infty }\left( x_{v},y_{v}\right)
=\left( 0,0\right)
\end{eqnarray*}を満たす点列\(\left\{ \left(x_{v},y_{v}\right) \right\} \)を任意に選ぶということです。\(\left(b\right) \)が成り立つことは、数列\(\left\{ x_{v}\right\} ,\left\{ y_{v}\right\} \)に関して、\begin{eqnarray*}&&\left( b_{1}\right) \ \lim_{v\rightarrow \infty }x_{v}=0 \\
&&\left( b_{2}\right) \ \lim_{v\rightarrow \infty }y_{v}=0
\end{eqnarray*}がともに成り立つことと必要十分です。このとき、数列\(\left\{ f\left(x_{v},y_{v}\right) \right\} \)の一般項について、\begin{eqnarray*}\left\vert f\left( x_{v},y_{v}\right) \right\vert &=&\left\vert \frac{x_{v}^{3}}{x_{v}^{2}+y_{v}^{2}}\right\vert \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\left\vert x_{v}\right\vert \left\vert \frac{x_{v}^{2}}{x_{v}^{2}+y_{v}^{2}}\right\vert \\
&\leq &\left\vert x_{v}\right\vert \cdot 1 \\
&=&\left\vert x_{v}\right\vert
\end{eqnarray*}となります。さらに\(\left( b_{1}\right) \)より、\begin{equation*}\lim_{v\rightarrow \infty }\left\vert x_{v}\right\vert =0
\end{equation*}が成り立つため、はさみうちの定理より、\begin{equation*}
\lim_{v\rightarrow \infty }f\left( x_{v},y_{v}\right) =0
\end{equation*}を得ます。したがって証明が完了しました。

 

多変数関数が収束しないことの証明

先の命題は、多変数関数が有限な実数へ収束しないことを示す際にも有用です。多変数関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と点\(a\in \mathbb{R} ^{n}\)が与えられたとき、\(a\)とは異なる\(X\)の点を項とするとともに\(a\)へ収束する何らかの点列\(\{x_{v}\}\)を具体的に選んだ上で、それに対して数列\(\left\{ f\left( x_{v}\right) \right\} \)が有限な実数へ収束しないことを示せば、\(f\)は\(x\rightarrow a\)のときに有限な実数へ収束しないことを示したことになります。なぜなら、先の命題より、そのような点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)が存在することは、\(f\)が\(x\rightarrow a\)のときに有限な実数へ収束することと矛盾するからです。

例(関数が収束しないことの証明)
関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =\left\{
\begin{array}{ll}
\frac{1}{x^{2}+y^{2}} & \left( if\ \left( x,y\right) \not=\left( 0,0\right)
\right) \\
0 & \left( if\ \left( x,y\right) =\left( 0,0\right) \right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。\(\left( x,y\right) \rightarrow \left( 0,0\right) \)のときに\(f\left( x,y\right) \)は有限な実数へ収束しないことを証明します。具体的には、以下の点列\begin{equation*}\left\{ \left( \frac{1}{v},\frac{1}{v}\right) \right\}
\end{equation*}に注目すると、この点列の任意の項は\(\left(0,0\right) \)ではなく、さらに、\begin{equation*}\lim_{v\rightarrow \infty }\left( \frac{1}{v},\frac{1}{v}\right) =\left(
0,0\right)
\end{equation*}が成り立ちます。その一方で、数列\(\left\{ f\left( \frac{1}{v},\frac{1}{v}\right) \right\} \)の極限に関しては、\begin{eqnarray*}\lim_{v\rightarrow \infty }f\left( \frac{1}{v},\frac{1}{v}\right)
&=&\lim_{v\rightarrow \infty }\frac{1}{\left( \frac{1}{v}\right) ^{2}+\left(
\frac{1}{v}\right) ^{2}}\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\lim_{v\rightarrow \infty }\left( \frac{v^{2}}{2}\right) \\
&=&+\infty
\end{eqnarray*}となり有限な実数へ収束しないため、\(\left(x,y\right) \rightarrow \left( 0,0\right) \)のときに\(f\left( x,y\right) \)は有限な実数へ収束しないことが明らかになりました。

多変数関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と点\(a\in \mathbb{R} ^{n}\)が与えられたとき、\(a\)とは異なる\(X\)の点を項とするとともに\(a\)へ収束する何らかの2つの点列\(\{x_{v}\},\left\{ y_{v}\right\} \)を具体的に選んだ上で、それに対して数列\(\left\{f\left( x_{v}\right) \right\} ,\left\{ f\left( y_{v}\right) \right\} \)が異なる極限へ収束することを示せば、\(f\)は\(x\rightarrow a\)のときに有限な実数へ収束しないことを示したことになります。なぜなら、先の命題より、そのような点列\(\{x_{v}\},\left\{y_{v}\right\} \)が存在することは、\(f\)が\(x\rightarrow a\)のときに有限な実数へ収束することと矛盾するからです。

例(関数が収束しないことの証明)
関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\backslash \left\{ \left( 0,0\right) \right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\backslash \left\{ \left( 0,0\right) \right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =\frac{x^{2}y^{2}}{x^{4}+3y^{4}}
\end{equation*}を定めるものとします。\(\left( x,y\right) \rightarrow \left( 0,0\right) \)のときに\(f\left( x,y\right) \)は有限な実数へ収束しないことを証明します。具体的には、以下の2つの点列\begin{eqnarray*}&&\left\{ \left( 0,\frac{1}{v}\right) \right\} \\
&&\left\{ \left( \frac{1}{v},\frac{1}{v}\right) \right\}
\end{eqnarray*}に注目します。これらの点列の任意の項は\(\left( 0,0\right) \)ではなく、さらに、\begin{eqnarray*}\lim_{v\rightarrow \infty }\left( 0,\frac{1}{v}\right) &=&\left( 0,0\right)
\\
\lim_{v\rightarrow \infty }\left( \frac{1}{v},\frac{1}{v}\right) &=&\left(
0,0\right)
\end{eqnarray*}が成り立ちます。その一方で、数列\(\left\{ f\left( 0,\frac{1}{v}\right) \right\} \)の極限に関しては、\begin{eqnarray*}\lim_{v\rightarrow \infty }f\left( 0,\frac{1}{v}\right)
&=&\lim_{v\rightarrow \infty }\frac{0^{2}\cdot \left( \frac{1}{v}\right) ^{2}}{0^{4}+3\cdot \left( \frac{1}{v}\right) ^{4}}\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\lim_{v\rightarrow \infty }0 \\
&=&0
\end{eqnarray*}である一方で、数列\(\left\{ f\left( \frac{1}{v},\frac{1}{v}\right) \right\} \)の極限に関しては、\begin{eqnarray*}\lim_{v\rightarrow \infty }f\left( \frac{1}{v},\frac{1}{v}\right)
&=&\lim_{v\rightarrow \infty }\frac{\left( \frac{1}{v}\right) ^{2}\cdot
\left( \frac{1}{v}\right) ^{2}}{\left( \frac{1}{v}\right) ^{4}+3\cdot \left(
\frac{1}{v}\right) ^{4}}\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\lim_{v\rightarrow \infty }\frac{\left( \frac{1}{v}\right) ^{4}}{4\left(
\frac{1}{v}\right) ^{4}} \\
&=&\lim_{v\rightarrow \infty }\frac{1}{4} \\
&=&\frac{1}{4}
\end{eqnarray*}となります。2つの数列が異なる極限は収束することが示されたため、\(\left( x,y\right) \rightarrow \left(0,0\right) \)のときに\(f\left( x,y\right) \)は有限な実数へ収束しないことが明らかになりました。

 

演習問題

問題(多変数関数の極限)
関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =\frac{xy}{x^{2}+y^{2}+1}
\end{equation*}を定めるものとします。このとき、\begin{equation*}
\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( 0,0\right) }f\left( x,y\right) =0
\end{equation*}が成り立つことを点列を用いて証明してください。

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問題(多変数関数の極限)
関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in X\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =\frac{xy}{x+y}
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\(f\)の定義域は、\begin{equation*}X=\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ x+y\not=0\right\}
\end{equation*}です。点\(\left( a,b\right) \in X\)を任意に選んだときに、\begin{equation*}\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) }f\left( x,y\right) =\frac{ab}{a+b}
\end{equation*}が成り立つことを点列を用いて証明してください。

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問題(多変数関数の極限)
関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\backslash \left\{ \left( 0,0\right) \right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\backslash \left\{ \left( 0,0\right) \right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =\frac{x^{3}y}{x^{6}+y^{2}}
\end{equation*}を定めるものとします。\(\left( x,y\right) \rightarrow \left( 0,0\right) \)のときに\(f\)は有限な実数へ収束しないことを証明してください。
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