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多変数関数

多変数の多項式関数の極限

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多変数の多項式関数の極限

多変数関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が多項式関数であるものとします。つまり、\(f\)がそれぞれの\(x\in X\)に対して定める値が、非負の整数\(n\in \mathbb{Z} _{+}\)と実数\(c_{k_{1},\cdots ,k_{n}}\in \mathbb{R} \ \left( k_{i}=0,1,\cdots ,n\right) \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =\sum_{k_{1}=0}^{n}\cdots \sum_{k_{n}=0}^{n}c_{k_{1},\cdots
,k_{n}}x_{1}^{k_{1}}\cdots x_{n}^{k_{n}}
\end{equation*}という形で表すことができるということです。\(f\)が点\(a\in \mathbb{R} ^{n}\)の周辺の任意の点において定義されている場合、\(x\rightarrow a\)のときに\(f\)が有限な実数へ収束するか検討できます。座標関数\(x_{1},\cdots ,x_{n}\)はいずれも有限な実数へ収束するため、それらの積の定数倍である\(c_{k_{1},\cdots ,k_{n}}x_{1}^{k_{1}}\cdots x_{n}^{k_{n}}\)もまた有限な実数へ収束します。したがって、\(f\)は有限な実数へ収束する関数どうしの和であるため有限な実数へ収束します。

命題(多変数の多項式関数の極限)
関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in X\)に対して定める値が、非負の整数\(n\in \mathbb{Z} _{+}\)と実数\(c_{k_{1},\cdots ,k_{n}}\in \mathbb{R} \ \left( k_{i}=0,1,\cdots ,n\right) \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =\sum_{k_{1}=0}^{n}\cdots \sum_{k_{n}=0}^{n}c_{k_{1},\cdots
,k_{n}}x_{1}^{k_{1}}\cdots x_{n}^{k_{n}}
\end{equation*}と表されるものとする。\(f\)が点\(a\in \mathbb{R} ^{n}\)の周辺の任意の点において定義されているならば、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =\sum_{k_{1}=0}^{n}\cdots
\sum_{k_{n}=0}^{n}c_{k_{1},\cdots ,k_{n}}a_{1}^{k_{1}}\cdots a_{n}^{k_{n}}
\end{equation*}が成り立つ。

証明

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例(多変数の多項式関数の極限)
関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} ^{n}\)に対して定める値が、非負の整数\(n\in \mathbb{Z} _{+}\)と実数\(c_{k_{1},\cdots ,k_{n}}\in \mathbb{R} \ \left( k_{i}=0,1,\cdots ,n\right) \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =\sum_{k_{1}=0}^{n}\cdots \sum_{k_{n}=0}^{n}c_{k_{1},\cdots
,k_{n}}x_{1}^{k_{1}}\cdots x_{n}^{k_{n}}
\end{equation*}と表されるものとします。点\(a\in \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選んだとき、上の命題より、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =\sum_{k_{1}=0}^{n}\cdots
\sum_{k_{n}=0}^{n}c_{k_{1},\cdots ,k_{n}}a_{1}^{k_{1}}\cdots a_{n}^{k_{n}}
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、\(\mathbb{R} ^{n}\)上に定義された多変数の多項式関数は定義域上の任意の点において有限な極限を持つということです。
例(多変数の多項式関数の極限)
関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =x^{4}+y^{4}-4x^{2}y^{2}
\end{equation*}を定めるものとします。点\(\left( a,b\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)を任意に選んだとき、先の命題より、\begin{equation*}\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) }f\left( x,y\right)
=a^{4}+b^{4}-4a^{2}b^{2}
\end{equation*}となります。

例(多変数の多項式関数の極限)
関数\(f:\mathbb{R} ^{3}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y,z\right) \in \mathbb{R} ^{3}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y,z\right) =3x^{3}+2x^{2}y-xy+xyz+z^{3}
\end{equation*}を定めるものとします。点\(\left( a,b,c\right) \in \mathbb{R} ^{3}\)を任意に選んだとき、先の命題より、\begin{equation*}\lim_{\left( x,y,z\right) \rightarrow \left( a,b,c\right) }f\left(
x,y,z\right) =3a^{3}+2a^{2}b-ab+abc+c^{3}
\end{equation*}となります。

例(多変数の多項式関数の極限)
関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =\sin \left( x^{2}+xy+y^{2}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は多変数の多項式関数\(x^{2}+xy+y^{2}\)と正弦関数\(\sin \left( x\right) \)の合成関数ですが、正弦関数は連続であるため、点\(\left( a,b\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) }f\left( x,y\right)
&=&\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) }\sin \left(
x^{2}+xy+y^{2}\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\sin \left( \lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) }\left(
x^{2}+xy+y^{2}\right) \right) \quad \because \text{合成関数の極限} \\
&=&\sin \left( a^{2}+ab+b^{2}\right) \quad \because \text{多変数の多項式関数の極限}
\end{eqnarray*}となります。

例(多変数の多項式関数の極限)
関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =\ln \left( x^{2}+y^{2}+1\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は多変数の多項式関数\(x^{2}+y^{2}+1\)と対数関数\(\ln \left( x\right) \)の合成関数ですが、対数関数は連続であるため、点\(\left( a,b\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) }f\left( x,y\right)
&=&\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) }\ln \left(
x^{2}+y^{2}+1\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\ln \left( \lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) }\left(
x^{2}+y^{2}+1\right) \right) \quad \because \text{合成関数の極限} \\
&=&\ln \left( a^{2}+b^{2}+1\right) \quad \because \text{多変数の多項式関数の極限}
\end{eqnarray*}となります。

 

演習問題

問題(多変数の多項式関数の極限)
関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in X\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =\left( 1-\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{4}\right) ^{\frac{1}{2}}
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\(f\)の定義域は、\begin{equation*}X=\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ 1-\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{4}\geq 0\right\}
\end{equation*}です。以下の極限\begin{equation*}
\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( 1,1\right) }f\left( x,y\right)
\end{equation*}は有限な実数として定まるでしょうか。議論してください。

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問題(多変数の多項式関数の極限)
関数\(f:\mathbb{R} ^{3}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y,z\right) \in \mathbb{R} ^{3}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y,z\right) =\left\vert 1-\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{4}+z^{2}\right\vert
\end{equation*}を定めるものとします。以下の極限\begin{equation*}
\lim_{\left( x,y,z\right) \rightarrow \left( 1,1,1\right) }f\left(
x,y,z\right)
\end{equation*}は有限な実数として定まるでしょうか。議論してください。

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