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多項式関数の極限

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多項式関数

スカラー場\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in X\)に対して定める値が、非負の整数\(p_{1},\cdots ,p_{n}\in \mathbb{Z} _{+}\)と実数\(c_{k_{1},\cdots ,k_{n}}\in \mathbb{R} \ \left( k_{i}=0,1,\cdots ,p_{i}\right) \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =\sum_{k_{1}=0}^{p_{1}}\cdots
\sum_{k_{n}=0}^{p_{n}}c_{k_{1},\cdots ,k_{n}}x_{1}^{k_{1}}\cdots
x_{n}^{k_{n}}
\end{equation*}という形で表すことができるとき、\(f\)を多項式関数(polynomials function)と呼びます。また、多項式関数\(f\)がそれぞれの\(x\in X\)に対して定める値\(f\left( x\right) \)を多項式(polynomials)と呼びます。

例(多項式関数)
スカラー場\(f:\mathbb{R} ^{2}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が多項式であることとは、それぞれの\(\left(x_{1},x_{2}\right) \in X\)に対して定める値が、非負の整数\(p_{1},p_{1}\in \mathbb{Z} _{+}\)と実数\(c_{k_{1},k_{2}}\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x,y\right)
=\sum_{k_{1}=0}^{p_{1}}\sum_{k_{2}=0}^{p_{2}}c_{k_{1},k_{2}}x_{1}^{k_{1}}x_{2}^{k_{2}}
\end{equation*}という形で表すことができることを意味します。例えば、\(p_{1}=p_{2}=1\)であるとともに、任意の\(k_{1},k_{2}\)について\(c_{k_{1},k_{2}}=1\)であれば、\begin{eqnarray*}f\left( x,y\right)
&=&\sum_{k_{1}=0}^{1}\sum_{k_{2}=0}^{1}x_{1}^{k_{1}}x_{2}^{k_{2}} \\
&=&x_{1}^{0}x_{2}^{0}+x_{1}^{0}x_{2}^{1}+x_{1}^{1}x_{2}^{0}+x_{1}^{1}x_{2}^{1}
\\
&=&1+x_{2}+x_{1}+x_{1}x_{2}
\end{eqnarray*}となります。また、\(p_{1}=2\)かつ\(p_{2}=1\)であるとともに、任意の\(k_{1},k_{2}\)について\(c_{k_{1},k_{2}}=1\)であれば、\begin{eqnarray*}f\left( x,y\right)
&=&\sum_{k_{1}=0}^{2}\sum_{k_{2}=0}^{1}x_{1}^{k_{1}}x_{2}^{k_{2}} \\
&=&x_{1}^{0}x_{2}^{0}+x_{1}^{0}x_{2}^{1}+x_{1}^{1}x_{2}^{0}+x_{1}^{1}x_{2}^{1}+x_{1}^{2}x_{2}^{0}+x_{1}^{2}x_{2}^{1}
\\
&=&1+x_{2}+x_{1}+x_{1}x_{2}+x_{1}^{2}+x_{1}^{2}x_{2}
\end{eqnarray*}となります。また、\(p_{1}=p_{2}=0\)であれば、\begin{eqnarray*}f\left( x,y\right)
&=&\sum_{k_{1}=0}^{0}\sum_{k_{2}=0}^{0}c_{k_{1},k_{2}}x_{1}^{k_{1}}x_{2}^{k_{2}} \\
&=&c_{0,0}x_{1}^{0}x_{2}^{0} \\
&=&c_{0,0}
\end{eqnarray*}となりますが、これは定数関数です。
例(単項式関数)
繰り返しになりますが、スカラー場\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が多項式であることとは、それぞれの\(x\in X\)に対して定める\(f\)が定める値が、非負の整数\(p_{1},\cdots ,p_{n}\in \mathbb{Z} _{+}\)と実数\(c_{k_{1},\cdots ,k_{n}}\in \mathbb{R} \ \left( k_{i}=0,1,\cdots ,p_{i}\right) \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =\sum_{k_{1}=0}^{p_{1}}\cdots
\sum_{k_{n}=0}^{p_{n}}c_{k_{1},\cdots ,k_{n}}x_{1}^{k_{1}}\cdots
x_{n}^{k_{n}}
\end{equation*}という形で表すことができることを意味します。ここで、\begin{equation*}
c_{k_{1},\cdots ,k_{n}}=\left\{
\begin{array}{cc}
c & \left( if\ \left( k_{1},\cdots ,k_{n}\right) =\left( p_{1},\cdots
,p_{n}\right) \right) \\
0 & \left( if\ \left( k_{1},\cdots ,k_{n}\right) \not=\left( p_{1},\cdots
,p_{n}\right) \right)
\end{array}\right.
\end{equation*}と定めるのであれば、\begin{equation*}
f\left( x\right) =c_{p_{1},\cdots ,p_{n}}x_{1}^{p_{1}}\cdots x_{n}^{p_{n}}
\end{equation*}となります。このような多項式関数\(f\)を単項式関数(monomial function)と呼び、単項式関数\(f\)がそれぞれの\(x\)に対して定める値\(f\left( x\right) \)を単項式(monomial)と呼びます。つまり、単項式関数は特別な多項式関数です。
例(定数関数)
繰り返しになりますが、スカラー場\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が多項式であることとは、それぞれの\(x\in X\)に対して定める\(f\)が定める値が、非負の整数\(p_{1},\cdots ,p_{n}\in \mathbb{Z} _{+}\)と実数\(c_{k_{1},\cdots ,k_{n}}\in \mathbb{R} \ \left( k_{i}=0,1,\cdots ,p_{i}\right) \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =\sum_{k_{1}=0}^{p_{1}}\cdots
\sum_{k_{n}=0}^{p_{n}}c_{k_{1},\cdots ,k_{n}}x_{1}^{k_{1}}\cdots
x_{n}^{k_{n}}
\end{equation*}という形で表すことができることを意味します。ここで、\begin{equation*}
p_{1}=\cdots =p_{n}=0
\end{equation*}と定めるのであれば、\begin{eqnarray*}
f\left( x\right) &=&\sum_{k_{1}=0}^{0}\cdots
\sum_{k_{n}=0}^{0}c_{k_{1},\cdots ,k_{n}}x_{1}^{k_{1}}\cdots x_{n}^{k_{n}} \\
&=&c_{0,\cdots ,0}x_{1}^{0}\cdots x_{n}^{0} \\
&=&c_{0,\cdots ,0}
\end{eqnarray*}となりますが、この\(f\)は定数関数に他なりません。つまり、定数関数は特別な多項式関数です。

 

多項式関数の極限

スカラー場\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が多項式関数であるものとします。つまり、\(f\)がそれぞれの\(x\in X\)に対して定める値が非負の整数\(p_{1},\cdots ,p_{n}\in \mathbb{Z} _{+}\)と実数\(c_{k_{1},\cdots ,k_{n}}\in \mathbb{R} \ \left( k_{i}=0,1,\cdots ,p_{i}\right) \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =\sum_{k_{1}=0}^{p_{1}}\cdots
\sum_{k_{n}=0}^{p_{n}}c_{k_{1},\cdots ,k_{n}}x_{1}^{k_{1}}\cdots
x_{n}^{k_{n}}
\end{equation*}と表すことができるということです。\(f\)が点\(a\in \mathbb{R} ^{n}\)の周辺の任意の点において定義されているとき、\(f\)が\(x\rightarrow a\)のときに有限な実数へ収束するかどうかを検討できますが、収束するスカラー場の定数倍・和・積などとして表現されるスカラー場もまた収束することを踏まえると、\(f\)もまた\(x\rightarrow a\)のときに有限な実数へ収束することが示されます。

命題(多項式関数の極限)
スカラー場\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in X\)に対して定める値が、非負の整数\(p_{1},\cdots ,p_{n}\in \mathbb{Z} _{+}\)と実数\(c_{k_{1},\cdots ,k_{n}}\in \mathbb{R} \ \left( k_{i}=0,1,\cdots ,p_{i}\right) \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =\sum_{k_{1}=0}^{p_{1}}\cdots
\sum_{k_{n}=0}^{p_{n}}c_{k_{1},\cdots ,k_{n}}x_{1}^{k_{1}}\cdots
x_{n}^{k_{n}}
\end{equation*}と表されるものとする。\(f\)が点\(a=\left( a_{1},\cdots ,a_{n}\right) \in \mathbb{R} \)の周辺にある任意の点において定義されているとき、\(f\)は\(x\rightarrow a\)のときに有限な実数へ収束し、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =\sum_{k_{1}=0}^{p_{1}}\cdots
\sum_{k_{n}=0}^{p_{n}}c_{k_{1},\cdots ,k_{n}}a_{1}^{k_{1}}\cdots
a_{n}^{k_{n}}
\end{equation*}が成り立つ。
証明

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例(多項式関数の極限)
スカラー場\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =x^{4}+y^{4}-4x^{2}y^{2}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)の定義域\(\mathbb{R} ^{2}\)は開集合であるため、点\(\left( a,b\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)を任意に選んだとき、\(f\)は点\(\left( a,b\right) \)の周辺の任意の点において定義されています。しかも\(f\)は多項式関数であるため、\begin{equation*}\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) }f\left( x,y,z\right)
=a^{4}+b^{4}-4a^{2}b^{2}
\end{equation*}が成り立ちます。
例(多項式関数の極限)
スカラー場\(f:\mathbb{R} ^{3}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y,z\right) \in \mathbb{R} ^{3}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y,z\right) =3x^{3}+2x^{2}y-xy+xyz+z^{3}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)の定義域\(\mathbb{R} ^{3}\)は開集合であるため、点\(\left( a,b,c\right) \in \mathbb{R} ^{3}\)を任意に選んだとき、\(f\)は点\(\left( a,b,c\right) \)の周辺の任意の点において定義されています。しかも\(f\)は多項式関数であるため、\begin{equation*}\lim_{\left( x,y,z\right) \rightarrow \left( a,b,c\right) }f\left(
x,y,z\right) =3a^{3}+2a^{2}b-ab+abc+c^{3}
\end{equation*}が成り立ちます。

 

応用例

先の命題と連続関数の性質を利用すると、より広範なスカラー場の極限を容易に求められます。

例(スカラー場の極限)
スカラー場\(f:\mathbb{R} ^{2}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in X\)に対して、\begin{equation}f\left( x,y\right) =\ln \left( x^{2}+y^{2}\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}を定めるものとします。ただし、\(f\)の定義域は、\begin{equation*}X=\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ x^{2}+y^{2}>0\right\}
\end{equation*}です。点\(\left( a,b\right) \in X\)を任意に選んだとき、\(\left(x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) \)の場合に\(f\)は有限な実数へ収束するでしょうか。先の命題より、多項式関数\(x^{2}+y^{2}\)に関しては、\begin{equation}\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) }\left(
x^{2}+y^{2}\right) =a^{2}+b^{2} \quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立ちます。ここで重要なことは自然対数関数\(\ln \)が定義域\(\mathbb{R} _{++}\)上で連続であるという事実です。したがって、自然対数関数\(\ln \)は点\(a^{2}+b^{2}\ \left( >0\right) \)においても連続であるため、連続性の定義より、\begin{equation}\lim_{x^{2}+y^{2}\rightarrow a^{2}+b^{2}}\ln \left( x^{2}+y^{2}\right) =\ln
\left( a^{2}+b^{2}\right) \quad \cdots (3)
\end{equation}が成り立ちます。以上を踏まえると、\begin{eqnarray*}
\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) }f\left( x,y\right)
&=&\lim_{x^{2}+y^{2}\rightarrow a^{2}+b^{2}}\ln \left( x^{2}+y^{2}\right)
\quad \because \left( 1\right) ,\left( 2\right) \\
&=&\ln \left( a^{2}+b^{2}\right) \quad \because \left( 3\right) \\
&=&f\left( a,b\right) \quad \because \left( 1\right)
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) }f\left( x,y\right)
=f\left( a,b\right)
\end{equation*}という関係を得ます。つまり、問題としているスカラー場\(f\left(x,y\right) \)の変数\(\left( x,y\right) \)に\(\left(a,b\right) \)を代入して値\(f\left(a,b\right) \)を求めれば、それが\(\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) \)のときの\(f\)の極限と一致することが保証されます。
例(スカラー場の極限)
スカラー場\(f:\mathbb{R} ^{2}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in X\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =\frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\(f\)の定義域は、\begin{equation*}X=\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ x^{2}+y^{2}>0\right\}
\end{equation*}です。\(\left( x,y\right) \rightarrow \left( 1,1\right) \)のときに\(f\left( x,y\right) \)は有限な実数へ収束するでしょうか。多項式関数\(x^{2}+y^{2}\)に関しては、\begin{equation*}\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( 1,1\right) }\left(
x^{2}+y^{2}\right) =1^{2}+1^{2}=2
\end{equation*}が成り立つとともに、平方根関数\(\sqrt{}\)は点\(2\)において連続であるため、\begin{eqnarray*}\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( 1,1\right) }f\left( x,y\right)
&=&\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( 1,1\right) }\frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\frac{\lim\limits_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( 1,1\right) }x}{\lim\limits_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( 1,1\right) }\sqrt{x^{2}+y^{2}}}\quad \because \text{収束するスカラー場の商} \\
&=&\frac{1}{\sqrt{1^{2}+1^{2}}} \\
&=&\frac{1}{\sqrt{2}}
\end{eqnarray*}となります。

 

演習問題

問題(スカラー場の極限)
スカラー場\(f:\mathbb{R} ^{2}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in X\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =\sqrt{1-\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{4}}
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\(f\)の定義域は、\begin{equation*}X=\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ 1-\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{4}\geq 0\right\}
\end{equation*}です。\(\left( x,y\right) \rightarrow \left( 1,1\right) \)のときの\(f\)の極限を求めてください。
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問題(スカラー場の極限)
スカラー場\(f:\mathbb{R} ^{3}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y,z\right) \in \mathbb{R} ^{3}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y,z\right) =\left\vert 1-\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{4}+z^{2}\right\vert
\end{equation*}を定めるものとします。\(\left( x,y,z\right) \rightarrow \left( 1,1,1\right) \)のときの\(f\)の極限を求めてください。
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次回は~について解説します。

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