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多変数の定数関数の極限

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多変数の定数関数の極限

スカラー場\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定数関数であるものとします。つまり、ある\(c\in \mathbb{R} \)が存在して、任意の\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =c
\end{equation*}が成り立つということです。\(f\)が点\(a\in \mathbb{R} ^{n}\)の周辺の任意の点において定義されている場合、\(f\)が\(x\rightarrow a\)のときに有限な実数へ収束するかどうか検討できますが、\(f\)は常に同一の値\(c\)をとることを踏まえると、\(f\)は\(x\rightarrow a\)のときに\(c\)へ収束しそうです。実際、これは正しい主張です。

命題(多変数の定数関数の極限)
スカラー場\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in X\)に対して定める値が、ある定数\(c\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =c
\end{equation*}と表されるものとする。\(f\)が点\(a\in \mathbb{R} ^{n}\)の周辺の任意の点において定義されているならば、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =c
\end{equation*}が成り立つ。

証明

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例(多変数の定数関数の極限)
スカラー場\(f:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} ^{n}\)に対して定める値が、ある定数\(c\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =c
\end{equation*}と表されるものとします。定義域\(\mathbb{R} ^{n}\)は開集合であるため、点\(a\in \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選んだとき、\(f\)は\(a\)の周辺にある任意の点において定義されています。したがって上の命題より、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =c
\end{equation*}が成り立ちます。

例(多変数の定数関数の極限)
スカラー場\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =3
\end{equation*}を定めるものとします。定義域\(\mathbb{R} ^{2}\)は開集合であるため、点\(\left( a,b\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)を任意に選んだとき、\(f\)は点\(\left( a,b\right) \)の周辺の任意の点において定義されています。しかも\(f\)は定数関数であるため、上の命題より、\begin{equation*}\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) }f\left( x,y\right) =3
\end{equation*}が成り立ちます。

以下はもう少し複雑な例です。

例(多変数の定数関数の極限)
スカラー場\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
0 & if\ \left( x,y\right) =\left( 0,0\right) \\
1 & if\ \left( x,y\right) \not=\left( 0,0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。点\(\left( 0,0\right) \)とは異なる点\(\left( a,b\right) \in \mathbb{R} ^{2}\backslash \left\{ \left( 0,0\right) \right\} \)を任意に選びます。\(\mathbb{R} ^{2}\backslash \left\{ \left( 0,0\right) \right\} \)は開集合であることから、\(f\)は点\(\left( a,b\right) \)の周辺の任意の点において定義されているとともに、そのような任意の点\(\left( x,y\right) \)において\(f\left(x,y\right) =1\)が成り立つため、定数関数の極限より、\begin{equation*}\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) }f\left( x,y\right) =1
\end{equation*}となります。点\(\left( 0,0\right) \)については、\(f\)の定義より、\(f\)は点\(\left( 0,0\right) \)の周辺の任意の点において定義されているとともに、そのような任意の点\(\left( x,y\right) \)において\(f\left( x,y\right) =1\)が成り立つため、定数関数の極限より、\begin{equation*}\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( 0,0\right) }f\left( x,y\right) =1
\end{equation*}となります。

 

変数が定義域の境界点に限りなく近づく場合の定数関数の極限

以下は境界点における極限の例です。

例(多変数の定数関数の極限)
スカラー場\(f:\mathbb{R} ^{2}\supset \left[ 0,1\right] \times \left[ 0,1\right] \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \left[ 0,1\right] \times \left[ 0,1\right] \)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =2
\end{equation*}を定めるものとします。定義域の内点\(\left(a,b\right) \in \left( 0,1\right) \times \left( 0,1\right) \)を任意に選んだとき、内点の定義より、\(f\)は点\(\left( a,b\right) \)の周辺の任意の点において定義されているとともに、そのような任意の点\(\left(x,y\right) \)において\(f\left( x,y\right) =2\)となるため、定数関数の極限より、\begin{equation*}\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) }f\left( x,y\right) =2
\end{equation*}となります。では、\(\left( x,y\right) \)が定義域の境界点に限りなく近づく場合にはどうでしょうか。例えば、点\(\left(1,1\right) \)は\(f\)の定義域の境界点であるため、\(f\)は点\(\left( 1,1\right) \)の周辺の任意の点において定義されているとは言えません。この場合、\(\left(x,y\right) \rightarrow \left( 1,1\right) \)の場合の\(f\)の極限とは、変数\(\left(x,y\right) \)が\(x\leq 1\)かつ\(y\leq 1\)かつ\(\left( x,y\right) \not=\left( 1,1\right) \)を満たしながら\(\left( 1,1\right) \)へ限りなく近づく場合の\(f\)の極限に相当します。以上を踏まえた上で、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall v\in \mathbb{N} :x_{v}\leq 1 \\
&&\left( b\right) \ \forall v\in \mathbb{N} :y_{v}\leq 1 \\
&&\left( c\right) \ \forall v\in \mathbb{N} :\left( x_{v},y_{v}\right) \not=\left( 1,1\right) \\
&&\left( d\right) \ \lim_{v\rightarrow \infty }\left( x_{v},y_{v}\right)
=\left( 1,1\right)
\end{eqnarray*}を満たす点列\(\left\{ \left(x_{v},y_{v}\right) \right\} \)を任意に選びます。このとき、数列\(\left\{ f\left( x_{v},y_{v}\right) \right\} \)について、\begin{eqnarray*}\lim_{v\rightarrow \infty }f\left( x_{v},y_{v}\right) &=&\lim_{v\rightarrow
\infty }2\quad \because \left( a\right) ,\left( b\right) ,\left( c\right)
\text{および}f\text{の定義} \\
&=&2
\end{eqnarray*}となるため、\begin{equation*}
\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( 1,1\right) }f\left( x,y\right) =2
\end{equation*}が成り立つことが示されました。他の境界点についても同様に考えます。

 

演習問題

問題(多変数の定数関数の極限)
スカラー場\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in X\)に対して定める値が、ある定数\(c\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =c
\end{equation*}と表されるものとします。\(f\)が点\(a\in \mathbb{R} ^{n}\)の周辺の任意の点において定義されているならば、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =c
\end{equation*}が成り立つことを本文中では点列を用いて証明しましたが、同じことをイプシロン・デルタ論法を用いて証明してください。

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問題(多変数の定数関数の極限)
スカラー場\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =\left\{
\begin{array}{ll}
0 & \left( if\ xy<0\right) \\
1 & \left( if\ xy\geq 0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。以下の極限\begin{equation*}
\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( 0,0\right) }f\left( x,y\right)
\end{equation*}は有限な実数として定まるでしょうか。議論してください。

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問題(多変数の定数関数の極限)
スカラー場\(f:\mathbb{R} ^{2}\supset \left[ 0,1\right] \times \left[ 0,1\right] \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \left[ 0,1\right] \times \left[ 0,1\right] \)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =2
\end{equation*}を定めるものとします。以下の極限\begin{equation*}
\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( 0,1\right) }f\left( x,y\right)
\end{equation*}は有限な実数として定まるでしょうか。議論してください。

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問題(多変数の定数関数の極限)
スカラー場\(f:\mathbb{R} _{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =\left\{
\begin{array}{ll}
0 & \left( if\ xy<0\right) \\
1 & \left( if\ xy\geq 0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。以下の極限\begin{equation*}
\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( 0,0\right) }f\left( x,y\right)
\end{equation*}は有限な実数として定まるでしょうか。議論してください。

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次回は多変数の座標関数の極限について解説します。

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