ベクトル値関数と多変数関数の合成関数
集合\(X,Y\)に加えて1変数のベクトル値関数と多変数の実数値関数\begin{eqnarray*}\boldsymbol{f} &:&\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{n} \\
g &:&\mathbb{R} ^{n}\supset Y\rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}が与えられた状況を想定します。加えて、\(\boldsymbol{f}\)の値域が\(g\)の定義域の部分集合であるものとします。つまり、\begin{equation*}\boldsymbol{f}\left( X\right) \subset Y
\end{equation*}すなわち、\begin{equation}
\forall x\in X:\boldsymbol{f}\left( x\right) \in Y \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立つということです。
関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{n}\)は自身の定義域\(X\)の要素である実数\(x\in X\)に対して、ベクトル\begin{equation*}\boldsymbol{f}\left( x\right) =\left(
\begin{array}{c}
f_{1}\left( x\right) \\
\vdots \\
f_{n}\left( x\right)
\end{array}\right) \in \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}を定めますが、仮定\(\left( 1\right) \)より、このベクトル\(\boldsymbol{f}\left( x\right) \)は関数\(g:\mathbb{R} ^{n}\supset Y\rightarrow \mathbb{R} \)の定義域\(Y\)の要素であるため、\(g\)はこのベクトル\(\boldsymbol{f}\left( x\right) \in Y\)に対して実数\begin{equation*}g\left( \boldsymbol{f}\left( x\right) \right) =g\left(
\begin{array}{c}
f_{1}\left( x\right) \\
\vdots \\
f_{n}\left( x\right)
\end{array}\right) \in \mathbb{R} \end{equation*}を定めます。
このような事情を踏まえると、先のような2つの関数\(\boldsymbol{f},g\)が与えられた場合には、関数\(\boldsymbol{f}\)の定義域\(X\)の要素であるそれぞれの実数\(x\in X\)に対して、以下の実数\begin{equation*}\left( g\circ \boldsymbol{f}\right) \left( x\right) =g\left( \boldsymbol{f}\left( x\right) \right) =g\left(
\begin{array}{c}
f_{1}\left( x\right) \\
\vdots \\
f_{n}\left( x\right)
\end{array}\right)
\end{equation*}を定める1変数の実数値関数\begin{equation*}
g\circ \boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能です。これを\(\boldsymbol{f}\)と\(g\)の合成関数（composite function）と呼びます。
\begin{array}{c}
x^{2}-x \\
x+1\end{array}\right)
\end{equation*}を定め、関数\(g:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}g\left( x,y\right) =x^{2}+y^{2}
\end{equation*}を定めるものとします。\(\boldsymbol{f}\)の値域\(\boldsymbol{f}\left( \mathbb{R} \right) \)は明らかに\(g\)の定義域\(\mathbb{R} ^{2}\)の部分集合であるため合成関数\(g\circ \boldsymbol{f}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)が定義可能であり、これはそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}\left( g\circ \boldsymbol{f}\right) \left( x\right) &=&g\left( \boldsymbol{f}\left( x\right) \right) \quad \because \text{合成関数の定義} \\
&=&g\left(
\begin{array}{c}
x^{2}-x \\
x+1\end{array}\right) \quad \because \boldsymbol{f}\text{の定義} \\
&=&\left( x^{2}-x\right) ^{2}+\left( x+1\right) ^{2}\quad \because g\text{の定義}
\end{eqnarray*}を定めます。
\begin{array}{c}
\cos \left( \theta \right) \\
\sin \left( \theta \right)
\end{array}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。関数\(g:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)は平面上のそれぞれの点\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、点\(\left( 1,1\right) \)との距離\begin{equation*}g\left( x,y\right) =\sqrt{\left( x-1\right) ^{2}+\left( y-1\right) ^{2}}
\end{equation*}を定めるものとします。このとき、合成関数\(g\circ \boldsymbol{f}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれのラジアン\(\theta \in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}\left( g\circ \boldsymbol{f}\right) \left( \theta \right) &=&g\left(
\boldsymbol{f}\left( \theta \right) \right) \quad \because \text{合成関数の定義} \\
&=&g\left(
\begin{array}{c}
\cos \left( \theta \right) \\
\sin \left( \theta \right)
\end{array}\right) \quad \because \boldsymbol{f}\text{の定義} \\
&=&\sqrt{\left( \cos \left( \theta \right) -1\right) ^{2}+\left( \sin \left(
\theta \right) -1\right) ^{2}}\quad \because g\text{の定義}
\end{eqnarray*}を定めます。つまり、\(g\circ \boldsymbol{f}\)はラジアン\(\theta \)に対応する単位円上の点と点\(\left( 1,1\right) \)の間の距離を特定する1変数関数です。
合成関数の定義域（合成関数が定義可能であるための条件）
ベクトル値関数\(\boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{n}\)の値域が多変数関数\(g:\mathbb{R} ^{n}\supset Y\rightarrow \mathbb{R} \)の定義域の部分集合である場合には、つまり、\begin{equation*}\boldsymbol{f}\left( X\right) \subset Y
\end{equation*}すなわち、\begin{equation}
\forall x\in X:\boldsymbol{f}\left( x\right) \in Y \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立つ場合には合成関数\(g\circ \boldsymbol{f}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義可能です。
一方、上の条件が成り立たない場合には、すなわち、\(\left( 1\right) \)の否定である、\begin{equation}\exists x_{0}\in X:\boldsymbol{f}\left( x_{0}\right) \not\in Y \quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立つ場合には、点\(\boldsymbol{f}\left( x_{0}\right) \)においてそもそも関数\(g\)は定義されていないため\(g\left( \boldsymbol{f}\left( x_{0}\right) \right) \)は定義不可能であり、したがって、点\(x_{0}\)において合成関数\(g\circ \boldsymbol{f}\)は定義不可能です。ゆえに、\(\left( 2\right) \)が成り立つ場合には合成関数\(g\circ \boldsymbol{f}\)の定義域として\(X\)を採用できません。
\(\left( 2\right) \)が成り立つ状況において合成関数\(g\circ \boldsymbol{f}\)を定義するためには、\(\left( 2\right) \)を満たす点\(x_{0}\)を定義域\(X\)から除外する必要があります。つまり、合成関数\(g\circ \boldsymbol{f}\)の定義域として、\(\boldsymbol{f}\left( x\right) \in Y\)を満たすような点\(x\in X\)からなる集合\begin{equation*}D\left( g\circ \boldsymbol{f}\right) =\left\{ x\in X\ |\ \boldsymbol{f}\left( x\right) \in Y\right\}
\end{equation*}を採用する必要があります。
\begin{array}{c}
x^{2} \\
x^{2}-1\end{array}\right)
\end{equation*}を定め、関数\(g:\mathbb{R} ^{2}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in X\)に対して、\begin{equation*}g\left( x,y\right) =\sqrt{x+y-3}
\end{equation*}を定めるものとします。\(g\)の定義域が、\begin{equation*}X=\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ x+y\geq 3\right\}
\end{equation*}であることを踏まえると、合成関数\(g\circ \boldsymbol{f}\)の定義域は、\begin{eqnarray*}D\left( g\circ \boldsymbol{f}\right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ \boldsymbol{f}\left( x\right) \in X\right\} \\
&=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ \left(
\begin{array}{c}
x^{2} \\
x^{2}-1\end{array}\right) \in X\right\} \quad \because \boldsymbol{f}\text{の定義} \\
&=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ x^{2}+\left( x^{2}-1\right) \geq 3\right\} \quad \because X\text{の定義} \\
&=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ x^{2}\geq 2\right\} \\
&=&(-\infty ,\sqrt{2}]\cup \lbrack \sqrt{2},+\infty )
\end{eqnarray*}となります。さらに、この合成関数\(g\circ \boldsymbol{f}:D\left( g\circ \boldsymbol{f}\right) \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in D\left( g\circ \boldsymbol{f}\right) \)に対して、\begin{eqnarray*}\left( g\circ \boldsymbol{f}\right) \left( x\right) &=&g\left( \boldsymbol{f}\left( x\right) \right) \\
&=&g\left(
\begin{array}{c}
x^{2} \\
x^{2}-1\end{array}\right) \quad \because \boldsymbol{f}\text{の定義} \\
&=&\sqrt{x^{2}+\left( x^{2}-1\right) -3}\quad \because g\text{の定義} \\
&=&\sqrt{2x^{2}-4}
\end{eqnarray*}を定めます。
\begin{array}{c}
\cos \left( x\right) \\
\sin \left( x\right)
\end{array}\right)
\end{equation*}を定め、関数\(g:\mathbb{R} ^{2}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in X\)に対して、\begin{equation*}g\left( x,y\right) =\sqrt{x+y-3}
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\(g\)の定義域は、\begin{equation*}X=\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ x+y\geq 3\right\}
\end{equation*}です。正弦関数および余弦関数の定義より、任意の\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}-1 &\leq &\cos \left( x\right) \leq 1 \\
-1 &\leq &\sin \left( x\right) \leq 1
\end{eqnarray*}が成り立つため、任意の\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}\left(
\begin{array}{c}
\cos \left( x\right) \\
\sin \left( x\right)
\end{array}\right) \not\in X
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\boldsymbol{f}\left( x\right) \not\in X
\end{equation*}となります。したがって、合成関数\(g\circ \boldsymbol{f}\)は定義不可能です。
演習問題
\begin{array}{c}
x+1 \\
x-1\end{array}\right)
\end{equation*}を定め、関数\(g:\mathbb{R} ^{2}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in X\)に対して、\begin{equation*}g\left( x,y\right) =\frac{1}{x+y}
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\begin{equation*}
X=\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ x+y\not=0\right\}
\end{equation*}です。合成関数\(g\circ \boldsymbol{f}\)とその定義域を特定してください。
\begin{array}{c}
x^{2}+1 \\
x^{2}-1\end{array}\right)
\end{equation*}を定め、関数\(g:\mathbb{R} ^{2}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in X\)に対して、\begin{equation*}g\left( x,y\right) =\ln \left( x+y\right)
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\begin{equation*}
X=\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ x+y>0\right\}
\end{equation*}です。合成関数\(g\circ \boldsymbol{f}\)とその定義域を特定してください。
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