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多変数関数

ベクトル値関数と多変数関数の合成関数

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ベクトル値関数と多変数関数の合成関数

ベクトル値関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{n}\)の値域が多変数関数\(g:\mathbb{R} ^{n}\supset Y\rightarrow \mathbb{R} \)の定義域の部分集合であるものとします。つまり、\begin{equation*}f\left( X\right) \subset Y
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall x\in X:f\left( x\right) \in Y
\end{equation*}が成り立つということです。ベクトル値関数\(f\)は定義域のそれぞれの要素\(x\in X\)に対してベクトル\begin{equation*}f\left( x\right) =\left( f_{1}\left( x\right) ,\cdots ,f_{n}\left( x\right)
\right) \in \mathbb{R} ^{n}
\end{equation*}を定めます。ただし、\(f_{i}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \ \left( i=1,\cdots ,n\right) \)は\(f\)の成分関数です。先の条件のもとではこの点\(f\left( x\right) \)は多変数関数\(g\)の定義域\(Y\)の要素であることが保証されるため、\(g\)はこの点\(f\left( x\right) \)に対して実数\begin{equation*}g\left( f\left( x\right) \right) =g\left( f_{1}\left( x\right) ,\cdots
,f_{n}\left( x\right) \right) \in \mathbb{R} \end{equation*}を定めます。このような事情を踏まえると、先の条件が満たされる場合、それぞれの\(x\in X\)に対して実数\(g\left( f\left( x\right) \right) \in \mathbb{R} \)を値として定める1変数関数が定義可能です。この1変数関数を、\begin{equation*}g\circ f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}で表記し、\(f\)と\(g\)の合成関数(composite function)と呼びます。定義より、合成関数\(g\circ f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in X\)に対して定める値は、\begin{eqnarray*}\left( g\circ f\right) \left( x\right) &=&g\left( f\left( x\right) \right)
\\
&=&g\left( f_{1}\left( x\right) ,\cdots ,f_{n}\left( x\right) \right)
\end{eqnarray*}という実数です。

例(多変数関数とベクトル値関数の合成関数)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left( f_{1}\left( x\right) ,f_{2}\left( x\right) \right)
=\left( x^{2}-x,x+1\right)
\end{equation*}を定め、関数\(g:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}g\left( x,y\right) =x^{2}+y^{2}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)の値域\(f\left( \mathbb{R} \right) \)は明らかに\(g\)の定義域\(\mathbb{R} ^{2}\)の部分集合であるため合成関数\(g\circ f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)が定義可能であり、これはそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}\left( g\circ f\right) \left( x\right) &=&g\left( f\left( x\right) \right)
\quad \because \text{合成関数の定義} \\
&=&g\left( f_{1}\left( x\right) ,f_{2}\left( x\right) \right) \\
&=&g\left( x^{2}-x,x+1\right) \quad \because f\text{の定義}
\\
&=&\left( x^{2}-x\right) ^{2}+\left( x+1\right) ^{2}\quad \because g\text{の定義}
\end{eqnarray*}を定めます。

例(多変数関数とベクトル値関数の合成関数)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれのラジアン\(\theta \in \mathbb{R} \)に対して、それに対応する単位円上の点の座標\begin{equation*}f\left( \theta \right) =\left( f_{1}\left( \theta \right) ,f_{2}\left(
\theta \right) \right) =\left( \cos \left( \theta \right) ,\sin \left(
\theta \right) \right)
\end{equation*}を定めるものとします。関数\(g:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)は平面上のそれぞれの点\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、点\(\left( 1,1\right) \)との距離\begin{equation*}g\left( x,y\right) =\sqrt{\left( x-1\right) ^{2}+\left( y-1\right) ^{2}}
\end{equation*}を定めるものとします。このとき、合成関数\(g\circ f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれのラジアン\(\theta \in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}\left( g\circ f\right) \left( \theta \right) &=&g\left( f\left( \theta
\right) \right) \quad \because \text{合成関数の定義} \\
&=&g\left( f_{1}\left( \theta \right) ,f_{2}\left( \theta \right) \right) \\
&=&g\left( \cos \left( \theta \right) ,\sin \left( \theta \right) \right)
\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\sqrt{\left( \cos \left( \theta \right) -1\right) ^{2}+\left( \sin \left(
\theta \right) -1\right) ^{2}}\quad \because g\text{の定義}
\end{eqnarray*}を定めます。つまり、\(g\circ f\)はラジアン\(\theta \)に対応する単位円上の点と点\(\left( 1,1\right) \)の間の距離を特定する1変数関数です。

 

合成関数の定義域

繰り返しになりますが、ベクトル値関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{n}\)の値域が多変数関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset Y\rightarrow \mathbb{R} \)の定義域の部分集合である場合には、つまり、\begin{equation*}f\left( X\right) \subset Y
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall x\in X:f\left( x\right) \in Y
\end{equation*}が成り立つ場合には合成関数\(g\circ f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義可能です。一方、上の条件が成り立たない場合には、すなわち、\begin{equation*}\exists x\in X:f\left( x\right) \not\in Y
\end{equation*}が成り立つ場合、関数\(g\)はそもそも上の点\(f\left( x\right) \)において定義されていないため\(g\left( f\left(x\right) \right) \)は定義不可能であり、したがって合成関数\(g\circ f\)は定義不可能です。以上を踏まえると、合成関数\(g\circ f\)の定義域は\(f\left( x\right) \in Y\)を満たすような点\(x\in X\)からなる集合\begin{eqnarray*}D\left( g\circ f\right) &=&\left\{ x\in X\ |\ f\left( x\right) \in
Y\right\} \\
&=&\left\{ x\in X\ |\ \left( f_{1}\left( x\right) ,\cdots ,f_{n}\left(
x\right) \right) \in Y\right\}
\end{eqnarray*}となります。

例(合成関数の定義域)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left( f_{1}\left( x\right) ,f_{2}\left( x\right) \right)
=\left( x^{2},x^{2}-1\right)
\end{equation*}を定め、関数\(g:\mathbb{R} ^{2}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in X\)に対して、\begin{equation*}g\left( x,y\right) =\sqrt{x+y-3}
\end{equation*}を定めるものとします。\(g\)の定義域が、\begin{equation*}X=\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ x+y\geq 3\right\}
\end{equation*}であることを踏まえると、合成関数\(g\circ f\)の定義域は、\begin{eqnarray*}D\left( g\circ f\right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ f\left( x\right) \in X\right\} \\
&=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ \left( f_{1}\left( x\right) ,f_{2}\left( x\right) \right) \in X\right\}
\\
&=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ \left( x^{2},x^{2}-1\right) \in X\right\} \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ x^{2}+\left( x^{2}-1\right) \geq 3\right\} \quad \because X\text{の定義} \\
&=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ x^{2}\geq 2\right\} \\
&=&(-\infty ,\sqrt{2}]\cup \lbrack \sqrt{2},+\infty )
\end{eqnarray*}となります。さらに、この合成関数\(g\circ f:D\left(g\circ f\right) \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in D\left( g\circ f\right) \)に対して、\begin{eqnarray*}\left( g\circ f\right) \left( x\right) &=&g\left( f\left( x\right) \right)
\\
&=&g\left( f_{1}\left( x\right) ,f_{2}\left( x\right) \right) \\
&=&g\left( x^{2},x^{2}-1\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\sqrt{x^{2}+\left( x^{2}-1\right) -3}\quad \because g\text{の定義} \\
&=&\sqrt{2x^{2}-4}
\end{eqnarray*}を定めます。

例(合成関数の定義域)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left( f_{1}\left( x\right) ,f_{2}\left( x\right) \right)
=\left( \cos \left( x\right) ,\sin \left( x\right) \right)
\end{equation*}を定め、関数\(g:\mathbb{R} ^{2}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in X\)に対して、\begin{equation*}g\left( x,y\right) =\sqrt{x+y-3}
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\(g\)の定義域は、\begin{equation*}X=\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ x+y\geq 3\right\}
\end{equation*}です。正弦関数および余弦関数の定義より、任意の\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}-1 &\leq &\cos \left( x\right) \leq 1 \\
-1 &\leq &\sin \left( x\right) \leq 1
\end{eqnarray*}が成り立つため、任意の\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}\left( \cos \left( x\right) ,\sin \left( x\right) \right) \not\in X
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\left( f_{1}\left( x\right) ,f_{2}\left( x\right) \right) \not\in X
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
f\left( x\right) \not\in X
\end{equation*}となります。したがって、合成関数\(g\circ f\)は定義不可能です。

 

演習問題

問題(合成関数の定義域)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left( x+1,x-1\right)
\end{equation*}を定め、関数\(g:\mathbb{R} ^{2}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in X\)に対して、\begin{equation*}g\left( x,y\right) =\frac{1}{x+y}
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\begin{equation*}
X=\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ x+y\not=0\right\}
\end{equation*}です。合成関数\(g\circ f\)とその定義域を特定してください。
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問題(合成関数の定義域)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left( x^{2}+1,x^{2}-1\right)
\end{equation*}を定め、関数\(g:\mathbb{R} ^{2}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in X\)に対して、\begin{equation*}g\left( x,y\right) =\ln \left( x+y\right)
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\begin{equation*}
X=\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ x+y>0\right\}
\end{equation*}です。合成関数\(g\circ f\)とその定義域を特定してください。
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