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MULTIVARIABLE FUNCTION

スカラー場(多変数関数)の定数倍の極限

目次

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収束するスカラー場の定数倍の極限

スカラー場\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と実数\(c\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、それぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}\left( c\cdot f\right) \left( x\right) =c\cdot f\left( x\right)
\end{equation*}を定める新たなスカラー場\(c\cdot f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義可能です。\(f\)が点\(a\in \mathbb{R} ^{n}\)の周辺にある任意の点において定義されているとともに\(x\rightarrow a\)のときに有限な実数へ収束するならば、スカラー場\(c\cdot f\)もまた\(x\rightarrow a\)のときに有限な実数へ収束し、両者の極限の間には、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}\left( c\cdot f\right) \left( x\right) =c\cdot
\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right)
\end{equation*}という関係が成り立ちます。

命題(収束するスカラー場のスカラー倍の極限)
スカラー場\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と実数\(c\in \mathbb{R} \)がそれぞれ任意に与えられたとき、そこからスカラー場\(c\cdot f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を定義する。\(f\)が点\(a\in \mathbb{R} ^{n}\)の周辺の任意の点において定義されているとともに\(x\rightarrow a\)の場合に有限な実数へ収束するならば、\(c\cdot f\)もまた\(x\rightarrow a\)のときに有限な実数へ収束し、それらの極限の間には、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}\left( c\cdot f\right) \left( x\right) =c\cdot
\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right)
\end{equation*}という関係が成り立つ。

証明

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つまり、\(x\rightarrow a\)のときに収束するスカラー場\(f\)の定数倍の形をしているスカラー場\(c\cdot f\)が与えられたとき、\(c\cdot f\)もまた\(x\rightarrow a\)のときに収束することが保証されるとともに、\(f\)の極限を\(c\)倍すれば\(c\cdot f\)の極限が得られることを上の命題は保証しています。したがって、何らかのスカラー場\(f\)の定数倍の形をしているスカラー場\(c\cdot f\)の収束可能性を検討する際には、スカラー場の収束の定義にさかのぼって考える前に、まずは\(c\)と\(f\)を分けた上で、\(f\)が収束することを確認すればよいということになります。

例(収束するスカラー場の定数倍の極限)
スカラー場\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =\frac{x}{2}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は座標関数\(x\)の定数倍(\(\frac{1}{2}\)倍)として定義されています。点\(\left( a,b\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)を任意に選んだとき、座標関数\(x\)は、\begin{equation}\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) }x=a \quad \cdots (1)
\end{equation}を満たします。以上より、\begin{eqnarray*}
\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) }f\left( x,y\right)
&=&\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) }\frac{x}{2}\quad
\because f\text{の定義} \\
&=&\frac{1}{2}\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) }x\quad
\because \text{収束するスカラー場の定数倍} \\
&=&\frac{1}{2}a\quad \because \left( 1\right)
\end{eqnarray*}が成り立ちます。したがって、例えば、\begin{eqnarray*}
\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( 1,1\right) }\frac{x}{2} &=&\frac{1}{2} \\
\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( 1,0\right) }\frac{x}{2} &=&\frac{1}{2} \\
\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( 0,1\right) }\frac{x}{2} &=&\frac{0}{2}=0 \\
\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( 0,0\right) }\frac{x}{2} &=&\frac{0}{2}=0
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。

例(収束するスカラー場の定数倍の極限)
スカラー場\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =\cos \left( 3x\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は座標関数\(x\)の定数倍(\(3\)倍)と余弦関数の合成関数です。点\(\left( a,b\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) }f\left( x,y\right)
&=&\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) }\cos \left(
3x\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\lim_{3x\rightarrow 3a}\cos \left( 3x\right) \quad \because \text{収束するスカラー場の定数倍} \\
&=&\cos \left( 3a\right) \quad \because \text{余弦関数の連続性}
\end{eqnarray*}が成り立ちます。したがって、例えば、\begin{eqnarray*}
\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( \frac{\pi }{3},\frac{\pi }{3}\right) }\cos \left( 3x\right) &=&\cos \left( \pi \right) =-1 \\
\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( \frac{\pi }{3},0\right) }\cos
\left( 3x\right) &=&\cos \left( \pi \right) =-1 \\
\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( 0,\frac{\pi }{3}\right) }\cos
\left( 3x\right) &=&\cos \left( 0\right) =1 \\
\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( 0,0\right) }\cos \left( 3x\right)
&=&\cos \left( 0\right) =1
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。

例(収束するスカラー場の定数倍の極限)
スカラー場\(f:\mathbb{R} _{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =\sqrt{\frac{y}{2}}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は座標関数\(y\)の定数倍(\(\frac{1}{2}\)倍)と無理関数の合成関数です。点\(\left( a,b\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) }f\left( x,y\right)
&=&\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) }\sqrt{\frac{y}{2}}\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\lim_{\frac{y}{2}\rightarrow \frac{b}{2}}\sqrt{\frac{y}{2}}\quad \because
\text{収束するスカラー場の定数倍} \\
&=&\sqrt{\frac{b}{2}}\quad \because \text{無理関数の連続性}
\end{eqnarray*}が成り立ちます。したがって、例えば、\begin{eqnarray*}
\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( 1,1\right) }\sqrt{\frac{y}{2}} &=&\sqrt{\frac{1}{2}} \\
\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( 1,0\right) }\sqrt{\frac{y}{2}} &=&\sqrt{0}=0 \\
\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( 0,1\right) }\sqrt{\frac{y}{2}} &=&\sqrt{\frac{1}{2}} \\
\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( 0,0\right) }\sqrt{\frac{y}{2}} &=&\sqrt{0}=0
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。

 

演習問題

問題(収束するスカラー場の定数倍の極限)
スカラー場\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =\ln \left( -\frac{2}{3}y\right)
\end{equation*}を定めるものとします。以下の極限\begin{equation*}
\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( 1,1\right) }f\left( x,y\right)
\end{equation*}は有限な実数として定まるでしょうか。議論してください。

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問題(収束するスカラー場の定数倍の極限)
スカラー場\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =\sin \left( 2x\right)
\end{equation*}を定めるものとします。以下の極限\begin{equation*}
\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( \pi ,\pi \right) }f\left(
x,y\right)
\end{equation*}は有限な実数として定まるでしょうか。議論してください。

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次回はスカラー場の和として定義されるスカラー場について解説します。

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