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SCALAR FIELD

スカラー場の定数倍の極限

収束するスカラー場の定数倍の極限

スカラー場\(f:\mathbb{R}^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R}\)と実数\(c\in \mathbb{R}\)が与えられたとき、それぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}
\left( c\cdot f\right) \left( x\right) =c\cdot f\left( x\right)
\end{equation*}を定める新たなスカラー場\(c\cdot f:\mathbb{R}^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R}\)が定義可能です。\(f\)が点\(a\in \mathbb{R}^{n}\)の周辺にある任意の点において定義されているとともに\(x\rightarrow a\)のときに有限な実数へ収束するならば、スカラー場\(c\cdot f\)もまた\(x\rightarrow a\)のときに有限な実数へ収束し、両者の極限の間には、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow a}\left( c\cdot f\right) \left( x\right) =c\cdot
\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right)
\end{equation*}という関係が成り立ちます。

命題(収束するスカラー場の定数倍の極限)
スカラー場\(f:\mathbb{R}^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R}\)と実数\(c\in \mathbb{R}\)がそれぞれ任意に与えられたとき、そこからスカラー場\(c\cdot f:\mathbb{R}^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R}\)を定義する。点\(a\in \mathbb{R}^{n}\)について、\(x\rightarrow a\)の場合に\(f\)が有限な実数へ収束するならば、\(c\cdot f\)もまた\(x\rightarrow a\)のときに有限な実数へ収束し、そこでの極限は、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow a}\left( c\cdot f\right) \left( x\right) =c\cdot
\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right)
\end{equation*}を満たす。
証明
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つまり、\(x\rightarrow a\)のときに収束するスカラー場\(f\)の定数倍の形をしているスカラー場\(c\cdot f\)が与えられたとき、\(c\cdot f\)もまた\(x\rightarrow a\)のときに収束することが保証されるとともに、\(f\)の極限を\(c\)倍すれば\(c\cdot f\)の極限が得られることを上の命題は保証しています。したがって、何らかのスカラー場\(f\)の定数倍の形をしているスカラー場\(c\cdot f\)の収束可能性を検討する際には、スカラー場の収束の定義にさかのぼって考える前に、まずは\(c\)と\(f\)を分けた上で、\(f\)が収束することを確認すればよいということになります。

例(収束するスカラー場の定数倍の極限)
スカラー場\(f:\mathbb{R}^{2}\rightarrow \mathbb{R}\)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R}^{2}\)に対して、\begin{equation*}
f\left( x,y\right) =\frac{xy}{2}
\end{equation*}を定めるものとします。点\(\left( a,b\right) \in \mathbb{R}^{2}\)を任意に選んだとき、\(f\)は\(\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) \)の場合に有限な実数へ収束するでしょうか。\(f\)はスカラー場\(xy\)の定数倍(\(\frac{1}{2}\)倍)として定義されていますが、スカラー場\(xy\)は\(\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) \)のときに有限な実数へ収束するとともに、\begin{equation}
\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) }xy=ab \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立ちます。したがって先の命題より\(f\)もまた\(\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) \)のときに有限な実数へ収束するとともに、\begin{eqnarray*}
\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) }f\left( x,y\right)
&=&\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) }\left( \frac{xy}{2}\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) }\left( \frac{1}{2}xy\right) \\
&=&\frac{1}{2}\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) }xy\quad
\because \left( 1\right) \\
&=&\frac{1}{2}ab\quad \because \left( 1\right)
\end{eqnarray*}が成り立ちます。
例(収束するスカラー場の定数倍の極限)
スカラー場\(f:\mathbb{R}^{2}\rightarrow \mathbb{R}\)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R}^{2}\)に対して、\begin{equation*}
f\left( x,y\right) =2x
\end{equation*}を定めるものとします。点\(\left( a,b\right) \in \mathbb{R}^{2}\)を任意に選んだとき、\(f\)は\(\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) \)の場合に有限な実数へ収束するでしょうか。\(f\)はスカラー場\(x\)の定数倍(\(2\)倍)として定義されていますが、スカラー場\(x\)は変数\(x\)に関する恒等関数であるため、\begin{equation}
\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) }x=a \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立ちます。したがって先の命題より\(f\)もまた\(\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) \)のときに有限な実数へ収束するとともに、\begin{eqnarray*}
\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) }f\left( x,y\right)
&=&\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) }\left( 2x\right)
\quad \because f\text{の定義} \\
&=&2\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) }x\quad \because
\text{収束するスカラー場の定数倍} \\
&=&2a\quad \because \left( 1\right)
\end{eqnarray*}が成り立ちます。

 

応用例

先の命題と連続関数の性質を利用すると、より広範なスカラー場の極限を容易に求められます。

例(スカラー場の極限)
スカラー場\(f:\mathbb{R}^{2}\rightarrow \mathbb{R}\)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R}^{2}\)に対して、\begin{equation}
f\left( x,y\right) =\cos \left( 3x\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}を定めるものとします。点\(\left( a,b\right) \in \mathbb{R}^{2}\)を任意に選んだとき、\(\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) \)の場合に\(f\)は有限な実数へ収束するでしょうか。スカラー場\(3x\)に関しては、先の命題より、\begin{equation}
\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) }\left( 3x\right) =3a
\quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立ちます。ここで重要なことは余弦関数\(\cos \)が定義域\(\mathbb{R}\)で連続であるという事実です。したがって、余弦関数\(\cos \)は点\(3a\)においても連続であるため、連続性の定義より、\begin{equation}
\lim_{3x\rightarrow 3a}\cos \left( 3x\right) =\cos \left( 3a\right) \quad \cdots (3)
\end{equation}が成り立ちます。以上を踏まえると、\begin{eqnarray*}
\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) }f\left( x,y\right)
&=&\lim_{3x\rightarrow 3a}\cos \left( 3x\right) \quad \because \left(
1\right) ,\left( 2\right) \\
&=&\cos \left( 3a\right) \quad \because \left( 3\right) \\
&=&f\left( a,b\right) \quad \because \left( 1\right)
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) }f\left( x,y\right)
=f\left( a,b\right)
\end{equation*}という関係を得ます。つまり、問題としているスカラー場\(f\left( x,y\right) \)の変数\(\left( x,y\right) \)に\(\left( a,b\right) \)を代入して値\(f\left( a,b\right) \)を求めれば、それが\(\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) \)のときの\(f\)の極限と一致することが保証されます。
例(スカラー場の極限)
スカラー場\(f:\mathbb{R}_{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R}\)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R}_{+}^{2}\)に対して、\begin{equation*}
f\left( x,y\right) =\sqrt{\frac{y}{2}}
\end{equation*}を定めるものとします。\(\left( x,y\right) \rightarrow \left( 1,1\right) \)のときに\(f\left( x,y\right) \)は有限な実数へ収束するでしょうか。スカラー場\(\frac{y}{2}\)に関しては、\begin{equation*}
\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( 1,1\right) }\left( \frac{y}{2}\right) =\frac{1}{2}
\end{equation*}が成り立つとともに、平方根関数は点\(\frac{1}{2}\)において連続であるため、\begin{eqnarray*}
\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( 1,1\right) }f\left( x,y\right)
&=&f\left( 1,1\right) \\
&=&\sqrt{\frac{1}{2}}
\end{eqnarray*}となります。

 

演習問題

問題(収束するスカラー場の定数倍の極限)
スカラー場\(f:\mathbb{R}^{2}\rightarrow \mathbb{R}\)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R}^{2}\)に対して、\begin{equation*}
f\left( x,y\right) =\ln x^{-\frac{\pi }{2}}
\end{equation*}を定めるものとします。\(\left( x,y\right) \rightarrow \left( 1,1\right) \)のときの\(f\)の極限を求めてください。
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問題(収束するスカラー場の定数倍の極限)
スカラー場\(f:\mathbb{R}^{2}\rightarrow \mathbb{R}\)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R}^{2}\)に対して、\begin{equation*}
f\left( x,y\right) =\sin \left( 2y\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(\left( x,y\right) \rightarrow \left( \pi ,\pi \right) \)のときの\(f\)の極限を求めてください。
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次回はスカラー場の和として定義されるスカラー場について解説します。

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