収束する多変数関数の定数倍の極限
多変数関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と実数\(c\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、それぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}\left( cf\right) \left( x\right) =cf\left( x\right) \in \mathbb{R} \end{equation*}を定める新たな多変数関数\(cf:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義可能です。
関数\(f\)が点\(a\in \mathbb{R} ^{n}\)の周辺にある任意の点において定義されているとともに\(x\rightarrow a\)のときに有限な実数へ収束するならば、関数\(cf\)もまた\(x\rightarrow a\)のときに有限な実数へ収束し、両者の極限の間には、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}\left( cf\right) \left( x\right) =c\lim_{x\rightarrow
a}f\left( x\right)
\end{equation*}という関係が成り立ちます。
命題（収束する多変数関数の定数倍の極限）
関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と実数\(c\in \mathbb{R} \)がそれぞれ任意に与えられたとき、そこから関数\(cf:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を定義する。\(f\)が点\(a\in \mathbb{R} ^{n}\)の周辺の任意の点において定義されているとともに\(x\rightarrow a\)の場合に有限な実数へ収束するならば、\(cf\)もまた\(x\rightarrow a\)の場合に有限な実数へ収束し、それらの極限の間には、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}\left( cf\right) \left( x\right) =c\lim_{x\rightarrow
a}f\left( x\right)
\end{equation*}という関係が成り立つ。
a}f\left( x\right)
\end{equation*}という関係が成り立つ。
つまり、\(x\rightarrow a\)のときに収束する関数\(f\)の定数倍の形をしている関数\(cf\)が与えられたとき、\(cf\)もまた\(x\rightarrow a\)のときに収束することが保証されるとともに、\(f\)の極限を\(c\)倍すれば\(cf\)の極限が得られることを上の命題は保証しています。したがって、何らかの関数\(f\)の定数倍の形をしている関数\(cf\)の収束可能性を検討する際には、関数の収束の定義にさかのぼって考える前に、まずは\(c\)と\(f\)を分けた上で、\(f\)が収束することを確認すればよいということになります。
例（収束する多変数関数の定数倍の極限）
関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} ^{n}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =-x_{k}
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\(x_{k}\)は点\(x\in \mathbb{R} ^{n}\)の第\(k\)成分です。点\(a\in \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow a}\left(
-x_{k}\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&-\lim_{x\rightarrow a}x_{k}\quad \because \text{収束する関数の定数倍の極限} \\
&=&-a_{k}\quad \because \text{座標関数の極限}
\end{eqnarray*}が成り立ちます。
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\(x_{k}\)は点\(x\in \mathbb{R} ^{n}\)の第\(k\)成分です。点\(a\in \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow a}\left(
-x_{k}\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&-\lim_{x\rightarrow a}x_{k}\quad \because \text{収束する関数の定数倍の極限} \\
&=&-a_{k}\quad \because \text{座標関数の極限}
\end{eqnarray*}が成り立ちます。
例（収束する多変数関数の定数倍の極限）
関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =\frac{y}{2}
\end{equation*}を定めるものとします。点\(\left( a,b\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) }f\left( x,y\right)
&=&\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) }\frac{y}{2}\quad
\because f\text{の定義} \\
&=&\frac{1}{2}\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) }y\quad
\because \text{収束する関数の定数倍の極限} \\
&=&\frac{1}{2}b\quad \because \text{座標関数の極限}
\end{eqnarray*}が成り立ちます。
\end{equation*}を定めるものとします。点\(\left( a,b\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) }f\left( x,y\right)
&=&\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) }\frac{y}{2}\quad
\because f\text{の定義} \\
&=&\frac{1}{2}\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) }y\quad
\because \text{収束する関数の定数倍の極限} \\
&=&\frac{1}{2}b\quad \because \text{座標関数の極限}
\end{eqnarray*}が成り立ちます。
例（収束する多変数関数の定数倍の極限）
関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =\cos \left( 3y\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は多変数の座標関数\(y\)の定数倍（\(3\)倍）と余弦関数\(\cos \left( x\right) \)の合成関数です。余弦関数は連続であるため、点\(\left( a,b\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) }f\left( x,y\right)
&=&\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) }\cos \left(
3y\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\cos \left( \lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right)
}3y\right) \quad \because \text{合成関数の極限} \\
&=&\cos \left( 3\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right)
}y\right) \quad \because \text{収束する関数の定数倍の極限} \\
&=&\cos \left( 3b\right) \quad \because \text{座標関数の極限}
\end{eqnarray*}が成り立ちます。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は多変数の座標関数\(y\)の定数倍（\(3\)倍）と余弦関数\(\cos \left( x\right) \)の合成関数です。余弦関数は連続であるため、点\(\left( a,b\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) }f\left( x,y\right)
&=&\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) }\cos \left(
3y\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\cos \left( \lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right)
}3y\right) \quad \because \text{合成関数の極限} \\
&=&\cos \left( 3\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right)
}y\right) \quad \because \text{収束する関数の定数倍の極限} \\
&=&\cos \left( 3b\right) \quad \because \text{座標関数の極限}
\end{eqnarray*}が成り立ちます。
例（収束する多変数関数の定数倍の極限）
関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =\ln \left( 2x\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は多変数の座標関数\(x\)の定数倍（\(2\)倍）と対数関数\(\ln \left( x\right) \)合成関数です。対数関数は連続であるため、点\(\left( a,b\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) }f\left( x,y\right)
&=&\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) }\ln \left(
2x\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\ln \left( \lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) }\left(
2x\right) \right) \quad \because \text{合成関数の極限} \\
&=&\ln \left( 2\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right)
}x\right) \quad \because \text{収束する関数の定数倍の極限} \\
&=&\ln \left( 2a\right) \quad \because \text{座標関数の極限}
\end{eqnarray*}が成り立ちます。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は多変数の座標関数\(x\)の定数倍（\(2\)倍）と対数関数\(\ln \left( x\right) \)合成関数です。対数関数は連続であるため、点\(\left( a,b\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) }f\left( x,y\right)
&=&\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) }\ln \left(
2x\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\ln \left( \lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) }\left(
2x\right) \right) \quad \because \text{合成関数の極限} \\
&=&\ln \left( 2\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right)
}x\right) \quad \because \text{収束する関数の定数倍の極限} \\
&=&\ln \left( 2a\right) \quad \because \text{座標関数の極限}
\end{eqnarray*}が成り立ちます。
例（収束する多変数関数の定数倍の極限）
関数\(f:\mathbb{R} _{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =\left( \frac{y}{2}\right) ^{\frac{1}{2}}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は多変数の座標関数\(y\)の定数倍（\(\frac{1}{2}\)倍）と無理関数\(x^{\frac{1}{2}}\)の合成関数です。無理関数は連続であるため、点\(\left( a,b\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) }f\left( x,y\right)
&=&\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) }\left( \frac{y}{2}\right) ^{\frac{1}{2}}\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\left( \lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) }\frac{y}{2}\right) ^{\frac{1}{2}}\quad \because \text{合成関数の極限} \\
&=&\left( \frac{1}{2}\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right)
}y\right) ^{\frac{1}{2}}\quad \because \text{収束する関数の定数倍の極限} \\
&=&\left( \frac{b}{2}\right) ^{\frac{1}{2}}\quad \because \text{座標関数の極限}
\end{eqnarray*}が成り立ちます。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は多変数の座標関数\(y\)の定数倍（\(\frac{1}{2}\)倍）と無理関数\(x^{\frac{1}{2}}\)の合成関数です。無理関数は連続であるため、点\(\left( a,b\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) }f\left( x,y\right)
&=&\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) }\left( \frac{y}{2}\right) ^{\frac{1}{2}}\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\left( \lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) }\frac{y}{2}\right) ^{\frac{1}{2}}\quad \because \text{合成関数の極限} \\
&=&\left( \frac{1}{2}\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right)
}y\right) ^{\frac{1}{2}}\quad \because \text{収束する関数の定数倍の極限} \\
&=&\left( \frac{b}{2}\right) ^{\frac{1}{2}}\quad \because \text{座標関数の極限}
\end{eqnarray*}が成り立ちます。
変数が定義域の境界点に限りなく近づく場合の極限
以下は境界点における極限の例です。
例（変数が定義域の境界点に限りなく近づく場合の極限）
関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\supset \left[ 0,1\right] \times \left[ 0,1\right] \rightarrow \mathbb{R} \)の定義域上の境界点\(\left( 1,1\right) \)に注目したとき、\(f\)は点\(\left( 1,1\right) \)の周辺の任意の点において定義されているとは言えません。この場合、\(\left( x,y\right) \rightarrow \left( 1,1\right) \)の場合の\(f\)の極限とは、変数\(\left( x,y\right) \)が\(x\leq 1\)かつ\(y\leq 1\)かつ\(\left( x,y\right) \not=\left( 1,1\right) \)を満たしながら\(\left( 1,1\right) \)へ限りなく近づく場合の\(f\)の極限に相当します。以上を踏まえた上で、\begin{equation*}\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( 1,1\right) }f\left( x,y\right)
\in \mathbb{R} \end{equation*}が成り立つものとします。これは、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \forall v\in \mathbb{N} :x_{v}\leq 1 \\
&&\left( b\right) \ \forall v\in \mathbb{N} :y_{v}\leq 1 \\
&&\left( c\right) \ \forall v\in \mathbb{N} :\left( x_{v},y_{v}\right) \not=\left( 1,1\right) \\
&&\left( d\right) \ \lim_{v\rightarrow \infty }\left( x_{v},y_{v}\right)
=\left( 1,1\right)
\end{eqnarray*}を満たす点列\(\left\{ \left(x_{v},y_{v}\right) \right\} \)を任意に選んだとき、数列\(\left\{ f\left(x_{v},y_{v}\right) \right\} \)について、\begin{equation}\lim_{v\rightarrow \infty }f\left( x_{v},y_{v}\right) \in \mathbb{R} \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立つことを意味します。実数\(c\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で関数\begin{equation*}cf:\mathbb{R} ^{2}\supset \left[ 0,1\right] \times \left[ 0,1\right] \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を定義します。\(\left( a\right) \)から\(\left( d\right) \)を満たす点列\(\left\{ \left( x_{v},y_{v}\right) \right\} \)を任意に選んだとき、数列\(\left\{ \left( cf\right) \left( x_{v},y_{v}\right) \right\} \)について、\begin{eqnarray*}\lim_{v\rightarrow \infty }\left( cf\right) \left( x_{v},y_{v}\right)
&=&\lim_{v\rightarrow \infty }cf\left( x_{v},y_{v}\right) \quad \because
c\cdot f\text{の定義} \\
&=&c\lim_{v\rightarrow \infty }f\left( x_{v},y_{v}\right) \quad \because
\text{収束する数列の定数倍} \\
&\in &\mathbb{R} \quad \because \left( 1\right)
\end{eqnarray*}となるため、\begin{equation*}
\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( 1,1\right) }\left( cf\right)
\left( x,y\right) \in \mathbb{R} \end{equation*}が成り立つことが示されました。他の境界点についても同様に考えます。
\in \mathbb{R} \end{equation*}が成り立つものとします。これは、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \forall v\in \mathbb{N} :x_{v}\leq 1 \\
&&\left( b\right) \ \forall v\in \mathbb{N} :y_{v}\leq 1 \\
&&\left( c\right) \ \forall v\in \mathbb{N} :\left( x_{v},y_{v}\right) \not=\left( 1,1\right) \\
&&\left( d\right) \ \lim_{v\rightarrow \infty }\left( x_{v},y_{v}\right)
=\left( 1,1\right)
\end{eqnarray*}を満たす点列\(\left\{ \left(x_{v},y_{v}\right) \right\} \)を任意に選んだとき、数列\(\left\{ f\left(x_{v},y_{v}\right) \right\} \)について、\begin{equation}\lim_{v\rightarrow \infty }f\left( x_{v},y_{v}\right) \in \mathbb{R} \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立つことを意味します。実数\(c\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で関数\begin{equation*}cf:\mathbb{R} ^{2}\supset \left[ 0,1\right] \times \left[ 0,1\right] \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を定義します。\(\left( a\right) \)から\(\left( d\right) \)を満たす点列\(\left\{ \left( x_{v},y_{v}\right) \right\} \)を任意に選んだとき、数列\(\left\{ \left( cf\right) \left( x_{v},y_{v}\right) \right\} \)について、\begin{eqnarray*}\lim_{v\rightarrow \infty }\left( cf\right) \left( x_{v},y_{v}\right)
&=&\lim_{v\rightarrow \infty }cf\left( x_{v},y_{v}\right) \quad \because
c\cdot f\text{の定義} \\
&=&c\lim_{v\rightarrow \infty }f\left( x_{v},y_{v}\right) \quad \because
\text{収束する数列の定数倍} \\
&\in &\mathbb{R} \quad \because \left( 1\right)
\end{eqnarray*}となるため、\begin{equation*}
\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( 1,1\right) }\left( cf\right)
\left( x,y\right) \in \mathbb{R} \end{equation*}が成り立つことが示されました。他の境界点についても同様に考えます。
演習問題
問題（収束する多変数関数の定数倍の極限）
関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と実数\(c\in \mathbb{R} \)がそれぞれ任意に与えられたとき、そこから関数\(cf:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を定義します。\(f\)が点\(a\in \mathbb{R} ^{n}\)の周辺の任意の点において定義されているとともに\(x\rightarrow a\)の場合に有限な実数へ収束するならば、\(cf\)もまた\(x\rightarrow a\)の場合に有限な実数へ収束し、それらの極限の間には、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}\left( cf\right) \left( x\right) =c\lim_{x\rightarrow
a}f\left( x\right)
\end{equation*}という関係が成り立つことを本文中では点列を用いて示しましたが、同じことをイプシロン・デルタ論法を用いて示してください。
a}f\left( x\right)
\end{equation*}という関係が成り立つことを本文中では点列を用いて示しましたが、同じことをイプシロン・デルタ論法を用いて示してください。
問題（収束する多変数関数の定数倍の極限）
関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =\sin \left( 2\pi x\right)
\end{equation*}を定めるものとします。点\(\left( a,b\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) }f\left( x,y\right)
=\sin \left( 2\pi a\right)
\end{equation*}となることを示してください。
\end{equation*}を定めるものとします。点\(\left( a,b\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) }f\left( x,y\right)
=\sin \left( 2\pi a\right)
\end{equation*}となることを示してください。
問題（収束する多変数関数の定数倍の極限）
関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =e^{-\frac{y}{2}}
\end{equation*}を定めるものとします。点\(\left( a,b\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) }f\left( x,y\right)
=e^{-\frac{b}{2}}
\end{equation*}となることを示してください。
\end{equation*}を定めるものとします。点\(\left( a,b\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) }f\left( x,y\right)
=e^{-\frac{b}{2}}
\end{equation*}となることを示してください。
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