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スカラー場の連続性と点列の極限の関係

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スカラー場の連続性と点列の極限の関係

スカラー場の連続性は点列の極限を用いて表現することもでき、そちらの定義を利用した方がスカラー場が連続であることを容易に示すことができる場合があります。順を追って説明します。

復習になりますが、スカラー場\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が点\(a\in \mathbb{R} ^{n}\)の周辺の任意の点において定義されているとき、\(x\rightarrow a\)のときに\(f\)が有限な実数\(b\in \mathbb{R} \)へ収束することは点列を用いて表現することもできます。具体的には、\(a\)とは異なる\(X\)の点を項とするとともに\(a\)へ収束する点列\(\{x_{v}\}\)を任意に選んだときに、その点列と\(f\)から生成される数列\(\{f\left( x_{v}\right) \}\)が有限な実数\(b\)へ収束することは、\(x\rightarrow a\)のときにスカラー場\(f\)が有限な実数\(b\)へ収束するための必要十分条件です。

では、スカラー場が定義域上の点において連続であることもまた点列を用いて表現できるでしょうか。今、このスカラー場\(f\)が定義域上の点\(a\in X\)において連続であるならば、\(x\rightarrow a\)のときの\(f\)の極限は\(f\left( a\right) \)と一致するため、先の\(b\)を\(f\left( a\right) \)と置き換えることができます。さらに、\(f\)が点\(a\)において連続であるためには\(f\)は点\(a\)において定義されている必要があるため、先の点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)が点\(a\)を項として持つ可能性を排除する必要はありません。以上を踏まえると、点列\(f\)が定義域上の点\(a\in X\)において連続であることは、\(X\)の点を項とするとともに\(a\)へ収束する点列\(\{x_{v}\}\)を任意に選んだときに、その点列と\(f\)から生成される数列\(\{f\left( x_{v}\right) \}\)が\(f\left( a\right) \)へ収束することとして表現できそうです。実際、これは正しい主張です(演習問題にします)。

命題(スカラー場の連続性と点列の極限の関係)
スカラー場\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と定義域上の点\(a\in X\)が与えられたとき、\(X\)の点を項とするとともに\(a\)へ収束する点列\(\{x_{v}\}\)を任意に選んだ上で、そこから新たな数列\(\{f\left( x_{v}\right) \}\)をつくる。このように定義された任意の数列\(\{f\left( x_{v}\right) \}\)について、\begin{equation*}\lim\limits_{v\rightarrow +\infty }f\left( x_{v}\right) =f\left( a\right)
\end{equation*}が成り立つことは、スカラー場\(f\)が点\(a\)において連続であるための必要十分条件である。
証明

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以上の命題より、スカラー場の連続性に関する議論を点列の収束に関する議論に置き換えて考えることができます。

例(スカラー場の連続性と点列の極限の関係)
スカラー場\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =xy
\end{equation*}を定めるものとします。このスカラー場\(f\)が点\(\left( 0,0\right) \)において連続であることを点列を用いて示します。具体的には、点\(\left( 0,0\right) \)に収束する\(\mathbb{R} ^{2}\)上の点列を任意に選びます。つまり、\begin{equation*}\lim_{v\rightarrow \infty }\left( x_{v},y_{v}\right) =\left( 0,0\right)
\end{equation*}を満たす\(\mathbb{R} ^{2}\)上の点列\(\left\{ \left( x_{v},y_{v}\right)\right\} \)を任意に選ぶということです。以上の条件は、数列\(\left\{ x_{v}\right\},\left\{ y_{v}\right\} \)について、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \lim_{v\rightarrow \infty }x_{v}=0 \\
&&\left( b\right) \ \lim_{v\rightarrow \infty }y_{v}=0
\end{eqnarray*}がともに成り立つことと必要十分です。このとき、数列\(\left\{ f\left(x_{v},y_{v}\right) \right\} \)の極限について、\begin{eqnarray*}\lim_{v\rightarrow \infty }f\left( x_{v},y_{v}\right) &=&\lim_{v\rightarrow
\infty }\left( x_{v}y_{v}\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\lim_{v\rightarrow \infty }x_{v}\lim_{v\rightarrow \infty }y_{v}\quad
\because \text{収束する数列の積} \\
&=&0\cdot 0\quad \because \left( a\right) ,\left( b\right) \\
&=&f\left( 0,0\right) \quad \because f\text{の定義}
\end{eqnarray*}が成り立つため証明が完了しました。
例(スカラー場の連続性と点列の極限の関係)
スカラー場\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =\frac{xy}{x^{2}+y^{2}+1}
\end{equation*}を定めるものとします。このスカラー場\(f\)が点\(\left( 1,2\right) \)において連続であることを点列を用いて示します。具体的には、点\(\left( 1,2\right) \)に収束する\(\mathbb{R} ^{2}\)上の点列を任意に選びます。つまり、\begin{equation*}\lim_{v\rightarrow \infty }\left( x_{v},y_{v}\right) =\left( 1,2\right)
\end{equation*}を満たす\(\mathbb{R} ^{2}\)上の点列\(\left\{ \left( x_{v},y_{v}\right)\right\} \)を任意に選ぶということです。以上の条件は、数列\(\left\{ x_{v}\right\},\left\{ y_{v}\right\} \)について、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \lim_{v\rightarrow \infty }x_{v}=1 \\
&&\left( b\right) \ \lim_{v\rightarrow \infty }y_{v}=2
\end{eqnarray*}がともに成り立つことと必要十分です。このとき、数列\(\left\{ f\left(x_{v},y_{v}\right) \right\} \)の極限について、\begin{eqnarray*}\lim_{v\rightarrow \infty }f\left( x_{v},y_{v}\right) &=&\lim_{v\rightarrow
\infty }\left( \frac{x_{v}y_{v}}{x_{v}^{2}+y_{v}^{2}+1}\right) \quad
\because f\text{の定義} \\
&=&\frac{\lim\limits_{v\rightarrow \infty }x_{v}\lim\limits_{v\rightarrow
\infty }y_{v}}{\left( \lim\limits_{v\rightarrow \infty }x_{v}\right)
^{2}+\left( \lim\limits_{v\rightarrow \infty }y_{v}\right)
^{2}+\lim\limits_{v\rightarrow \infty }1}\quad \because \text{収束する数列の和・積・商} \\
&=&\frac{1\cdot 2}{1^{2}+2^{2}+1}\quad \because \left( a\right) ,\left(
b\right) ,\text{定数数列の極限} \\
&=&f\left( 1,2\right) \quad \because f\text{の定義}
\end{eqnarray*}が成り立つため証明が完了しました。

 

演習問題

問題(スカラー場の連続性と点列の極限の関係)
スカラー場\(f:\mathbb{R} ^{2}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in X\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =\frac{xy}{x+y}
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\(X\)が\(f\)の定義域です。このスカラー場\(f\)が定義域上で連続であることを点列を用いて証明してください。
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問題(スカラー場の連続性と点列の極限の関係)
スカラー場\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =\left\{
\begin{array}{ll}
\frac{x^{2}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} & \left( if\ \left( x,y\right) \not=\left(
0,0\right) \right) \\
0 & \left( if\ \left( x,y\right) =\left( 0,0\right) \right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。このスカラー場\(f\)が点\(\left( 0,0\right) \)において連続であることを点列を用いて証明してください。
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次回は~について解説します。

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