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多変数関数

点列を用いた多変数関数の連続性の判定

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多変数関数の連続性と点列の極限の関係

多変数関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義域上の点\(a\in X\)において連続であることとは、\(f\)が点\(a\)および周辺の任意の点において定義されているとともに、\(x\rightarrow a\)のときに有限な極限へ収束し、さらに、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =f\left( a\right)
\end{equation*}が成り立つことを意味します。同じことをイプシロン・デルタ論法を用いて表現すると、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left( d\left(
x,a\right) <\delta \Rightarrow \left\vert f\left( x\right) -f\left( a\right)
\right\vert <\varepsilon \right)
\end{equation*}となります。関数の連続性は点列を用いて表現することもでき、そちらの定義を利用した方が関数が連続であることを容易に示すことができる場合もあります。順番に解説します。

復習になりますが、関数の極限は点列を用いて表現することもできます。具体的には、関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と点\(a\in \mathbb{R} ^{n}\)および実数\(b\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、\(a\)とは異なる\(X\)の点を項とするとともに\(a\)へ収束する点列\(\{x_{v}\}\)を任意に選んだ上で、そこから新たな数列\(\{f\left(x_{v}\right) \}\)をつくります。このように定義された任意の数列\(\{f\left( x_{v}\right) \}\)について、\begin{equation*}\lim\limits_{v\rightarrow +\infty }f\left( x_{v}\right) =b
\end{equation*}が成り立つことは、関数\(f\)について、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =b
\end{equation*}が成り立つための必要十分条件です。

では、多変数関数\(f\)が定義域上の点\(a\in X\)において連続であることを、同じく点列を用いてどのように表現できるのでしょうか。先の関数\(f\)が点\(a\)において連続であるものとします。この場合、\(f\)は点\(a\)を含めその周辺の任意の点において定義されているとともに、\(x\rightarrow a\)のときに\(f\)は有限な極限へ収束し、なおかつその極限が\(f\left( a\right) \)と一致するため、先の議論における\(b\)を\(f\left( a\right) \)に置き換えることができます。また、\(f\)が\(a\)において連続である場合、\(f\)は\(a\)において定義されていることが前提になるため、先の点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)が\(a\)を項として持つ可能性を排除する必要はありません。以上を踏まえると、関数\(f\)が定義域上の点\(a\in X\)において連続であることは、\(X\)の点を項とするとともに\(a\)へ収束する点列\(\{x_{v}\}\)を任意に選んだときに、それに対して数列\(\left\{ f\left( x_{v}\right) \right\} \)が\(f\left( a\right) \)へ収束することとして表現できそうです。実際、これは正しい主張です。

命題(関数の連続性と収束数列)
関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)は定義域上の点\(a\in X\)を含め周辺の任意の点において定義されているものとする。\(X\)の点を項とするとともに\(a\)へ収束する点列\(\{x_{v}\}\)を任意に選んだ上で、そこから新たな数列\(\{f\left( x_{v}\right) \}\)をつくる。このように定義された任意の数列\(\left\{ f\left(x_{v}\right) \right\} \)について、\begin{equation*}\lim\limits_{v\rightarrow +\infty }f\left( x_{v}\right) =f\left( a\right)
\end{equation*}が成り立つことは、関数\(f\)が点\(a\)において連続であるための必要十分条件である。
証明

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この命題が要求していることは、\(X\)の点を項とするとともに\(a\)へ収束する「任意の」点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)に対して、そこから構成される数列\(\{f\left( x_{v}\right) \}\)が\(f\left( a\right) \)へ収束しなければならないということです。したがって、このような性質を満たす点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)が「存在する」ことを示しただけでは、関数\(f\)が点\(a\)において連続であることを示したことにはなりません。

以上の命題より、多変数関数の連続性に関する議論を点列の収束に関する議論に置き換えられることが明らかになりました。

例(多変数関数の連続性と収束点列)
関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =xy
\end{equation*}を定めるものとします。この関数\(f\)が点\(\left(0,0\right) \)において連続であることを点列を用いて示します。具体的には、点\(\left( 0,0\right) \)に収束する\(\mathbb{R} ^{2}\)上の点列を任意に選びます。つまり、\begin{equation*}\lim_{v\rightarrow \infty }\left( x_{v},y_{v}\right) =\left( 0,0\right)
\end{equation*}を満たす\(\mathbb{R} ^{2}\)上の点列\(\left\{ \left( x_{v},y_{v}\right)\right\} \)を任意に選ぶということです。以上の条件は、数列\(\left\{ x_{v}\right\},\left\{ y_{v}\right\} \)について、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \lim_{v\rightarrow \infty }x_{v}=0 \\
&&\left( b\right) \ \lim_{v\rightarrow \infty }y_{v}=0
\end{eqnarray*}がともに成り立つことと必要十分です。このとき、数列\(\left\{ f\left(x_{v},y_{v}\right) \right\} \)の極限について、\begin{eqnarray*}\lim_{v\rightarrow \infty }f\left( x_{v},y_{v}\right) &=&\lim_{v\rightarrow
\infty }\left( x_{v}y_{v}\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\lim_{v\rightarrow \infty }x_{v}\lim_{v\rightarrow \infty }y_{v}\quad
\because \text{収束する数列の積} \\
&=&0\cdot 0\quad \because \left( a\right) ,\left( b\right) \\
&=&f\left( 0,0\right) \quad \because f\text{の定義}
\end{eqnarray*}が成り立つため証明が完了しました。

例(多変数関数の連続性と収束点列)
関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =\frac{xy}{x^{2}+y^{2}+1}
\end{equation*}を定めるものとします。この関数\(f\)が点\(\left(1,2\right) \)において連続であることを点列を用いて示します。具体的には、点\(\left( 1,2\right) \)に収束する\(\mathbb{R} ^{2}\)上の点列を任意に選びます。つまり、\begin{equation*}\lim_{v\rightarrow \infty }\left( x_{v},y_{v}\right) =\left( 1,2\right)
\end{equation*}を満たす\(\mathbb{R} ^{2}\)上の点列\(\left\{ \left( x_{v},y_{v}\right)\right\} \)を任意に選ぶということです。以上の条件は、数列\(\left\{ x_{v}\right\},\left\{ y_{v}\right\} \)について、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \lim_{v\rightarrow \infty }x_{v}=1 \\
&&\left( b\right) \ \lim_{v\rightarrow \infty }y_{v}=2
\end{eqnarray*}がともに成り立つことと必要十分です。このとき、数列\(\left\{ f\left(x_{v},y_{v}\right) \right\} \)の極限について、\begin{eqnarray*}\lim_{v\rightarrow \infty }f\left( x_{v},y_{v}\right) &=&\lim_{v\rightarrow
\infty }\left( \frac{x_{v}y_{v}}{x_{v}^{2}+y_{v}^{2}+1}\right) \quad
\because f\text{の定義} \\
&=&\frac{\lim\limits_{v\rightarrow \infty }x_{v}\lim\limits_{v\rightarrow
\infty }y_{v}}{\left( \lim\limits_{v\rightarrow \infty }x_{v}\right)
^{2}+\left( \lim\limits_{v\rightarrow \infty }y_{v}\right)
^{2}+\lim\limits_{v\rightarrow \infty }1}\quad \because \text{収束する数列の和・積・商} \\
&=&\frac{1\cdot 2}{1^{2}+2^{2}+1}\quad \because \left( a\right) ,\left(
b\right) ,\text{定数数列の極限} \\
&=&f\left( 1,2\right) \quad \because f\text{の定義}
\end{eqnarray*}が成り立つため証明が完了しました。

 

多変数関数が連続でないことの証明

先の命題は、多変数関数が連続でないことを示す際にも有用です。具体的には、関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と定義域上の点\(a\in X\)が与えられたとき、\(X\)の点を項とするとともに\(a\)へ収束する何らかの点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)を具体的に選んだ上で、それに対して数列\(\left\{ f\left(x_{v}\right) \right\} \)が\(f\left( a\right) \)へ収束しないことを示せば、\(f\)が点\(a\)において連続ではないことを示したことになります。なぜなら、先の命題より、そのような点列\(\left\{ x_{v}\right\} \)が存在することは、\(f\)が点\(a\)において連続であることと矛盾するからです。

例(多変数関数が連続でないことの証明)
関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =\left\{
\begin{array}{ll}
\frac{1}{x^{2}+y^{2}} & \left( if\ \left( x,y\right) \not=\left( 0,0\right)
\right) \\
0 & \left( if\ \left( x,y\right) =\left( 0,0\right) \right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)の定義域\(\mathbb{R} ^{2}\)は開集合であるため、\(f\)は点\(\left( 0,0\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)を含めその周辺の任意の点において定義されています。さらに、以下の点列\begin{equation*}\left\{ \frac{1}{v},\frac{1}{v}\right\}
\end{equation*}に注目すると、その極限について、\begin{equation*}
\lim_{v\rightarrow \infty }\left( \frac{1}{v},\frac{1}{v}\right) =\left(
0,0\right)
\end{equation*}が成り立ちます。その一方で、数列\(\left\{ f\left( \frac{1}{v},\frac{1}{v}\right) \right\} \)の極限に関しては、\begin{eqnarray*}\lim_{v\rightarrow \infty }f\left( \frac{1}{v},\frac{1}{v}\right)
&=&\lim_{v\rightarrow \infty }\frac{1}{\left( \frac{1}{v}\right) ^{2}+\left(
\frac{1}{v}\right) ^{2}}\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\lim_{v\rightarrow \infty }\left( \frac{v^{2}}{2}\right) \\
&=&+\infty
\end{eqnarray*}となり有限な実数へ収束せず、したがって、\begin{equation*}
f\left( 0,0\right) =0
\end{equation*}と一致しません。以上より\(f\)は点\(\left( 0,0\right) \)において連続ではないことが示されました。

関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と定義域上の点\(a\in X\)が与えられたとき、\(X\)の点を項とするとともに\(a\)へ収束する何らかの2つの点列\(\left\{ x_{v}\right\} ,\left\{y_{v}\right\} \)を具体的に選んだ上で、それに対して数列\(\left\{ f\left( x_{v}\right) \right\} ,\left\{f\left( y_{v}\right) \right\} \)が異なる極限へ収束することを示せば、\(f\)が点\(a\)において連続ではないことを示したことになります。なぜなら、先の命題より、そのような点列\(\left\{ x_{v}\right\} ,\left\{y_{v}\right\} \)が存在することは、\(f\)が点\(a\)において連続であることと矛盾するからです。

例(関数が連続でないことの証明)
関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
1 & \left( if\ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\right) \\
0 & \left( if\ \left( x,y\right) \not\in \mathbb{R} _{++}^{2}\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。この関数\(f\)は点\(\left(0,0\right) \)において連続ではないことを点列を用いて証明します。具体的には、一般項がそれぞれ、\begin{eqnarray*}\left( x_{v},y_{v}\right) &=&\left( \frac{1}{v},\frac{1}{v}\right) \\
\left( x_{v}^{\prime },y_{v}^{\prime }\right) &=&\left( -\frac{1}{v},-\frac{1}{v}\right)
\end{eqnarray*}で与えられる2つの点列\(\left\{ \left( x_{v},y_{v}\right) \right\} ,\left\{ \left(x_{v}^{\prime },y_{v}^{\prime }\right) \right\} \)に注目します。点列\(\left\{ \left(x_{v},y_{v}\right) \right\} \)に関しては、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall v\in \mathbb{N} :\left( x_{v},y_{v}\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2} \\
&&\left( b\right) \ \lim_{v\rightarrow \infty }\left( x_{v},y_{v}\right)
=\left( 0,0\right)
\end{eqnarray*}が成り立つ一方で、数列\(\left\{ f\left( x_{v},y_{v}\right) \right\} \)の極限は、\begin{eqnarray*}\lim_{v\rightarrow \infty }f\left( x_{v},y_{v}\right) &=&\lim_{v\rightarrow
\infty }1\quad \because \left( a\right) \text{および}f\text{の定義} \\
&=&1
\end{eqnarray*}となります。一方、点列\(\left\{ \left( x_{v}^{\prime },y_{v}^{\prime }\right)\right\} \)に関しては、\begin{eqnarray*}&&\left( c\right) \ \forall v\in \mathbb{N} :\left( x_{v}^{\prime },y_{v}^{\prime }\right) \not\in \mathbb{R} _{++}^{2} \\
&&\left( d\right) \ \lim_{v\rightarrow \infty }\left( x_{v}^{\prime
},y_{v}^{\prime }\right) =\left( 0,0\right)
\end{eqnarray*}が成り立つ一方で、数列\(\left\{ f\left( x_{v}^{\prime },y_{v}^{\prime }\right)\right\} \)の極限は、\begin{eqnarray*}\lim_{v\rightarrow \infty }f\left( x_{v}^{\prime },y_{v}^{\prime }\right)
&=&\lim_{v\rightarrow \infty }0\quad \because \left( c\right) \text{および}f\text{の定義} \\
&=&0
\end{eqnarray*}となります。\(\left\{ f\left(x_{v},y_{v}\right) \right\} \)と\(\left\{ \left( x_{v}^{\prime},y_{v}^{\prime }\right) \right\} \)は異なる極限へ収束することが示されたため、\(f\)は点\(\left( 0,0\right) \)において連続でないことが示されました。

 

演習問題

問題(多変数関数の連続性と収束点列)
関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in X\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =\frac{xy}{x+y}
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\(X\)が\(f\)の定義域です。この関数\(f\)が定義域上で連続であることを点列を用いて証明してください。
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問題(多変数関数の連続性と収束点列)
関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =\left\{
\begin{array}{ll}
\frac{x^{2}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} & \left( if\ \left( x,y\right) \not=\left(
0,0\right) \right) \\
0 & \left( if\ \left( x,y\right) =\left( 0,0\right) \right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。この関数\(f\)が点\(\left(0,0\right) \)において連続であることを点列を用いて証明してください。
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