スカラー場の連続性と点列の極限の関係

スカラー場\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と定義域上の点\(a\in X\)が与えられたとき、\(X\)の点を項とするとともに\(a\)へ収束する点列\(\{x_{v}\}\)を任意に選んだ上で、そこから新たな数列\(\{f\left( x_{v}\right) \}\)をつくる。このように定義された任意の数列\(\{f\left( x_{v}\right) \}\)について、\begin{equation*}\lim\limits_{v\rightarrow +\infty }f\left( x_{v}\right) =f\left( a\right)
\end{equation*}が成り立つことは、スカラー場\(f\)が点\(a\)において連続であるための必要十分条件である。

スカラー場\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =xy
\end{equation*}を定めるものとします。このスカラー場\(f\)が点\(\left( 0,0\right) \)において連続であることを点列を用いて示します。具体的には、点\(\left( 0,0\right) \)に収束する\(\mathbb{R} ^{2}\)上の点列を任意に選びます。つまり、\begin{equation*}\lim_{v\rightarrow \infty }\left( x_{v},y_{v}\right) =\left( 0,0\right)
\end{equation*}を満たす\(\mathbb{R} ^{2}\)上の点列\(\left\{ \left( x_{v},y_{v}\right)\right\} \)を任意に選ぶということです。以上の条件は、数列\(\left\{ x_{v}\right\},\left\{ y_{v}\right\} \)について、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \lim_{v\rightarrow \infty }x_{v}=0 \\
&&\left( b\right) \ \lim_{v\rightarrow \infty }y_{v}=0
\end{eqnarray*}がともに成り立つことと必要十分です。このとき、数列\(\left\{ f\left(x_{v},y_{v}\right) \right\} \)の極限について、\begin{eqnarray*}\lim_{v\rightarrow \infty }f\left( x_{v},y_{v}\right) &=&\lim_{v\rightarrow
\infty }\left( x_{v}y_{v}\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\lim_{v\rightarrow \infty }x_{v}\lim_{v\rightarrow \infty }y_{v}\quad
\because \text{収束する数列の積} \\
&=&0\cdot 0\quad \because \left( a\right) ,\left( b\right) \\
&=&f\left( 0,0\right) \quad \because f\text{の定義}
\end{eqnarray*}が成り立つため証明が完了しました。

スカラー場\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =\frac{xy}{x^{2}+y^{2}+1}
\end{equation*}を定めるものとします。このスカラー場\(f\)が点\(\left( 1,2\right) \)において連続であることを点列を用いて示します。具体的には、点\(\left( 1,2\right) \)に収束する\(\mathbb{R} ^{2}\)上の点列を任意に選びます。つまり、\begin{equation*}\lim_{v\rightarrow \infty }\left( x_{v},y_{v}\right) =\left( 1,2\right)
\end{equation*}を満たす\(\mathbb{R} ^{2}\)上の点列\(\left\{ \left( x_{v},y_{v}\right)\right\} \)を任意に選ぶということです。以上の条件は、数列\(\left\{ x_{v}\right\},\left\{ y_{v}\right\} \)について、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \lim_{v\rightarrow \infty }x_{v}=1 \\
&&\left( b\right) \ \lim_{v\rightarrow \infty }y_{v}=2
\end{eqnarray*}がともに成り立つことと必要十分です。このとき、数列\(\left\{ f\left(x_{v},y_{v}\right) \right\} \)の極限について、\begin{eqnarray*}\lim_{v\rightarrow \infty }f\left( x_{v},y_{v}\right) &=&\lim_{v\rightarrow
\infty }\left( \frac{x_{v}y_{v}}{x_{v}^{2}+y_{v}^{2}+1}\right) \quad
\because f\text{の定義} \\
&=&\frac{\lim\limits_{v\rightarrow \infty }x_{v}\lim\limits_{v\rightarrow
\infty }y_{v}}{\left( \lim\limits_{v\rightarrow \infty }x_{v}\right)
^{2}+\left( \lim\limits_{v\rightarrow \infty }y_{v}\right)
^{2}+\lim\limits_{v\rightarrow \infty }1}\quad \because \text{収束する数列の和・積・商} \\
&=&\frac{1\cdot 2}{1^{2}+2^{2}+1}\quad \because \left( a\right) ,\left(
b\right) ,\text{定数数列の極限} \\
&=&f\left( 1,2\right) \quad \because f\text{の定義}
\end{eqnarray*}が成り立つため証明が完了しました。

スカラー場\(f:\mathbb{R} ^{2}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in X\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =\frac{xy}{x+y}
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\(X\)が\(f\)の定義域です。このスカラー場\(f\)が定義域上で連続であることを点列を用いて証明してください。

スカラー場\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =\left\{
\begin{array}{ll}
\frac{x^{2}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} & \left( if\ \left( x,y\right) \not=\left(
0,0\right) \right) \\
0 & \left( if\ \left( x,y\right) =\left( 0,0\right) \right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。このスカラー場\(f\)が点\(\left( 0,0\right) \)において連続であることを点列を用いて証明してください。