多変数関数の連続性と一様連続性の関係

関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義域\(X\)上で一様連続であるならば、\(f\)は\(X\)上で連続である。

関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in X\)に対して定める値が、定数\(c\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =c
\end{equation*}と表されるものとします。つまり、\(f\)は定数関数です。この関数が\(X\)上で一様連続であることを示します。定義より、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall a\in X,\ \forall x\in \mathbb{R} :\left[ d\left( x,a\right) <\delta \Rightarrow \left\vert f\left( x\right)
-f\left( a\right) \right\vert <\varepsilon \right] \end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall a\in X,\ \forall x\in \mathbb{R} :\left[ d\left( x,a\right) <\delta \Rightarrow \left\vert c-c\right\vert
<\varepsilon \right] \end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall a\in X,\ \forall x\in \mathbb{R} :\left[ d\left( x,a\right) <\delta \Rightarrow 0<\varepsilon \right] \end{equation*}を示すことが目標ですが、結論\(0<\varepsilon \)は真であるため上の命題そのものも真です。したがって、\(f\)が\(X\)上で一様連続であることが明らかになりました。すると先の命題より、\(f\)は\(X\)上で連続です。実際、\(f\)は定数関数であるため連続です。

関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =x+y
\end{equation*}を定めるものとします。この関数が\(\mathbb{R} ^{2}\)上で一様連続であることを示します。定義より、\begin{eqnarray*}\forall \varepsilon &>&0,\ \exists \delta >0,\ \forall \left( a,b\right)
\in \mathbb{R} ^{2},\ \forall \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}: \\
&&\left[ d\left( \left( x,y\right) ,\left( a,b\right) \right) <\delta
\Rightarrow \left\vert f\left( x,y\right) -f\left( a,b\right) \right\vert
<\varepsilon \right] \end{eqnarray*}すなわち、\begin{eqnarray*}
\forall \varepsilon &>&0,\ \exists \delta >0,\ \forall \left( a,b\right)
\in \mathbb{R} ^{2},\ \forall \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}: \\
&&\left[ \sqrt{\left( x-a\right) ^{2}+\left( y-b\right) ^{2}}<\delta
\Rightarrow \left\vert \left( x+y\right) -\left( a+b\right) \right\vert
<\varepsilon \right] \end{eqnarray*}を示すことが目標です。\(\varepsilon >0\)を任意に選びます。すると、\begin{equation}\delta =\frac{\varepsilon }{2}>0 \quad \cdots (1)
\end{equation}をとることができます。その上で、\begin{equation}
\sqrt{\left( x-a\right) ^{2}+\left( y-b\right) ^{2}}<\delta \quad \cdots (2)
\end{equation}を満たす\(\left( a,b\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)および\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)をそれぞれ任意に選びます。このとき、\begin{eqnarray*}\left( x-a\right) ^{2} &\leq &\left( x-a\right) ^{2}+\left( y-b\right) ^{2}
\\
&<&\delta ^{2}\quad \because \left( 2\right)
\end{eqnarray*}となるため、\begin{equation}
\left\vert x-a\right\vert <\delta \quad \cdots (3)
\end{equation}を得ます。同様に、\begin{equation}
\left\vert y-b\right\vert <\delta \quad \cdots (4)
\end{equation}が導かれます。したがってこのとき、\begin{eqnarray*}
\left\vert \left( x+y\right) -\left( a+b\right) \right\vert &=&\left\vert
\left( x-a\right) +\left( y-b\right) \right\vert \\
&\leq &\left\vert x-a\right\vert +\left\vert y-b\right\vert \\
&<&\delta +\delta \quad \because \left( 3\right) ,\left( 4\right) \\
&=&2\delta \\
&=&2\frac{\varepsilon }{2}\quad \because \left( 1\right) \\
&=&\varepsilon
\end{eqnarray*}となるため、\(f\)が\(\mathbb{R} ^{2}\)上で一様連続であることが明らかになりました。すると先の命題より、\(f\)は\(\mathbb{R} ^{2}\)上で連続です。実際、\(f\)は多項式関数であるため連続です。

関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =x^{2}+y^{2}
\end{equation*}を定めるものとします。この関数\(f\)は多変数の多項式関数であるため定義域\(\mathbb{R} ^{2}\)上で連続です。その一方で、この関数\(f\)は定義域\(\mathbb{R} ^{2}\)上で一様連続ではないことを示します。\(f\)が\(\mathbb{R} ^{2}\)上で一様連続であることは、\begin{eqnarray*}\forall \varepsilon &>&0,\ \exists \delta >0,\ \forall \left( a,b\right)
\in \mathbb{R} ^{2},\ \forall \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}: \\
&&\left[ d\left( \left( x,y\right) ,\left( a,b\right) \right) <\delta
\Rightarrow \left\vert f\left( x,y\right) -f\left( a,b\right) \right\vert
<\varepsilon \right] \end{eqnarray*}が成り立つことを意味するため、逆に、\(f\)が\(\mathbb{R} ^{2}\)上で一様連続ではないこととは、上の命題の否定に相当する以下の命題\begin{eqnarray*}\exists \varepsilon &>&0,\ \forall \delta >0,\ \exists \left( a,b\right)
\in \mathbb{R} ^{2},\ \exists \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}: \\
&&\left[ d\left( \left( x,y\right) ,\left( a,b\right) \right) <\delta \wedge
\left\vert f\left( x,y\right) -f\left( a,b\right) \right\vert \geq
\varepsilon \right] \end{eqnarray*}すなわち、\begin{eqnarray*}
\exists \varepsilon &>&0,\ \forall \delta >0,\ \exists \left( a,b\right)
\in \mathbb{R} ^{2},\ \exists \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}: \\
&&\left[ \sqrt{\left( x-a\right) ^{2}+\left( y-b\right) ^{2}}<\delta \wedge
\left\vert \left( x^{2}+y^{2}\right) -\left( a^{2}+b^{2}\right) \right\vert
\geq \varepsilon \right] \end{eqnarray*}が成り立つことを意味します。これを示すことが目標です。そこで、\begin{equation}
\varepsilon =\frac{1}{4}>0 \quad \cdots (1)
\end{equation}に注目します。\(\delta >0\)を任意に選んだ上で、\begin{eqnarray}\left( a,b\right) &=&\left( \frac{1}{2\delta },\frac{1}{\delta }\right)
\quad \cdots (2) \\
\left( x,y\right) &=&\left( \frac{1}{2\delta }+\frac{\delta }{2},\frac{1}{\delta }+\frac{\delta }{2}\right) \quad \cdots (3)
\end{eqnarray}と定義します。このとき、\begin{eqnarray*}
&&\sqrt{\left( x-a\right) ^{2}+\left( y-b\right) ^{2}} \\
&=&\sqrt{\left[ \left( \frac{1}{2\delta }+\frac{\delta }{2}\right) -\frac{1}{2\delta }\right] ^{2}+\left[ \left( \frac{1}{\delta }+\frac{\delta }{2}\right) -\frac{1}{\delta }\right] ^{2}}\quad \because \left( 2\right)
,\left( 3\right) \\
&=&\sqrt{\frac{\delta ^{2}}{4}+\frac{\delta ^{2}}{4}} \\
&=&\sqrt{\frac{\delta ^{2}}{2}} \\
&=&\frac{\delta }{\sqrt{2}} \\
&<&\delta \quad \because \delta >0
\end{eqnarray*}が成り立つとともに、\begin{eqnarray*}
&&\left\vert \left( x^{2}+y^{2}\right) -\left( a^{2}+y^{2}\right)
\right\vert \\
&=&\left\vert \left( x^{2}-a^{2}\right) -\left( y^{2}-b^{2}\right)
\right\vert \\
&=&\left\vert \left[ \left( \frac{1}{2\delta }+\frac{\delta }{2}\right)
^{2}-\left( \frac{1}{2\delta }\right) ^{2}\right] -\left[ \left( \frac{1}{\delta }+\frac{\delta }{2}\right) ^{2}-\left( \frac{1}{\delta }\right) ^{2}\right] \right\vert \quad \because \left( 2\right) ,\left( 3\right) \\
&=&\left\vert \left( \frac{1}{2}+\frac{\delta ^{2}}{4}\right) -\left( 1+\frac{\delta ^{2}}{4}\right) \right\vert \\
&=&\frac{1}{2} \\
&>&\frac{1}{4} \\
&=&\varepsilon \quad \because \left( 1\right)
\end{eqnarray*}となるため証明が完了しました。

関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)の定義域\(X\)が\(\mathbb{R} ^{n}\)上のコンパクト集合であるとともに\(f\)が\(X\)上で連続であるならば、\(f\)は\(X\)上で一様連続である。

ハイネ・ボレルの被覆定理より、\(\mathbb{R} ^{n}\)の部分集合\(A\)が\(\mathbb{R} ^{n}\)上のコンパクト集合であることと、\(A\)が\(\mathbb{R} ^{n}\)上の有界な閉集合であることは必要十分です。したがって、有界な閉集合上に定義された関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が連続である場合、先の命題より、\(f\)は\(X\)上で一様連続です。

ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{n}\)上に存在する有界かつ閉な超直方体領域\begin{equation*}R=\left[ a_{1},b_{1}\right] \times \cdots \times \left[ a_{n},b_{n}\right] \end{equation*}を定義します。ただし、任意の\(i\ \left( =1,\cdots ,n\right) \)に対して\(a_{i}<b_{i}\)です。以降ではこれを直方体と呼びます。直方体\(R\)は\(\mathbb{R} ^{n}\)上のコンパクト集合であるため、直方体上に定義された多変数関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} ^{n}\supset R\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が\(R\)上で連続である場合、先の命題より、\(f\)は\(R\)上で一様連続です。

関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in X\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =x^{2}+y^{2}
\end{equation*}を定めるものとします。定義域が、\begin{equation*}
X=\mathbb{R} ^{2}
\end{equation*}である場合、\(f\)は\(\mathbb{R} ^{2}\)上で連続である一方で一様連続ではないことは先に示した通りです。実際、\(\mathbb{R} ^{2}\)は\(\mathbb{R} ^{2}\)上のコンパクト集合ではないため、たとえ\(f\)が\(\mathbb{R} ^{2}\)上で連続であっても先の命題を利用できず、したがって\(f\)が\(\mathbb{R} ^{2}\)上で一様連続であると言えません。では、\(f\)の定義域を有界かつ閉な長方形領域\begin{equation*}X=\left[ a,b\right] \times \left[ c,d\right] \end{equation*}に変更した場合にはどうでしょうか。ただし、\(a<b\)かつ\(c<d\)です。\(f\)は多変数の多項式関数であるため、新たな定義域\(X\)上においても連続です。加えて、新たな定義域\(X\)である長方形領域は\(\mathbb{R} ^{2}\)上のコンパクト集合です。したがって、先の命題より、\(f\)は新たな定義域\(X\)上で一様連続です。

関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in X\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =x^{2}+y^{2}
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\begin{equation*}
X=\left( 0,2\right) \times \left( 0,2\right)
\end{equation*}です。この定義域\(X\)は\(\mathbb{R} ^{2}\)上のコンパクト集合ではないものの、\(f\)は\(X\)上で一様連続です（演習問題）。

関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in X\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =x^{2}+y^{2}
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\begin{equation*}
X=\left( 0,2\right) \times \left( 0,2\right)
\end{equation*}です。この関数が\(X\)上で一様連続であることを示してください。