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MULTIVARIABLE FUNCTION

多変数関数による像と値域

目次

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多変数関数による点の像

多変数関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、始集合の点\(x\in X\)を任意に選ぶと、\(f\)はそれに対して実数\(f\left( x\right) \in \mathbb{R} \)を1つだけ定めます。これを\(f\)による\(x\)の(image)と呼びます。

例(多変数関数による点の像)
関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =x^{2}+y^{2}
\end{equation*}を定めるものします。例えば、\begin{eqnarray*}
f\left( 1,2\right) &=&1^{2}+2^{2}=5 \\
f\left( -2,-1\right) &=&\left( -2\right) ^{2}+\left( -1\right) ^{2}=5 \\
f\left( 0,0\right) &=&0^{2}+0^{2}=0
\end{eqnarray*}などとなります。

例(多変数関数による点の像)
関数\(f:\mathbb{R} ^{3}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y,z\right) \in \mathbb{R} ^{3}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y,z\right) =x+2y-3z
\end{equation*}を定めるものします。例えば、\begin{eqnarray*}
f\left( 1,2,3\right) &=&1+2\cdot 2-3\cdot 3=-4 \\
f\left( -3,-2,-1\right) &=&-3+2\cdot \left( -2\right) -3\cdot \left(
-1\right) =-4 \\
f\left( 0,0,0\right) &=&1+2\cdot 0-3\cdot 0=0
\end{eqnarray*}などとなります。

関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)のグラフは、\begin{equation*}G\left( f\right) =\left\{ \left( x,y\right) \in X\times \mathbb{R} \ |\ y=f\left( x\right) \right\}
\end{equation*}という\(X\times \mathbb{R} \)の部分集合として定義されるため、組\(\left(x,y\right) \in X\times \mathbb{R} \)を任意に選ぶと、\begin{equation*}\left( x,y\right) \in G\left( f\right) \Leftrightarrow y=f\left( x\right)
\end{equation*}という関係が成り立ちます。つまり、組\(\left( x,y\right) \)が関数\(f\)のグラフの要素であることと、\(f\)による\(x\)の像が\(y\)であることは必要十分です。

 

多変数関数による集合の像と値域

関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、始集合の部分集合\(A\subset X\)を任意に選びます。\(f\)は\(A\)のそれぞれの要素\(x\)に対してその像\(f\left( x\right) \)を定めますが、これらの像をすべて集めてできる集合を、\begin{equation*}f\left( A\right) =\left\{ f\left( x\right) \in \mathbb{R} \ |\ x\in A\right\}
\end{equation*}と表記し、これを\(f\)による\(A\)の(image)と呼びます。それぞれの\(x\in A\)に対して\(f\left( x\right) \)は実数であるため、\(f\left(A\right) \)は\(\mathbb{R} \)の部分集合です。

関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)の始集合\(X\)は\(X\)自身の部分集合であるため、\(f\)による\(X\)の像\(f\left( X\right) \)を考えることもできます。これを\(f\)の値域(range)と呼び、\(R\left(f\right) \)と表記します。つまり、\begin{eqnarray*}R\left( f\right) &=&f\left( X\right) \quad \because \text{値域の定義} \\
&=&\left\{ f\left( x\right) \in \mathbb{R} \ |\ x\in X\right\} \quad \because \text{関数による像の定義}
\end{eqnarray*}です。

例(多変数関数による集合の像と値域)
関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =2x+5y+1
\end{equation*}を定めるものとします。この関数\(f\)のグラフは以下の通りです。

図:多変数関数のグラフ
図:多変数関数のグラフ

\(f\)による以下の集合\begin{equation*}A=\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ x=k\in \mathbb{R} \right\}
\end{equation*}の像は、\begin{eqnarray*}
f\left( A\right) &=&\left\{ f\left( x,y\right) \in \mathbb{R} \ |\ \left( x,y\right) \in A\right\} \quad \because \text{像の定義} \\
&=&\left\{ 2x+5y+1\in \mathbb{R} \ |\ x=k\wedge y\in \mathbb{R} \right\} \quad \because f\text{および}A\text{の定義} \\
&=&\left\{ 5y+1+2k\in \mathbb{R} \ |\ y\in \mathbb{R} \right\}
\end{eqnarray*}ですが、これは\(f\)のグラフと平面\(x=k\)が交わる領域であり、傾きが\(5\)の直線です。特に、\(k=0\)の場合には、\begin{equation*}f\left( A\right) =\left\{ 5y+1\in \mathbb{R} \ |\ y\in \mathbb{R} \right\}
\end{equation*}となりますが、これは\(f\)のグラフと\(yz\)平面が交わる領域です。\(f\)による以下の集合\begin{equation*}B=\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ y=l\in \mathbb{R} \right\}
\end{equation*}の像は、\begin{eqnarray*}
f\left( B\right) &=&\left\{ f\left( x,y\right) \in \mathbb{R} \ |\ \left( x,y\right) \in B\right\} \quad \because \text{像の定義} \\
&=&\left\{ 2x+5y+1\in \mathbb{R} \ |\ x\in \mathbb{R} \wedge y=l\right\} \quad \because f\text{および}B\text{の定義} \\
&=&\left\{ 2x+5l+1\in \mathbb{R} \ |\ x\in \mathbb{R} \right\}
\end{eqnarray*}ですが、これは\(f\)のグラフと平面\(y=l\)が交わる領域であり、傾きが\(2\)の直線です。特に、\(l=0\)の場合には、\begin{equation*}f\left( B\right) =\left\{ 2x+1\in \mathbb{R} \ |\ x\in \mathbb{R} \right\}
\end{equation*}となりますが、これは\(f\)のグラフと\(xz\)平面が交わる領域です。また、\(f\)の値域は、\begin{eqnarray*}R\left( f\right) &=&f\left( \mathbb{R} ^{2}\right) \quad \because \text{値域の定義} \\
&=&\left\{ f\left( x,y\right) \in \mathbb{R} \ |\ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\right\} \quad \because \text{像の定義} \\
&=&\left\{ 2x+5y+1\in \mathbb{R} \ |\ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\right\} \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\mathbb{R} \end{eqnarray*}です。

例(多変数関数による集合の像と値域)
関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =x^{2}+y^{2}
\end{equation*}を定めるものとします。この関数\(f\)のグラフは以下の通りです。

図:多変数関数のグラフ
図:多変数関数のグラフ

\(f\)による以下の集合\begin{equation*}A=\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ x=k\in \mathbb{R} \right\}
\end{equation*}の像は、\begin{eqnarray*}
f\left( A\right) &=&\left\{ f\left( x,y\right) \in \mathbb{R} \ |\ \left( x,y\right) \in A\right\} \quad \because \text{像の定義} \\
&=&\left\{ x^{2}+y^{2}\in \mathbb{R} \ |\ x=k\wedge y\in \mathbb{R} \right\} \quad \because f\text{および}A\text{の定義} \\
&=&\left\{ y^{2}+k^{2}\in \mathbb{R} \ |\ y\in \mathbb{R} \right\}
\end{eqnarray*}ですが、これは\(f\)のグラフと平面\(x=k\)が交わる領域であり、下に凸の放物線です。特に、\(k=0\)の場合には、\begin{equation*}f\left( A\right) =\left\{ y^{2}\in \mathbb{R} \ |\ y\in \mathbb{R} \right\}
\end{equation*}となりますが、これは\(f\)のグラフと\(yz\)平面が交わる領域です。\(f\)による以下の集合\begin{equation*}B=\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ y=l\in \mathbb{R} \right\}
\end{equation*}の像は、\begin{eqnarray*}
f\left( B\right) &=&\left\{ f\left( x,y\right) \in \mathbb{R} \ |\ \left( x,y\right) \in B\right\} \quad \because \text{像の定義} \\
&=&\left\{ x^{2}+y^{2}\in \mathbb{R} \ |\ x\in \mathbb{R} \wedge y=l\right\} \quad \because f\text{および}B\text{の定義} \\
&=&\left\{ x^{2}+l^{2}\in \mathbb{R} \ |\ x\in \mathbb{R} \right\}
\end{eqnarray*}ですが、これは\(f\)のグラフと平面\(y=l\)が交わる領域であり、下に凸の放物線です。特に、\(l=0\)の場合には、\begin{equation*}f\left( B\right) =\left\{ x^{2}\in \mathbb{R} \ |\ x\in \mathbb{R} \right\}
\end{equation*}となりますが、これは\(f\)のグラフと\(xz\)平面が交わる領域です。また、\(f\)の値域は、\begin{eqnarray*}R\left( f\right) &=&f\left( \mathbb{R} ^{2}\right) \quad \because \text{値域の定義} \\
&=&\left\{ f\left( x,y\right) \in \mathbb{R} \ |\ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\right\} \quad \because \text{像の定義} \\
&=&\left\{ x^{2}+y^{2}\in \mathbb{R} \ |\ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\right\} \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\mathbb{R} _{+}
\end{eqnarray*}です。

例(多変数関数による集合の像と値域)
関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =x^{2}-y^{2}
\end{equation*}を定めるものとします。この関数\(f\)のグラフは以下の通りです。

図:多変数関数のグラフ
図:多変数関数のグラフ

\(f\)による以下の集合\begin{equation*}A=\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ x=k\in \mathbb{R} \right\}
\end{equation*}の像は、\begin{eqnarray*}
f\left( A\right) &=&\left\{ f\left( x,y\right) \in \mathbb{R} \ |\ \left( x,y\right) \in A\right\} \quad \because \text{像の定義} \\
&=&\left\{ x^{2}-y^{2}\in \mathbb{R} \ |\ x=k\wedge y\in \mathbb{R} \right\} \quad \because f\text{および}A\text{の定義} \\
&=&\left\{ -y^{2}+k^{2}\in \mathbb{R} \ |\ y\in \mathbb{R} \right\}
\end{eqnarray*}ですが、これは\(f\)のグラフと平面\(x=k\)が交わる領域であり、上に凸の放物線です。特に、\(k=0\)の場合には、\begin{equation*}f\left( A\right) =\left\{ -y^{2}\in \mathbb{R} \ |\ y\in \mathbb{R} \right\}
\end{equation*}となりますが、これは\(f\)のグラフと\(yz\)平面が交わる領域です。\(f\)による以下の集合\begin{equation*}B=\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ y=l\in \mathbb{R} \right\}
\end{equation*}の像は、\begin{eqnarray*}
f\left( B\right) &=&\left\{ f\left( x,y\right) \in \mathbb{R} \ |\ \left( x,y\right) \in B\right\} \quad \because \text{像の定義} \\
&=&\left\{ x^{2}-y^{2}\in \mathbb{R} \ |\ x\in \mathbb{R} \wedge y=l\right\} \quad \because f\text{および}B\text{の定義} \\
&=&\left\{ x^{2}-l^{2}\in \mathbb{R} \ |\ x\in \mathbb{R} \right\}
\end{eqnarray*}ですが、これは\(f\)のグラフと平面\(y=l\)が交わる領域であり、下に凸の放物線です。特に、\(l=0\)の場合には、\begin{equation*}f\left( B\right) =\left\{ x^{2}\in \mathbb{R} \ |\ x\in \mathbb{R} \right\}
\end{equation*}となりますが、これは\(f\)のグラフと\(xz\)平面が交わる領域です。また、\(f\)の値域は、\begin{eqnarray*}R\left( f\right) &=&f\left( \mathbb{R} ^{2}\right) \quad \because \text{値域の定義} \\
&=&\left\{ f\left( x,y\right) \in \mathbb{R} \ |\ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\right\} \quad \because \text{像の定義} \\
&=&\left\{ x^{2}-y^{2}\in \mathbb{R} \ |\ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\right\} \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\mathbb{R} \end{eqnarray*}です。

例(多変数関数による集合の像と値域)
空集合は任意の集合の部分集合であるため、関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)による空集合\(\phi \subset X\)の像を考えることもできます。関数による集合の像の定義より、これは、\begin{equation*}f(\phi )=\left\{ f\left( x\right) \in \mathbb{R} \ |\ x\in \phi \right\}
\end{equation*}となりますが、\(x\in \phi \)は恒偽式であるため\(f\left(\phi \right) =\phi \)となります。つまり、空集合の像は空集合です。

繰り返しになりますが、関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)による始集合の部分集合\(A\subset X\)の像は、\begin{equation*}f\left( A\right) =\left\{ f\left( x\right) \in \mathbb{R} \ |\ x\in A\right\}
\end{equation*}と定義されるため、任意の要素\(y\in \mathbb{R} \)について、\begin{eqnarray*}y\in f\left( A\right) &\Leftrightarrow &\exists x\in A:y=f\left( x\right)
\quad \because f\left( A\right) \text{の定義} \\
&\Leftrightarrow &\exists x\in A:\left( x,y\right) \in G\left( f\right)
\quad \because G\left( f\right) \text{の定義}
\end{eqnarray*}という関係が成り立ちます。以上を踏まえると、\(f\)による\(A\subset X\)の像を、\begin{eqnarray*}f\left( A\right) &=&\left\{ f\left( x\right) \in \mathbb{R} \ |\ x\in A\right\} \\
&=&\left\{ y\in \mathbb{R} \ |\ \exists x\in A:y=f\left( x\right) \right\} \\
&=&\left\{ y\in \mathbb{R} \ |\ \exists x\in A:\left( x,y\right) \in G\left( f\right) \right\}
\end{eqnarray*}などと様々な形で表現できます。特に、\(A=X\)の場合には、\begin{eqnarray*}R\left( f\right) &=&f\left( X\right) \\
&=&\left\{ f\left( x\right) \in \mathbb{R} \ |\ x\in X\right\} \\
&=&\left\{ y\in \mathbb{R} \ |\ \exists x\in X:y=f\left( x\right) \right\} \\
&=&\left\{ y\in \mathbb{R} \ |\ \exists x\in X:\left( x,y\right) \in G\left( f\right) \right\}
\end{eqnarray*}となり、\(f\)の値域\(R\left( f\right) \)を上のように様々な形で表現できます。

 

演習問題

問題(関数による像と値域)
関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =-4x^{2}-y^{2}+10
\end{equation*}を定めるものとします。以下の問いに答えてください。

  1. \(f\)のグラフと\(xz\)平面(\(x\)軸と\(z\)軸が作り出す平面)が交わる領域を明らかにしてください。
  2. \(f\)のグラフと\(yz\)平面(\(y\)軸と\(z\)軸が作り出す平面)が交わる領域を明らかにしてください。
  3. \(f\)の値域を明らかにしてください。
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問題(多変数関数による像と値域)
関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =x^{2}\sin \left( y\right)
\end{equation*}を定めるものとします。以下の問いに答えてください。

  1. \(f\)のグラフと\(xz\)平面(\(x\)軸と\(z\)軸が作り出す平面)が交わる領域を明らかにしてください。
  2. \(f\)のグラフと\(yz\)平面(\(y\)軸と\(z\)軸が作り出す平面)が交わる領域を明らかにしてください。
  3. \(f\)の値域を明らかにしてください。
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次回は多変数関数による逆像や定義域などについて解説します。

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