多変数の座標関数の連続性

関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x_{k}
\end{equation*}を定めるものとする。ただし、\(x_{k}\)は点\(x\)の第\(k\ \left( =1,\cdots ,n\right) \)成分である。\(f\)が定義域上の点\(a\in X\)の周辺の任意の点において定義されているならば、\(f\)は点\(a\)において連続である。

関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} ^{n}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x_{k}
\end{equation*}を定めるものとします。定義域\(\mathbb{R} ^{n}\)は開集合であるため、点\(a\in \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選んだとき、\(f\)は点\(a\)の周辺の任意の点において定義されています。したがって先の命題より、\(f\)は点\(a\)において連続です。\(\mathbb{R} ^{n}\)上の任意の点において同様の議論が成立します。つまり、\(\mathbb{R} ^{n}\)上に定義された座標関数は\(\mathbb{R} ^{n}\)上で連続であるということです。

関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\supset N_{\varepsilon }\left( 0,0\right) \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in N_{\varepsilon }\left( 0,0\right) \)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =x
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\(N_{\varepsilon }\left(0,0\right) \)は中心が\(\left( 0,0\right) \)であり半径が\(\varepsilon \)であるような開近傍です。開近傍は開集合であるため、点\(\left( a,b\right) \in N_{\varepsilon }\left( 0,0\right) \)を任意に選んだとき、\(f\)は点\(\left(a,b\right) \)の周辺の任意の点において定義されています。したがって先の命題より、\(f\)は点\(\left( a,b\right) \)において連続です。\(N_{\varepsilon }\left( 0,0\right) \)上の任意の点において同様の議論が成立するため、\(f\)は\(N_{\varepsilon }\left( 0,0\right) \)上で連続です。

関数\(f:\mathbb{R} ^{3}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y,z\right) \in \mathbb{R} ^{3}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y,z\right) =z
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は変数\(z\)に関する座標関数であるため\(\mathbb{R} ^{3}\)上で連続です。

関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in X\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =\ln \left( y\right)
\end{equation*}を定めるものとします。これは多変数の座標関数\(y\)と1変数の対数関数\(\ln \left( x\right) \)の合成関数です。また、定義域は、\begin{equation*}X=\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ y>0\right\}
\end{equation*}です。座標関数と対数関数はともに連続であるため、それらの合成関数である\(f\)は\(X\)上で連続です。

関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =\sin \left( x\right)
\end{equation*}を定めるものとします。これは多変数の座標関数\(x\)と1変数の正弦関数\(\sin \left( x\right) \)の合成関数です。座標関数と正弦関数はともに連続であるため、それらの合成関数である\(f\)は\(\mathbb{R} ^{2}\)上で連続です。

関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =e^{y}
\end{equation*}を定めるものとします。これは多変数の座標関数\(y\)と1変数の指数関数\(e^{x}\)の合成関数です。座標関数と指数関数はともに連続であるため、それらの合成関数である\(f\)は\(\mathbb{R} ^{2}\)上で連続です。

関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\supset \left[ 0,1\right] \times \left[ 0,1\right] \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \left[ 0,1\right] \times \left[ 0,1\right] \)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =x
\end{equation*}を定めるものとします。定義域の内点\(\left(a,b\right) \in \left( 0,1\right) \times \left( 0,1\right) \)を任意に選んだとき、内点の定義より、\(f\)は点\(\left( a,b\right) \)の周辺の任意の点において定義されており、\begin{eqnarray*}\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) }f\left( x,y\right)
&=&\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) }x\quad \because f\text{の定義} \\
&=&a\quad \because \text{座標関数の極限} \\
&=&f\left( a,b\right) \quad \because f\text{の定義}
\end{eqnarray*}が成り立つため、\(f\)は点\(\left( a,b\right) \)において連続です。したがって\(f\)は定義域の内部\(\left( 0,1\right) \times\left( 0,1\right) \)において連続です。では、\(f\)は定義域の境界点において連続でしょうか。例えば、点\(\left( 1,1\right) \)は\(f\)の定義域の境界点であるため、\(f\)は点\(\left( 1,1\right) \)の周辺の任意の点において定義されているとは言えません。この場合、\(\left( x,y\right) \rightarrow \left(1,1\right) \)の場合の\(f\)の極限とは、変数\(\left( x,y\right) \)が\(x\leq 1\)かつ\(y\leq 1\)かつ\(\left( x,y\right) \not=\left(1,1\right) \)を満たしながら\(\left(1,1\right) \)へ限りなく近づく場合の\(f\)の極限に相当します。以上を踏まえた上で、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall v\in \mathbb{N} :x_{v}\leq 1 \\
&&\left( b\right) \ \forall v\in \mathbb{N} :y_{v}\leq 1 \\
&&\left( c\right) \ \forall v\in \mathbb{N} :\left( x_{v},y_{v}\right) \not=\left( 1,1\right) \\
&&\left( d\right) \ \lim_{v\rightarrow \infty }\left( x_{v},y_{v}\right)
=\left( 1,1\right)
\end{eqnarray*}を満たす点列\(\left\{ \left(x_{v},y_{v}\right) \right\} \)を任意に選びます。このとき、数列\(\left\{ f\left( x_{v},y_{v}\right) \right\} \)について、\begin{eqnarray*}\lim_{v\rightarrow \infty }f\left( x_{v},y_{v}\right) &=&\lim_{v\rightarrow
\infty }x_{v}\quad \because \left( a\right) ,\left( b\right) ,\left(
c\right) \text{および}f\text{の定義} \\
&=&1\quad \because \left( d\right)
\end{eqnarray*}となるため、\begin{equation*}
\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( 1,1\right) }f\left( x,y\right) =1
\end{equation*}が成り立つことが示されました。その一方で、\begin{equation*}
f\left( 1,1\right) =1
\end{equation*}であるため、\begin{equation*}
\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( 1,1\right) }f\left( x,y\right)
=f\left( 1,1\right)
\end{equation*}であること、すなわち\(f\)が点\(\left( 1,1\right) \)において連続であることが示されました。他の境界点についても同様です。

関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x_{k}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)が点\(a\in X\)の周辺の任意の点において定義されている場合には\(f\)が点\(a\)において連続であることを本文中では点列を用いて示しましたが、同じことをイプシロン・デルタ論法を用いて示してください。

関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
y & \left( if\ \left( x,y\right) \not=\left( 0,0\right) \right) \\
0 & \left( if\ \left( x,y\right) =\left( 0,0\right) \right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)が連続な点を明らかにしてください。

関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\supset \left[ 0,1\right] \times \left[ 0,1\right] \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \left[ 0,1\right] \times \left[ 0,1\right] \)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =y
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は点\(\left( 0,1\right) \)において連続でしょうか。議論してください。

関数\(f:\mathbb{R} _{++}^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =y^{p}\quad \left( p\in \mathbb{R} \right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)が連続な点を明らかにしてください。

関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =\cos \left( x\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)が連続な点を明らかにしてください。

関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in X\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =\tan \left( y\right)
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\begin{equation*}
X=\left\{ \frac{\pi }{2}+2n\pi \ |\ n\in \mathbb{Z} \right\}
\end{equation*}です。\(f\)が連続な点を明らかにしてください。