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スカラー場の差の極限

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収束するスカラー場の差の極限

定義域を共有する2つのスカラー場\(f,g:\mathbb{R}^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R}\)が与えられたとき、それぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}
\left( f-g\right) \left( x\right) =f\left( x\right) -g\left( x\right)
\end{equation*}を定める新たなスカラー場\(f-g:\mathbb{R}^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R}\)が定義可能です。スカラー場\(f,g\)がともに点\(a\in \mathbb{R}^{n}\)の周辺にある任意の点において定義されているとともに\(x\rightarrow a\)のときに有限な実数へ収束するならば、スカラー場\(f-g\)もまた\(x\rightarrow a\)のときに有限な実数へ収束し、それらの極限の間には、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow a}\left( f-g\right) \left( x\right) =\lim_{x\rightarrow
a}f\left( x\right) -\lim_{x\rightarrow a}g\left( x\right)
\end{equation*}という関係が成り立ちます。

命題(収束するスカラー場の差の極限)
スカラー場\(f,g:\mathbb{R}^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R}\)がそれぞれ任意に与えられたとき、そこからスカラー場\(f-g:\mathbb{R}^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R}\)を定義する。点\(a\in \mathbb{R}^{n}\)について、\(x\rightarrow a\)の場合に\(f\)と\(g\)がともに有限な実数へ収束するならば、\(f-g\)もまた\(x\rightarrow a\)のときに有限な実数へ収束し、そこでの極限は、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow a}\left( f-g\right) \left( x\right) =\lim_{x\rightarrow
a}f\left( x\right) -\lim_{x\rightarrow a}g\left( x\right)
\end{equation*}を満たす。
証明

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つまり、\(x\rightarrow a\)のときに収束するスカラー場\(f,g\)の差の形をしているスカラー場\(f-g\)が与えられたとき、\(f-g\)もまた\(x\rightarrow a\)のときに収束することが保証されるとともに、\(f\)の極限と\(g\)の極限の差をとれば\(f-g\)の極限が得られることを上の命題は保証しています。したがって、何らかのスカラー場\(f,g\)の差の形をしているスカラー場\(f-g\)の収束可能性を検討する際には、スカラー場の収束の定義にさかのぼって考える前に、まずは\(f\)と\(g\)に分けた上で、それらが収束することを確認すればよいということになります。

例(収束するスカラー場の差の極限)
スカラー場\(f:\mathbb{R}^{2}\rightarrow \mathbb{R}\)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R}^{2}\)に対して、\begin{equation*}
f\left( x,y\right) =\frac{x}{2}-3y
\end{equation*}を定めるものとします。\(\mathbb{R}^{2}\)は開集合であるため、点\(\left( a,b\right) \in \mathbb{R}^{2}\)を任意に選んだとき、\(f\)は\(\left( a,b\right) \)の周辺の任意の点において定義されています。したがって、\begin{eqnarray*}
\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) }f\left( x,y\right)
&=&\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) }\left( \frac{x}{2}-3y\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) }\left( \frac{x}{2}\right) -\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) }\left(
3y\right) \quad \because \text{収束するスカラー場の差の極限} \\
&=&\frac{1}{2}\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right)
}x-3\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) }y\quad \because
\text{収束するスカラー場の定数倍の極限} \\
&=&\frac{1}{2}a-3b\quad \because \text{特定の変数に関する恒等関数の極限}
\end{eqnarray*}が成り立ちます。

以下はもう少し複雑な場合です。

例(収束するスカラー場の差の極限)
スカラー場\(f:\mathbb{R}^{2}\rightarrow \mathbb{R}\)がそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R}^{2}\)に対して定める値が、\begin{equation*}
f\left( x,y\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
-x-y & if\ \left( x,y\right) \not=\left( 0,0\right) \\
0 & if\ \left( x,y\right) =\left( 0,0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}であるものとします。点\(\left( a,b\right) \in \mathbb{R}^{2}\)が\(a\not=0\)かつ\(b\not=0\)を満たす場合、\(\left( a,b\right) \)は\(\mathbb{R}^{2}\backslash \left\{ \left( 0,0\right) \right\} \)の内点であるため、スカラー場\(f\left( x,y\right) =-x-y\)は\(\left( a,b\right) \)の周辺の任意の点において定義されています。したがって、\begin{eqnarray*}
\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) }f\left( x,y\right)
&=&\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) }\left( -x-y\right)
\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) }\left( -x\right)
-\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) }y\quad \because
\text{収束するスカラー場の差} \\
&=&-\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) }x-\lim_{\left(
x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) }y\quad \because \text{収束するスカラー場の定数倍} \\
&=&-a-b\quad \because \text{特定の変数に関する恒等関数の極限}
\end{eqnarray*}が成り立ちます。一方、\(a=0\)と\(b=0\)の少なくとも一方を満たす点\(\left( a,b\right) \)は\(\mathbb{R}^{2}\backslash \left\{ \left( 0,0\right) \right\} \)や\(\left\{ \left( 0,0\right) \right\} \)の内点ではないため、そこでの極限を求める際に先の命題を利用できず、関数の極限の定義にさかのぼって考える必要があります。詳細は演習問題にしますが、そのような\(\left( a,b\right) \)についても、\begin{equation*}
\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) }f\left( x,y\right)
=-a-b
\end{equation*}が成り立ちます。

 

応用例

先の命題と連続関数の性質を利用すると、より広範なスカラー場の極限を容易に求められます。

例(スカラー場の極限)
スカラー場\(f:\mathbb{R}^{2}\rightarrow \mathbb{R}\)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R}^{2}\)に対して、\begin{equation}
f\left( x,y\right) =\cos \left( 2x-y+\pi \right) \quad \cdots (1)
\end{equation}を定めるものとします。点\(\left( a,b\right) \in \mathbb{R}^{2}\)を任意に選んだとき、\(\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) \)の場合に\(f\)は有限な実数へ収束するでしょうか。スカラー場\(2x-y+\pi \)に関しては、先の命題などから、\begin{equation}
\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) }\left( 2x-y+\pi
\right) =2a-b+\pi \quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立ちます。ここで重要なことは余弦関数\(\cos \)が定義域\(\mathbb{R}\)で連続であるという事実です。したがって、余弦関数\(\cos \)は点\(2a-b+\pi \)においても連続であるため、連続性の定義より、\begin{equation}
\lim_{2x-y+\pi \rightarrow 2a-b+\pi }\cos \left( 2x-y+\pi \right) =\cos
\left( 2a-b+\pi \right) \quad \cdots (3)
\end{equation}が成り立ちます。以上を踏まえると、\begin{eqnarray*}
\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) }f\left( x,y\right)
&=&\lim_{2x-y+\pi \rightarrow 2a-b+\pi }\cos \left( 2x-y+\pi \right) \quad
\because \left( 1\right) ,\left( 2\right) \\
&=&\cos \left( 2a-b+\pi \right) \quad \because \left( 3\right) \\
&=&f\left( a,b\right) \quad \because \left( 1\right)
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) }f\left( x,y\right)
=f\left( a,b\right)
\end{equation*}という関係を得ます。つまり、問題としているスカラー場\(f\left( x,y\right) \)の変数\(\left( x,y\right) \)に\(\left( a,b\right) \)を代入して値\(f\left( a,b\right) \)を求めれば、それが\(\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) \)のときの\(f\)の極限と一致することが保証されます。
例(スカラー場の極限)
スカラー場\(f:\mathbb{R}_{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R}\)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R}_{+}^{2}\)に対して、\begin{equation*}
f\left( x,y\right) =\sin \left( 2x-y\right) -\cos \left( 2x+y\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(\left( x,y\right) \rightarrow \left( \pi ,\pi \right) \)のときに\(f\left( x,y\right) \)は有限な実数へ収束するでしょうか。スカラー場である\(2x-y\)と\(2x+y\)に関しては、\begin{eqnarray*}
\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( \pi ,\pi \right) }\left(
2x-y\right) &=&2\pi -\pi =\pi \\
\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( \pi ,\pi \right) }\left(
2x+y\right) &=&2\pi +\pi =3\pi
\end{eqnarray*}が成り立ちます。正弦関数\(\sin \)は点\(\pi \)において連続であり、余弦関数\(\cos \)は点\(3\pi \)において連続であるため、\begin{eqnarray*}
\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( \pi ,\pi \right) }f\left(
x,y\right) &=&f\left( \pi ,\pi \right) \\
&=&\sin \pi -\cos \left( 3\pi \right) \\
&=&1
\end{eqnarray*}となります。

 

演習問題

問題(収束するスカラー場の差の極限)
スカラー場\(f:\mathbb{R}^{2}\rightarrow \mathbb{R}\)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R}^{2}\)に対して、\begin{equation*}
f\left( x,y\right) =-2x-3y+\pi
\end{equation*}を定めるものとします。それぞれの点\(\left( a,b\right) \in \mathbb{R}^{2}\)について、\begin{equation*}
\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) }f\left( x,y\right)
=-2a-3y+\pi
\end{equation*}が成り立つことを証明してください。
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問題(収束するスカラー場の差の極限)
スカラー場\(f:\mathbb{R}^{2}\rightarrow \mathbb{R}\)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R}^{2}\)に対して、\begin{equation*}
f\left( x,y\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
-x-y & if\ \left( x,y\right) \not=\left( 0,0\right) \\
0 & if\ \left( x,y\right) =\left( 0,0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。それぞれの点\(\left( a,b\right) \in \mathbb{R}^{2}\)について、\begin{equation*}
\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) }f\left( x,y\right)
=-a-b
\end{equation*}が成り立つことを証明してください。
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問題(スカラー場の極限)
スカラー場\(f:\mathbb{R}^{2}\rightarrow \mathbb{R}\)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R}^{2}\)に対して、\begin{equation*}
f\left( x,y\right) =\sin \left( \frac{x}{2}+y\right) -\cos \left( \frac{x}{2}+y\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(\left( x,y\right) \rightarrow \left( 2\pi ,\pi \right) \)のときの\(f\)の極限を求めてください。
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次回はスカラー場の積として定義されるスカラー場について解説します。

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