多変数関数と1変数関数の合成関数の極限
多変数関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)の値域と1変数関数\(g:\mathbb{R} \supset Y\rightarrow \mathbb{R} \)の定義域の間に、\begin{equation*}f\left( X\right) \subset Y
\end{equation*}という関係が成り立つ場合には合成関数\begin{equation*}
g\circ f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能であり、これはそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}\left( g\circ f\right) \left( x\right) =g\left( f\left( x\right) \right)
\end{equation*}を定めます。
多変数関数\(f\)は点\(a\in \mathbb{R} ^{n}\)の周辺の任意の点において定義されているとともに、\(x\rightarrow a\)のときに有限な実数\(b\in \mathbb{R} \)へ収束するものとします。つまり、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =b
\end{equation*}です。さらに、1変数関数\(g\)は点\(b\)を含めその周辺の任意の点において定義されているとともに、点\(b\)において連続であるものとします。つまり、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow b}g\left( x\right) =g\left( b\right)
\end{equation*}です。以上の条件が満たされる場合、合成関数\(g\circ f\)もまた\(x\rightarrow a\)のときに有限な実数へ収束することが保証されるとともに、その極限について、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}\left( g\circ f\right) \left( x\right) =g\left(
b\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow a}\left( g\circ f\right) \left( x\right) =g\left(
\lim_{x\rightarrow b}g\left( x\right) \right)
\end{equation*}という関係が成り立つことが保証されます。
b\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow a}\left( g\circ f\right) \left( x\right) =g\left(
\lim_{x\rightarrow b}g\left( x\right) \right)
\end{equation*}が成り立つ。
つまり、\(x\rightarrow a\)のときに有限な実数\(b\)へ収束する多変数関数\(f\)と点\(b\)において連続な1変数関数\(g\)が与えられたとき、それらの合成関数\(g\circ f\)もまた\(x\rightarrow a\)のときに有限な実数へ収束することが保証されるとともに、その極限は\(g\left( b\right) \)と一致することを上の命題は保証しています。したがって、合成関数\(g\circ f\)の収束可能性を判定する際には、関数の極限の定義にさかのぼって考える前に、まずは\(f\)と\(g\)に分けた上で、これらがそれぞれ上述の条件を満たすことを確認すればよいということになります。
c_{0}+c_{1}f\left( x\right) +c_{2}\left[ f\left( x\right) \right] ^{2}+\cdots +c_{n}\left[ f\left( x\right) \right] ^{n}:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能です。点\(a\in \mathbb{R} ^{n}\)を選んだとき、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) \in \mathbb{R} \end{equation*}が成り立つものとします。多項式関数は連続であるため、先の命題より、このとき、\begin{eqnarray*}
&&\lim_{x\rightarrow a}\left( c_{0}+c_{1}f\left( x\right) +c_{2}\left[
f\left( x\right) \right] ^{2}+\cdots +c_{n}\left[ f\left( x\right) \right] ^{n}\right) \\
&=&c_{0}+c_{1}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) +c_{2}\left[
\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) \right] ^{2}+\cdots +c_{n}\left[
\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) \right] ^{n}
\end{eqnarray*}が成り立ちます。
\end{equation*}が与えられたとき、合成関数\begin{equation*}
a^{f\left( x\right) }:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能です。点\(b\in \mathbb{R} ^{n}\)を選んだとき、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow b}f\left( x\right) \in \mathbb{R} \end{equation*}が成り立つものとします。指数関数は連続であるため、先の命題より、このとき、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow b}a^{f\left( x\right) }=a^{\lim\limits_{x\rightarrow
b}f\left( x\right) }
\end{equation*}が成り立ちます。
\end{equation*}が与えられたとき、\begin{equation*}
f\left( X\right) \subset \mathbb{R} _{++}
\end{equation*}が成り立つのであれば合成関数\begin{equation*}
\log _{a}\left( f\left( x\right) \right) :\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能です。点\(b\in \mathbb{R} ^{n}\)を選んだとき、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow b}f\left( x\right) \in \mathbb{R} \end{equation*}が成り立つものとします。対数関数は連続であるため、先の命題より、このとき、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow b}\log _{a}\left( f\left( x\right) \right) =\log
_{a}\left( \lim_{x\rightarrow b}f\left( x\right) \right)
\end{equation*}が成り立ちます。
\end{equation*}が与えられたとき、\begin{equation*}
f\left( X\right) \subset \mathbb{R} _{++}
\end{equation*}が成り立つのであれば合成関数\begin{equation*}
\left[ f\left( x\right) \right] ^{a}:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能です。点\(b\in \mathbb{R} ^{n}\)を選んだとき、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow b}f\left( x\right) \in \mathbb{R} \end{equation*}が成り立つものとします。ベキ関数は連続であるため、先の命題より、このとき、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow b}\left[ f\left( x\right) \right] ^{a}=\left[
\lim_{x\rightarrow b}f\left( x\right) \right] ^{a}
\end{equation*}が成り立ちます。
\left\vert f\left( x\right) \right\vert :\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能です。点\(a\in \mathbb{R} ^{n}\)を選んだとき、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) \in \mathbb{R} \end{equation*}が成り立つものとします。絶対値関数は連続であるため、先の命題より、このとき、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow a}\left\vert f\left( x\right) \right\vert =\left\vert
\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) \right\vert
\end{equation*}が成り立ちます。
\sin \left( f\left( x\right) \right) :\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能です。点\(a\in \mathbb{R} ^{n}\)を選んだとき、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) \in \mathbb{R} \end{equation*}が成り立つものとします。正弦関数は連続であるため、先の命題より、このとき、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow a}\sin \left( f\left( x\right) \right) =\sin \left(
\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) \right)
\end{equation*}が成り立ちます。
\cos \left( f\left( x\right) \right) :\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能です。点\(a\in \mathbb{R} ^{n}\)を選んだとき、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) \in \mathbb{R} \end{equation*}が成り立つものとします。余弦関数は連続であるため、先の命題より、このとき、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow a}\cos \left( f\left( x\right) \right) =\cos \left(
\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) \right)
\end{equation*}が成り立ちます。
合成関数の極限における連続性の条件の役割
繰り返しになりますが、多変数関数\(f\)が\(x\rightarrow a\)のときに有限な実数\(b\)へ収束するとともに、関数\(g\)が点\(b\)において連続である場合には、合成関数\(g\circ f\)もまた\(x\rightarrow a\)のときに有限な実数へ収束することが保証されるとともに、その極限は\(g\left( b\right) \)と一致します。この命題において「関数\(g\)が点\(b\)において連続である」という条件は必須なのでしょうか。まず、関数\(g\)が点\(b\)において定義されているものの、\(x\rightarrow b\)のときの極限が\(g\left( b\right) \)とは一致しない場合、\(g\)は点\(b\)において連続ではありませんが、このような場合、\(x\rightarrow a\)のときの\(g\circ f\)の極限は\(g\left( b\right) \)と一致するとは限りません。以下の例より明らかです。
\end{equation*}を定め、関数\(g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}g\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
0 & \left( if\ x\not=0\right) \\
1 & \left( if\ x=0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。合成関数\(g\circ f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{eqnarray*}\left( g\circ f\right) \left( x,y\right) &=&g\left( f\left( x,y\right)
\right) \quad \because \text{合成関数の定義} \\
&=&g\left( x\right) \quad \because f\text{の定義}
\end{eqnarray*}を定めるため、\begin{eqnarray*}
\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( 0,0\right) }\left( g\circ
f\right) \left( x,y\right) &=&\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left(
0,0\right) }g\left( x\right) \\
&=&0\quad \because g\text{の定義}
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation}
\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( 0,0\right) }\left( g\circ
f\right) \left( x,y\right) =0 \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立ちます。関数\(f\)に関しては、\begin{eqnarray*}\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( 0,0\right) }f\left( x,y\right)
&=&\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( 0,0\right) }x\quad \because f\text{の定義} \\
&=&0
\end{eqnarray*}が成り立ちます。関数\(g\)は点\(0\)において定義されている一方で、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow 0}g\left( x\right) &=&0\quad \because g\text{の定義} \\
&\not=&1 \\
&=&g\left( 0\right) \quad \because g\text{の定義}
\end{eqnarray*}となるため、\(g\)は点\(0\)において連続ではありません。加えて、\begin{equation*}g\left( 0\right) =1
\end{equation*}であるため、これと\(\left( 1\right) \)より、\begin{equation*}\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( 0,0\right) }\left( g\circ
f\right) \left( x,y\right) \not=g\left( 0\right)
\end{equation*}となることが明らかになりました。
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