多変数の座標関数

多変数の座標関数

1変数関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が恒等関数であることとは、任意の\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x
\end{equation*}が成り立つこととして定義されます。つまり、恒等関数とは入力した値と同じ値を返す関数です。一方、多変数関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)の入力値は\(n\)次元ベクトル\(\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \in X\)である一方、出力される値\(f\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \in \mathbb{R} \)は実数であるため、入力した値をそのまま返すような多変数関数を定義できません。ただ、\(n\)個の変数\(x_{1},\cdots ,x_{n}\)の中の特定の変数\(x_{k}\ \left( k=1,\cdots ,n\right) \)に注目した上で、入力した\(n\)次元ベクトル\(\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right)\in X\)に対して、その第\(k\)成分の値\begin{equation*}f\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) =x_{k}
\end{equation*}を返す多変数関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を定義することはできます。そこで、このような多変数関数を変数\(x_{k}\)に関する座標関数（coordinate function）と呼ぶこととします。

多変数の座標関数のグラフ

関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が変数\(x_{k}\)に関する座標関数であるものとします。つまり、任意の\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x_{k}
\end{equation*}が成り立つということです。\(f\)のグラフは、\begin{eqnarray*}G\left( f\right) &=&\left\{ \left( x,y\right) \in X\times \mathbb{R} \ |\ y=f\left( x\right) \right\} \\
&=&\left\{ \left( x,y\right) \in X\times \mathbb{R} \ |\ y=x_{k}\right\} \\
&=&\left\{ \left( x,x_{k}\right) \ |\ x\in X\right\}
\end{eqnarray*}となります。特に、定義域が\(\mathbb{R} ^{n}\)である場合には、\begin{equation*}G\left( f\right) =\left\{ \left( x,x_{k}\right) \ |\ x\in \mathbb{R} ^{n}\right\}
\end{equation*}となります。

例（多変数の座標関数のグラフ）

関数\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =x
\end{equation*}を定めるものとします。この関数のグラフは、\begin{equation*}
G\left( f\right) =\left\{ \left( x,y,x\right) \ |\ x\in \mathbb{R} \wedge y\in \mathbb{R} \right\}
\end{equation*}ですが、これは以下のように図示されます。

関数\(g:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して定める値が、\begin{equation*}g\left( x,y\right) =y
\end{equation*}を定めるものとします。この関数のグラフは、\begin{equation*}
G\left( g\right) =\left\{ \left( x,y,y\right) \ |\ x\in \mathbb{R} \wedge y\in \mathbb{R} \right\}
\end{equation*}ですが、これは以下のように図示されます。

多変数の座標関数との合成関数

ベクトル値関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選びます。また、多変数関数\(g:\mathbb{R} ^{n}\supset Y\rightarrow \mathbb{R} \)が変数\(x_{k}\)に関する座標関数であるものとします。つまり、\begin{equation}\forall x\in Y:g\left( x\right) =x_{k} \quad \cdots (1)
\end{equation}であるということです。このとき、\begin{equation*}
f\left( X\right) \subset Y
\end{equation*}が成り立つ場合には合成関数\begin{equation*}
g\circ f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能であり、これはそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{eqnarray*}\left( g\circ f\right) \left( x\right) &=&g\left( f\left( x\right) \right)
\quad \because \text{合成関数の定義} \\
&=&f_{k}\left( x\right) \quad \because \left( 1\right)
\end{eqnarray*}を定めます。ただし、\(f_{k}\left( x\right) \)はベクトル\(f\left( x\right) \)の第\(k\)成分に相当する実数です。つまり、ベクトル値関数\(f\)と多変数の座標関数\(g\)の合成関数\(g\circ f\)は\(f\)の成分関数です。

多変数関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が変数\(x_{k}\)に関する座標関数であるものとします。つまり、\begin{equation*}\forall x\in X:f\left( x\right) =x_{k}
\end{equation*}が成り立つということです。また、1変数関数\(g:\mathbb{R} \supset Y\rightarrow \mathbb{R} \)を任意に選びます。このとき、\begin{equation*}f\left( X\right) \subset Y
\end{equation*}が成り立つ場合には合成関数\begin{equation*}
g\circ f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能であり、これはそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{eqnarray*}\left( g\circ f\right) \left( x\right) &=&g\left( f\left( x\right) \right)
\quad \because \text{合成関数の定義} \\
&=&g\left( x_{k}\right) \quad \because f\text{の定義}
\end{eqnarray*}を定めます。

演習問題