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MULTIVARIABLE FUNCTION

多変数の座標関数

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多変数の座標関数

1変数関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が恒等関数であることとは、任意の\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x
\end{equation*}が成り立つこととして定義されます。つまり、恒等関数とは入力した値と同じ値を返す関数です。一方、スカラー場\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)は多変数関数であり、入力値は\(n\)個の変数を成分として持つ\(n\)次元ベクトル\(\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right)\in X\)である一方で、出力される値\(f\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right)\in \mathbb{R} \)は実数であるため、入力した値をそのまま返すようなスカラー場を定義できません。ただ、\(n\)個の変数\(x_{1},\cdots ,x_{n}\)の中の特定の変数\(x_{k}\ \left( k=1,\cdots ,n\right) \)に注目した上で、入力した\(n\)次元ベクトル\(\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) \)に対して、その第\(k\)成分の値\(x_{k}\)だけをそのまま返すスカラー場\begin{equation*}f\left( x_{1},\cdots ,x_{n}\right) =x_{k}
\end{equation*}を定義することはできます。便宜上、このようなスカラー場を変数\(x_{k}\)に関する座標関数(coordinate function)と呼ぶこととします。

例(座標関数)
スカラー場\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =x
\end{equation*}を定めるのであれば、これは変数\(x\)に関する座標関数です。例えば、\begin{eqnarray*}f\left( 1,1\right) &=&f\left( 1,0\right) =f\left( 1,-1\right) =1 \\
f\left( 0,1\right) &=&f\left( 0,0\right) =f\left( 0,-1\right) =0 \\
f\left( -1,1\right) &=&f\left( -1,0\right) =f\left( -1,-1\right) =-1
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。このスカラー場\(f\)のグラフは以下の通りです。

図:多変数の座標関数
図:多変数の座標関数

一方、スカラー場\(g:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}g\left( x,y\right) =y
\end{equation*}を定めるのであれば、これは変数\(y\)に関する座標関数です。例えば、\begin{eqnarray*}g\left( 1,1\right) &=&g\left( 0,1\right) =g\left( -1,1\right) =1 \\
g\left( 1,0\right) &=&g\left( 0,0\right) =g\left( -1,0\right) =0 \\
g\left( 1,-1\right) &=&g\left( 0,-1\right) =g\left( -1,-1\right) =-1
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。このスカラー場\(g\)のグラフは以下の通りです。

図:多変数の座標関数
図:多変数の座標関数
例(多変数の座標関数)
入力したGPS座標\(\left( x,y\right) \)に対して、その経度\begin{equation*}f\left( x,y\right) =x
\end{equation*}を返すスカラー場\(f\)は変数\(x\)に関する座標関数です。また、入力したGSP座標\(\left( x,y\right) \)に対して、その緯度\begin{equation*}g\left( x,y\right) =y
\end{equation*}を返すスカラー場\(g\)は変数\(y\)に関する座標関数です。
例(座標関数)
1次元ユークリッド空間もしくはその部分集合上に定義されたスカラー場\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が変数\(x\)に関する座標関数であることとは、任意の\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x
\end{equation*}が成り立つことを意味します。これは\(f\)が恒等関数であることの定義に他なりません。
例(座標関数)
スカラー場\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x\cdot e_{k}
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\(\cdot \)は内積を表す記号であり、\(e_{k}\)は標準基底です。つまり、\(e_{k}\)は第\(k\)成分が\(1\)であり、それ以外のすべての成分が\(0\)であるような\(n\)次元ベクトル\begin{equation*}e_{k}=\left( 0,\cdots ,0,1,0,\cdots ,0\right)
\end{equation*}です。このとき、任意の\(x\in X\)に対して、\begin{eqnarray*}f\left( x\right) &=&\left( x_{1},\cdots ,x_{k-1},x_{k},x_{k+1},\cdots
,x_{n}\right) \cdot \left( 0,\cdots ,0,1,0,\cdots ,0\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&x_{k}\quad \because \text{内積の定義}
\end{eqnarray*}となるため、このスカラー場\(f\)は変数\(x_{k}\)に関する座標関数です。

 

演習問題

問題(座標関数)
座標関数であるようなスカラー場の現実例を挙げてください。答案はコメント欄に投稿してください。

次回は多変数の多項式関数について解説します。

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