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多変数の座標関数の極限

目次

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多変数の座標関数の極限

スカラー場\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が変数\(x_{k}\ \left( k=1,\cdots ,n\right) \)に関する座標関数であるものとします。つまり、任意の\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x_{k}
\end{equation*}が成り立つということです。ただし、\(x_{k}\)は点\(x\)の第\(k\)成分です。\(f\)が点\(a\in \mathbb{R} ^{n}\)の周辺の任意の点において定義されている場合、\(f\)が\(x\rightarrow a\)のときに有限な実数へ収束するかどうか検討できますが、\(f\)は常に入力した点\(x\)の第\(k\)成分を返すことを踏まえると、\(f\)は\(x\rightarrow a\)のときに\(a_{k}\)へ収束しそうです。ただし、\(a_{k}\)は点\(a\)の第\(k\)成分です。実際、これは正しい主張です。

命題(多変数の座標関数の極限)
スカラー場\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x_{k}
\end{equation*}を定めるものとする。ただし、\(x_{k}\)は点\(x\)の第\(k\ \left( =1,\cdots ,n\right) \)成分である。\(f\)が点\(a\in \mathbb{R} \)の周辺の任意の点において定義されているならば、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =a_{k}
\end{equation*}が成り立つ。ただし、\(a_{k}\)は点\(a\)の第\(k\)成分である。
証明

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例(多変数の座標関数の極限)
スカラー場\(f:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} ^{n}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x_{k}
\end{equation*}を定めるものとします。定義域\(\mathbb{R} ^{n}\)は開集合であるため、点\(a\in \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選んだとき、\(f\)は点\(a\)の周辺の任意の点において定義されています。したがって上の命題より、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =a_{k}
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、\(\mathbb{R} ^{n}\)上に定義された座標関数は定義域上の任意の点において有限な極限を持つということです。
例(多変数の座標関数の極限)
スカラー場\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =x
\end{equation*}を定めるものとします。定義域\(\mathbb{R} ^{2}\)は開集合であるため、点\(\left( a,b\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)を任意に選んだとき、\(f\)は点\(\left( a,b\right) \)の周辺の任意の点において定義されています。しかも\(f\)は変数\(x\)に関する座標関数であるため、上の命題より、\begin{equation*}\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) }f\left( x,y\right) =a
\end{equation*}が成り立ちます。

例(多変数の座標関数の極限)
スカラー場\(f:\mathbb{R} ^{3}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y,z\right) \in \mathbb{R} ^{3}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y,z\right) =z
\end{equation*}を定めるものとします。このとき、\begin{eqnarray*}
\lim_{\left( x,y,z\right) \rightarrow \left( 1,1,1\right) }f\left(
x,y,z\right) &=&1 \\
\lim_{\left( x,y,z\right) \rightarrow \left( 0,1,1\right) }f\left(
x,y,z\right) &=&1 \\
\lim_{\left( x,y,z\right) \rightarrow \left( 1,0,1\right) }f\left(
x,y,z\right) &=&1 \\
\lim_{\left( x,y,z\right) \rightarrow \left( 0,0,1\right) }f\left(
x,y,z\right) &=&1
\end{eqnarray*}などが成り立ちます。

 

変数が定義域の境界点に限りなく近づく場合の座標関数の極限

以下は境界点における極限の例です。

例(多変数の座標関数の極限)
スカラー場\(f:\mathbb{R} ^{2}\supset \left[ 0,1\right] \times \left[ 0,1\right] \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \left[ 0,1\right] \times \left[ 0,1\right] \)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =x
\end{equation*}を定めるものとします。定義域の内点\(\left(a,b\right) \in \left( 0,1\right) \times \left( 0,1\right) \)を任意に選んだとき、内点の定義より、\(f\)は点\(\left( a,b\right) \)の周辺の任意の点において定義されているとともに、そのような任意の点\(\left(x,y\right) \)において\(f\left( x,y\right) =x\)となるため、座標関数の極限より、\begin{equation*}\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) }f\left( x,y\right) =a
\end{equation*}となります。では、\(\left( x,y\right) \)が定義域の境界点に限りなく近づく場合にはどうでしょうか。例えば、点\(\left(1,1\right) \)は\(f\)の定義域の境界点であるため、\(f\)は点\(\left( 1,1\right) \)の周辺の任意の点において定義されているとは言えません。この場合、\(\left(x,y\right) \rightarrow \left( 1,1\right) \)の場合の\(f\)の極限とは、変数\(\left(x,y\right) \)が\(x\leq 1\)かつ\(y\leq 1\)かつ\(\left( x,y\right) \not=\left( 1,1\right) \)を満たしながら\(\left( 1,1\right) \)へ限りなく近づく場合の\(f\)の極限に相当します。以上を踏まえた上で、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall v\in \mathbb{N} :x_{v}\leq 1 \\
&&\left( b\right) \ \forall v\in \mathbb{N} :y_{v}\leq 1 \\
&&\left( c\right) \ \forall v\in \mathbb{N} :\left( x_{v},y_{v}\right) \not=\left( 1,1\right) \\
&&\left( d\right) \ \lim_{v\rightarrow \infty }\left( x_{v},y_{v}\right)
=\left( 1,1\right)
\end{eqnarray*}を満たす点列\(\left\{ \left(x_{v},y_{v}\right) \right\} \)を任意に選びます。このとき、数列\(\left\{ f\left( x_{v},y_{v}\right) \right\} \)について、\begin{eqnarray*}\lim_{v\rightarrow \infty }f\left( x_{v},y_{v}\right) &=&\lim_{v\rightarrow
\infty }x_{v}\quad \because \left( a\right) ,\left( b\right) ,\left(
c\right) \text{および}f\text{の定義} \\
&=&1\quad \because \left( d\right)
\end{eqnarray*}となるため、\begin{equation*}
\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( 1,1\right) }f\left( x,y\right) =1
\end{equation*}が成り立つことが示されました。他の境界点についても同様に考えます。

 

多変数の座標関数と1変数の連続関数の合成の極限

多変数の座標関数の収束可能性に関する先の命題を踏まえると、座標関数と連続な1変数関数の合成として定義されるスカラー場もまた収束することが示されます。代表例を以下に提示します。

例(座標関数と指数関数の合成)
スカラー場\(f:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} ^{n}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =e^{x_{k}}
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\(x_{k}\)は点\(x\)の第\(k\)成分です。\(f\)は変数\(x_{k}\)に関する座標関数\(x_{k}:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)と指数関数\(e^{y}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)の合成関数です。点\(a\in \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選んだとき、座標関数の極限より、\begin{equation}\lim_{x\rightarrow a}x_{k}=a_{k} \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立ちます。ただし、\(a_{k}\in \mathbb{R} \)は点\(a\)の第\(k\)成分です。指数関数の連続性より、点\(a_{k}\)において、\begin{equation}\lim_{y\rightarrow a_{k}}e^{y}=e^{a_{k}} \quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立ちます。したがって、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow
a}e^{x_{k}}\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\lim_{x_{k}\rightarrow a_{k}}e^{x_{k}}\quad \because \left( 1\right) \\
&=&e^{a_{k}}\quad \because \left( 2\right)
\end{eqnarray*}となります。具体例を挙げると、スカラー場\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =e^{x}
\end{equation*}を定める場合、任意の点\(\left( a,b\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) }f\left( x,y\right)
=e^{a}
\end{equation*}が成り立ちます。

例(座標関数と対数関数の合成)
スカラー場\(f:\mathbb{R} _{++}^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{++}^{n}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\ln \left( x_{k}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\(x_{k}\)は点\(x\)の第\(k\)成分です。\(f\)は変数\(x_{k}\)に関する座標関数\(x_{k}:\mathbb{R} _{++}^{n}\rightarrow \mathbb{R} _{++}\)と対数関数\(\ln \left( y\right) :\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)の合成関数です。対数関数は正の実数に対してのみ定義されるため、それにあわせて\(f\)の定義域も\(\mathbb{R} _{++}^{n}\)になっていることに注意してください。点\(a\in \mathbb{R} _{++}^{n}\)を任意に選んだとき、座標関数の極限より、\begin{equation}\lim_{x\rightarrow a}x_{k}=a_{k} \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立ちます。ただし、\(a_{k}\in \mathbb{R} _{++}\)は点\(a\)の第\(k\)成分です。対数関数の連続性より、点\(a_{k}\)において、\begin{equation}\lim_{y\rightarrow a_{k}}\ln \left( y\right) =\ln \left( a_{k}\right)
\quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立ちます。したがって、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow a}\ln \left(
x_{k}\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\lim_{x_{k}\rightarrow a_{k}}\ln \left( x_{k}\right) \quad \because
\left( 1\right) \\
&=&\ln \left( a_{k}\right) \quad \because \left( 2\right)
\end{eqnarray*}となります。具体例を挙げると、スカラー場\(f:\mathbb{R} _{++}^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =\ln \left( x\right)
\end{equation*}を定める場合、任意の点\(\left( a,b\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\)に対して、\begin{equation*}\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) }f\left( x,y\right)
=\ln \left( a\right)
\end{equation*}が成り立ちます。

例(座標関数とベキ関数の合成)
スカラー場\(f:\mathbb{R} _{++}^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{++}^{n}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x_{k}^{p}
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\(p\in \mathbb{R} \)定数であり、\(x_{k}\)は点\(x\)の第\(k\)成分です。\(f\)は変数\(x_{k}\)に関する座標関数\(x_{k}:\mathbb{R} _{++}^{n}\rightarrow \mathbb{R} _{++}\)とベキ関数\(y^{p}:\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)の合成関数です。実数次数のベキ関数は正の実数に対してのみ定義されるため、それにあわせて\(f\)の定義域も\(\mathbb{R} _{++}^{n}\)になっていることに注意してください。点\(a\in \mathbb{R} _{++}^{n}\)を任意に選んだとき、座標関数の極限より、\begin{equation}\lim_{x\rightarrow a}x_{k}=a_{k} \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立ちます。ただし、\(a_{k}\in \mathbb{R} _{++}\)は点\(a\)の第\(k\)成分です。ベキ関数の連続性より、点\(a_{k}\)において、\begin{equation}\lim_{y\rightarrow a_{k}}y^{p}=a_{k}^{p} \quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立ちます。したがって、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow
a}x_{k}^{p}\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\lim_{x_{k}\rightarrow a_{k}}x_{k}^{p}\quad \because \left( 1\right) \\
&=&a_{k}^{p}\quad \because \left( 2\right)
\end{eqnarray*}となります。具体例を挙げると、スカラー場\(f:\mathbb{R} _{++}^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =x^{\sqrt{2}}
\end{equation*}を定める場合、任意の点\(\left( a,b\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\)に対して、\begin{equation*}\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) }f\left( x,y\right)
=a^{\sqrt{2}}
\end{equation*}が成り立ちます。

例(座標関数と正弦関数の合成)
スカラー場\(f:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} ^{n}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\sin \left( x_{k}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\(x_{k}\)は点\(x\)の第\(k\)成分です。\(f\)は変数\(x_{k}\)に関する座標関数\(x_{k}:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)と正弦関数\(\sin \left( y\right) :\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)の合成関数です。点\(a\in \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選んだとき、座標関数の極限より、\begin{equation}\lim_{x\rightarrow a}x_{k}=a_{k} \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立ちます。ただし、\(a_{k}\in \mathbb{R} \)は点\(a\)の第\(k\)成分です。正弦関数の連続性より、点\(a_{k}\)において、\begin{equation}\lim_{y\rightarrow a_{k}}\sin \left( y\right) =\sin \left( a_{k}\right)
\quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立ちます。したがって、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow a}\sin \left(
x_{k}\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\lim_{x_{k}\rightarrow a_{k}}\sin \left( x_{k}\right) \quad \because
\left( 1\right) \\
&=&\sin \left( a_{k}\right) \quad \because \left( 2\right)
\end{eqnarray*}となります。具体例を挙げると、スカラー場\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =\sin \left( x\right)
\end{equation*}を定める場合、任意の点\(\left( a,b\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) }f\left( x,y\right)
=\sin \left( a\right)
\end{equation*}が成り立ちます。

例(座標関数と余弦関数の合成)
スカラー場\(f:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} ^{n}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\cos \left( x_{k}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\(x_{k}\)は点\(x\)の第\(k\)成分です。\(f\)は変数\(x_{k}\)に関する座標関数\(x_{k}:\mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)と余弦関数\(\cos \left( y\right) :\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)の合成関数です。点\(a\in \mathbb{R} ^{n}\)を任意に選んだとき、座標関数の極限より、\begin{equation}\lim_{x\rightarrow a}x_{k}=a_{k} \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立ちます。ただし、\(a_{k}\in \mathbb{R} \)は点\(a\)の第\(k\)成分です。余弦関数の連続性より、点\(a_{k}\)において、\begin{equation}\lim_{y\rightarrow a_{k}}\cos \left( y\right) =\cos \left( a_{k}\right)
\quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立ちます。したがって、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow a}\cos \left(
x_{k}\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\lim_{x_{k}\rightarrow a_{k}}\cos \left( x_{k}\right) \quad \because
\left( 1\right) \\
&=&\cos \left( a_{k}\right) \quad \because \left( 2\right)
\end{eqnarray*}となります。具体例を挙げると、スカラー場\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =\cos \left( x\right)
\end{equation*}を定める場合、任意の点\(\left( a,b\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) }f\left( x,y\right)
=\cos \left( a\right)
\end{equation*}が成り立ちます。

例(座標関数と正接関数の合成)
スカラー場\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset X^{n}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in X^{n}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\tan \left( x_{k}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\begin{equation*}
X=\left\{ \frac{\pi }{2}+2n\pi \ |\ n\in \mathbb{Z} \right\}
\end{equation*}であり、\(x_{k}\)は点\(x\)の第\(k\)成分です。\(f\)は変数\(x_{k}\)に関する座標関数\(x_{k}:X^{n}\rightarrow X\)と正接関数\(\tan\left( y\right) :X\rightarrow \mathbb{R} \)の合成関数です。点\(a\in X^{n}\)を任意に選んだとき、座標関数の極限より、\begin{equation}\lim_{x\rightarrow a}x_{k}=a_{k} \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立ちます。ただし、\(a_{k}\in X\)は点\(a\)の第\(k\)成分です。正弦関数の連続性より、点\(a_{k}\)において、\begin{equation}\lim_{y\rightarrow a_{k}}\tan \left( y\right) =\tan \left( a_{k}\right)
\quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立ちます。したがって、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow a}\tan \left(
x_{k}\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\lim_{x_{k}\rightarrow a_{k}}\tan \left( x_{k}\right) \quad \because
\left( 1\right) \\
&=&\tan \left( a_{k}\right) \quad \because \left( 2\right)
\end{eqnarray*}となります。具体例を挙げると、スカラー場\(f:X^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(\left( x,y\right) \in X^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =\tan \left( x\right)
\end{equation*}を定める場合、任意の点\(\left( a,b\right) \in X^{2}\)に対して、\begin{equation*}\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) }f\left( x,y\right)
=\tan \left( a\right)
\end{equation*}が成り立ちます。

 

演習問題

問題(多変数の座標関数の極限)
スカラー場\(f:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
y & \left( if\ \left( x,y\right) \not=\left( 0,0\right) \right) \\
0 & \left( if\ \left( x,y\right) =\left( 0,0\right) \right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。それぞれの点\(\left(a,b\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)について、\begin{equation*}\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( a,b\right) }f\left( x,y\right)
\end{equation*}は有限な実数として定まるでしょうか。議論してください。

証明

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問題(多変数の座標関数の極限)
スカラー場\(f:\mathbb{R} ^{2}\supset \left[ 0,1\right] \times \left[ 0,1\right] \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \left[ 0,1\right] \times \left[ 0,1\right] \)に対して、\begin{equation*}f\left( x,y\right) =y
\end{equation*}を定めるものとします。以下の極限\begin{equation*}
\lim_{\left( x,y\right) \rightarrow \left( 0,1\right) }f\left( x,y\right)
\end{equation*}は有限な実数として定まるでしょうか。議論してください。

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次回は収束するスカラー場の定数倍として定義されるスカラー場もまた収束することを示します。

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質問とコメント

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スカラー場(多変数関数)