ベクトル値関数と多変数関数の合成関数の極限

ベクトル値関数と多変数関数の合成関数の極限

ベクトル値関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} ^{n}\)の値域と多変数関数\(f:\mathbb{R} ^{n}\supset Y\rightarrow \mathbb{R} \)の定義域の間に、\begin{equation*}f\left( X\right) \subset Y
\end{equation*}という関係が成り立つ場合には合成関数\begin{equation*}
g\circ f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能であり、これはそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}\left( g\circ f\right) \left( x\right) =g\left( f\left( x\right) \right) \in \mathbb{R} \end{equation*}を定めます。

ベクトル値関数\(f\)は点\(a\in \mathbb{R} \)の周辺の任意の点において定義されているとともに、\(x\rightarrow a\)のときに有限な点\(b\in \mathbb{R} ^{n}\)へ収束するものとします。つまり、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =b
\end{equation*}です。さらに、多変数関数\(g\)は点\(b\)を含めその周辺の任意の点において定義されているととともに、\(x\rightarrow b\)のときに有限な実数\(g\left( b\right) \in \mathbb{R} \)へ収束するものとします。つまり、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow b}g\left( x\right) =g\left( b\right)
\end{equation*}です。このとき、\(g\)は点\(b\)において連続であると言います。以上の条件が満たされる場合、合成関数\(g\circ f\)もまた\(x\rightarrow a\)のときに有限な実数へ収束することが保証されるとともに、その極限について、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}\left( g\circ f\right) \left( x\right) =g\left(
b\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow a}\left( g\circ f\right) \left( x\right) =g\left(
\lim_{x\rightarrow b}g\left( x\right) \right)
\end{equation*}という関係が成り立つことが保証されます。

つまり、\(x\rightarrow a\)のときに有限な点\(b\)へ収束するベクトル値関数\(f\)と点\(b\)において連続な多変数関数\(g\)が与えられたとき、それらの合成関数\(g\circ f\)もまた\(x\rightarrow a\)のときに有限な実数へ収束することが保証されるとともに、その極限は\(g\left( b\right) \)と一致することを上の命題は保証しています。したがって、合成関数\(g\circ f\)の収束可能性を判定する際には、関数の極限の定義にさかのぼって考える前に、まずは\(f\)と\(g\)に分けた上で、これらがそれぞれ上述の条件を満たすことを確認すればよいということになります。