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SERIES

級数

OVERVIEW

級数とは何か

数列とは無限個の実数を順番に並べたものですが、その無限個の実数を足すことで得られる和を無限級数と呼びます。ただ、実際に無限個の実数を足すことはできないため、無限級数の値として部分和の極限を採用します。

TABLE OF CONTENTS

目次

INFINITE SERIES

無限級数

数列の無限個の項を順番通りに足して得られる和を級数と呼びます。

等差級数とその収束可能性

等差数列の項の無限級数を等差級数と呼びます。初項と交差がゼロである場合には等差級数は収束しますが、それ以外の場合には発散します。

PROPERTIES OF INFINITE SERIES

無限級数の基本性質

無限級数の基本的な性質について解説します。

級数の定数倍の収束可能性

収束級数の定数倍として定義される級数は収束します。また、発散級数の定数倍として定義される級数は発散します。

級数どうしの和の収束可能性

収束級数どうしの和として定義される級数は収束します。収束級数と発散級数の和として定義される級数は発散します。発散級数どうしの和として定義される級数は収束する場合と発散する場合の両方のパターンがあります。

アーベルの補題とクロネッカーの補題

アーベルの補題と呼ばれる式変形テクニックを利用すれば、数列の積として定義される数列の部分和を扱いやすい形に変形できます。アーベルの補題を踏まえた上で、クロネッカーの補題と呼ばれる命題を示します。

POSITIVE TERM SERIES

正項級数

すべての項が非負の実数であるような数列の項の無限級数を正項級数と呼びます。

正項級数の定義と収束・発散条件

数列のすべての項が非負の実数であるとき、その項の無限級数を正項級数と呼びます。正項級数が収束することと、部分和の列が有界であることは必要十分です。

正項級数に関する比較判定法

正項級数が収束ないし発散することを判定するために、収束ないし発散することが分かっている別の正項級数を持ってきて両者の項を比較する手法を比較判定法と呼びます。

正項級数に関するダランベールの判定法

数列のすべての項が正の実数であるとき、その項の無限級数が収束ないし発散するかを判定する際に、隣り合う項の比を一般項とする数列の極限を指標として利用することができます。

負項級数の収束・発散判定

すべての項が非正の実数であるような数列の項の級数を負項級数と呼びます。負項級数の収束・発散判定は、それに対応する正項級数の収束・発散判定へ帰着させることができます。

正項級数の項を加える順序

正項級数が収束する場合、項を加える順序を任意の形で変えても、新たに得られる正項級数はもとの級数の和と同じ和へ収束します。また、正項級数が発散する場合、項を加える順序を任意の形で変えても、新たに得られる正項級数は発散します。

ALTERNATING SERIES

交代級数

項の正負が交互に入れ替わる無限級数を交代級数と呼びます。

交代級数の定義と収束条件

項の正負が交互に入れ替わる無限級数を交代級数と呼びます。交代級数が収束するための条件を明らかにします。

ABSOLUTELY CONVERGENT SERIES

絶対収束級数

与えられた級数の絶対値級数が収束する場合、もとの級数を絶対収束級数と呼びます。

絶対収束級数と比較判定法

正項級数とは限らない一般の級数が絶対収束することを判定するために比較判定法を活用する方法について解説します。

絶対収束級数の項を加える順序

級数が絶対収束する場合、項を加える順序を任意の形で変えても、新たに得られる級数は絶対収束するとともに、和は変化しません。

POWER SERIES

ベキ級数

ベキ級数の収束可能性について解説します。

ベキ級数と収束半径

ベキ級数と呼ばれるクラスの無限級数を定義するとともに、ベキ級数の収束半径を特定する方法を解説します。

RELATED KNOWLEDGE

関連知識

REQUIRED KNOWLEDGE

必須知識

以下の分野の知識があると本セクションの内容を円滑に理解できます。

数列

実数を順番に並べたものを数列や実数列と呼びます。数列の項が先に進むにつれてある実数に限りなく近づく場合には、その数列は収束すると言い、その実数を数列の極限と呼びます。

ADVANCED KNOWLEDGE

発展知識

本節で得た知識は以下の分野を学ぶ上での土台になります。

1変数関数の積分

1変数関数のリーマン積分について学びます。具体的には、積分の概念を定義した上で、積分の基本性質や初等関数の積分、微分と積分の関係、関連する諸定理について学びます。

ルベーグ測度

長さや面積、体積などはいずれも同一種類の小さい量を加え合わせることでより大きな量をつくることができるという意味において外延的な量です。一般に、外延量は測度と呼ばれる概念として一般化されます。ここでは実数空間(数直線)の部分集合を測定対象とするルベーグ測度について解説します。

確率

公理主義的な確率論について解説します。具体的には、確率空間や確率関数などの概念を定義した上で、確率空間の公理をもとに、確率空間が満たす基本的な性質を証明します。

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