級数

数列とは無限個の実数を順番に並べたものですが、その無限個の実数を足すことで得られる和を無限級数と呼びます。ただ、実際に無限個の実数を足すことはできないため、無限級数の値として部分和の極限を採用します。

学習内容

無限級数

数列の無限個の項を順番通りに足して得られる和を級数と呼びます。

無限級数(収束級数・発散級数)の定義と具体例

数列とは無限個の実数を順番に並べたものですが、その無限個の実数を順番通りに加えることで得られる和を無限級数や級数、無限和などと呼びます。

等差級数とその収束可能性

等差数列の項の無限級数を等差級数と呼びます。初項と交差がゼロである場合には等差級数は収束しますが、それ以外の場合には発散します。

等比級数(幾何級数)とその収束可能性

等比数列の項の無限級数を等比級数と呼びます。等比級数が収束する条件、発散する条件を明らかにします。

調和級数とその収束可能性

調和数列の項の無限級数を調和級数と呼びます。調和級数は発散します。

無限級数の基本性質

無限級数の基本的な性質について解説します。

級数の収束可能性と数列の収束可能性の関係

無限級数が収束ないし発散するための条件を、もとの数列の収束可能性に関する条件を用いて表現します。

級数の収束可能性と数列の有界性の関係

無限級数が収束ないし発散するための条件を、もとの数列や部分和の列の有界性に関する条件を用いて表現します。

級数の定数倍の収束可能性(定数倍の法則)

収束級数の定数倍として定義される級数は収束します。また、発散級数の定数倍として定義される級数は発散します。

級数どうしの和の収束可能性(和の法則)

収束級数どうしの和として定義される級数は収束します。収束級数と発散級数の和として定義される級数は発散します。発散級数どうしの和として定義される級数は収束する場合と発散する場合の両方のパターンがあります。

級数どうしの差の収束可能性(差の法則)

収束級数どうしの差として定義される級数は収束します。収束級数と発散級数の差として定義される級数は発散します。発散級数どうしの差として定義される級数は収束する場合と発散する場合の両方のパターンがあります。

アーベルの補題とクロネッカーの補題

アーベルの補題と呼ばれる式変形テクニックを利用すれば、数列の積として定義される数列の部分和を扱いやすい形に変形できます。アーベルの補題を踏まえた上で、クロネッカーの補題と呼ばれる命題を示します。

正項級数

すべての項が非負の実数であるような数列の項の無限級数を正項級数と呼びます。

正項級数の定義と収束・発散条件

数列のすべての項が非負の実数であるとき、その項の無限級数を正項級数と呼びます。正項級数が収束することと、部分和の列が有界であることは必要十分です。

正項級数に関する比較判定法

正項級数が収束ないし発散することを判定するために、収束ないし発散することが分かっている別の正項級数を持ってきて両者の項を比較する手法を比較判定法と呼びます。

正項級数に関するダランベールの判定法

数列のすべての項が正の実数であるとき、その項の無限級数が収束ないし発散するかを判定する際に、隣り合う項の比を一般項とする数列の極限を指標として利用することができます。

正項級数に関するコーシー・アダマールの判定法

正項級数が収束ないし発散するかを判定する際に、その項のn乗根を一般項とする数列の極限を指標として利用することができます。

正項級数に関する積分判定法(p-級数の収束判定)

正項級数が収束ないし発散するかを判定する際に積分を用いる手法について解説します。同時に、p-級数の収束判定方法について解説します。

負項級数の収束・発散判定

すべての項が非正の実数であるような数列の項の級数を負項級数と呼びます。負項級数の収束・発散判定は、それに対応する正項級数の収束・発散判定へ帰着させることができます。

正項級数の項を加える順序

正項級数が収束する場合、項を加える順序を任意の形で変えても、新たに得られる正項級数はもとの級数の和と同じ和へ収束します。また、正項級数が発散する場合、項を加える順序を任意の形で変えても、新たに得られる正項級数は発散します。

交代級数

項の正負が交互に入れ替わる無限級数を交代級数と呼びます。

絶対収束級数

与えられた級数の絶対値級数が収束する場合、もとの級数を絶対収束級数と呼びます。

ベキ級数

ベキ級数の収束可能性について解説します。

確認テスト

級数に関する確認テストです。

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