交代級数
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)のすべての項が正の実数であるものとします。すなわち、\begin{equation*}\forall n\in \mathbb{N} :x_{n}>0
\end{equation*}が成り立つということです。このような数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)から定義される以下の無限級数\begin{eqnarray*}&&\left( A\right) \ \sum_{n=1}^{+\infty }\left( -1\right)
^{n-1}x_{n}=x_{1}-x_{2}+x_{3}-x_{4}+\cdots \\
&&\left( B\right) \ \sum_{n=1}^{+\infty }\left( -1\right)
^{n}x_{n}=-x_{1}+x_{2}-x_{3}+x_{4}+\cdots
\end{eqnarray*}をともに交代級数（alternating series）と呼びます。つまり、交代級数とは項の正負が交互に入れ替わる無限級数です。\(\left( A\right) \)は正の実数から始まる交代級数である一方で、\(\left( B\right) \)は負の実数から始まる交代級数です。
\end{equation*}であるものとします。このとき、\begin{equation*}
\forall n\in \mathbb{N} :\frac{1}{n+1}>0
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall n\in \mathbb{N} :x_{n}>0
\end{equation*}が成り立つため、以下の無限級数\begin{eqnarray*}
\sum_{n=1}^{+\infty }\left( -1\right) ^{n-1}x_{n}
&=&x_{1}-x_{2}+x_{3}-x_{4}+\cdots \\
&=&1-\frac{2}{3}+\frac{2}{4}-\frac{2}{5}+\cdots
\end{eqnarray*}は交代級数です。以下の無限級数\begin{eqnarray*}
\sum_{n=1}^{+\infty }\left( -1\right) ^{n}x_{n}
&=&-x_{1}+x_{2}-x_{3}+x_{4}-\cdots \\
&=&-1+\frac{2}{3}-\frac{2}{4}+\frac{2}{5}-\cdots
\end{eqnarray*}もまた交代級数です。
\end{equation*}であるものとします。このとき、\begin{equation*}
\forall n\in \mathbb{N} :2^{n-1}>0
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall n\in \mathbb{N} :x_{n}>0
\end{equation*}が成り立つため、以下の無限級数\begin{eqnarray*}
\sum_{n=1}^{+\infty }\left( -1\right) ^{n-1}x_{n}
&=&x_{1}-x_{2}+x_{3}-x_{4}+\cdots \\
&=&1-2+4-8+\cdots
\end{eqnarray*}は交代級数です。以下の無限級数\begin{eqnarray*}
\sum_{n=1}^{+\infty }\left( -1\right) ^{n}x_{n}
&=&-x_{1}+x_{2}-x_{3}+x_{4}-\cdots \\
&=&-1+2-4+8-\cdots
\end{eqnarray*}もまた交代級数です。
\end{equation*}であるものとします。その逆数は、\begin{equation*}
\frac{1}{x_{n}}=n
\end{equation*}であるため、\(\left\{ \frac{1}{x_{n}}\right\} \)は初項が\(1\)であり交差が\(1\)であるような等差数列です。したがって\(\left\{ x_{n}\right\} \)は調和数列です。このとき、\begin{equation*}\forall n\in \mathbb{N} :\frac{1}{n}>0
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall n\in \mathbb{N} :x_{n}>0
\end{equation*}が成り立つため、以下の無限級数\begin{eqnarray*}
\sum_{n=1}^{+\infty }\left( -1\right) ^{n-1}x_{n}
&=&x_{1}-x_{2}+x_{3}-x_{4}+\cdots \\
&=&1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\cdots
\end{eqnarray*}は交代級数です。以下の無限級数\begin{eqnarray*}
\sum_{n=1}^{+\infty }\left( -1\right) ^{n}x_{n}
&=&-x_{1}+x_{2}-x_{3}+x_{4}-\cdots \\
&=&-1+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{4}-\cdots
\end{eqnarray*}もまた交代級数です。これらの交代級数を交代調和級数（alternating harmonic series）と呼びます。
交代級数の収束条件
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)が以下の3つの条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall n\in \mathbb{N} :x_{n}>0 \\
&&\left( b\right) \ x_{1}\geq x_{2}\geq x_{3}\geq \cdots \\
&&\left( c\right) \ \lim_{n\rightarrow +\infty }x_{n}=0
\end{eqnarray*}を満たす状況を想定します。条件\(\left( a\right) \)は数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)のすべての項が正の実数であることを意味します。したがってこの場合、交代級数\begin{eqnarray*}&&\left( A\right) \ \sum_{n=1}^{+\infty }\left( -1\right)
^{n-1}x_{n}=x_{1}-x_{2}+x_{3}-x_{4}+\cdots \\
&&\left( B\right) \ \sum_{n=1}^{+\infty }\left( -1\right)
^{n}x_{n}=-x_{1}+x_{2}-x_{3}+x_{4}+\cdots
\end{eqnarray*}がともに定義可能です。条件\(\left( b\right) \)は数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)が単調減少数列であることを意味し、条件\(\left( c\right) \)は数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)が有限な実数\(0\)へ収束することを意味します。
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)が以上の3つの条件\(\left( a\right) ,\left( b\right) ,\left(c\right) \)を満たす場合には、交代級数\(\left( A\right) ,\left( B\right) \)はともに収束することが保証されます。
&&\left( b\right) \ x_{1}\geq x_{2}\geq x_{3}\geq \cdots \\
&&\left( c\right) \ \lim_{n\rightarrow +\infty }x_{n}=0
\end{eqnarray*}を満たす場合には、以下の2つの無限級数\begin{eqnarray*}
&&\left( A\right) \ \sum_{n=1}^{+\infty }\left( -1\right)
^{n-1}x_{n}=x_{1}-x_{2}+x_{3}-x_{4}+\cdots \\
&&\left( B\right) \ \sum_{n=1}^{+\infty }\left( -1\right)
^{n}x_{n}=-x_{1}+x_{2}-x_{3}+x_{4}+\cdots
\end{eqnarray*}はともに収束する。
\end{equation*}であるものとします。先に示したように、以下の無限級数\begin{eqnarray*}
&&\left( A\right) \ \sum_{n=1}^{+\infty }\left( -1\right) ^{n-1}x_{n}=1-\frac{2}{3}+\frac{2}{4}-\frac{2}{5}+\cdots \\
&&\left( B\right) \ \sum_{n=1}^{+\infty }\left( -1\right) ^{n}x_{n}=-1+\frac{2}{3}-\frac{2}{4}+\frac{2}{5}-\cdots
\end{eqnarray*}はともに交代級数です。数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)は単調減少関数であるとともに、\begin{eqnarray*}\lim_{n\rightarrow +\infty }x_{n} &=&\lim_{n\rightarrow +\infty }\frac{2}{n+1} \\
&=&0
\end{eqnarray*}が成り立つため、先の命題より、無限級数\(\left( A\right) ,\left( B\right) \)はともに収束します。
\end{equation*}であるものとします。先に示したように、以下の無限級数\begin{eqnarray*}
&&\left( A\right) \ \sum_{n=1}^{+\infty }\left( -1\right) ^{n-1}x_{n}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\cdots \\
&&\left( B\right) \ \sum_{n=1}^{+\infty }\left( -1\right) ^{n}x_{n}=-1+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{4}-\cdots
\end{eqnarray*}はともに交代級数です（交代調和級数）。数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)は単調減少関数であるとともに、\begin{eqnarray*}\lim_{n\rightarrow +\infty }x_{n} &=&\lim_{n\rightarrow +\infty }\frac{1}{n}
\\
&=&0
\end{eqnarray*}が成り立つため、先の命題より、無限級数\(\left( A\right) ,\left( B\right) \)はともに収束します。
先の命題が要求する条件の吟味
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)が以下の3つの条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall n\in \mathbb{N} :x_{n}>0 \\
&&\left( b\right) \ x_{1}\geq x_{2}\geq x_{3}\geq \cdots \\
&&\left( c\right) \ \lim_{n\rightarrow +\infty }x_{n}=0
\end{eqnarray*}を満たす場合には、交代級数\begin{eqnarray*}
&&\left( A\right) \ \sum_{n=1}^{+\infty }\left( -1\right)
^{n-1}x_{n}=x_{1}-x_{2}+x_{3}-x_{4}+\cdots \\
&&\left( B\right) \ \sum_{n=1}^{+\infty }\left( -1\right)
^{n}x_{n}=-x_{1}+x_{2}-x_{3}+x_{4}+\cdots
\end{eqnarray*}がともに収束することが明らかになりました。条件\(\left( a\right) \)は交代級数\(\left( A\right) ,\left( B\right) \)を定義するために必須です。では、交代級数\(\left( A\right) ,\left( B\right) \)が収束することを保証するために条件\(\left( b\right) ,\left( c\right) \)は必須なのでしょうか。以下の例を参照してください。
\end{equation*}であるものとします。先に示したように、以下の無限級数\begin{equation}
\sum_{n=1}^{+\infty }\left( -1\right) ^{n-1}x_{n}=1-2+4-8+\cdots \quad \cdots (1)
\end{equation}は交代級数です。数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の項を具体的に表現すると、\begin{equation*}\left\{ x_{n}\right\} =\left\{ 1,2,4,\cdots \right\}
\end{equation*}であるため、\(\left\{ x_{n}\right\} \)は単調増加数列です。しかも、\begin{eqnarray*}\lim_{n\rightarrow +\infty }x_{n} &=&\lim_{n\rightarrow +\infty }2^{n-1} \\
&=&+\infty
\end{eqnarray*}となるため、数列\(\left\{x_{n}\right\} \)はゼロへ収束しません。したがって、この数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)は先の命題が要求する条件を満たしていないため、先の命題を利用して無限級数\(\left(1\right) \)が収束することを保証できません。実際、\(\left( 1\right) \)は収束しません。なぜなら、無限級数\(\left( 1\right) \)のもととなる数列\begin{equation*}\left\{ \left( -1\right) ^{n-1}x_{n}\right\} =\left\{ 1,-2,4,-8,\cdots
\right\}
\end{equation*}の項は符号を交互に変えつつ、その絶対値は大きくなり続けるため、この数列は振動し、したがって有限な実数へ収束しません。以上の事実と級数の収束可能性と数列の収束可能性の関係より、級数\(\left(1\right) \)は発散することが明らかになりました。
演習問題
\sum_{n=1}^{+\infty }\frac{\left( -1\right) ^{n}n^{2}}{n^{2}+5}
\end{equation*}が交代級数であることを示してください。その上で、この無限級数が収束するか検討してください。
\sum_{n=0}^{+\infty }\frac{\left( -1\right) ^{n-3}\sqrt{n}}{n+4}
\end{equation*}が交代級数であることを示してください。その上で、この無限級数が収束するか検討してください。
\sum_{n=2}^{+\infty }\frac{\cos \left( n\pi \right) }{\sqrt{n}}
\end{equation*}が交代級数であることを示してください。その上で、この無限級数が収束するか検討してください。
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