アーベルの補題
2つの数列\(\left\{ x_{n}\right\} ,\left\{y_{n}\right\} \)が任意に与えられたとき、\begin{equation*}x_{n}y_{n}
\end{equation*}を一般項とする新たな数列\(\left\{ x_{n}y_{n}\right\} \)が定義可能です。
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の初項から第\(N\)項までの総和、すなわち部分和を、\begin{equation}X_{N}=\sum_{n=1}^{N}x_{n}=x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{N} \quad \cdots (1)
\end{equation}で表記するものと定めます。その一方で、数列\(\left\{ x_{n}y_{n}\right\} \)の初項から第\(N\)項までの総和は、\begin{equation*}\sum_{n=1}^{N}\left( x_{n}y_{n}\right) =x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+\cdots
+x_{N}y_{N}
\end{equation*}ですが、\(\left( 1\right) \)を用いて、これを、\begin{eqnarray*}\sum_{n=1}^{N}\left( x_{n}y_{n}\right) &=&\sum_{n=1}^{N-1}X_{n}\left(
y_{n}-y_{n+1}\right) +X_{N}y_{N} \\
&=&X_{N}y_{N}-\sum_{n=1}^{N-1}X_{n}\left( y_{n+1}-y_{n}\right)
\end{eqnarray*}と表現することができます。これをアーベルの補題（Abel’s lemma）やアーベル変形（Abel’s transformation）、アーベルの部分和公式（Abel’s partial summation formula）などと呼びます。
数列\(\left\{ x_{n}\right\} ,\left\{ y_{n}\right\} \)が与えられているものとする。それぞれの番号\(N\in \mathbb{N} \)に対して、\begin{equation*}X_{N}=\sum_{n=1}^{N}x_{n}
\end{equation*}と定める。番号\(N\in \mathbb{N} \)を任意に選んだとき、以下の関係\begin{equation*}\sum_{n=1}^{N}\left( x_{n}y_{n}\right) =\sum_{n=1}^{N-1}X_{n}\left(
y_{n}-y_{n+1}\right) +X_{N}y_{N}
\end{equation*}が成り立つ。
クロネッカーの補題
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の項からなる無限級数は収束するものとします。つまり、\begin{equation*}\sum_{n=1}^{+\infty }x_{n}<+\infty
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\lim_{N\rightarrow \infty }\sum_{n=1}^{N}x_{n}<+\infty
\end{equation*}が成り立つということです。その上で、以下の2つの条件\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ 0<y_{1}\leq y_{2}\leq y_{3}\leq \cdots \\
&&\left( b\right) \ \lim_{n\rightarrow \infty }y_{n}=+\infty
\end{eqnarray*}を満たす数列\(\left\{ y_{n}\right\} \)を任意に選びます。つまり、\(\left\{ y_{n}\right\} \)はすべての項が正であり、正の無限大へ発散する単調増加数列です。条件\(\left( a\right) \)より、以下の数列\begin{equation*}\left\{ \frac{1}{y_{N}}\sum_{n=1}^{N}y_{n}x_{n}\right\} _{N\in \mathbb{N} }
\end{equation*}が定義可能ですが、与えられた条件のもとでは、この数列が\(0\)へ収束することが保証されます。つまり、\begin{equation*}\lim_{N\rightarrow \infty }\frac{1}{y_{N}}\sum_{n=1}^{N}y_{n}x_{n}=0
\end{equation*}が成り立つということです。これをクロネッカーの補題（Kronecker’s lemma）と呼びます。証明ではアーベルの補題を利用します。
\end{equation*}を満たし、数列\(\left\{y_{n}\right\} \)は、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ 0<y_{1}\leq y_{2}\leq y_{3}\leq \cdots \\
&&\left( b\right) \ \lim_{n\rightarrow \infty }y_{n}=+\infty
\end{eqnarray*}を満たすものとする。このとき、\begin{equation*}
\lim_{N\rightarrow \infty }\frac{1}{y_{N}}\sum_{n=1}^{N}y_{n}x_{n}=0
\end{equation*}が成り立つ。
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)を任意に選びます。加えて、以下の2つの条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ 0<y_{1}\leq y_{2}\leq y_{3}\leq \cdots \\
&&\left( b\right) \ \lim_{n\rightarrow \infty }y_{n}=+\infty
\end{eqnarray*}を満たす数列\(\left\{ y_{n}\right\} \)を任意に選びます。つまり、\(\left\{ y_{n}\right\} \)はすべての項が正であり、正の無限大へ発散する単調増加数列です。条件\(\left( a\right) \)より、以下の2つの数列\begin{eqnarray*}&&\left\{ \frac{x_{n}}{y_{n}}\right\} _{n\in \mathbb{N} } \\
&&\left\{ \frac{1}{y_{N}}\sum_{n=1}^{N}x_{n}\right\} _{N\in \mathbb{N} }
\end{eqnarray*}が定義可能です。その上で、数列\(\left\{ \frac{x_{n}}{y_{n}}\right\} \)の項からなる無限級数はする場合には、つまり、\begin{equation*}\sum_{n=1}^{+\infty }\frac{x_{n}}{y_{n}}<+\infty
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\lim_{N\rightarrow \infty }\sum_{n=1}^{N}\frac{x_{n}}{y_{n}}<+\infty
\end{equation*}が成り立つ場合には、もう一方の数列が\(0\)へ収束することが保証されます。つまり、\begin{equation*}\lim_{N\rightarrow \infty }\frac{1}{y_{N}}\sum_{n=1}^{N}x_{n}=0
\end{equation*}が成り立つということです。こちらをクロネッカーの補題と呼ぶ場合もあります。証明では先の命題を利用します。
&&\left( b\right) \ \lim_{n\rightarrow \infty }y_{n}=+\infty
\end{eqnarray*}を満たすものとする。加えて、\begin{equation*}
\lim_{N\rightarrow \infty }\sum_{n=1}^{N}\frac{x_{n}}{y_{n}}<+\infty
\end{equation*}が成り立つものとする。以上の条件のもとでは、\begin{equation*}
\lim_{N\rightarrow \infty }\frac{1}{y_{N}}\sum_{n=1}^{N}x_{n}=0
\end{equation*}が成り立つ。
演習問題
\end{equation*}と定めます。番号\(N\in \mathbb{N} \)を任意に選んだとき、以下の関係\begin{equation*}\sum_{n=M}^{N}\left( x_{n}y_{n}\right) =\sum_{n=M}^{N-1}X_{n}\left(
y_{n}-y_{n+1}\right) +X_{N}y_{N}
\end{equation*}が成り立つことを示してください。
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