コーシーの収束判定基準
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の項の無限級数とは、\(\left\{ x_{n}\right\} \)の無限個の項を順番通りに加えることで得られる和\begin{equation*}\sum_{n=1}^{\infty }x_{n}=x_{1}+x_{2}+x_{3}+\cdots
\end{equation*}として定義されます。無限級数を、\begin{equation*}
\sum x_{n}
\end{equation*}と表記することもできます。
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の初項から第\(n\)項までの和を、\begin{eqnarray*}s_{n} &=&x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n} \\
&=&\sum_{v=1}^{n}x_{v}
\end{eqnarray*}で表記し、これを数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の部分和と呼びます。無限級数\(\sum x_{n}\)が収束することとは、部分和の列\(\left\{s_{n}\right\} \)が有限な実数へ収束することとして定義されます。つまり、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow \infty }s_{n}\in \mathbb{R} \end{equation*}が成り立つ場合には無限級数\(\sum x_{n}\)もまた収束するものと定義するとともに、この場合、無限級数\(\sum x_{n}\)の和を、\begin{equation*}\sum_{n=1}^{\infty }x_{n}=\lim_{n\rightarrow \infty }s_{n}
\end{equation*}と定義します。
無限級数\(\sum x_{n}\)が収束することは部分和の列\(\left\{ s_{n}\right\} \)が収束することとして定義されますが、\(\left\{ s_{n}\right\} \)は数列であるため、無限級数の収束と数列の収束という2つの概念の間には何らかの関係が成立するはずです。以下ではそれを具体化します。
数列が収束することと、その数列がコーシー列であることは必要十分です。したがって、数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の部分和の列\(\left\{ s_{n}\right\} \)が収束することと、\(\left\{ s_{n}\right\} \)がコーシー列であることは必要十分です。ただし、\(\left\{s_{n}\right\} \)がコーシー列であることは、どれほど小さい実数\(\varepsilon >0\)を任意に選んだ場合においても、ある番号\(N\in \mathbb{N} \)が存在して、この数列\(\left\{ s_{n}\right\} \)の第\(N\)項より先にある任意の2積の項\(s_{m},s_{n}\)の間の距離\(\left\vert s_{m}-s_{n}\right\vert \)が\(\varepsilon \)よりも小さくなること、すなわち、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0,\ \exists N\in \mathbb{N} ,\ \forall m\in \mathbb{N} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :\left( m\geq N\wedge n\geq N\Rightarrow \left\vert s_{m}-s_{n}\right\vert
<\varepsilon \right)
\end{equation*}が成り立つことを意味します。
以上を踏まえると、無限級数\(\sum x_{n}\)が収束することを以下のように表現することもできます。これをコーシーの収束判定基準（Cauchy criterion）と呼びます。
+x_{m}\right\vert <\varepsilon \right)
\end{equation*}が成り立つことは必要十分である。
消失条件（級数が収束するならば数列はゼロへ収束する）
コーシーの収束判定基準そのものは無限級数の収束判定条件として使いやすいものではありませんが、コーシーの収束判定基準を用いると、無限級数が収束するための十分条件を導くことができます。これを消失条件（vanishing condition）と呼びます。
\end{equation*}が成り立つ。
\end{equation*}で与えられているものとします。この数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の項の無限級数は、\begin{eqnarray*}\sum_{n=1}^{\infty }x_{n} &=&\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n\left( n+1\right)
}\quad \because \left\{ x_{n}\right\} \text{の定義} \\
&=&\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{12}+\cdots
\end{eqnarray*}ですが、この無限級数は収束します。実際、部分和の列\(\left\{s_{n}\right\} \)の一般項は、\begin{eqnarray*}s_{n} &=&\sum_{v=1}^{n}x_{v}\quad \because s_{n}\text{の定義} \\
&=&\sum_{v=1}^{n}\left[ \frac{1}{v\left( v+1\right) }\right] \quad \because
\left\{ x_{n}\right\} \text{の定義} \\
&=&\sum_{v=1}^{n}\left( \frac{1}{v}-\frac{1}{v+1}\right) \quad \because
\frac{1}{v}-\frac{1}{v+1}=\frac{1}{v\left( v+1\right) } \\
&=&\left( 1-\frac{1}{2}\right) +\left( \frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)
+\left( \frac{1}{3}-\frac{1}{4}\right) +\cdots +\left( \frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right) \\
&=&1-\frac{1}{n+1}
\end{eqnarray*}であるため、その極限は、\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow \infty }s_{n} &=&\lim_{n\rightarrow \infty }\left( 1-\frac{1}{n+1}\right) \\
&=&\lim_{n\rightarrow \infty }1-\lim_{n\rightarrow \infty }\left( \frac{1}{n+1}\right) \\
&=&1-0 \\
&=&1
\end{eqnarray*}となります。したがって、無限級数\(\sum x_{n}\)は収束するとともに、その和は、\begin{equation*}\sum_{n=1}^{\infty }x_{n}=1
\end{equation*}であることが明らかになりました。したがって先の命題より、数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)は\(0\)へ収束するはずです。実際、\begin{eqnarray*}\lim_{n\rightarrow +\infty }x_{n} &=&\lim_{n\rightarrow +\infty }\frac{1}{n\left( n+1\right) }\quad \because \left\{ x_{n}\right\} \\
&=&\frac{1}{+\infty } \\
&=&0
\end{eqnarray*}となります。以上の結果は先の命題の主張と整合的です。
無限級数\(\sum x_{n}\)が収束する場合にはもとの数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)は\(0\)へ収束することが明らかになりましたが、逆の主張は成り立つとは限りません。つまり、数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)が\(0\)へ収束する場合に無限級数\(\sum x_{n}\)は収束するとは限りません。以下の例より明らかです。
\end{equation*}で与えられているものとします。この数列の極限は、\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n} &=&\lim_{n\rightarrow \infty }\left( \frac{1}{n}\right) \\
&=&0
\end{eqnarray*}であるため、\(\left\{ x_{n}\right\} \)は収束します。その一方で、無限級数\(\sum x_{n}\)は収束しません。そのことを示すために、\(\sum x_{n}\)が有限な実数\(a\in \mathbb{R} \)へ収束するものと仮定して矛盾を導きます。このとき、\begin{eqnarray*}a &=&1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}+\cdots \quad \because \text{仮定} \\
&\geq &1+\frac{1}{2}+\left( \frac{1}{4}+\frac{1}{4}\right) +\left( \frac{1}{6}+\frac{1}{6}\right) +\left( \frac{1}{8}+\frac{1}{8}\right) \cdots \\
&=&1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\cdots \\
&=&\frac{1}{2}+a\quad \because \text{仮定}
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
a\geq \frac{1}{2}+a
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
0\geq \frac{1}{2}
\end{equation*}となりますがこれは矛盾です。したがって、背理法より、無限級数\(\sum x_{n}\)は収束しないことが明らかになりました。
級数が発散するための条件
先の命題の対偶をとることにより以下を得ます。
\end{equation*}が成り立つならば、無限級数\(\sum x_{n}\)は発散する。
上の命題より、数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)が\(0\)へ収束しない場合には無限級数\(\sum x_{n}\)が発散することが明らかになりました。
\end{equation*}で与えられているものとします。この数列の極限は、\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n} &=&\lim_{n\rightarrow \infty }n\quad
\because \left\{ x_{n}\right\} \text{の定義} \\
&=&+\infty
\end{eqnarray*}であるため、先の命題より、無限級数\(\sum x_{n}\)は発散します。実際、部分和の列\(\left\{ s_{n}\right\} \)の一般項は、\begin{eqnarray*}s_{n} &=&\sum_{v=1}^{n}x_{v}\quad \because s_{n}\text{の定義} \\
&=&\sum_{v=1}^{n}v\quad \because \left\{ x_{n}\right\} \text{の定義} \\
&=&1+2+3+\cdots +n \\
&=&\frac{n\left( n+1\right) }{2}
\end{eqnarray*}であるため、その極限は、\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow \infty }s_{n} &=&\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{n\left(
n+1\right) }{2} \\
&=&+\infty
\end{eqnarray*}となります。したがって、無限級数\(\sum x_{n}\)は発散するとともに、\begin{equation*}\sum_{n=1}^{\infty }x_{n}=+\infty
\end{equation*}であることが明らかになりました。以上の結果は先の命題の主張と整合的です。
演習問題
\sum_{n=1}^{+\infty }\left( -n\right)
\end{equation*}は収束するでしょうか。議論してください。
\sum_{n=1}^{+\infty }\left( -1\right) ^{n}
\end{equation*}は収束するでしょうか。議論してください。
\sum_{n=1}^{+\infty }2^{n}
\end{equation*}は収束するでしょうか。議論してください。
\sum_{n=1}^{+\infty }\sqrt[n]{3}
\end{equation*}は収束するでしょうか。議論してください。
\sum_{n=1}^{+\infty }\frac{e^{n}}{n^{2}}
\end{equation*}は収束するでしょうか。議論してください。
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