収束級数の部分和の列は有界
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の項の無限級数とは、\(\left\{ x_{n}\right\} \)の無限個の項を順番通りに加えることで得られる和\begin{equation*}\sum_{n=1}^{\infty }x_{n}=x_{1}+x_{2}+x_{3}+\cdots
\end{equation*}として定義されます。無限級数を、\begin{equation*}
\sum x_{n}
\end{equation*}と表記することもできます。
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の初項から第\(n\)項までの和を、\begin{eqnarray*}s_{n} &=&x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n} \\
&=&\sum_{v=1}^{n}x_{v}
\end{eqnarray*}で表記し、これを数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の部分和と呼びます。無限級数\(\sum x_{n}\)が収束することとは、部分和の列\(\left\{s_{n}\right\} \)が有限な実数へ収束することとして定義されます。つまり、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow \infty }s_{n}\in \mathbb{R} \end{equation*}が成り立つ場合には無限級数\(\sum x_{n}\)もまた収束するものと定義するとともに、この場合、無限級数\(\sum x_{n}\)の和を、\begin{equation*}\sum_{n=1}^{\infty }x_{n}=\lim_{n\rightarrow \infty }s_{n}
\end{equation*}と定義します。
無限級数\(\sum x_{n}\)が収束することは部分和の列\(\left\{ s_{n}\right\} \)が収束することとして定義されますが、\(\left\{ s_{n}\right\} \)は数列であるため、無限級数の収束と数列の収束という2つの概念の間には何らかの関係が成立するはずです。
有限な実数へ収束する数列は有界です。したがって、数列\(\left\{x_{n}\right\} \)の部分和の列\(\left\{s_{n}\right\} \)が収束する場合、\(\left\{ s_{n}\right\} \)は有界になることが保証されます。ただし、\(\left\{ s_{n}\right\} \)が有界であることとは、そのすべての項からなる集合\begin{equation*}\left\{ s_{n}\in \mathbb{R} \ |\ n\in \mathbb{N} \right\}
\end{equation*}が有界であること、すなわち、\begin{equation*}
\exists U\in \mathbb{R} ,\ \exists L\in \mathbb{R} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :L\leq x_{n}\leq U
\end{equation*}が成り立つことを意味します。
以上の議論より、無限級数\(\sum x_{n}\)が収束する場合には部分和の列\(\left\{ s_{n}\right\} \)が有界になることが明らかになりました。
\end{equation*}で与えられているものとします。この数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の項の無限級数は、\begin{eqnarray*}\sum_{n=1}^{\infty }x_{n} &=&\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n\left( n+1\right)
}\quad \because \left\{ x_{n}\right\} \text{の定義} \\
&=&\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{12}+\cdots
\end{eqnarray*}ですが、この無限級数は収束します。実際、部分和の列\(\left\{s_{n}\right\} \)の一般項は、\begin{eqnarray*}s_{n} &=&\sum_{v=1}^{n}x_{v}\quad \because s_{n}\text{の定義} \\
&=&\sum_{v=1}^{n}\left[ \frac{1}{v\left( v+1\right) }\right] \quad \because
\left\{ x_{n}\right\} \text{の定義} \\
&=&\sum_{v=1}^{n}\left( \frac{1}{v}-\frac{1}{v+1}\right) \quad \because
\frac{1}{v}-\frac{1}{v+1}=\frac{1}{v\left( v+1\right) } \\
&=&\left( 1-\frac{1}{2}\right) +\left( \frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)
+\left( \frac{1}{3}-\frac{1}{4}\right) +\cdots +\left( \frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right) \\
&=&1-\frac{1}{n+1}
\end{eqnarray*}であるため、その極限は、\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow \infty }s_{n} &=&\lim_{n\rightarrow \infty }\left( 1-\frac{1}{n+1}\right) \\
&=&\lim_{n\rightarrow \infty }1-\lim_{n\rightarrow \infty }\left( \frac{1}{n+1}\right) \\
&=&1-0 \\
&=&1
\end{eqnarray*}となります。したがって、無限級数\(\sum x_{n}\)は収束するとともに、その和は、\begin{equation*}\sum_{n=1}^{\infty }x_{n}=1
\end{equation*}であることが明らかになりました。したがって先の命題より、部分和の列\(\left\{ s_{n}\right\} \)は有界であるはずです。実際、任意の\(n\in \mathbb{N} \)について、\begin{equation*}0<1-\frac{1}{n+1}<1
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
0<s_{n}<1
\end{equation*}が成り立つため\(\left\{s_{n}\right\} \)は有界です。以上の結果は先の命題の主張と整合的です。
無限級数\(\sum x_{n}\)が収束する場合には部分和の列\(\left\{ s_{n}\right\} \)は有界になることが明らかになりましたが、逆の主張は成り立つとは限りません。つまり、部分和の列\(\left\{ s_{n}\right\} \)が有界である場合に無限級数\(\sum x_{n}\)は収束するとは限りません。以下の例より明らかです。
\end{equation*}で与えられているものとします。部分和の列\(\left\{ s_{n}\right\} \)の一般項は、\begin{eqnarray*}s_{n} &=&\sum_{v=1}^{n}x_{v}\quad \because s_{n}\text{の定義} \\
&=&\sum_{v=1}^{n}\left( -1\right) ^{v}\quad \because \left\{ x_{n}\right\}
\text{の定義}
\end{eqnarray*}であるため、\begin{equation*}
\left\{ s_{n}\right\} =\left\{ -1,1,-1,1,\cdots \right\}
\end{equation*}となります。したがって、\begin{equation*}
\forall n\in \mathbb{N} :-1\leq s_{n}\leq 1
\end{equation*}が成り立つため\(\left\{s_{n}\right\} \)は有界です。その一方で、数列\(\left\{x_{n}\right\} \)は振動するため\(0\)へ収束せず、したがって無限級数\(\sum x_{n}\)は発散します。
収束級数のもととなる数列は有界
無限級数\(\sum x_{n}\)が収束する場合には数列\(\left\{x_{n}\right\} \)の部分和の列\(\left\{s_{n}\right\} \)が有界であることが明らかになりました。この場合には数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)もまた有界になることが保証されます。なぜなら、無限級数\(\sum x_{n}\)が収束する場合には数列\(\left\{x_{n}\right\} \)は\(0\)へ収束しますが、有限な実数へ収束する数列は有界だからです。
\end{equation*}で与えられているものとします。この数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の項の無限級数は、\begin{eqnarray*}\sum_{n=1}^{\infty }x_{n} &=&\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n\left( n+1\right)
}\quad \because \left\{ x_{n}\right\} \text{の定義} \\
&=&\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{12}+\cdots
\end{eqnarray*}ですが、先に示したように、この無限級数は収束します。したがって先の命題より、数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)は有界であるはずです。実際、任意の\(n\in \mathbb{N} \)について、\begin{eqnarray*}0 &\leq &\frac{1}{n\left( n+1\right) } \\
&\leq &\frac{1}{1\cdot 2} \\
&=&\frac{1}{2}
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
0\leq x_{n}\leq \frac{1}{2}
\end{equation*}が成り立つため\(\left\{x_{n}\right\} \)は有界です。以上の結果は先の命題の主張と整合的です。
無限級数\(\sum x_{n}\)が収束する場合には数列\(\left\{x_{n}\right\} \)は有界になることが明らかになりましたが、逆の主張は成り立つとは限りません。つまり、数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)が有界である場合に無限級数\(\sum x_{n}\)は収束するとは限りません。以下の例より明らかです。
\end{equation*}で与えられているものとします。つまり、\begin{equation*}
\left\{ x_{n}\right\} =\left\{ -1,1,-1,1,\cdots \right\}
\end{equation*}です。したがって、\begin{equation*}
\forall n\in \mathbb{N} :-1\leq x_{n}\leq 1
\end{equation*}が成り立つため\(\left\{x_{n}\right\} \)は有界です。その一方で、数列\(\left\{x_{n}\right\} \)は振動するため\(0\)へ収束せず、したがって無限級数\(\sum x_{n}\)は発散します。
級数が発散するための条件
先の2つの命題の対偶をとることにより以下を得ます。
\end{equation*}で与えられているものとします。この数列は有界でないため、先の命題より、無限級数\(\sum x_{n}\)は発散します。
演習問題
\sum_{n=1}^{+\infty }\left( -n\right)
\end{equation*}は収束するでしょうか。議論してください。
\sum_{n=1}^{+\infty }2^{n}
\end{equation*}は収束するでしょうか。議論してください。
\sum_{n=1}^{+\infty }\left( 2n+1\right)
\end{equation*}は収束するでしょうか。議論してください。
