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級数

級数の収束可能性と数列の有界性の関係

目次

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収束級数の部分和の列は有界

数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の項の無限級数とは、\(\left\{ x_{n}\right\} \)の無限個の項を順番通りに加えることで得られる和\begin{equation*}\sum_{n=1}^{\infty }x_{n}=x_{1}+x_{2}+x_{3}+\cdots
\end{equation*}として定義されます。無限級数を\(\sum x_{n}\)と表記することもできます。一般項が、\begin{equation*}s_{n}=\sum_{v=1}^{n}x_{v}=x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}
\end{equation*}で与えられる数列\(\left\{s_{n}\right\} \)を数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の部分和の列と呼びます。部分和の列\(\left\{x_{n}\right\} \)が有限な実数へ収束する場合、すなわち、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow \infty }s_{n}\in \mathbb{R} \end{equation*}が成り立つ場合には無限級数\(\sum x_{n}\)もまた収束するものと定義するとともに、この場合、\(\sum x_{n}\)の和を、\begin{equation*}\sum_{n=1}^{\infty }x_{n}=\lim_{n\rightarrow \infty }s_{n}
\end{equation*}と定義します。つまり、無限級数\(\sum x_{n}\)が収束することは部分和の列\(\left\{ s_{n}\right\} \)が収束することとして定義されますが、\(\left\{ s_{n}\right\} \)は数列であるため、無限級数の収束と数列の収束という2つの概念の間には何らかの関係が成立するはずです。

一般に、有限な実数へ収束する数列は有界です。したがって、数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の部分和の列\(\left\{ s_{n}\right\} \)が収束する場合、\(\left\{ s_{n}\right\} \)は有界になることが保証されます。ただし、\(\left\{ s_{n}\right\} \)が有界であることとは、そのすべての項からなる集合\begin{equation*}\left\{ s_{n}\in \mathbb{R} \ |\ n\in \mathbb{N} \right\}
\end{equation*}が有界であること、すなわち、\begin{equation*}
\exists U\in \mathbb{R} ,\ \exists L\in \mathbb{R} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :L\leq x_{n}\leq U
\end{equation*}が成り立つことを意味します。

以上を踏まえると、無限級数\(\sum x_{n}\)が収束する場合には数列\(\left\{x_{n}\right\} \)の部分和の列\(\left\{s_{n}\right\} \)が有界であることが保証されます。

命題(収束級数の部分和の列は有界)
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の項の無限級数\(\sum x_{n}\)が収束するならば、部分和の列\(\left\{ s_{n}\right\} \)は有界である。
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上の命題の逆は成立するとは限りません。つまり、数列\(\left\{x_{n}\right\} \)の部分和の列\(\left\{s_{n}\right\} \)が有界である場合に無限級数\(\sum x_{n}\)は収束するとは限りません。以下の例より明らかです。

例(部分和の列が有界かつ無限級数が発散する場合)
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の一般項が、\begin{equation*}x_{n}=\left( -1\right) ^{n}
\end{equation*}で与えられているものとします。部分和の列\(\left\{ s_{n}\right\} \)の一般項は、\begin{eqnarray*}s_{n} &=&\sum_{v=1}^{n}x_{v}\quad \because s_{n}\text{の定義} \\
&=&\sum_{v=1}^{n}\left( -1\right) ^{v}\quad \because \left\{ x_{n}\right\}
\text{の定義}
\end{eqnarray*}であるため、\begin{equation*}
\left\{ s_{n}\right\} =\left\{ -1,1,-1,1,\cdots \right\}
\end{equation*}となります。したがって、\begin{equation*}
\forall n\in \mathbb{N} :-1\leq s_{n}\leq 1
\end{equation*}が成り立つため\(\left\{s_{n}\right\} \)は有界です。その一方で、数列\(\left\{x_{n}\right\} \)は振動するため\(0\)へ収束せず、したがって無限級数\(\sum x_{n}\)は発散します。

 

収束級数のもととなる数列は有界

無限級数\(\sum x_{n}\)が収束する場合には数列\(\left\{x_{n}\right\} \)の部分和の列\(\left\{s_{n}\right\} \)が有界であることが明らかになりました。実は、この場合には数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)もまた有界になることが保証されます。なぜなら、無限級数\(\sum x_{n}\)が収束する場合には数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)は\(0\)へ収束しますが、有限な実数へ収束する数列は有界だからです。

命題(収束級数のもととなる数列は有界)
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の項の無限級数\(\sum x_{n}\)が収束するならば、\(\left\{ x_{n}\right\} \)は有界である。
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上の命題の逆は成立するとは限りません。つまり、数列\(\left\{x_{n}\right\} \)が有界である場合に無限級数\(\sum x_{n}\)は収束するとは限りません。以下の例より明らかです。

例(有界な数列の項の無限級数が発散する場合)
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の一般項が、\begin{equation*}x_{n}=\left( -1\right) ^{n}
\end{equation*}で与えられているものとします。つまり、\begin{equation*}
\left\{ x_{n}\right\} =\left\{ -1,1,-1,1,\cdots \right\}
\end{equation*}です。したがって、\begin{equation*}
\forall n\in \mathbb{N} :-1\leq x_{n}\leq 1
\end{equation*}が成り立つため\(\left\{x_{n}\right\} \)は有界です。その一方で、数列\(\left\{x_{n}\right\} \)は振動するため\(0\)へ収束せず、したがって無限級数\(\sum x_{n}\)は発散します。

 

級数が発散するための条件

先の2つの命題の対偶をとると以下を得ます。

命題(級数が発散するための条件)
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)について、部分和の列\(\left\{ s_{n}\right\} \)と数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の少なくとも一方が有界ではない場合には無限級数\(\sum x_{n}\)は発散する。
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例(級数が発散するための条件)
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の一般項が、\begin{equation*}x_{n}=n
\end{equation*}で与えられているものとします。この数列は有界でないため、先の命題より、無限級数\(\sum x_{n}\)は発散します。

 

演習問題

問題(級数の収束可能性と数列の有界性)
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の一般項が、\begin{equation*}x_{n}=-n
\end{equation*}で与えられているものとします。無限級数\(\sum x_{n}\)は収束するでしょうか。議論してください。
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問題(級数の収束可能性と数列の有界性)
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の一般項が、\begin{equation*}x_{n}=2^{n}
\end{equation*}で与えられているものとします。無限級数\(\sum x_{n}\)は収束するでしょうか。議論してください。
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問題(級数の収束可能性と数列の有界性)
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の一般項が、\begin{equation*}x_{n}=2x+1
\end{equation*}で与えられているものとします。無限級数\(\sum x_{n}\)は収束するでしょうか。議論してください。
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