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級数

ベキ級数と収束半径

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ベキ級数

数列\(\left\{ a_{n}\right\} _{n=0}^{+\infty }\)および実数\(c\in \mathbb{R} \)が与えられれば、それぞれの実数\(x\in \mathbb{R} \)に対して、以下の数列\begin{equation*}\left\{ a_{n}\left( x-c\right) ^{n}\right\} =\left\{ a_{0},a_{1}\left(
x-c\right) ,a_{2}\left( x-c\right) ^{2},a_{3}\left( x-c\right) ^{3},\cdots
\right\}
\end{equation*}が定義可能です。この数列の項からなる無限級数\begin{equation*}
\sum_{n=0}^{+\infty }a_{n}\left( x-c\right) ^{n}=a_{0}+a_{1}\left(
x-c\right) +a_{2}\left( x-c\right) ^{2}+a_{3}\left( x-c\right) ^{3}+\cdots
\end{equation*}を\(c\)を中心とする係数\(\left\{ a_{n}\right\} \)のベキ級数(power series centered at \(c\) with \(\left\{a_{n}\right\} \))と呼びます。

点\(0\in \mathbb{R} \)を中心とする係数\(\left\{a_{n}\right\} \)のベキ級数は、\begin{equation*}\sum_{n=0}^{+\infty }a_{n}x^{n}=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}+\cdots
\end{equation*}となりますが、特にこれを原点まわりの係数\(\left\{ a_{n}\right\} \)のベキ級数(power series around the origin with \(\left\{ a_{n}\right\} \))と呼びます。

例(ベキ級数)
係数が実数\(a\in \mathbb{R} \)を用いて\(\left\{ a_{n}\right\} =\left\{ a\right\} \)と表される場合の原点まわりのベキ級数は、\begin{equation*}\sum_{n=0}^{+\infty }ax^{n}=a+ax+ax^{2}+ax^{3}+ax^{4}+\cdots
\end{equation*}となります。これは初項が\(a\)であり公比が\(x\)であるような等比級数であるため、\(\left\vert x\right\vert <1\)の場合には収束するとともに、その和は、\begin{equation*}\sum_{n=0}^{+\infty }ax^{n}=\frac{1}{1-x}
\end{equation*}となります。

例(ベキ級数)
係数が\(\left\{ a_{n}\right\} =\left\{ \frac{1}{n!}\right\} \)であるような原点まわりのベキ級数は、\begin{equation*}\sum_{n=0}^{+\infty }\frac{1}{n!}x^{n}=1+x+\frac{1}{2}x^{2}+\frac{1}{6}x^{3}+\frac{1}{24}x^{4}+\cdots
\end{equation*}となります。

例(ベキ級数)
係数が\(\left\{ a_{n}\right\} =\left\{ n!\right\} \)であるような原点まわりのベキ級数は、\begin{equation*}\sum_{n=0}^{+\infty }n!x^{n}=1+x+2x^{2}+6x^{3}+24x^{4}+\cdots
\end{equation*}となります。

例(ベキ級数)
数列\(\left\{ a_{n}\right\} \)を、\begin{equation*}a_{n}=\left\{
\begin{array}{cl}
\left( -1\right) ^{k} & \left( if\ \exists k\in \mathbb{R} _{+}:n=2^{k}\right) \\
0 & \left( if\ otherwise\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}と定義します。つまり、\begin{equation*}
\left\{ a_{n}\right\} =\left\{ 0,1,-1,0,1,0,0,0,-1,\cdots \right\}
\end{equation*}です。係数が\(\left\{ a_{n}\right\} \)であるような原点まわりのベキ級数は、\begin{equation*}\sum_{n=0}^{+\infty }a_{n}x^{n}=x-x^{2}+x^{4}-x^{8}+\cdots
\end{equation*}となります。

例(ベキ級数)
数列\(\left\{ a_{n}\right\} \)を、\begin{equation*}a_{n}=\left\{
\begin{array}{cc}
0 & \left( if\ n=0\right) \\
\frac{\left( -1\right) ^{n+1}}{n} & \left( if\ n\geq 1\right)\end{array}\right.
\end{equation*}と定義します。係数が\(\left\{ a_{n}\right\} \)であるような点\(1\)を中心とするベキ級数は、\begin{equation*}\sum_{n=0}^{+\infty }a_{n}\left( x-1\right) ^{n}=\left( x-1\right) -\frac{1}{2}\left( x-1\right) ^{2}+\frac{1}{3}\left( x-1\right) ^{3}-\frac{1}{4}\left(
x-1\right) ^{4}+\cdots
\end{equation*}となります。

点\(c\)を中心とする係数\(\left\{ a_{n}\right\} \)のベキ級数\begin{equation*}\sum_{n=0}^{+\infty }a_{n}\left( x-c\right) ^{n}=a_{0}+a_{1}\left(
x-c\right) +a_{2}\left( x-c\right) ^{2}+a_{3}\left( x-c\right) ^{3}+\cdots
\end{equation*}が与えられた状況を想定します。ここで、\begin{equation*}
y=x-c
\end{equation*}と定義すれば、点\(c\)を中心とする係数\(\left\{a_{n}\right\} \)のベキ級数は、\begin{equation*}\sum_{n=0}^{+\infty }a_{n}y^{n}=a_{0}+a_{1}y+a_{2}y^{2}+a_{3}y^{3}+\cdots
\end{equation*}となり、原点まわりの係数\(\left\{ a_{n}\right\} \)のベキ級数が得られます。

以上のように考えることにより、任意のベキ級数を原点まわりのベキ級数とみなすことができます。そこで、以降では原点まわりのベキ級数を対象に議論を行います。

 

ベキ級数の収束半径

数列\(\left\{ a_{n}\right\} _{n=0}^{+\infty }\)が与えられれば、それぞれの実数\(x\in \mathbb{R} \)に対して、原点まわりのベキ級数\begin{equation}\sum_{n=0}^{+\infty }a_{n}x^{n}=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}+\cdots
\quad \cdots (1)
\end{equation}が定義可能です。

\(x=0\)である場合に\(\left( 1\right) \)は\(a_{0}\)と一致するため、\(\left( 1\right) \)は有限な実数として定まります。また、\(x\not=0\)であるとともに、数列\(\left\{ a_{n}\right\} \)の有限個の項が非ゼロであり、それ以外の任意の項がゼロである場合には、\(\left( 1\right) \)は有限個の実数の和となります。有限個の実数の和は有限な実数であるため、この場合、\(\left( 1\right) \)は有限な実数として定まります。以上のいずれのケースでもない場合には、すなわち、\(x\not=0\)であるとともに、数列\(\left\{ a_{n}\right\} \)の無限個の項が非ゼロである場合には、\(\left( 1\right) \)は無限個の実数の和となるため、その収束可能性が問題になります。以降では、ベキ級数の絶対収束可能性について議論します。

係数\(\left\{ a_{n}\right\} \)に関する原点まわりのベキ級数\begin{equation*}\sum_{n=0}^{+\infty }a_{n}x^{n}=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}+\cdots
\end{equation*}は変数\(x\in \mathbb{R} \)を含む形で定義されているため、絶対収束可能性を判定するためには\(x\)の値を具体的に指定する必要があります。先の議論より、\(x=0\)の場合にはベキ級数\(\sum a_{n}x^{n}\)は\(a_{0}\)と一致するため、この場合には\(\sum a_{n}x^{n}\)は明らかに絶対収束します。そこで、以下の条件\begin{equation*}S\not=0
\end{equation*}を満たす何らかの実数\(S\in \mathbb{R} \)に対して、\(x=S\)の場合にベキ級数\(\sum a_{n}x^{n}\)が収束する状況を想定します。つまり、以下の無限級数\begin{equation*}\sum_{n=0}^{+\infty }a_{n}S^{n}=a_{0}+a_{1}S+a_{2}S^{2}+a_{3}S^{3}+\cdots
\end{equation*}が収束するということです。この場合、以下の条件\begin{equation*}
\left\vert x\right\vert <\left\vert S\right\vert
\end{equation*}を満たす任意の\(x\in \mathbb{R} \)に対して、ベキ級数\(\sum a_{n}x^{n}\)が絶対収束することが保証されます。

命題(ベキ級数の収束半径)
数列\(\left\{ a_{n}\right\} _{n=0}^{+\infty }\)が与えられたとき、非ゼロの実数\(S\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、以下の級数\begin{equation*}\sum_{n=0}^{+\infty }a_{n}S^{n}
\end{equation*}が収束するものとする。この場合、以下の条件\begin{equation*}
\left\vert x\right\vert <\left\vert S\right\vert
\end{equation*}を満たす任意の実数\(x\in \mathbb{R} \)に対して、原点まわりのベキ級数\begin{equation*}\sum_{n=0}^{+\infty }a_{n}x^{n}
\end{equation*}は絶対収束する。

証明

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係数\(\left\{ a_{n}\right\} \)に関する原点まわりのベキ級数\begin{equation*}\sum_{n=0}^{+\infty }a_{n}x^{n}=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}+\cdots
\end{equation*}が与えられているものとします。以下の条件\begin{equation*}
T\not=0
\end{equation*}を満たす何らかの実数\(T\in \mathbb{R} \)に対して、\(x=T\)の場合にベキ級数\(\sum a_{n}x^{n}\)が発散する状況を想定します。つまり、以下の無限級数\begin{equation*}\sum_{n=0}^{+\infty }a_{n}T^{n}=a_{0}+a_{1}T+a_{2}T^{2}+a_{3}T^{3}+\cdots
\end{equation*}が発散するということです。この場合、以下の条件\begin{equation*}
\left\vert T\right\vert <\left\vert x\right\vert
\end{equation*}を満たす任意の\(x\in \mathbb{R} \)に対して、ベキ級数\(\sum a_{n}x^{n}\)が発散することが保証されます。

命題(ベキ級数の収束半径)
数列\(\left\{ a_{n}\right\} _{n=0}^{+\infty }\)が与えられたとき、非ゼロの実数\(T\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、以下の級数\begin{equation*}\sum_{n=0}^{+\infty }a_{n}T^{n}
\end{equation*}が発散するものとする。この場合、\begin{equation*}
\left\vert T\right\vert <\left\vert x\right\vert
\end{equation*}を満たす任意の実数\(x\in \mathbb{R} \)に対して、原点まわりのベキ級数\begin{equation*}\sum_{n=0}^{+\infty }a_{n}x^{n}
\end{equation*}は発散する。

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以上の2つの命題を用いることにより以下が導かれます。

命題(ベキ級数の収束半径)
数列\(\left\{ a_{n}\right\} _{n=0}^{+\infty }\)が与えられたとき、それに対して、以下の条件\begin{equation*}0\leq R\leq +\infty
\end{equation*}を満たす拡大実数\(R\in \overline{\mathbb{R} }\)が存在して、任意の\(x\in \mathbb{R} \)について、\begin{eqnarray*}&&\left( A\right) \ \left\vert x\right\vert <R\Rightarrow
\sum_{n=0}^{+\infty }a_{n}x^{n}\text{は絶対収束する} \\
&&\left( B\right) \ \left\vert x\right\vert >R\Rightarrow
\sum_{n=0}^{+\infty }a_{n}x^{n}\text{は発散する}
\end{eqnarray*}がともに成り立つ。

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数列\(\left\{ a_{n}\right\} _{n=0}^{+\infty }\)が与えられたとき、それに対して、以下の条件\begin{equation*}0\leq R\leq +\infty
\end{equation*}を満たす拡大実数\(R\in \overline{\mathbb{R} }\)が存在して、任意の\(x\in \mathbb{R} \)について、\begin{eqnarray*}&&\left( A\right) \ \left\vert x\right\vert <R\Rightarrow
\sum_{n=0}^{+\infty }a_{n}x^{n}\text{は絶対収束する} \\
&&\left( B\right) \ \left\vert x\right\vert >R\Rightarrow
\sum_{n=0}^{+\infty }a_{n}x^{n}\text{は発散する}
\end{eqnarray*}がともに成り立つことが明らかになりました。そこで、この値\(R\)をベキ級数\begin{equation*}\sum_{n=0}^{+\infty }a_{n}x^{n}
\end{equation*}の収束半径(radius of convergence)と呼びます。

ベキ級数\(\sum a_{n}x^{n}\)の収束半径が\(R\)であることは、\(\left\vert x\right\vert <R\)を満たす任意の\(x\in \mathbb{R} \)のもとでベキ級数\(\sum a_{n}x^{n}\)は絶対収束する一方で、\(\left\vert x\right\vert >R\)を満たす任意の\(x\in \mathbb{R} \)のもとでベキ級数\(\sum a_{n}x^{n}\)は発散することを意味します。\(\left\vert x\right\vert =R\)の場合には、ベキ級数\(\sum a_{n}x^{n}\)が絶対収束する場合と発散する場合の双方のパターンが起こり得ます。

特に、ベキ級数\(\sum a_{n}x^{n}\)の収束半径が\(R=0\)であることは、ベキ級数\(\sum a_{n}x^{n}\)は\(x=0\)の場合にのみ絶対収束することを意味します。

逆に、ベキ級数\(\sum a_{n}x^{n}\)の収束半径が\(R=+\infty \)であることは、ベキ級数\(\sum a_{n}x^{n}\)が任意の実数\(x\in \mathbb{R} \)のもとで絶対収束することを意味します。

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