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負項級数の収束・発散判定

目次

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負項級数

数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)のすべての項が非正の実数である場合には、すなわち、\begin{equation*}\forall n\in \mathbb{N} :x_{n}\leq 0
\end{equation*}が成り立つ場合には、この数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の項の無限級数\(\sum x_{n}\)を負項級数(negative term series)と呼びます。

例(負項級数)
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)のすべての項が負の実数であるものとします。すなわち、\begin{equation*}\forall n\in \mathbb{N} :x_{n}<0
\end{equation*}が成り立つということです。このとき、\begin{equation*}
\forall n\in \mathbb{N} :x_{n}\leq 0
\end{equation*}も明らかに成り立つため、無限級数\(\sum x_{n}\)は負項級数です。
例(負項級数)
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の一般項が、\begin{equation*}x_{n}=-n
\end{equation*}で与えられているものとします。任意の\(n\in \mathbb{N} \)に対して\(n\leq 0\)すなわち\(x_{n}\leq 0\)が成り立つため、無限級数\(\sum x_{n}\)は負項級数です。
例(負項級数)
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の一般項が、\begin{equation*}x_{n}=-\frac{1}{n}
\end{equation*}で与えられているものとします。任意の\(n\in \mathbb{N} \)に対して\(n\leq 0\)すなわち\(x_{n}\leq 0\)が成り立つため、無限級数\(\sum x_{n}\)は負項級数です。
例(負項級数)
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の一般項が、\begin{equation*}x_{n}=-\frac{1}{2^{n}}
\end{equation*}で与えられているものとします。任意の\(n\in \mathbb{N} \)に対して\(n\leq 0\)すなわち\(x_{n}\leq 0\)が成り立つため、無限級数\(\sum x_{n}\)は負項級数です。

逆に、無限級数\(\sum x_{n}\)が負項級数ではないこととは、数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の項の中に正であるものが存在すること、すなわち、\begin{equation*}\exists n\in \mathbb{N} :x_{n}>0
\end{equation*}が成り立つことを意味します。

例(負項級数ではない級数)
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の一般項が、\begin{equation*}x_{n}=\left( -1\right) ^{n}
\end{equation*}で与えられているものとします。例えば、\begin{equation*}
x_{2}=1>0
\end{equation*}が成り立つため、無限級数\(\sum x_{n}\)は負項級数ではありません。

 

負項級数の収束・発散判定

無限級数\(\sum x_{n}\)が負項級数であるものとします。つまり、\begin{equation*}\forall n\in \mathbb{N} :x_{n}\leq 0
\end{equation*}が成り立つということです。このとき、一般項が、\begin{equation*}
-x_{n}
\end{equation*}であるような数列\(\left\{-x_{n}\right\} \)を定義すれば、この数列に関して、\begin{equation*}\forall n\in \mathbb{N} :-x_{n}\geq 0
\end{equation*}が成り立つため、数列\(\left\{ -x_{n}\right\} \)の項の無限級数\(\sum \left( -x_{n}\right) \)は正項級数になります。

正項級数\(\sum \left( -x_{n}\right) \)が収束する場合には負項級数\(\sum x_{n}\)が収束することもまた保証されるとともに、両者の和の間には、\begin{equation*}\sum_{n=1}^{\infty }x_{n}=-\sum_{n=1}^{\infty }\left( -x_{n}\right)
\end{equation*}という関係が成り立つため、負項級数\(\sum x_{n}\)が収束することを示す代わりに正項級数\(\sum \left( -x_{n}\right) \)が収束することを示してもよく、さらに、上の関係を用いることにより負項級数\(\sum x_{n}\)の和を具体的に特定できます。また、正項級数\(\sum \left(-x_{n}\right) \)が発散する場合には負項級数\(\sum x_{n}\)もまた発散することが保証されるため、負項級数\(\sum x_{n}\)が発散することを示す代わりに正項級数\(\sum \left( -x_{n}\right) \)が発散することを示してよいということになります。

命題(負項級数の収束・発散判定)
負項級数\(\sum x_{n}\)が任意に与えられたとき、そこから正項級数\(\sum \left(-x_{n}\right) \)が定義可能である。このとき以下が成り立つ。

  1. 正項級数\(\sum \left( -x_{n}\right) \)が収束するならば負項級数\(\sum x_{n}\)もまた収束するとともに、両者の和の間には以下の関係\begin{equation*}\sum_{n=1}^{\infty }x_{n}=-\sum_{n=1}^{\infty }\left( -x_{n}\right) \end{equation*}が成り立つ。
  2. 正項級数\(\sum \left( -x_{n}\right) \)が発散するならば負項級数\(\sum x_{n}\)もまた発散する。
証明

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以上の命題より、負項級数\(\sum x_{n}\)が収束すること、ないし発散することを判定するためには、そこから生成される正項級数\(\sum \left(-x_{n}\right) \)が収束すること、ないし発散することを判定してもよいことが明らかになりました。つまり、負項級数の収束・発散判定を行う際に、これまで学んだ正項級数の収束・発散判定に関する知識をそのまま利用できるということです。

 

正項級数が収束・発散するための必要十分条件を利用する

正項級数が収束するための必要十分条件を再掲します。

命題(正項級数が収束するための必要十分条件)
無限級数\(\sum x_{n}\)が正項級数であるものとする。数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の部分和の列\(\left\{ s_{n}\right\} \)が上に有界であることと、\(\sum x_{n}\)が収束することは必要十分である。

以上の命題を利用すれば、負項級数が収束することを判定できます。

例(収束する負項級数)
以下の無限級数\begin{equation*}
\sum_{n=1}^{\infty }\left( -\frac{1}{2^{n}}\right)
\end{equation*}は負項級数であるため、この無限級数が収束することを示す代わりに、以下の正項級数\begin{equation*}
\sum_{n=1}^{\infty }\left( \frac{1}{2^{n}}\right)
\end{equation*}が収束することを示しても問題ありません。数列\(\left\{ \frac{1}{2^{n}}\right\} \)は初項が\(\frac{1}{2}\)で公比が\(\frac{1}{2}\)であるような等比数列であるため、部分和の列\(\left\{ s_{n}\right\} \)の一般項は、\begin{equation*}s_{n}=\frac{\frac{1}{2}\left[ 1-\left( \frac{1}{2}\right) ^{n}\right] }{1-\frac{1}{2}}=1-\left( \frac{1}{2}\right) ^{n}
\end{equation*}となります。すると、任意の\(n\in \mathbb{N} \)に対して、\begin{eqnarray*}s_{n} &=&1-\left( \frac{1}{2}\right) ^{n} \\
&\leq &1-0\quad \because \left( \frac{1}{2}\right) ^{n}\geq 0 \\
&=&1
\end{eqnarray*}が成り立つため、\(\left\{s_{n}\right\} \)は上に有界です。したがって先の命題より正項級数\(\sum \left( \frac{1}{2^{n}}\right) \)は収束します。したがって、それに対応する負項級数\(\sum_{n=1}^{\infty }\left( -\frac{1}{2^{n}}\right) \)もまた収束します。

正項級数が発散するための必要十分条件を再掲します。

命題(正項級数が発散するための必要十分条件)
無限級数\(\sum x_{n}\)が正項級数であるものとする。数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の部分和の列\(\left\{ s_{n}\right\} \)が上に有界ではないことと、\(\sum x_{n}\)が発散することは必要十分である。

以上の命題を利用すれば、負項級数が発散することを判定できます。

例(発散する負項級数)
以下の無限級数\begin{equation*}
\sum_{n=1}^{\infty }\left( -1\right)
\end{equation*}は負項級数であるため、この無限級数が発散することを示す代わりに、以下の正項級数\begin{equation*}
\sum_{n=1}^{\infty }1
\end{equation*}が発散することを示しても問題ありません。数列\(\left\{ 1\right\} \)の部分和の列\(\left\{ s_{n}\right\} \)の一般項は、\begin{eqnarray*}s_{n} &=&\sum_{v=1}^{n}1 \\
&=&n
\end{eqnarray*}です。\(U\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、アルキメデスの性質より\(n>U\)すなわち\(s_{n}>U\)を満たす\(n\in \mathbb{N} \)が存在するため、\(\left\{s_{n}\right\} \)は上に有界ではありません。したがって先の命題より正項級数\(\sum 1\)は発散します。したがって、それに対応する負項級数\(\sum \left( -1\right) \)もまた発散します。

 

正項級数の比較判定法を利用する

正項級数に関する比較判定法を再掲します。

命題(正項級数に関する比較判定法)
数列である\(\left\{ x_{n}\right\} \)と\(\left\{ y_{n}\right\} \)が以下の条件\begin{equation*}\forall n\in \mathbb{N} :0\leq x_{n}\leq y_{n}
\end{equation*}を満たすものとする。このとき、無限級数である\(\sum x_{n}\)と\(\sum y_{n}\)について、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \sum_{n=1}^{\infty }y_{n}\text{は収束する}\Rightarrow \sum_{n=1}^{\infty }x_{n}\text{は収束する} \\
&&\left( b\right) \ \sum_{n=1}^{\infty }x_{n}\text{は発散する}\Rightarrow \sum_{n=1}^{\infty }y_{n}\text{は発散する}
\end{eqnarray*}が成り立つ。

以上の命題を利用すれば、負項級数が収束ないし発散することを判定できます。

例(収束する負項級数)
以下の無限級数\begin{equation*}
\sum_{n=1}^{\infty }\left( -\frac{1}{3^{n}+1}\right)
\end{equation*}は負項級数であるため、この無限級数が収束することを示す代わりに、以下の正項級数\begin{equation*}
\sum_{n=1}^{\infty }\left( \frac{1}{3^{n}+1}\right)
\end{equation*}が収束することを示しても問題ありません。任意の\(n\in \mathbb{N} \)について、\begin{equation}\frac{1}{3^{n}+1}<\frac{1}{3^{n}} \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立つため、無限級数\(\sum \frac{1}{3^{n}}\)を比較対象として採用します。数列\(\left\{ \frac{1}{3^{n}}\right\} \)は初項が\(\frac{1}{3}\)であり公比が\(\frac{1}{3}\)であるような等比数列であるため\(\sum \frac{1}{3^{n}}\)は等比級数です。初項が\(0\)ではなく公比の絶対値が\(1\)より小さい等比数列の項の級数は収束するため\(\sum \frac{1}{3^{n}}\)は収束します。以上の事実と\(\left( 1\right) \)より、正項級数\(\sum \frac{1}{3^{n}+1}\)は収束することが明らかになりました。したがって、それに対応する負項級数\(\sum \left( -\frac{1}{3^{n}+1}\right) \)もまた収束します。
例(発散する負項級数)
以下の無限級数\begin{equation*}
\sum_{n=1}^{\infty }\left( \frac{n}{\cos ^{2}\left( n\right) -n^{2}}\right)
\end{equation*}は負項級数であるため、この無限級数が発散することを示す代わりに、以下の正項級数\begin{equation*}
\sum_{n=1}^{\infty }\left( \frac{n}{n^{2}-\cos ^{2}\left( n\right) }\right)
\end{equation*}が発散することを示しても問題ありません。任意の\(n\in \mathbb{N} \)について、\begin{equation*}\cos ^{2}\left( n\right) \geq 0
\end{equation*}が成り立つため、さらに、\begin{equation*}
n^{2}-\cos ^{2}\left( n\right) \leq n^{2}
\end{equation*}さらに、\begin{equation*}
\frac{1}{n^{2}-\cos ^{2}\left( n\right) }\geq \frac{1}{n^{2}}
\end{equation*}さらに、\begin{equation*}
\frac{n}{n^{2}-\cos ^{2}\left( n\right) }\geq \frac{n}{n^{2}}
\end{equation*}すなわち、\begin{equation}
\frac{n}{n^{2}-\cos ^{2}\left( n\right) }\geq \frac{1}{n}>0 \quad \cdots (1)
\end{equation}を得ます。そこで、正項級数に関する比較判定法を利用します。無限級数\(\sum \frac{1}{n}\)を比較対象として採用します。\(\sum \frac{1}{n}\)は調和級数であるため発散します。以上の事実と\(\left( 1\right) \)より、正項級数\(\sum \frac{n}{n^{2}-\cos ^{2}\left( n\right) }\)は発散することが明らかになりました。したがって、それに対応する負項級数\(\sum \frac{n}{\cos^{2}\left( n\right) -n^{2}}\)もまた発散します。

 

正項級数に関するダランベール判定法を利用する

正項級数に関するダランベール判定法を再掲します。

命題(正項級数に関するダランベールの判定法)
以下の条件\begin{equation*}
\forall n\in \mathbb{N} :x_{n}>0
\end{equation*}を満たす数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)を任意に選んだ上で、新たな数列\(\left\{ \frac{x_{n+1}}{x_{n}}\right\} \)を定義する。その上で、その極限を、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow \infty }\left( \frac{x_{n+1}}{x_{n}}\right) =r
\end{equation*}と表記する。このとき、以下の関係\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ 0\leq r<1\Rightarrow \text{無限級数}\sum_{n=1}^{\infty }x_{n}\text{は収束する} \\
&&\left( b\right) \ 1<r\leq +\infty \Rightarrow \text{無限級数}\sum_{n=1}^{\infty }x_{n}\text{は発散する}
\end{eqnarray*}が成り立つ。

以上の命題を利用すれば、負項級数が収束ないし発散することを判定できます。

例(収束する負項級数)
以下の無限級数\begin{equation*}
\sum_{n=1}^{\infty }\left( -\frac{1}{n!}\right)
\end{equation*}は負項級数であるため、この無限級数が収束することを示す代わりに、以下の正項級数\begin{equation*}
\sum_{n=1}^{\infty }\left( \frac{1}{n!}\right)
\end{equation*}が収束することを示しても問題ありません。ダランベールの判定法を利用します。具体的には、\begin{eqnarray*}
\frac{\frac{1}{\left( n+1\right) !}}{\frac{1}{n!}} &=&\frac{n!}{\left(
n+1\right) !} \\
&=&\frac{1}{n+1}
\end{eqnarray*}であることを踏まえた上で極限をとると、\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow \infty }\left( \frac{\frac{1}{\left( n+1\right) !}}{\frac{1}{n!}}\right) &=&\lim_{n\rightarrow \infty }\left( \frac{1}{n+1}\right) \\
&=&\frac{1}{+\infty } \\
&=&0
\end{eqnarray*}となります。つまり、\begin{equation*}
0\leq \lim_{n\rightarrow \infty }\left( \frac{\frac{1}{\left( n+1\right) !}}{\frac{1}{n!}}\right) <1
\end{equation*}が成り立つため、ダランベールの判定法より、正項級数\(\sum \frac{1}{n!}\)は収束することが明らかになりました。したがって、それに対応する負項級数\(\sum \left(-\frac{1}{n!}\right) \)もまた収束します。
例(発散する負項級数)
以下の無限級数\begin{equation*}
\sum_{n=1}^{\infty }\left[ -\frac{\left( 4n\right) !}{4^{n}n!}\right] \end{equation*}は負項級数であるため、この無限級数が発散することを示す代わりに、以下の正項級数\begin{equation*}
\sum_{n=1}^{\infty }\frac{\left( 4n\right) !}{4^{n}n!}
\end{equation*}が発散することを示しても問題ありません。ダランベールの判定法を利用します。具体的には、\begin{eqnarray*}
\frac{\frac{\left[ 4\left( n+1\right) \right] !}{4^{n+1}\left( n+1\right) !}}{\frac{\left( 4n\right) !}{4^{n}n!}} &=&\frac{\left[ 4\left( n+1\right) \right] !}{4^{n+1}\left( n+1\right) !}\cdot \frac{4^{n}n!}{\left( 4n\right) !} \\
&=&\frac{\left( 4n+4\right) !}{4\left( n+1\right) }\cdot \frac{1}{\left(
4n\right) !} \\
&=&\frac{\left( 4n+4\right) \left( 4n+3\right) \left( 4n+2\right) \left(
4n+1\right) }{4\left( n+1\right) } \\
&=&\left( 4n+3\right) \left( 4n+2\right) \left( 4n+1\right)
\end{eqnarray*}であることを踏まえた上で極限をとると、\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow \infty }\left( \frac{\frac{\left[ 4\left( n+1\right) \right] !}{4^{n+1}\left( n+1\right) !}}{\frac{\left( 4n\right) !}{4^{n}n!}}\right) &=&\lim_{n\rightarrow \infty }\left( 4n+3\right) \left( 4n+2\right)
\left( 4n+1\right) \\
&=&+\infty
\end{eqnarray*}となります。つまり、\begin{equation*}
1<\lim_{n\rightarrow \infty }\left( \frac{\frac{\left[ 4\left( n+1\right) \right] !}{4^{n+1}\left( n+1\right) !}}{\frac{\left( 4n\right) !}{4^{n}n!}}\right) \leq +\infty
\end{equation*}が成り立つため、ダランベールの判定法より、正項級数\(\sum \frac{\left(4n\right) !}{4^{n}n!}\)は発散することが明らかになりました。したがって、それに対応する負項級数\(\sum \left[ -\frac{\left( 4n\right) !}{4^{n}n!}\right] \)もまた発散します。

 

正項級数に関するコーシー・アダマールの判定法を利用する

正項級数に関するコーシー・アダマールの判定法を再掲します。

命題(正項級数に関するコーシー・アダマールの判定法)
以下の条件\begin{equation*}
\forall n\in \mathbb{N} :x_{n}\geq 0
\end{equation*}を満たす数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)を任意に選んだ上で、新たな数列\(\left\{ \left( x_{n}\right)^{\frac{1}{n}}\right\} \)を定義する。その上で、その極限を、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow \infty }\left( x_{n}\right) ^{\frac{1}{n}}=r
\end{equation*}と表記する。このとき、以下の関係\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ 0\leq r<1\Rightarrow \text{無限級数}\sum_{n=1}^{\infty }x_{n}\text{は収束する} \\
&&\left( b\right) \ 1<r\leq +\infty \Rightarrow \text{無限級数}\sum_{n=1}^{\infty }x_{n}\text{は発散する}
\end{eqnarray*}が成り立つ。

以上の命題を利用すれば、負項級数が収束ないし発散することを判定できます。

例(収束する負項級数)
以下の無限級数\begin{equation*}
\sum_{n=1}^{\infty }\left( -\frac{2^{n+1}}{n^{n}}\right)
\end{equation*}は負項級数であるため、この無限級数が収束することを示す代わりに、以下の正項級数\begin{equation*}
\sum_{n=1}^{\infty }\left( \frac{2^{n+1}}{n^{n}}\right)
\end{equation*}が収束することを示しても問題ありません。コーシー・アダマールの判定法を利用します。具体的には、\begin{eqnarray*}
\left( \frac{2^{n+1}}{n^{n}}\right) ^{\frac{1}{n}} &=&\frac{2^{\frac{n+1}{n}}}{n} \\
&=&\frac{2^{1+\frac{1}{n}}}{n}
\end{eqnarray*}であることを踏まえた上で極限をとると、\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow \infty }\left( \frac{2^{n+1}}{n^{n}}\right) ^{\frac{1}{n}} &=&\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{2^{1+\frac{1}{n}}}{n} \\
&=&\frac{2}{+\infty } \\
&=&0
\end{eqnarray*}となります。つまり、\begin{equation*}
0\leq \lim_{n\rightarrow \infty }\left( \frac{2^{n+1}}{n^{n}}\right) ^{\frac{1}{n}}<1
\end{equation*}が成り立つため、コーシー・アダマールの判定法より、正項級数\(\sum \frac{2^{n+1}}{n^{n}}\)は収束することが明らかになりました。したがって、それに対応する負項級数\(\sum \left( -\frac{2^{n+1}}{n^{n}}\right) \)もまた収束します。
例(発散する負項級数)
以下の無限級数\begin{equation*}
\sum_{n=1}^{\infty }\left( -\frac{n^{n}}{2^{1+2n}}\right)
\end{equation*}は負項級数であるため、この無限級数が発散することを示す代わりに、以下の正項級数\begin{equation*}
\sum_{n=1}^{\infty }\left( \frac{n^{n}}{2^{1+2n}}\right)
\end{equation*}が発散することを示しても問題ありません。コーシー・アダマールの判定法を利用します。具体的には、\begin{eqnarray*}
\left( \frac{n^{n}}{2^{1+2n}}\right) ^{\frac{1}{n}} &=&\frac{n}{2^{\frac{1+2n}{n}}} \\
&=&\frac{n}{2^{\frac{1}{n}+2}}
\end{eqnarray*}であることを踏まえた上で極限をとると、\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow \infty }\left( \frac{n^{n}}{2^{1+2n}}\right) ^{\frac{1}{n}} &=&\lim_{n\rightarrow \infty }\left( \frac{n}{2^{\frac{1}{n}+2}}\right) \\
&=&\frac{+\infty }{2^{2}} \\
&=&+\infty
\end{eqnarray*}となります。つまり、\begin{equation*}
1<\left( \frac{n^{n}}{2^{1+2n}}\right) ^{\frac{1}{n}}\leq +\infty
\end{equation*}が成り立つため、コーシー・アダマールの判定法より、正項級数\(\sum \frac{n^{n}}{2^{1+2n}}\)は発散することが明らかになりました。したがって、それに対応する負項級数\(\left( -\frac{n^{n}}{2^{1+2n}}\right) \)もまた発散します。

 

演習問題

問題(負項級数)
以下の無限級数\begin{equation*}
\sum_{n=1}^{\infty }\left( -\frac{1}{3^{n}}\right)
\end{equation*}は収束するでしょうか。議論してください。

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