絶対収束級数の項を加える順序

級数の項を加える順序

数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の項の無限級数とは、\(\left\{ x_{n}\right\} \)の無限個の項を順番通りに加えることで得られる和\begin{equation*}\sum_{n=1}^{\infty }x_{n}=x_{1}+x_{2}+x_{3}+\cdots
\end{equation*}として定義されます。無限級数を、\begin{equation*}
\sum x_{n}
\end{equation*}と表記することもできます。

数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の初項から第\(n\)項までの和を、\begin{eqnarray*}s_{n} &=&x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n} \\
&=&\sum_{v=1}^{n}x_{v}
\end{eqnarray*}で表記し、これを数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の部分和と呼びます。無限級数\(\sum x_{n}\)が収束することとは、部分和の列\(\left\{s_{n}\right\} \)が有限な実数へ収束することとして定義されます。つまり、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow \infty }s_{n}\in \mathbb{R} \end{equation*}が成り立つ場合には無限級数\(\sum x_{n}\)もまた収束するものと定義するとともに、この場合、無限級数\(\sum x_{n}\)の和を、\begin{equation*}\sum_{n=1}^{\infty }x_{n}=\lim_{n\rightarrow \infty }s_{n}
\end{equation*}と定義します。

数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)が与えられたとき、その項の順番を何らかの形で入れ替えることにより得られる数列を\(\left\{y_{n}\right\} \)で表記します。すると、以下の2つの級数\begin{eqnarray*}&&\sum_{n=1}^{\infty }x_{n} \\
&&\sum_{n=1}^{\infty }y_{n}
\end{eqnarray*}が得られますが、これらの値は一致するとは限りません。以下の例より明らかです。

一方、正項級数を対象とした場合、項を加える順番を変更しても、級数の和は変わらないことを明らかにしました。つまり、正項級数\(\sum x_{n}\)が収束する場合、\(\sum x_{n}\)の項の順番を入れ替えることにより得られる任意の級数\(\sum y_{n}\)について、\begin{equation*}\sum_{n=1}^{\infty }x_{n}=\sum_{n=1}^{\infty }y_{n}
\end{equation*}が成り立ちます。

以下では、絶対収束級数についても同様の主張が成り立つことを順番に示します。

絶対収束級数の正成分

無限級数\begin{equation*}
\sum_{n=1}^{+\infty }x_{n}=x_{1}+x_{2}+x_{3}+\cdots
\end{equation*}が絶対収束級数であることとは、この級数の絶対値級数\begin{equation*}
\sum_{n=1}^{+\infty }\left\vert x_{n}\right\vert =\left\vert
x_{1}\right\vert +\left\vert x_{2}\right\vert +\left\vert x_{3}\right\vert
+\cdots
\end{equation*}が収束することとして定義されます。絶対収束級数は収束するとともに、絶対収束級数\(\sum x_{n}\)とその絶対値級数\(\sum \left\vert x_{n}\right\vert \)の和の間には以下の関係\begin{equation*}\left\vert \sum_{n=1}^{\infty }x_{n}\right\vert \leq \sum_{n=1}^{\infty
}\left\vert x_{n}\right\vert
\end{equation*}が成り立つことが保証されます。以上を踏まえると、無限級数\(\sum x_{n}\)が収束することを示す代わりに、それが絶対収束級数であることを示してもよいということになります。つまり、絶対値級数\(\sum \left\vert x_{n}\right\vert \)が収束することを示せば、もとの級数\(\sum x_{n}\)が収束することを示したことになります。

数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)が与えられたとき、新たな数列\(\left\{ x_{n}^{+}\right\} \)の一般項を、\begin{equation*}x_{n}^{+}=\max \left\{ x_{n},0\right\}
\end{equation*}と定義します。この数列\(\left\{ x_{n}^{+}\right\} \)をもとの数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の正成分（positive part）と呼びます。最大値の定義より、任意の\(n\in \mathbb{N} \)について、\begin{equation*}\max \left\{ x_{n},0\right\} =\left\{
\begin{array}{cc}
x_{n} & \left( if\ x_{n}\geq 0\right) \\
0 & \left( if\ x_{n}<0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}が成り立つため、正成分\(\left\{ x_{n}^{+}\right\} \)の一般項を、\begin{equation*}x_{n}^{+}=\left\{
\begin{array}{cc}
x_{n} & \left( if\ x_{n}\geq 0\right) \\
0 & \left( if\ x_{n}<0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}と表現することもできます。

数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の項からなる無限級数\begin{equation*}\sum_{n=1}^{+\infty }x_{n}=x_{1}+x_{2}+x_{3}+\cdots
\end{equation*}が絶対収束級数であるものとします。つまり、絶対値級数\begin{equation*}
\sum_{n=1}^{+\infty }\left\vert x_{n}\right\vert =\left\vert
x_{1}\right\vert +\left\vert x_{2}\right\vert +\left\vert x_{3}\right\vert
+\cdots
\end{equation*}が収束するということです。この場合、正成分\(\left\{ x_{n}^{+}\right\} \)の項からなる無限級数\begin{equation*}\sum_{n=1}^{+\infty }x_{n}^{+}=x_{1}^{+}+x_{2}^{+}+x_{3}^{+}+\cdots
\end{equation*}もまた収束することが保証されます。

絶対収束級数の負成分

数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)が与えられたとき、新たな数列\(\left\{ x_{n}^{-}\right\} \)の一般項を、\begin{equation*}x_{n}^{-}=\max \left\{ -x_{n},0\right\}
\end{equation*}と定義します。この数列\(\left\{ x_{n}^{-}\right\} \)をもとの数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の負成分（negative part）と呼びます。最大値の定義より、任意の\(n\in \mathbb{N} \)について、\begin{equation*}\max \left\{ -x_{n},0\right\} =\left\{
\begin{array}{cc}
0 & \left( if\ x_{n}\geq 0\right) \\
-x_{n} & \left( if\ x_{n}<0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}が成り立つため、負成分\(\left\{ x_{n}^{-}\right\} \)の一般項を、\begin{equation*}x_{n}^{-}=\left\{
\begin{array}{cc}
0 & \left( if\ x_{n}\geq 0\right) \\
-x_{n} & \left( if\ x_{n}<0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}と表現することもできます。

数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の項からなる無限級数\begin{equation*}\sum_{n=1}^{+\infty }x_{n}=x_{1}+x_{2}+x_{3}+\cdots
\end{equation*}が絶対収束級数であるものとします。つまり、絶対値級数\begin{equation*}
\sum_{n=1}^{+\infty }\left\vert x_{n}\right\vert =\left\vert
x_{1}\right\vert +\left\vert x_{2}\right\vert +\left\vert x_{3}\right\vert
+\cdots
\end{equation*}が収束するということです。この場合、負成分\(\left\{ x_{n}^{-}\right\} \)の項からなる無限級数\begin{equation*}\sum_{n=1}^{+\infty }x_{n}^{-}=x_{1}^{-}+x_{2}^{-}+x_{3}^{-}+\cdots
\end{equation*}もまた収束することが保証されます。

絶対収束級数の特徴づけ

数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の項からなる無限級数\(\sum x_{n}\)が絶対収束する場合には、正成分\(\left\{ x_{n}^{+}\right\} \)の項からなる無限級数\(\sum x_{n}^{+}\)と負成分\(\left\{ x_{n}^{-}\right\} \)の項からなる無限級数\(\sum x_{n}^{-}\)がともに収束することが明らかになりましたが、逆もまた成り立ちます。つまり、\(\sum x_{n}^{+}\)と\(\sum x_{n}^{-}\)がともに収束する場合には\(\sum x_{n}\)は絶対収束します。したがって以下を得ます。

絶対収束級数と項を加える順序

級数が絶対収束する場合、項を加える順序をどのように変えても級数の和は変わりません。証明ではこれまで示した命題を利用します。

演習問題