絶対収束級数（絶対値級数を利用した級数の収束判定）

絶対値級数を導入する動機

数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の項の無限級数とは、\(\left\{ x_{n}\right\} \)の無限個の項を順番通りに加えることで得られる和\begin{equation*}\sum_{n=1}^{\infty }x_{n}=x_{1}+x_{2}+x_{3}+\cdots
\end{equation*}として定義されます。無限級数を、\begin{equation*}
\sum x_{n}
\end{equation*}と表記することもできます。

数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の初項から第\(n\)項までの和を、\begin{eqnarray*}s_{n} &=&x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n} \\
&=&\sum_{v=1}^{n}x_{v}
\end{eqnarray*}で表記し、これを数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の部分和と呼びます。無限級数\(\sum x_{n}\)が収束することとは、部分和の列\(\left\{s_{n}\right\} \)が有限な実数へ収束することとして定義されます。つまり、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow \infty }s_{n}\in \mathbb{R} \end{equation*}が成り立つ場合には無限級数\(\sum x_{n}\)もまた収束するものと定義するとともに、この場合、無限級数\(\sum x_{n}\)の和を、\begin{equation*}\sum_{n=1}^{\infty }x_{n}=\lim_{n\rightarrow \infty }s_{n}
\end{equation*}と定義します。

数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)のすべての項が非負の実数である場合、すなわち、\begin{equation*}\forall n\in \mathbb{N} :x_{n}\geq 0
\end{equation*}が成り立つ場合、この数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の項からなる無限級数\begin{equation*}\sum_{n=1}^{\infty }x_{n}=x_{1}+x_{2}+x_{3}+\cdots
\end{equation*}を正項級数と呼びます。正項級数については、それが収束・発散することを判定する際に、比較判定法などこれまで解説した様々な手法を利用できます。ただ、無限級数\(\sum x_{n}\)は正項級数であるとは限らず、正項級数ではない無限級数については、それが収束・発散することを判定する際に、正項級数を対象とした判定方法をそのまま利用できません。何らかの工夫が必要です。

数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の項からなる無限級数\begin{equation*}\sum_{n=1}^{\infty }x_{n}=x_{1}+x_{2}+x_{3}+\cdots
\end{equation*}が与えられているものとします。ただし、この無限級数\(\sum x_{n}\)は正項級数であるとは限りません。数列\(\left\{x_{n}\right\} \)の項の絶対値を項として持つ新たな数列\(\left\{ \left\vert x_{n}\right\vert \right\} \)を定義すれば、絶対値の定義より、\begin{equation*}\forall n\in \mathbb{N} :\left\vert x_{n}\right\vert \geq 0
\end{equation*}が成り立つため、この数列\(\left\{ \left\vert x_{n}\right\vert \right\} \)の項からなる無限級数\begin{equation*}\sum_{n=1}^{\infty }\left\vert x_{n}\right\vert =\left\vert x_{1}\right\vert
+\left\vert x_{2}\right\vert +\left\vert x_{3}\right\vert +\cdots
\end{equation*}が正項級数になります。この級数\(\sum \left\vert x_{n}\right\vert \)をもとの級数\(\sum x_{n}\)の絶対値級数（absolute value series）と呼びます。

絶対値級数\(\sum \left\vert x_{n}\right\vert \)は正項級数であるため、それが収束・発散するか判定する際に、正項級数を対象とした判定方法を利用できます。では、絶対値級数\(\sum \left\vert x_{n}\right\vert \)が収束することが判明した場合、もとの級数\(\sum x_{n}\)の収束可能性についても何らかのことが言えるのでしょうか。

絶対収束級数

級数\(\sum x_{n}\)が与えられたとき、その絶対値級数\(\sum \left\vert x_{n}\right\vert \)が収束する場合には、もとの級数\(\sum x_{n}\)もまた収束することが保証されます。つまり、絶対値級数\(\sum \left\vert x_{n}\right\vert \)について、\begin{equation*}\sum_{n=1}^{\infty }\left\vert x_{n}\right\vert =\lim_{n\rightarrow \infty
}\sum_{v=1}^{n}\left\vert x_{v}\right\vert \in \mathbb{R} \end{equation*}が成り立つ場合には、もとの級数\(\sum x_{n}\)について、\begin{equation*}\sum_{n=1}^{\infty }x_{n}=\lim_{n\rightarrow \infty }\sum_{v=1}^{n}x_{v}\in \mathbb{R} \end{equation*}が成り立つことが保証されるということです。しかも、両者の和の間には以下の関係\begin{equation*}
\left\vert \sum_{n=1}^{\infty }x_{n}\right\vert \leq \sum_{n=1}^{\infty
}\left\vert x_{n}\right\vert
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
-\sum_{n=1}^{\infty }\left\vert x_{n}\right\vert \leq \sum_{n=1}^{\infty
}x_{n}\leq \sum_{n=1}^{\infty }\left\vert x_{n}\right\vert
\end{equation*}が成り立つことも保証されます。つまり、もとの級数\(\sum x_{n}\)の和の絶対値は、絶対値級数\(\sum \left\vert x_{n}\right\vert \)の和以下になるということです。

級数\(\sum x_{n}\)が与えられているものとします。その絶対値級数を\(\sum\left\vert x_{n}\right\vert \)が収束する場合、もとの級数\(\sum x_{n}\)は絶対収束する（absolutely convergent）と言います。またこのとき、もとの級数\(\sum x_{n}\)を絶対収束級数（absolutely convergent series）と呼びます。

先の命題より、絶対収束級数は収束することが保証されます。加えて、絶対収束級数\(\sum x_{n}\)の和の絶対値と、その絶対値級数\(\sum \left\vert x_{n}\right\vert \)の和の間には以下の関係\begin{equation*}\left\vert \sum_{n=1}^{\infty }x_{n}\right\vert \leq \sum_{n=1}^{\infty
}\left\vert x_{n}\right\vert
\end{equation*}が成り立ちます。

改めて整理します。絶対収束級数は収束することが保証されるため、級数が収束することを示す代わりに、それが絶対収束級数であることを示すこともできます。つまり、級数\(\sum x_{n}\)の絶対値級数\(\sum \left\vert x_{n}\right\vert \)をとった上で、それが収束することを示せばよいということです。絶対値級数\(\sum\left\vert x_{n}\right\vert \)は正項級数であるため、正項級数を対象とした収束判定を利用できることに注意してください。

収束する級数は絶対収束するとは限らない（条件収束級数）

絶対収束する級数は必ず収束することが明らかになりましたが、その逆は成り立つとは限りません。収束する級数は絶対収束するとは限らないということです。

級数\(\sum x_{n}\)が収束する一方で絶対収束しない場合、そのような級数\(\sum x_{n}\)は条件収束する（conditionally convergent）と言います。条件収束する級数を条件収束級数（conditionally convergent series）と呼びます。

演習問題