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コーシー・アダマールの判定法(正項級数の収束・発散判定)

目次

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正項級数に関するコーシー・アダマールの判定法

無限級数\(\sum x_{n}\)が正項級数である場合には、\begin{equation*}\forall n\in \mathbb{N} :x_{n}\geq 0
\end{equation*}が成り立つため、この場合、\begin{equation*}
y_{n}=\left( x_{n}\right) ^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{x_{n}}
\end{equation*}を一般項とする新たな数列\(\left\{ y_{n}\right\} \)が定義可能です。その上で、この数列の極限\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow \infty }y_{n}=\lim_{n\rightarrow \infty }\left(
x_{n}\right) ^{\frac{1}{n}}
\end{equation*}の値を観察することにより、もとの無限級数\(\sum x_{n}\)の収束可能性・発散可能性を以下のように判定できます。これをコーシー・アダマールの判定法(root test)と呼びます。

命題(正項級数に関するコーシー・アダマールの判定法)
以下の条件\begin{equation*}
\forall n\in \mathbb{N} :x_{n}\geq 0
\end{equation*}を満たす数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)を任意に選んだ上で、新たな数列\(\left\{ \left( x_{n}\right)^{\frac{1}{n}}\right\} \)を定義する。その上で、その極限を、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow \infty }\left( x_{n}\right) ^{\frac{1}{n}}=r
\end{equation*}と表記する。このとき、以下の関係\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ 0\leq r<1\Rightarrow \text{無限級数}\sum_{n=1}^{\infty }x_{n}\text{は収束する} \\
&&\left( b\right) \ 1<r\leq +\infty \Rightarrow \text{無限級数}\sum_{n=1}^{\infty }x_{n}\text{は発散する}
\end{eqnarray*}が成り立つ。

証明

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例(正項級数に関するコーシー・アダマールの判定法)
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の一般項が、\begin{equation*}x_{n}=\frac{2^{n+1}}{n^{n}}
\end{equation*}で与えられているものとします。無限級数\(\sum x_{n}\)は収束するでしょうか。任意の\(n\in \mathbb{N} \)について、\begin{equation*}x_{n}=\frac{2^{n+1}}{n^{n}}>0
\end{equation*}が成り立つため、コーシー・アダマールの判定法を利用します。具体的には、\begin{eqnarray*}
\left( x_{n}\right) ^{\frac{1}{n}} &=&\left( \frac{2^{n+1}}{n^{n}}\right) ^{\frac{1}{n}} \\
&=&\frac{2^{\frac{n+1}{n}}}{n} \\
&=&\frac{2^{1+\frac{1}{n}}}{n}
\end{eqnarray*}であることを踏まえた上で極限をとると、\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow \infty }\left( x_{n}\right) ^{\frac{1}{n}}
&=&\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{2^{1+\frac{1}{n}}}{n} \\
&=&\frac{2}{+\infty } \\
&=&0
\end{eqnarray*}となります。つまり、\begin{equation*}
0\leq \lim_{n\rightarrow \infty }\left( x_{n}\right) ^{\frac{1}{n}}<1
\end{equation*}が成り立つため、コーシー・アダマールの判定法より、無限級数\(\sum x_{n}\)は収束することが明らかになりました。
例(正項級数に関するコーシー・アダマールの判定法)
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の一般項が、\begin{equation*}x_{n}=\frac{n^{n}}{2^{1+2n}}
\end{equation*}で与えられているものとします。無限級数\(\sum x_{n}\)は収束するでしょうか。任意の\(n\in \mathbb{N} \)について、\begin{equation*}x_{n}=\frac{n^{n}}{2^{1+2n}}>0
\end{equation*}が成り立つため、コーシー・アダマールの判定法を利用します。具体的には、\begin{eqnarray*}
\left( x_{n}\right) ^{\frac{1}{n}} &=&\left( \frac{n^{n}}{2^{1+2n}}\right) ^{\frac{1}{n}} \\
&=&\frac{n}{2^{\frac{1+2n}{n}}} \\
&=&\frac{n}{2^{\frac{1}{n}+2}}
\end{eqnarray*}であることを踏まえた上で極限をとると、\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow \infty }\left( x_{n}\right) ^{\frac{1}{n}}
&=&\lim_{n\rightarrow \infty }\left( \frac{n}{2^{\frac{1}{n}+2}}\right) \\
&=&\frac{+\infty }{2^{2}} \\
&=&+\infty
\end{eqnarray*}となります。つまり、\begin{equation*}
1<\lim_{n\rightarrow \infty }\left( x_{n}\right) ^{\frac{1}{n}}\leq +\infty
\end{equation*}が成り立つため、コーシー・アダマールの判定法より、無限級数\(\sum x_{n}\)は発散することが明らかになりました。

 

コーシー・アダマールの判定法が役に立たないケース

無限級数\(\sum x_{n}\)の任意の項が正である場合には、数列\(\left\{ \left( x_{n}\right) ^{\frac{1}{n}}\right\} \)の極限\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow \infty }\left( x_{n}\right) ^{\frac{1}{n}}=r
\end{equation*}を観察することにより、\(\sum x_{n}\)の収束可能性を判定できることが明らかになりました。具体的には、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ 0\leq r<1\Rightarrow \text{無限級数}\sum_{n=1}^{\infty }x_{n}\text{は収束する} \\
&&\left( b\right) \ 1<r\leq +\infty \Rightarrow \text{無限級数}\sum_{n=1}^{\infty }x_{n}\text{は発散する}
\end{eqnarray*}という関係が成り立ちます。ただ、この判定法は\(r<0\)や\(r=1\)の場合について何も語っていません。したがって、これらの場合には、コーシー・アダマールの判定法から\(\sum x_{n}\)の収束可能性に関して何らかの結論を導くことはできません。順番に考えます。

まずは\(r<0\)の場合について考えます。数列\(\left\{\left( x_{n}\right) ^{\frac{1}{n}}\right\} \)の任意の項は\(\left( x_{n}\right) ^{\frac{1}{n}}\geq 0\)を満たすため、数列の極限に関する比較定理より、この数列\(\left\{ \left(x_{n}\right) ^{\frac{1}{n}}\right\} \)が収束する場合には、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow \infty }\left( x_{n}\right) ^{\frac{1}{n}}\geq 0
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
r\geq 0
\end{equation*}となることが保証されます。つまり、\(r<0\)であるような状況はそもそも起こり得ないということです。

続いて\(r=1\)の場合ですが、以下の例が示唆するように、この場合には無限級数\(\sum x_{n}\)が収束する場合と発散する場合の双方が起こり得るため、コーシー・アダマールの判定法は役に立ちません。

まずは、\(r=1\)であるとともに無限級数\(\sum x_{n}\)が収束する例を挙げます。

例(コーシー・アダマールの判定法が役に立たない場合)
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の一般項が、\begin{equation*}x_{n}=\frac{1}{n^{2}}
\end{equation*}で与えられているものとします。無限級数\(\sum x_{n}\)は収束するでしょうか。任意の\(n\in \mathbb{N} \)について、\begin{equation*}x_{n}=\frac{1}{n^{2}}>0
\end{equation*}が成り立つため、コーシー・アダマールの判定法を利用します。具体的には、\begin{eqnarray*}
\left( x_{n}\right) ^{\frac{1}{n}} &=&\left( \frac{1}{n^{2}}\right) ^{\frac{1}{n}} \\
&=&\frac{1}{n^{\frac{2}{n}}}
\end{eqnarray*}であることを踏まえた上で極限をとると、\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow \infty }\left( x_{n}\right) ^{\frac{1}{n}}
&=&\lim_{n\rightarrow \infty }\left( \frac{1}{n^{\frac{2}{n}}}\right) \\
&=&\frac{\lim\limits_{n\rightarrow \infty }1}{\lim\limits_{n\rightarrow
\infty }n^{\frac{2}{n}}} \\
&=&\frac{1}{\lim\limits_{n\rightarrow \infty }e^{\frac{2}{n}\ln \left(
n\right) }} \\
&=&\frac{1}{e^{\lim\limits_{n\rightarrow \infty }\left[ \frac{2}{n}\ln
\left( n\right) \right] }} \\
&=&\frac{1}{e^{0}}\quad \because \text{ロピタルの定理} \\
&=&\frac{1}{1} \\
&=&1
\end{eqnarray*}となるため、コーシー・アダマールの判定法では無限級数\(\sum x_{n}\)の収束可能性を判定できません。ただ、比較判定を用いると、無限級数\(\sum x_{n}\)が収束することが示されます(演習問題)。

続いて、\(r=1\)であるとともに無限級数\(\sum x_{n}\)が発散する例を挙げます。

例(コーシー・アダマールの判定法が役に立たない場合)
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の一般項が、\begin{equation*}x_{n}=1
\end{equation*}で与えられているものとします。無限級数\(\sum x_{n}\)は収束するでしょうか。任意の\(n\in \mathbb{N} \)について、\begin{equation*}x_{n}=1>0
\end{equation*}が成り立つため、コーシー・アダマールの判定法を利用します。具体的には、\begin{eqnarray*}
\left( x_{n}\right) ^{\frac{1}{n}} &=&1^{\frac{1}{n}} \\
&=&1
\end{eqnarray*}であることを踏まえた上で極限をとると、\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow \infty }\left( x_{n}\right) ^{\frac{1}{n}}
&=&\lim_{n\rightarrow \infty }1 \\
&=&1
\end{eqnarray*}となるため、コーシー・アダマールの判定法では無限級数\(\sum x_{n}\)の収束可能性を判定できません。ただ、数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の部分和は、\begin{eqnarray*}s_{n} &=&\sum_{v=1}^{n}x_{v} \\
&=&\sum_{v=1}^{n}1 \\
&=&n
\end{eqnarray*}であるため、\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow \infty }s_{n} &=&\lim_{n\rightarrow \infty }n \\
&=&+\infty
\end{eqnarray*}であり、したがって無限級数\(\sum x_{n}\)が発散することが明らかになりました。

以上の2つの例により、\(r=1\)の場合には無限級数\(\sum x_{n}\)が収束する場合と発散する場合の双方のケースが起こり得るため、コーシー・アダマールの判定法は役に立たないことが明らかになりました。この場合には、別の方法を通じて無限級数\(\sum x_{n}\)の収束可能性を判定することになります。

 

演習問題

問題(正項級数に関するコーシー・アダマールの判定法)
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の一般項が、\begin{equation*}x_{n}=\left( \frac{n}{n+1}\right) ^{n^{2}}
\end{equation*}で与えられているものとします。無限級数\(\sum x_{n}\)は収束するでしょうか。議論してください。
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問題(正項級数に関するコーシー・アダマールの判定法)
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の一般項が、\begin{equation*}x_{n}=\left( \frac{n^{2}+3n}{n^{4}+1}\right) ^{n}
\end{equation*}で与えられているものとします。無限級数\(\sum x_{n}\)は収束するでしょうか。議論してください。
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問題(正項級数に関するコーシー・アダマールの判定法)
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の一般項が、\begin{equation*}x_{n}=\left( 1-\frac{1}{n}\right) ^{n^{2}}
\end{equation*}で与えられているものとします。無限級数\(\sum x_{n}\)は収束するでしょうか。議論してください。
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