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級数

級数どうしの和の収束可能性

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正項級数

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収束級数どうしの和は収束する

数列である\(\left\{ x_{n}\right\} \)と\(\left\{ y_{n}\right\} \)が与えられたとき、\begin{equation*}x_{n}+y_{n}
\end{equation*}を一般項とする新たな数列\(\left\{ x_{n}+y_{n}\right\} \)が定義可能です。数列\(\left\{x_{n}\right\} \)の項の無限級数\(\sum x_{n}\)と、数列\(\left\{ y_{n}\right\} \)の項の無限級数\(\sum y_{n}\)がともに収束する場合には、数列\(\left\{ x_{n}+y_{n}\right\} \)の項の無限級数\(\sum \left(x_{n}+y_{n}\right) \)もまた収束するとともに、これらの和の間には、\begin{equation*}\sum_{n=1}^{\infty }\left( x_{n}+y_{n}\right) =\sum_{n=1}^{\infty
}x_{n}+\sum_{n=1}^{\infty }y_{n}
\end{equation*}という関係が成り立ちます。

命題(収束級数どうしの和は収束する)
数列である\(\left\{ x_{n}\right\} \)と\(\left\{ y_{n}\right\} \)がそれぞれ任意に与えられたとき、そこから数列\(\left\{x_{n}+y_{n}\right\} \)を定義する。無限級数である\(\sum x_{n}\)と\(\sum y_{n}\)がともに収束するならば、無限級数\(\sum \left(x_{n}+y_{n}\right) \)もまた収束し、それらの和の間には、\begin{equation*}\sum_{n=1}^{\infty }\left( x_{n}+y_{n}\right) =\sum_{n=1}^{\infty
}x_{n}+\sum_{n=1}^{\infty }y_{n}
\end{equation*}という関係が成り立つ。

証明

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つまり、収束する無限級数である\(\sum x_{n}\)と\(\sum y_{n}\)の和の形をしている無限級数\(\sum \left( x_{n}+y_{n}\right) \)が与えられたとき、\(\sum \left( x_{n}+y_{n}\right) \)もまた収束することが保証されるとともに、\(\sum x_{n}\)の和と\(\sum y_{n}\)の和を足せば\(\sum\left( x_{n}+y_{n}\right) \)の和が得られることを上の命題は保証しています。したがって、無限級数どうしの和の形をしている無限級数\(\sum \left(x_{n}+y_{n}\right) \)の収束可能性を検討する際には、無限級数の収束の定義にさかのぼって考える前に、まずは\(\sum x_{n}\)と\(\sum y_{n}\)に分けた上で、それぞれが収束することを確認すればよいということになります。

例(収束級数どうしの和は収束する)
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の一般項が、\begin{equation*}x_{n}=\left( \frac{1}{2}\right) ^{n}+\left( \frac{1}{3}\right) ^{n}
\end{equation*}で与えられているものとします。無限級数\(\sum x_{n}\)は収束するでしょうか。数列\(\left\{ \left( \frac{1}{2}\right) ^{n}\right\} \)は初項が\(\frac{1}{2}\)で公比が\(\frac{1}{2}\)の等比数列であるため、その部分和は、\begin{eqnarray*}s_{n} &=&\sum_{v=1}^{n}x_{v} \\
&=&\sum_{v=1}^{n}\left( \frac{1}{2}\right) ^{v} \\
&=&\frac{\frac{1}{2}\left[ 1-\left( \frac{1}{2}\right) ^{n}\right] }{1-\frac{1}{2}} \\
&=&1-\left( \frac{1}{2}\right) ^{n}
\end{eqnarray*}であり、したがって、\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow \infty }s_{n} &=&\lim_{n\rightarrow \infty }\left[
1-\left( \frac{1}{2}\right) ^{n}\right] \\
&=&1
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation}
\sum_{n=1}^{\infty }\left( \frac{1}{2}\right) ^{n}=1 \quad \cdots (1)
\end{equation}を得ます。数列\(\left\{ \left( \frac{1}{3}\right) ^{n}\right\} \)は初項が\(\frac{1}{3}\)で公比が\(\frac{1}{3}\)の等比数列であるため、その部分和は、\begin{eqnarray*}s_{n} &=&\sum_{v=1}^{n}x_{v} \\
&=&\sum_{v=1}^{n}\left( \frac{1}{3}\right) ^{v} \\
&=&\frac{\frac{1}{3}\left[ 1-\left( \frac{1}{3}\right) ^{n}\right] }{1-\frac{1}{3}} \\
&=&\frac{1}{2}\left[ 1-\left( \frac{1}{3}\right) ^{n}\right] \end{eqnarray*}であり、したがって、\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow \infty }s_{n} &=&\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{1}{2}\left[ 1-\left( \frac{1}{3}\right) ^{n}\right] \\
&=&\frac{1}{2}\lim_{n\rightarrow \infty }\left[ 1-\left( \frac{1}{3}\right)
^{n}\right] \\
&=&\frac{1}{2}\cdot 1 \\
&=&\frac{1}{2}
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation}
\sum_{n=1}^{\infty }\left( \frac{1}{3}\right) ^{n}=\frac{1}{2} \quad \cdots (2)
\end{equation}を得ます。したがって、先の命題より無限級数\(\sum \left[ \left( \frac{1}{2}\right) ^{n}+\left( \frac{1}{3}\right) ^{n}\right] \)すなわち\(\sum x_{n}\)は収束するとともに、その和は、\begin{eqnarray*}\sum_{n=1}^{\infty }\left[ \left( \frac{1}{2}\right) ^{n}+\left( \frac{1}{3}\right) ^{n}\right] &=&\sum_{n=1}^{\infty }\left( \frac{1}{2}\right)
^{n}+\sum_{n=1}^{\infty }\left( \frac{1}{3}\right) ^{n} \\
&=&1+\frac{1}{2}\quad \because \left( 1\right) ,\left( 2\right) \\
&=&\frac{3}{2}
\end{eqnarray*}となります。

 

収束級数と発散級数の和は発散する

無限級数である\(\sum x_{n}\)と\(\sum y_{n}\)の一方が収束するとともに他方が発散する場合、無限級数\(\sum \left( x_{n}+y_{n}\right) \)は発散することが保証されます。

命題(収束級数と発散級数の和は発散する)
数列である\(\left\{ x_{n}\right\} \)と\(\left\{ y_{n}\right\} \)がそれぞれ任意に与えられたとき、そこから数列\(\left\{x_{n}+y_{n}\right\} \)を定義する。無限級数である\(\sum x_{n}\)と\(\sum y_{n}\)の一方が収束するとともに他方が発散するならば、無限級数\(\sum \left( x_{n}+y_{n}\right) \)もまた発散する。
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例(収束級数と発散級数の和は発散する)
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の一般項が、\begin{equation*}x_{n}=\frac{1}{n\left( n+1\right) }+n
\end{equation*}で与えられているものとします。無限級数\(\sum x_{n}\)は収束するでしょうか。数列\(\left\{ \frac{1}{n\left(n+1\right) }\right\} \)の部分和は、\begin{eqnarray*}s_{n} &=&\sum_{v=1}^{n}x_{v} \\
&=&\sum_{v=1}^{n}\left[ \frac{1}{v\left( v+1\right) }\right] \\
&=&\sum_{v=1}^{n}\left( \frac{1}{v}-\frac{1}{v+1}\right) \quad \because
\frac{1}{v}-\frac{1}{v+1}=\frac{1}{v\left( v+1\right) } \\
&=&\left( 1-\frac{1}{2}\right) +\left( \frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)
+\left( \frac{1}{3}-\frac{1}{4}\right) +\cdots +\left( \frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right) \\
&=&1-\frac{1}{n+1}
\end{eqnarray*}であり、したがって、\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow \infty }s_{n} &=&\lim_{n\rightarrow \infty }\left( 1-\frac{1}{n+1}\right) \\
&=&\lim_{n\rightarrow \infty }1-\lim_{n\rightarrow \infty }\left( \frac{1}{n+1}\right) \\
&=&1-0 \\
&=&1
\end{eqnarray*}であるため、無限級数\(\sum \frac{1}{n\left( n+1\right) }\)は収束します。一方、数列\(\left\{n\right\} \)の部分和は、\begin{eqnarray*}s_{n} &=&\sum_{v=1}^{n}x_{v} \\
&=&\sum_{v=1}^{n}v \\
&=&1+2+3+\cdots +n \\
&=&\frac{n\left( n+1\right) }{2}
\end{eqnarray*}であり、したがって、\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow \infty }s_{n} &=&\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{n\left(
n+1\right) }{2} \\
&=&+\infty
\end{eqnarray*}であるため、無限級数\(\sum n\)は発散します。したがって、先の命題より無限級数\(\sum \left( \frac{1}{n\left( n+1\right) }+n\right) \)すなわち\(\sum x_{n}\)は発散します。

 

発散級数どうしの和は発散するとは限らない

収束級数どうしの和は収束し、収束級数と発散級数の和は発散することが明らかになりました。残されたパターンは発散級数どうしの和ですが、これについて収束する場合と発散する場合の双方のパターンが存在します。

まずは、発散する級数どうしの和もまた発散する例です。

例(発散する級数どうしの和が発散する場合)
数列である\(\left\{ x_{n}\right\} \)および\(\left\{ y_{n}\right\} \)の一般項がそれぞれ、\begin{eqnarray*}x_{n} &=&n \\
y_{n} &=&n
\end{eqnarray*}で与えられているものとします。先に示したように、無限級数\(\sum n\)は発散します。つまり、\(\sum x_{n}\)と\(\sum y_{n}\)はともに発散します。一方、数列\(\left\{ 2n\right\} \)の部分和は、\begin{eqnarray*}s_{n} &=&\sum_{v=1}^{n}2v \\
&=&2+4+6+\cdots +2n \\
&=&n\left( n+1\right)
\end{eqnarray*}であり、したがって、\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow \infty }s_{n} &=&\lim_{n\rightarrow \infty }n\left(
n+1\right) \\
&=&+\infty
\end{eqnarray*}であるため、無限級数\(\sum 2n\)は発散します。つまり、\(\sum \left( x_{n}+y_{n}\right) \)もまた発散します。

続いて、発散する級数どうしの和が収束する例です。

例(発散する級数どうしの和が発散する場合)
数列である\(\left\{ x_{n}\right\} \)および\(\left\{ y_{n}\right\} \)の一般項がそれぞれ、\begin{eqnarray*}x_{n} &=&n \\
y_{n} &=&-n
\end{eqnarray*}で与えられているものとします。この場合、数列\(\left\{ x_{n}+y_{n}\right\} \)の一般項は、\begin{equation*}x_{n}+y_{n}=0
\end{equation*}となります。先に示したように、無限級数\(\sum n\)は発散します。つまり、\(\sum x_{n}\)は発散します。発散する無限級数の定数倍は発散するため、\(\sum \left( -n\right) \)すなわち\(\sum y_{n}\)は発散します。一方、数列\(\left\{ 0\right\} \)の部分和は、\begin{eqnarray*}s_{n} &=&\sum_{v=1}^{n}0 \\
&=&0
\end{eqnarray*}であり、したがって、\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow \infty }s_{n} &=&\lim_{n\rightarrow \infty }0 \\
&=&0
\end{eqnarray*}であるため、無限級数\(\sum 0\)すなわち\(\sum \left(x_{n}+y_{n}\right) \)は収束します。
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