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正項級数に関する比較判定法

目次

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正項収束級数と順序(比較定理)

2つの正項級数\(\sum x_{n}\)と\(\sum y_{n}\)が与えられている状況を想定します。つまり、数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)と\(\left\{ y_{n}\right\} \)が以下の条件\begin{eqnarray*}\left( a\right) \ \forall n &\in &\mathbb{N} :x_{n}\geq 0 \\
\left( b\right) \ \forall n &\in &\mathbb{N} :y_{n}\geq 0
\end{eqnarray*}を満たすということです。加えて、\(\left\{x_{n}\right\} \)の項と\(\left\{ y_{n}\right\} \)の項の間には、\begin{equation*}\left( c\right) \ \forall n\in \mathbb{N} :x_{n}\leq y_{n}
\end{equation*}が成り立つものとします。つまり、任意番目の項に注目したとき、\(\left\{ y_{n}\right\} \)の項が\(\left\{ x_{n}\right\} \)の項以上であるということです。以上の3つの条件をまとめて表現すると、\begin{equation*}\forall n\in \mathbb{N} :0\leq x_{n}\leq y_{n}
\end{equation*}となります。加えて、級数である\(\sum x_{n}\)と\(\sum y_{n}\)がともに収束する場合、それらの和の間についても、\begin{equation*}\sum_{n=1}^{\infty }x_{n}\leq \sum_{n=1}^{\infty }y_{n}
\end{equation*}という関係が成り立つことが保証されます。これを比較定理(comparison theorem)と呼びます。

命題(正項収束級数と順序)
数列である\(\left\{ x_{n}\right\} \)と\(\left\{ y_{n}\right\} \)が以下の条件\begin{equation*}\forall n\in \mathbb{N} :0\leq x_{n}\leq y_{n}
\end{equation*}を満たすものとする。さらに、無限級数である\(\sum x_{n}\)と\(\sum y_{n}\)がともに収束する場合、両者の和についても、\begin{equation*}\sum_{n=1}^{\infty }x_{n}\leq \sum_{n=1}^{\infty }y_{n}
\end{equation*}という関係が成り立つ。

証明

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例(正項収束級数と順序)
数列である\(\left\{ x_{n}\right\} \)と\(\left\{ y_{n}\right\} \)が以下の条件\begin{equation*}\forall n\in \mathbb{N} :0<x_{n}<y_{n}
\end{equation*}を満たす場合、大小関係\(\leq \)と狭義大小関係\(<\)の定義より、\begin{equation*}\forall n\in \mathbb{N} :0\leq x_{n}\leq y_{n}
\end{equation*}もまた成り立ちます。したがって、無限級数である\(\sum x_{n}\)と\(\sum y_{n}\)がともに収束する場合、先の命題より、両者の和についても、\begin{equation*}\sum_{n=1}^{\infty }x_{n}\leq \sum_{n=1}^{\infty }y_{n}
\end{equation*}が成り立ちます。

 

正項級数に関する比較判定法

先の命題は、収束する2つの正項級数の項の間に一方的な大小関係が成立する場合、それらの級数の和についても同様の大小関係が成り立つことを保証します。実は、同様の条件のもとで、一方の級数が収束する場合に他方の級数もまた収束することを保証したり、また、一方の級数が発散する場合に他方の級数もまた発散することを保証することもできます。具体的には以下の通りです。

先と同様に、数列である\(\left\{ x_{n}\right\} \)と\(\left\{ y_{n}\right\} \)が以下の条件\begin{equation*}\forall n\in \mathbb{N} :0\leq x_{n}\leq y_{n}
\end{equation*}を満たすものとします。以上の条件のもと、無限級数\(\sum y_{n}\)が収束する場合には無限級数\(\sum x_{n}\)もまた収束することが保証されます。逆に、無限級数\(\sum x_{n}\)が発散する場合には無限級数\(\sum y_{n}\)もまた発散することが保証されます。これを正項級数に関する比較判定法(comparison test for positive series)と呼びます。

命題(正項級数に関する比較判定法)
数列である\(\left\{ x_{n}\right\} \)と\(\left\{ y_{n}\right\} \)が以下の条件\begin{equation*}\forall n\in \mathbb{N} :0\leq x_{n}\leq y_{n}
\end{equation*}を満たすものとする。このとき、無限級数である\(\sum x_{n}\)と\(\sum y_{n}\)について、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \sum_{n=1}^{\infty }y_{n}\text{は収束する}\Rightarrow \sum_{n=1}^{\infty }x_{n}\text{は収束する} \\
&&\left( b\right) \ \sum_{n=1}^{\infty }x_{n}\text{は発散する}\Rightarrow \sum_{n=1}^{\infty }y_{n}\text{は発散する}
\end{eqnarray*}が成り立つ。

証明

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以上の命題より、正項級数の収束可能性を判定する際には、収束ないし発散することが分かっている正項級数を持ってきて、それらの項の間に一方的な大小関係が成立することを確認すればよいことが明らかになりました。つまり、正項級数\(\sum x_{n}\)が収束することを示すためには、収束することが分かっている何らかの正項級数\(\sum y_{n}\)との間に、\begin{equation*}\forall n\in \mathbb{N} :x_{n}\leq y_{n}
\end{equation*}が成り立つことを示せばよく、また、正項級数\(\sum x_{n}\)が発散することを示すためには、発散することが分かっている何らかの正項級数\(\sum y_{n}\)との間に、\begin{equation*}\forall n\in \mathbb{N} :y_{n}\leq x_{n}
\end{equation*}が成り立つことを示せばよいということです。したがって、この手法を利用する際には、比較対象となる正項級数\(\sum y_{n}\)をどれだけ多く知っているかがポイントになります。収束ないし発散する正項級数の具体例に関する知識のストックが多いほど、この手法を広範に利用できるということです。

例(正項級数に関する比較判定法)
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の一般項が、\begin{equation*}x_{n}=\frac{1}{3^{n}+1}
\end{equation*}で与えられているものとします。無限級数\(\sum x_{n}\)は収束するでしょうか。任意の\(n\in \mathbb{N} \)について、\begin{equation*}x_{n}=\frac{1}{3^{n}+1}\geq 0
\end{equation*}が成り立つため、正項級数に関する比較判定法を利用します。任意の\(n\in \mathbb{N} \)について、\begin{equation*}\frac{1}{3^{n}+1}<\frac{1}{3^{n}}
\end{equation*}すなわち、\begin{equation}
x_{n}<\frac{1}{3^{n}} \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立つため、無限級数\(\sum \frac{1}{3^{n}}\)を比較対象として採用します。数列\(\left\{ \frac{1}{3^{n}}\right\} \)は初項が\(\frac{1}{3}\)であり公比が\(\frac{1}{3}\)であるような等比数列であるため\(\sum \frac{1}{3^{n}}\)は等比級数です。初項が\(0\)ではなく公比の絶対値が\(1\)より小さい等比数列の項の級数は収束するため\(\sum \frac{1}{3^{n}}\)は収束します。以上の事実と\(\left( 1\right) \)より、\(\sum x_{n}\)は収束することが明らかになりました。
例(正項級数に関する比較判定法)
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の一般項が、\begin{equation*}x_{n}=\frac{n}{n^{2}-\cos ^{2}\left( n\right) }
\end{equation*}で与えられているものとします。無限級数\(\sum x_{n}\)は収束するでしょうか。任意の\(n\in \mathbb{N} \)について、\begin{equation*}\cos ^{2}\left( n\right) \geq 0
\end{equation*}が成り立つため、さらに、\begin{equation*}
n^{2}-\cos ^{2}\left( n\right) \leq n^{2}
\end{equation*}さらに、\begin{equation*}
\frac{1}{n^{2}-\cos ^{2}\left( n\right) }\geq \frac{1}{n^{2}}
\end{equation*}さらに、\begin{equation*}
\frac{n}{n^{2}-\cos ^{2}\left( n\right) }\geq \frac{n}{n^{2}}
\end{equation*}すなわち、\begin{equation}
x_{n}\geq \frac{1}{n}>0 \quad \cdots (1)
\end{equation}を得ます。そこで、正項級数に関する比較判定法を利用します。無限級数\(\sum \frac{1}{n}\)を比較対象として採用します。\(\sum \frac{1}{n}\)は調和級数であるため発散します。以上の事実と\(\left( 1\right) \)より、\(\sum x_{n}\)は発散することが明らかになりました。

 

演習問題

問題(正項級数に関する比較判定法)
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の一般項が、\begin{equation*}x_{n}=\frac{1}{7^{n}+n}
\end{equation*}で与えられているものとします。無限級数\(\sum x_{n}\)は収束するでしょうか。議論してください。
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問題(正項級数に関する比較判定法)
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の一般項が、\begin{equation*}x_{n}=\frac{1}{n\left\vert \sin \left( n\right) \right\vert }
\end{equation*}で与えられているものとします。無限級数\(\sum x_{n}\)は収束するでしょうか。議論してください。
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問題(正項級数に関する比較判定法)
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の一般項が、\begin{equation*}x_{n}=\frac{1}{e^{n}+n^{e}}
\end{equation*}で与えられているものとします。無限級数\(\sum x_{n}\)は収束するでしょうか。議論してください。
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問題(正項級数に関する比較判定法)
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の一般項が、\begin{equation*}x_{n}=\frac{n^{2}+1}{\sqrt{n}}
\end{equation*}で与えられているものとします。無限級数\(\sum x_{n}\)は収束するでしょうか。議論してください。
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