収束する数列と順序

複数の収束列の項の間に大小関係に関する一定の関係が成り立つ場合には、それらの収束列の極限の間にも同様の関係が成り立ちます。また、はさみうちの定理や絶対値定理などについても解説します。
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収束数列と順序

数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)と\(\left\{ y_{n}\right\} \)を任意に選びます。両者の間には、\begin{equation*}
\forall n\in \mathbb{N} :x_{n}\leq y_{n}
\end{equation*}が成り立つものとします。つまり、任意番目の項に注目したとき、\(\left\{ y_{n}\right\} \)の項が\(\left\{ x_{n}\right\} \)の項以上であるということです。これらの数列がともに収束する場合には、両者の極限の間についても、\begin{equation*}
\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}\leq \lim_{n\rightarrow \infty }y_{n}
\end{equation*}という関係が成り立ちます。

証明は以下の通りです。数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)と\(\left\{ y_{n}\right\} \)から新たな数列\(\left\{ y_{n}-x_{n}\right\} \)を構成します。任意の番号\(n\)について\(x_{n}\leq y_{n}\)が成り立つことから、\begin{equation*}
\forall n\in \mathbb{N} :y_{n}-x_{n}\geq 0
\end{equation*}を得ます。仮定より\(\left\{ x_{n}\right\} \)と\(\left\{ y_{n}\right\} \)はともに収束するため、これらの差に相当する\(\left\{ y_{n}-x_{n}\right\} \)も収束し、これらの極限の間には、\begin{equation*}
\lim_{n\rightarrow \infty }\left( y_{n}-x_{n}\right) =\lim_{n\rightarrow
\infty }y_{n}-\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}
\end{equation*}が成り立ちます。したがって、\(\lim\limits_{n\rightarrow \infty }\left( y_{n}-x_{n}\right) \geq 0\)を示せば\(\lim\limits_{n\rightarrow \infty }y_{n}\geq \lim\limits_{n\rightarrow \infty }x_{n}\)を示したことになるため、目標が達成されます。証明の方針としては、\(\lim\limits_{n\rightarrow \infty }\left( y_{n}-x_{n}\right) <0\)が成り立つことを仮定した上で矛盾を導くことになります(演習問題にします)。

命題(収束数列と順序)

数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)と\(\left\{ y_{n}\right\} \)がともに収束するとともに、両者の間に、\begin{equation*}
\forall n\in \mathbb{N} :x_{n}\leq y_{n}
\end{equation*}という関係が成り立つ場合、両者の極限についても、\begin{equation*}
\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}\leq \lim_{n\rightarrow \infty }y_{n}
\end{equation*}が成り立つ。

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上の命題において大小関係\(\leq \)を狭義大小関係\(\leq \)に置き換えた主張もまた成り立つでしょうか。つまり、収束する数列である\(\left\{ x_{n}\right\} \)と\(\left\{ y_{n}\right\} \)の間に、\begin{equation*}
\forall n\in \mathbb{N} :x_{n}<y_{n}
\end{equation*}という関係が成り立つ場合、両者の極限についても、\begin{equation*}
\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}<\lim_{n\rightarrow \infty }y_{n}
\end{equation*}は成り立つでしょうか。以下の例が示唆するように、これは成り立ちません。

例(収束数列と順序)
数列\(\left\{ \frac{1}{n+1}\right\} \)と\(\left\{ \frac{1}{n}\right\} \)について考えます。両者の間には、\begin{equation*}
\forall n\in \mathbb{N} :\frac{1}{n+1}<\frac{1}{n}
\end{equation*}が成り立ちます。その一方で、\begin{equation}
\lim_{n\rightarrow \infty }\left( \frac{1}{n}\right) =0 \tag{1}
\end{equation}であることを踏まえると、\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow \infty }\left( \frac{1}{n+1}\right)
&=&\lim_{n\rightarrow \infty }\left( \frac{\frac{1}{n}}{1+\frac{1}{n}}\right) \\
&=&\frac{\lim\limits_{n\rightarrow \infty }\left( \frac{1}{n}\right) }{\lim\limits_{n\rightarrow \infty }1+\lim\limits_{n\rightarrow \infty }\left(
\frac{1}{n}\right) } \\
&=&\frac{0}{1+0} \\
&=&0
\end{eqnarray*}を得るため、\begin{equation*}
\lim_{n\rightarrow \infty }\left( \frac{1}{n+1}\right) =\lim_{n\rightarrow
\infty }\left( \frac{1}{n}\right)
\end{equation*}が成り立つことが明らかになりました。

 

有界な収束列の極限

数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)が上に有界であるものとします。つまり、\begin{equation*}
\exists U\in \mathbb{R},\ \forall n\in \mathbb{N} :x_{n}\leq U
\end{equation*}が成り立つということです。これは、数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)と、任意の項が\(y_{n}=U\)であるような数列\(\left\{ y_{n}\right\} \)の間に、\begin{equation*}
\forall n\in \mathbb{N} :x_{n}\leq y_{n}
\end{equation*}が成り立つこととして言い換え可能です。\(\left\{ x_{n}\right\} \)が収束するものとします。また、\(\left\{ y_{n}\right\} \)は明らかに実数\(U\)へ収束します。したがって、先の命題より、両者の極限の間に、\begin{equation*}
\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}\leq \lim_{n\rightarrow \infty }y_{n}
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}\leq U
\end{equation*}が成り立ちます。上に有界な数列の極限は、その上界以下であるということです。

命題(上に有界な数列の極限)
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)が収束するとともに、上に有界であるものとする。\(\left\{ x_{n}\right\} \)の上界\(U\in \mathbb{R}\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}
\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}\leq U
\end{equation*}が成り立つ。
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下に有界な収束数列についても同様の主張が成り立ちます。証明は演習問題にします。

命題(下に有界な数列の極限)
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)が収束するとともに、下に有界であるものとする。\(\left\{ x_{n}\right\} \)の下界\(L\in \mathbb{R}\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}
L\leq \lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}
\end{equation*}が成り立つ。
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はさみうちの定理

数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)と\(\left\{ y_{n}\right\} \)と\(\left\{ z_{n}\right\} \)を任意に選びます。これらの間には、\begin{equation}
\forall n\in \mathbb{N} :x_{n}\leq z_{n}\leq y_{n} \tag{1}
\end{equation}が成り立つものとします。つまり、任意番目の項に注目したとき、\(\left\{ z_{n}\right\} \)の項は\(\left\{ x_{n}\right\} \)の項と\(\left\{ y_{n}\right\} \)の項によって挟まれるということです。両端の数列である\(\left\{ x_{n}\right\} \)と\(\left\{ y_{n}\right\} \)がともに収束数列であるとともに、同一の実数\(\alpha \)に収束する場合、間に挟まれた数列\(\left\{ z_{n}\right\} \)もまた収束するとともに、その極限もまた\(\alpha \)であることが保証されます。これをはさみうちの定理(squeeze theorem)と呼びます。

証明は以下の通りです。数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)と\(\left\{ y_{n}\right\} \)がともに実数\(\alpha \)に収束することから、\begin{eqnarray}
\forall \varepsilon &>&0,\ \exists N_{1}\in \mathbb{N} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :\left( n\geq N_{1}\Rightarrow \left\vert x_{n}-\alpha \right\vert
<\varepsilon \right) \tag{2} \\
\forall \varepsilon &>&0,\ \exists N_{2}\in \mathbb{N} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :\left( n\geq N_{2}\Rightarrow \left\vert y_{n}-\alpha \right\vert
<\varepsilon \right) \tag{3}
\end{eqnarray}がともに成り立ちます。そこで、\begin{equation*}
N=\max \left\{ N_{1},N_{2}\right\}
\end{equation*}とおけば、\(n\geq N\)を満たす任意の\(n\)に対して\(n\geq N_{1}\)と\(n\geq N_{2}\)がともに成り立つため、\begin{eqnarray*}
\alpha -\varepsilon &<&x_{n}\quad \because \left( 2\right) \\
&\leq &z_{n}\quad \because \left( 1\right) \\
&\leq &y_{n}\quad \because \left( 1\right) \\
&\leq &\alpha +\varepsilon \quad \because \left( 3\right)
\end{eqnarray*}すなわち\(\left\vert z_{n}-\alpha \right\vert <\varepsilon \)が成り立ちます。以上で、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists N\in \mathbb{N} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :\left( n\geq N\Rightarrow \left\vert z_{n}-\alpha \right\vert <\varepsilon
\right)
\end{equation*}が成り立つことが示されたため、数列\(\left\{ z_{n}\right\} \)もまた\(\alpha \)へ収束することが明らかになりました。

命題(はさみうちの定理)
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)と\(\left\{ y_{n}\right\} \)が同一の実数へ収束するとともに、これらと数列\(\left\{ z_{n}\right\} \)の間に、\begin{equation*}
\forall n\in \mathbb{N} :x_{n}\leq z_{n}\leq y_{n}
\end{equation*}という関係が成り立つ場合、\(\left\{ z_{n}\right\} \)もまた\(\left\{ x_{n}\right\} \)や\(\left\{ y_{n}\right\} \)の極限と同一の実数へ収束する。
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例(はさみうちの定理)
数列\(\left\{ \frac{\cos n}{n}\right\} \)について考えます。任意の番号\(n\)について\(-1\leq \cos n\leq 1\)であることから、各辺を\(n>0\)で割ることにより、任意の\(n\)について、\begin{equation*}
-\frac{1}{n}\leq \frac{\cos n}{n}\leq \frac{1}{n}
\end{equation*}を得ます。さらに、\(\lim\limits_{n\rightarrow \infty }\frac{1}{n}=0\)かつ\(\lim\limits_{n\rightarrow \infty }-\frac{1}{n}=0\)であることからはさみうちの定理が適用可能であり、\begin{equation*}
\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{\cos n}{n}=0
\end{equation*}を得ます。
例(はさみうちの定理)
数列\(\left\{ \frac{\sin n+\cos n}{n^{2}}\right\} \)について考えます。任意の番号\(n\)について\(-1\leq \sin n\leq 1\)かつ\(-1\leq \cos n\leq 1\)であることから、任意の\(n\)について、\begin{equation*}
-2\leq \sin n+\cos n\leq 2
\end{equation*}が成り立ちます。さらに辺々を\(n^{2}>0\)で割ると、任意の\(n\)について、\begin{equation*}
-\frac{2}{n^{2}}\leq \frac{\sin n+\cos n}{n^{2}}\leq \frac{2}{n^{2}}
\end{equation*}を得ます。ここで、\(\lim\limits_{n\rightarrow \infty }\frac{2}{n^{2}}=0\)かつ\(\lim\limits_{n\rightarrow \infty }-\frac{2}{n^{2}}=0\)であることに注目すると、はさみうちの定理より、\begin{equation*}
\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{\sin n+\cos n}{n^{2}}=0
\end{equation*}を得ます。

 

絶対値定理

数列\(\{x_{n}\}\)が与えられたとき、その一般項の絶対値\(\left\vert x_{n}\right\vert \)を一般項とする数列\(\{\left\vert x_{n}\right\vert \}\)について考えます。ここで注目すべきは、絶対値の定義より、任意の番号\(n\)について、\begin{equation*}
-\left\vert x_{n}\right\vert \leq x_{n}\leq \left\vert x_{n}\right\vert
\end{equation*}が成り立つということです。さて、数列\(\{\left\vert x_{n}\right\vert \}\)について、\begin{equation*}
\lim_{n\rightarrow \infty }\left\vert x_{n}\right\vert =0
\end{equation*}が成り立つ場合には、数列\(\{-\left\vert x_{n}\right\vert \}\)についても明らかに、\begin{equation*}
\lim_{n\rightarrow \infty }-\left\vert x_{n}\right\vert =0
\end{equation*}が成り立ちます。したがって、はさみうちの定理を適用すれば\(\{x_{n}\}\)もまた\(0\)へ収束することが示されます。これを絶対値定理(absolute value theorem)と呼びます。

命題(絶対値定理)
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)が与えられたとき、数列\(\left\{ \left\vert x_{n}\right\vert \right\} \)について、\begin{equation*}
\lim_{n\rightarrow \infty }\left\vert x_{n}\right\vert =0
\end{equation*}が成り立つ場合には、\(\left\{ x_{n}\right\} \)についても、\begin{equation*}
\lim_{n\rightarrow 0}x_{n}=0
\end{equation*}が成り立つ。
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数列\(\{x_{n}\}\)が極限値\(0\)へ収束することを示すためには、絶対値定理より、代わりに数列\(\{\left\vert x_{n}\right\vert \}\)が極限値\(0\)へ収束することを示してもよいということです。

例(絶対値定理)
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の一般項が、\begin{equation*}
x_{n}=\frac{\left( -1\right) ^{n}}{n^{2}+2}
\end{equation*}で与えられているものとします。数列\(\left\{ \left\vert x_{n}\right\vert \right\} \)の極限について、\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow \infty }\left\vert \frac{\left( -1\right) ^{n}}{n^{2}+2}\right\vert &=&\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{\left\vert \left( -1\right)
^{n}\right\vert }{\left\vert n^{2}+2\right\vert } \\
&=&\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{1}{n^{2}+2} \\
&=&0
\end{eqnarray*}が成り立つため(確認してください)、絶対値定理より\(\left\{ x_{n}\right\} \)もまた\(0\)へ収束します。

次回からは数列の極限の不定形について解説します。

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