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数列

数列の極限と順序(比較定理・はさみうちの定理・絶対値定理)

目次

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収束数列と順序(比較定理)

数列である\(\left\{ x_{n}\right\} \)と\(\left\{ y_{n}\right\} \)の間には、\begin{equation*}\forall n\in \mathbb{N} :x_{n}\leq y_{n}
\end{equation*}という関係が成り立つものとします。つまり、任意番目の項に注目したとき、\(\left\{y_{n}\right\} \)の項が\(\left\{ x_{n}\right\} \)の項以上であるということです。さらに、これらの数列がともに有限な実数へ収束する場合には、両者の極限の間についても、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}\leq \lim_{n\rightarrow \infty }y_{n}
\end{equation*}という関係が成り立つことが保証されます。これを比較定理(comparison theorem)と呼びます。

命題(収束数列と順序)

数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)と\(\left\{ y_{n}\right\} \)がともに有限な実数へ収束するとともに、両者の項の間に、\begin{equation*}\forall n\in \mathbb{N} :x_{n}\leq y_{n}
\end{equation*}という関係が成り立つ場合、両者の極限についても、\begin{equation*}
\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}\leq \lim_{n\rightarrow \infty }y_{n}
\end{equation*}という関係が成り立つ。

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例(収束数列と順序)
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)と\(\left\{ y_{n}\right\} \)がともに有限な実数へ収束するとともに、両者の項の間に、\begin{equation*}\forall n\in \mathbb{N} :x_{n}<y_{n}
\end{equation*}という関係が成り立つ場合、大小関係\(\leq \)と狭義大小関係\(<\)の定義より、\begin{equation*}\forall n\in \mathbb{N} :x_{n}\leq y_{n}
\end{equation*}もまた成り立つため、先の命題より、\begin{equation*}
\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}\leq \lim_{n\rightarrow \infty }y_{n}
\end{equation*}が成り立つことが保証されます。

上の例において、結論中の大小関係\(\leq \)を狭義大小関係\(\leq \)に置き換えた主張もまた成り立つでしょうか。つまり、収束する数列である\(\left\{ x_{n}\right\} \)と\(\left\{ y_{n}\right\} \)の間に、\begin{equation*}\forall n\in \mathbb{N} :x_{n}<y_{n}
\end{equation*}という関係が成り立つ場合、両者の極限の間にも、\begin{equation*}
\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}<\lim_{n\rightarrow \infty }y_{n}
\end{equation*}という関係が成り立つことが保証されるのでしょうか。以下の例が示唆するように、こうした関係は成り立つとは限りません。

例(収束数列と順序)
数列\(\left\{ \frac{1}{n+1}\right\} \)と\(\left\{ \frac{1}{n}\right\} \)について考えます。両者の間には、\begin{equation*}\forall n\in \mathbb{N} :\frac{1}{n+1}<\frac{1}{n}
\end{equation*}が成り立ちます。その一方で、\begin{equation}
\lim_{n\rightarrow \infty }\left( \frac{1}{n}\right) =0 \quad \cdots (1)
\end{equation}であることを踏まえると、\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow \infty }\left( \frac{1}{n+1}\right)
&=&\lim_{n\rightarrow \infty }\left( \frac{\frac{1}{n}}{1+\frac{1}{n}}\right) \quad \because \text{分子と分母を}n\in \mathbb{N} \text{で割る} \\
&=&\frac{\lim\limits_{n\rightarrow \infty }\left( \frac{1}{n}\right) }{\lim\limits_{n\rightarrow \infty }\left( 1+\frac{1}{n}\right) }\quad
\because \text{収束する数列の商の極限} \\
&=&\frac{\lim\limits_{n\rightarrow \infty }\left( \frac{1}{n}\right) }{\lim\limits_{n\rightarrow \infty }1+\lim\limits_{n\rightarrow \infty }\left(
\frac{1}{n}\right) }\quad \because \text{収束する数列の和の極限} \\
&=&\frac{0}{1+0}\quad \because \left( 1\right) \text{および定数数列の極限} \\
&=&0
\end{eqnarray*}となるため、\begin{equation*}
\lim_{n\rightarrow \infty }\left( \frac{1}{n+1}\right) =\lim_{n\rightarrow
\infty }\left( \frac{1}{n}\right)
\end{equation*}が成り立つことが明らかになりました。

 

発散数列と順序(比較定理)

数列である\(\left\{ x_{n}\right\} \)と\(\left\{ y_{n}\right\} \)の間には、\begin{equation*}\forall n\in \mathbb{N} :x_{n}\leq y_{n}
\end{equation*}という関係が成り立つものとします。つまり、任意番目の項に注目したとき、\(\left\{y_{n}\right\} \)の項が\(\left\{ x_{n}\right\} \)の項以上であるということです。このとき、\(\left\{ x_{n}\right\} \)が正の無限大へ発散するならば\(\left\{ y_{n}\right\} \)もまた正の無限大へ発散することが保証されます。つまり、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}=+\infty \Rightarrow \lim_{n\rightarrow
\infty }y_{n}=+\infty
\end{equation*}が成り立つということです。また、\(\left\{y_{n}\right\} \)が負の無限大へ発散するならば\(\left\{x_{n}\right\} \)もまた負の無限大へ発散することが保証されます。つまり、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow \infty }y_{n}=-\infty \Rightarrow \lim_{n\rightarrow
\infty }x_{n}=-\infty
\end{equation*}が成り立つということです。これもまた比較定理のバリエーションです。

命題(発散数列と順序)

数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)と\(\left\{ y_{n}\right\} \)の項の間に、\begin{equation*}\forall n\in \mathbb{N} :x_{n}\leq y_{n}
\end{equation*}という関係が成り立つ場合、\begin{eqnarray*}
\left( a\right) \ \lim_{n\rightarrow \infty }x_{n} &=&+\infty \Rightarrow
\lim_{n\rightarrow \infty }y_{n}=+\infty \\
\left( b\right) \ \lim_{n\rightarrow \infty }y_{n} &=&-\infty \Rightarrow
\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}=-\infty
\end{eqnarray*}がともに成り立つ。

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例(発散数列と順序)
数列\(\left\{ n\right\} \)と\(\left\{ n^{2}\right\} \)について考えます。両者の間には、\begin{equation*}\forall n\in \mathbb{N} :n\leq n^{2}
\end{equation*}が成り立ちます。さらに、\begin{equation*}
\lim_{n\rightarrow \infty }n=+\infty
\end{equation*}が成り立つため、上の命題より、\begin{equation*}
\lim_{n\rightarrow \infty }n^{2}=+\infty
\end{equation*}を得ます。

例(発散数列と順序)
数列\(\left\{ -n\right\} \)と\(\left\{ -n^{2}\right\} \)について考えます。両者の間には、\begin{equation*}\forall n\in \mathbb{N} :-n^{2}\leq -n
\end{equation*}が成り立ちます。さらに、\begin{equation*}
\lim_{n\rightarrow \infty }\left( -n\right) =-\infty
\end{equation*}が成り立つため、上の命題より、\begin{equation*}
\lim_{n\rightarrow \infty }\left( -n^{2}\right) =-\infty
\end{equation*}を得ます。

 

収束する数列の極限と上界・下界の関係

収束する数列は有界ですが、先の命題より、その数列の極限は任意の上界以下であり、任意の下界以上になることが示されます。

命題(数列の極限と上界の関係)
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)が有限な実数へ収束する場合、\(\left\{ x_{n}\right\} \)は有界であるとともに、上界\(U\in \mathbb{R} \)と下界\(L\in \mathbb{R} \)をそれぞれ任意に選んだとき、\begin{equation*}L\leq \lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}\leq U
\end{equation*}という関係が成り立つ。

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はさみうちの定理

数列である\(\left\{ x_{n}\right\} \)と\(\left\{ y_{n}\right\} \)と\(\left\{ z_{n}\right\} \)の間には、\begin{equation*}\forall n\in \mathbb{N} :x_{n}\leq z_{n}\leq y_{n}
\end{equation*}という関係が成り立つものとします。つまり、任意番目の項に注目したとき、\(\left\{z_{n}\right\} \)の項は\(\left\{ x_{n}\right\} \)の項と\(\left\{ y_{n}\right\} \)の項によって挟まれるということです。両端の数列である\(\left\{ x_{n}\right\} \)と\(\left\{y_{n}\right\} \)がともに有限な実数へ収束するとともに、それらの極限が同じ実数\(a\)である場合、間に挟まれた数列\(\left\{ z_{n}\right\} \)もまた有限な実数へ収束するとともに、その極限もまた\(a\)であることが保証されます。これをはさみうちの定理(squeeze theorem)と呼びます。

命題(はさみうちの定理)
数列である\(\left\{ x_{n}\right\} \)と\(\left\{ y_{n}\right\} \)が同一の実数へ収束するとともに、これらと数列\(\left\{z_{n}\right\} \)の間に、\begin{equation*}\forall n\in \mathbb{N} :x_{n}\leq z_{n}\leq y_{n}
\end{equation*}という関係が成り立つ場合、\(\left\{ z_{n}\right\} \)もまた\(\left\{ x_{n}\right\} \)や\(\left\{ y_{n}\right\} \)の極限と同一の実数へ収束する。
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例(はさみうちの定理)
数列である\(\left\{ x_{n}\right\} \)と\(\left\{ y_{n}\right\} \)が同一の実数へ収束するとともに、これらと数列\(\left\{z_{n}\right\} \)の間に、\begin{equation*}\forall n\in \mathbb{N} :x_{n}<z_{n}<y_{n}
\end{equation*}が成り立つ場合、大小関係\(\leq \)と狭義大小関係\(<\)の定義より、\begin{equation*}\forall n\in \mathbb{N} :x_{n}\leq z_{n}\leq y_{n}
\end{equation*}もまた成り立つため、はさみうちの定理より、\(\left\{ z_{n}\right\} \)もまた\(\left\{ x_{n}\right\} \)や\(\left\{ y_{n}\right\} \)の極限と同一の実数へ収束することが保証されます。
例(はさみうちの定理)
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の一般項が、\begin{equation*}x_{n}=\frac{\cos n}{n}
\end{equation*}で与えられているものとします。任意の\(n\in \mathbb{N} \)について、\begin{equation*}-1\leq \cos n\leq 1
\end{equation*}が成り立つことから、各辺を\(n>0\)で割ることにより、\begin{equation}-\frac{1}{n}\leq \frac{\cos n}{n}\leq \frac{1}{n} \quad \cdots (1)
\end{equation}を得ます。さらに、数列\(\left\{ -\frac{1}{n}\right\} \)と\(\left\{ \frac{1}{n}\right\} \)について、\begin{eqnarray}\lim_{n\rightarrow \infty }\left( -\frac{1}{n}\right)
&=&-\lim_{n\rightarrow \infty }\left( \frac{1}{n}\right) =0 \quad \cdots (2) \\
\lim_{n\rightarrow \infty }\left( \frac{1}{n}\right) &=&0 \quad \cdots (3)
\end{eqnarray}が成り立ちます。\(\left(1\right) ,\left( 2\right) ,\left( 3\right) \)およびはさみうちの定理より、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow \infty }\left( \frac{\cos n}{n}\right) =0
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}=0
\end{equation*}が成り立つことが明らかになりました。

例(はさみうちの定理)
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の一般項が、\begin{equation*}x_{n}=\left( -\frac{1}{2}\right) ^{n}
\end{equation*}で与えられているものとします。任意の\(n\in \mathbb{N} \)について、\begin{equation}-\frac{1}{2^{n}}\leq \left( -\frac{1}{2}\right) ^{n}\leq \frac{1}{2^{n}}
\quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立ちます。数列\(\left\{ -\frac{1}{2^{n}}\right\} \)と\(\left\{ \frac{1}{2^{n}}\right\} \)について、\begin{equation}\lim_{n\rightarrow \infty }\left( -\frac{1}{2^{n}}\right)
=\lim_{n\rightarrow \infty }\left( \frac{1}{2^{n}}\right) =0 \quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立ちます。\(\left(1\right) ,\left( 2\right) \)およびはさみうちの定理より、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow \infty }\left( -\frac{1}{2}\right) ^{n}=0
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}=0
\end{equation*}が成り立つことが明らかになりました。

 

絶対値定理

数列\(\{x_{n}\}\)が与えられたとき、その一般項の絶対値\(\left\vert x_{n}\right\vert \)を一般項とする数列\( \{ \left \vert x_{n} \right \vert \} \)について考えます。ここで注目すべきは、絶対値の定義より、任意の\(n\in \mathbb{N} \)について、\begin{equation*}-\left\vert x_{n}\right\vert \leq x_{n}\leq \left\vert x_{n}\right\vert
\end{equation*}が成り立つということです。さて、数列\(\{\left\vert x_{n}\right\vert \}\)について、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow \infty }\left\vert x_{n}\right\vert =0
\end{equation*}が成り立つ場合には、数列\(\{-\left\vert x_{n}\right\vert \}\)についても明らかに、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow \infty }-\left\vert x_{n}\right\vert =0
\end{equation*}が成り立ちます。したがって、はさみうちの定理を適用すれば\(\{x_{n}\}\)もまた\(0\)へ収束することが示されます。つまり、数列\(\{x_{n}\}\)が\(0\)へ収束することを示すためには、かわりに数列\(\{\left\vert x_{n}\right\vert \}\)が\(0\)へ収束することを示してもよいということです。これを絶対値定理(absolute value theorem)と呼びます。

命題(絶対値定理)
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)が与えられたとき、数列\(\left \{ \left \vert x_{n}\right \vert \right\} \)について、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow \infty }\left\vert x_{n}\right\vert =0
\end{equation*}が成り立つ場合には、\(\left\{ x_{n}\right\} \)についても、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}=0
\end{equation*}が成り立つ。

例(絶対値定理)
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の一般項が、\begin{equation*}x_{n}=\frac{\left( -1\right) ^{n}}{n^{2}+2}
\end{equation*}で与えられているものとします。数列\(\left\{\left\vert x_{n}\right\vert \right\} \)の極限について、\begin{eqnarray*}\lim_{n\rightarrow \infty }\left\vert x_{n}\right\vert
&=&\lim_{n\rightarrow \infty }\left\vert \frac{\left( -1\right) ^{n}}{n^{2}+2}\right\vert \quad \because \left\{ \left\vert x_{n}\right\vert \right\}
\text{の定義} \\
&=&\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{\left\vert \left( -1\right)
^{n}\right\vert }{\left\vert n^{2}+2\right\vert } \\
&=&\lim_{n\rightarrow \infty }\left( \frac{1}{n^{2}+2}\right) \quad \because
n\in \mathbb{N} \\
&=&\lim_{n\rightarrow \infty }\left( \frac{\frac{1}{n}}{1+\frac{2}{n^{2}}}\right) \\
&=&\frac{0}{1+0} \\
&=&0
\end{eqnarray*}が成り立つため、絶対値定理より、\begin{equation*}
\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}=0
\end{equation*}が成り立つことが明らかになりました。

 

演習問題

問題(収束する数列と順序)
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の一般項が、\begin{equation*}x_{n}=\frac{\sin n}{n}
\end{equation*}で与えられています。この数列は収束しますか。議論してください。

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問題(収束する数列と順序)
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の一般項が、\begin{equation*}x_{n}=\frac{2^{n}}{n!}
\end{equation*}で与えられています。この数列は収束しますか。議論してください。

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問題(収束する数列と順序)
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の一般項が、\begin{equation*}x_{n}=\frac{\sin n+\cos n}{n^{2}}
\end{equation*}で与えられています。この数列は収束しますか。議論してください。

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問題(はさみうちの定理の一般化)
数列\(\left\{ x_{n}\right\} ,\left\{ y_{n}\right\} \)が同一の実数へ収束するとともに、これらと数列\(\left\{ z_{n}\right\} \)の間に以下の関係\begin{equation*}\exists N\in \mathbb{N} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :\left( n\geq N\Rightarrow x_{n}\leq z_{n}\leq y_{n}\right)
\end{equation*}が成り立つ場合には、\(\left\{ z_{n}\right\} \)もまた\(\left\{x_{n}\right\} \)や\(\left\{ y_{n}\right\} \)の極限と同一の実数へ収束することを示してください。
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問題(収束する数列と順序)
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の一般項が、\begin{equation*}x_{n}=\frac{n+\left( -1\right) ^{n}}{n-\left( -1\right) ^{n}}
\end{equation*}で与えられています。この数列は収束しますか。議論してください。

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問題(収束する数列と順序)
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)について、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}=0
\end{equation*}が成り立ち、数列\(\left\{y_{n}\right\} \)に対してある有限な実数\(b\in \mathbb{R} \)が存在し、\begin{equation*}\forall n\in \mathbb{N} :\left\vert y_{n}-b\right\vert \leq x_{n}
\end{equation*}が成り立つものとします。以上の条件のもとで、\begin{equation*}
\lim_{n\rightarrow \infty }y_{n}=0
\end{equation*}が成り立つことを証明してください。

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問題(極限が指定されたときの収束有理数列の生成)
実数\(x\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\(x\)へ収束する有理数列\(\left\{ q_{n}\right\} \)が必ず存在することを示してください。つまり、以下の2つの条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall n\in \mathbb{N} :q_{n}\in \mathbb{Q} \\
&&\left( b\right) \ \lim_{n\rightarrow +\infty }q_{n}=x
\end{eqnarray*}を満たす数列\(\left\{ q_{n}\right\} \)が存在することが目標です。
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